111+Az+rd. ll+~+ I Ar:rz. - r--1 J- I I I I IXI I I t. Nu ' 19 Dimenslonamlentode secciones de hormigón armado

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2 4. EcullCÍlJ/lt!Ste qui/ijrio. Ctilculo te secciones. 19 Dimenslonamlentode secciones de hormigón armado 19.1Secciones sometidas a esfuerzos normales. Ecuaclones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones Se trata de las secciones que son sometidas a esfuerzos tales que producen tensiones normales preponderantes. Estos casos comprenden a las tracciones, flexiones y compresiones (con sus combinaciones). Así, tal y como se vio en el punto anterior, desde un estado de tracción simple o centrada (x = -00), al ir considerando otras posiciones del eje neutro (pasando por la sección) se tendrá: tracción compuesta o descentrada, flexión simple o compuesta, compresión compuestao descentrada,y finalmente,compresióncentrada(x = + 00 ). Paracada uno de estos estados, que ya se han definido con sus dominios de deformación, se plantean las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en ambos materiales y además, se pueden plantear las ecuaciones de equilibrio estático (fuerzas y momentos) a nivel seccional, analizando y teniendo en cuenta todas las fuerzas que actúan, tanto las exteriores que solicitan a la sección, como las interiores que aparecerán a partir de los volúmenes de tensiones generados. Se supone que existe armadura inferior y superior. Por supuesto que, estas ecuaciones deben plantearse para cada uno de los dominios de que se trate. Los esquemas para los 6 dominios de deformación son, del D 1 al D 5 (Fig. 19.1): r-b ---t 111+Az+rd ll+~+ - r--1 J- X t. l '..,' Deformaciones Tensiones A2 Al Ar:rz Nu ' 1, A':Y-4 4-3

3 4. EC1lflciones de e~1ililjrio.ctilclllo de secciones. 4. EClllCÍOnes de e~1ililjrio. Ctilc1llo de secciones. t ~1. -t. x 1'- DefOfmacionu T~nsianesdel TensiOMS hofmgén del acero 3,5 "100 r---"7 ' ~~ u -t-z' te rf':2 Q,8S' 'ed r,, ', t --ow: h - u ;. "2«2 1 A2 ~ el ~ L.J J ~ 1'" l ~. "2.'Vd ~ ~ el W DefOl'maaones TensjOllftdel Tension.s del b honnigón acero - fus:-~l d2 -Ei-- 3 í -l""'lj,h d!~.!! --1 i L Al x L!l... : / ;,,: /, J / != n _.W...-, ". ' J:~ n _l,~~ ~~. Fig Esquemas tenso-deformacionales Y fuerzas desarrolladas para D 1, D 2, D 3, D 4, D 4 a y D S, correlativamente (de [5]) 19.2 Tracción Simple o Compuesta (D 1) -., A2"~ A2 :' -t ~el, ~ Al ~ :.ArG,. t-b-; r; d l Ot.annacianes Tensiones del acero ~ i~~j ~ t ~'yd,. 1 A, ~ e, j 'J!..~ Por definición, para que exista Tracción Simple o Compuesta, el eje neutro ha de estar situado fuera de la sección, de modo que sea -00 ~ x ~ O. Todas las fibras de la sección están en tracción y, como ya se vio, las rectas de deformación corresponden al D 1. Como el hormigón no resiste tracciones, la tracción exterior deberá ser resistida pura y exclusivamente, por ambas armaduras. Como se ve en Fig. 19.1, se considera la armadura inferior (A,) trabajando a una tensión igual a su resistencia de cálculo (~) y la armadura superior (A2)trabajando a una tensión menor (0"2 ~ ~)52.. Las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad, serán: LF=O~Nu = A,.~+~ '0"2 rrl+' ~ Dtlormaáones x ---L- Tensionn dti hormigón o,as. fed Tensiones del QcefO 11~"yd -+ A2 Nu 14-4 el ~ Al.. Ara, LM;1) =O=>~'éí =~.(j2(d-d2) &2= x+d2 x+d 0"2 = &2. Es ~ ~ La armadura A, se considera al 10 por mil. 52 En el caso de Tracción Simple o Centrada, se considera ambas annaduras aj;y

4 El cálculo seccional en este dominio se limita a encontrar las armaduras que sean capaces de resistir la tracción impuesta. Observar que de la ecuación de equilibrio de momentos se puede hallar la armadura A2y finalmente en la ecuación de equilibrio de fuerzas encontrar la A1 (son dos ecuaciones con dos incógnitas, las armaduras). Merece especial comentario el efecto de la fisuración en este estado. Como las secciones estarán sometidas sólo a tracción, la fisuración es inevitable. Dicho esto, este tipo de secciones tipicas de tiranteso tensores deben ser objeto de una verificación precisa de la fisuración (ELS) para garantizar la durabilidad de la armadura y su comportamiento. En estos casos, el hormigón actuará sólo como elemento de protección de la armadura. Por otra parte la EHE obliga a poner una armadura mínima en tracción (simple o compuesta) que es: Asf",. ;::: AJed 19.3 Dominios de Flexión (D 2, D 3 YD 4) Se plantearán las ecuaciones de equilibrio estático y de compatibilidad en los dominios 2, 3 Y 4, propios de flexión.. En D 2 se sabe que, O< x < d. Los diagramas de deformaciones y tensiones que se producen son como se indica en Fig En el caso más general, se puede suponer que existe la armadura superior (A2) comprimida y por lo tanto, se tendrá en cuenta su influencia en las ecuaciones de equilibrio. Recordar que en el caso anterior -para la definición de los dominios- ésta armadura no existia. DefQ(l'oc:ionu T.nsiones del Tensiones hornigdn eleloc:ero Q.8S.'c:c r -,, ~. Fig (de [5]), r- :.AfJ2 ~ ~ l el Ll ~ ~ A partir de la Fig. 19.2, se hallan las ecuaciones de equilibrio, haciendo la sumatoria de momentos respecto a la armadura inferior- traccionada-: y además será: F=O~Nu =b.x.~.'p+~ '(T2-A.f",. A 1) = O~ Nu' e1 = b.x.~. 'P.(d-A'X)+~ '(T2.(d-d2) Donde, se puede hacer: Se =~= X x-d2 d-x Ne = b. x. 'P.fed' que es la fuerza que desarrolla el hormigón con: Ae = b. x. 'P, como el área del diagrama del hormigón (bajo la parábola) Donde se ha definido, 'P : coeficiente adimensional que depende de la forma del diagrama. La distancia desde el centro de gravedad de este diagrama del hormigón, a la fibra más comprimida, se la designa como A x(fig. 19.4). Haciendo además:

5 x ~=d Se pueden tabular los valores de 'P y A.en función de ~ (Fig. 19.3). VALORES DE VY A. EN EL DOMNO 2 V S S O.SOO 0,s S ,S S S S Fig ( de [5]) Respecto a los valores de a2. pueden determinarse, para cada acero y recubrimiento, en función de ~. Aunque no es convenienteni económicocolocar armadura de compresión en D 2. Sea como sea: A Ya fue visto el desarrollo de las ecuaciones que gobiernan el equilibrio en el D 2 y con una metodología idéntica se pueden obtener las que rigen en los demás dominios. Donde. Para el D 3 ( d < x < xlim) Y a partir de la Fig. 19.1, correspondiente, se hallan las ecuaciones de equilibrio como: 'P = A. = F = O~ Nu = b. x.fed ~.fyd-.4,.fyd M() =0 ~ Nu.el = b.x.fed (d x)+~ ahora se hace: al = a2 = fyd; las dos armaduras plastifican (están bien aprovechadas). Con:.fyd.(d -d2). Para el D 4 (xlim< X < d) Y a partir de la Fig correspondiente, se hallan las respectivas ecuaciones de equilibrio: '1' = A. = F =0 ~ Nu =b.x.fed ~.fyd-.4,.al M() =0 ~ Nu.el = b.x.fed (d x)+~.fyd.(d-d2) Para O < ~ < ~ a2 =O al < fyd la armadura inferior (traccionada) no plastifica. Para < ~< ~ a2 = fyd a2 = fyd; la armadura superior plastifica. Al no agotarse el hormigón en compresión, la influencia de la armadura comprimida es muy pequeña (y realmente innecesaria) por lo que la simplificación adoptada conduce a errores insignificantes.,u/ 4-9

6 19.4 Ejemplos de cálculo en Flexión Simple (D 2, D 3 YD 4) l. Cálculo en dominio 2 Se analizará, paso a paso, cómo es posible resolver el cálculo seccional en los dominios de flexión haciendo uso de las ecuaciones de equilibrio estático, compatibilidad de deformaciones y comportamiento de los materiales vistas. Supóngase que se quiere calcular la sección, con los siguientes datos: ecuación de momento ya que en la primera ecuación se tiene como incógnita la armadura de tracción desconocida a colocar. Sin embargo, si se trabaja en dominio 2, el diagrama de tensiones del hormigón no es constante y aparecen los valores de 'P y A también como incógnitas adicionales a encontrar. Para resolver este problema puede hacerse uso de un método iterativo (algo engorroso) o puede hacerse la siguiente aproximación que ha demostrado ser suficientemente precisa. Se hace un diagrama rectangular (constante) para el diagrama tensional del hormigón que concuerda bien (se ha demostrado en ensayos) con el diagrama parábola-rectángulo real, Fig y además:... <E b d h U 'Í'd' h =600 mm b =300 mm d' =r=50 mm d =550 mm 'ed 'ed nn : mnn_n_nnnn_nn Ax t y x ~ ivc => ~!y/2 +---'- ivc HA25; Ye= 1.50 B 400 S; Ys= 1.15 Mu= 150 kn m De Fig (para 02) se tenia: Donde además se considera: y =0.8.x Fig.19.4 f =O ~ Nu = b.x. fed. 'P + Az.(T2- A,.fYd L:M(1)=O~ Nu.e1 =b.x.fed' 'P.(d -A'x)+Az '(T2.(d -d2) Si se supone que no existe armadura de compresión, las ecuaciones se transforman en: Nu = b. x.fed' 'P -A,.fYd Mu= Nu.e1 = b. x.fed' 'P.(d -A'x) A partir de estas ecuaciones, de debe encontrar primeramente la posición del eje neutro que definirá la armadura a colocar y las deformaciones y tensiones de trabajo de los materiales. La posición del eje neutro (x) puede hallarse de la Entonces, las ecuaciones de equilibriopueden ser reescritas como: Nu =b. Y.0.85fed - A,.fyd Mu = Nu.e1=b. y.0.85fed.(d - y/2) Luego, de la segunda ecuación: Mu-b. Y.0.85fed.(d - Y/2) = O Que quedará: (} b.0.85fed )- y2 -(b.d.0.85fed)' y + Mu = O

7 Resolviendo esta ecuación de 2 grado, se hallará el valor de y, y a partir de él, el valor de x buscado. Para los datos del ejercicio propuesto será: compresiones rectangular (y) y la profundidad del diagrama parábola rectángulo real (x), ya que la fibra neutra se encuentra en el inicio del diagrama parábola rectángulo (Fig. 19.4) y Y = O y = 0.8. x; x = y / 0.8 = /0.8 = mm Con todas las unidades en [N] y [m m). Resolviendo: ~ Determinación del dominio de deformación: i: J( ) Y1,2= i: Y1.2= Con lo que sale: Y1= mm Y2= mm La primera solución obtenida a partir de la ecuación de equilibrio de momentos no tiene sentido físico en flexión por quedar fuera de la sección, por ello se adopta como solución: Y2 = mm Luego, desde la primera ecuación de equilibrio (de fuerzas): Nu = b. Y.0.85foo -A,.fYd Si es flexión simple, N u= O Y queda: ~ = A,.fyd = b. y.0.85foo Conocida la posición de la fibra neutra puede determinarse fácilmente el dominio en el que se encuentra trabajando la sección por medio del diagrama de pivotes. T i 1,.. il-.'" Los valores límites del dominio 2 son: x=o x = 0.259d = 0.259* 550= mm te Ee Debe verificarse que se cumpla que O < x < d y el valor de x esta comprendido en este rango por lo que la sección se encuentra en el dominio 2. Que para el ejemplo sale: ~ Determinación de deformaciones: ~ = ~= N = kn 1.50 En el dominio 2 el diagrama de deformaciones para secciones planas es: ~ Posición de la fibra neutra: El siguiente paso consiste en determinar la posición de la fibra neutra. Para ello, se utiliza la relación existente entre la profundidad del bloque de

8 Finalmente será: 10 Ee Es = 10 %o(acero) Ee = %o(hormigón) ~ Determinación de las tensiones: d 1 ~=Ee d-x A partir de los diagramas tenso deformacionales hallan las tensiones. Los diagramas son: X E--= 10.x = e - d _ X --- Ee = %o de los materiales se E.(O004- E ) O'e = fed' e., e (Ecuaciónde la parábola) O'e= Mpa Siendo, fed= Mpa Concluido el cálculo, es preciso hacer una reflexión acerca de lo que ocurre con las secciones que trabajan en dominio 2. Ya se vio que el dominio 2 se caracteriza porque el hormigón no llega a alcanzar el máximo acortamiento posible (ec= 3.5 %o),por lo cual no trabaja a pleno rendimiento. Cuando la deformación del hormigón es ec < 2 %o,tampoco desarrollará la máxima tensión que es capaz de proporcionar (0.85'fcd)' Pero incluso cuando la deformación del hormigón es 2 %o< ec < 3.5 %0, aunque se alcanza la tensión máxima (0.85'fcd), el nivel de aprovechamiento de la sección es muy reducido debido a la escasa porción de hormigón que colabora por ser muy pequeña la profundidad de la fibra neutra. Por otra parte, en secciones con grandes cantos (dominio 2) aparece un problema adicional. La armadura de tracción obtenida puede no cumplir la cuantia geométrica (CG) minima a que obliga la norma, debido a ello habrá que colocar la cuantia geométrica minima (CGm1n),lo que hace que deba ser colocada mayor cantidad de armadura que la obtenida por el cálculo, y por lo tanto, resulta a todas luces una sección antieconómica. '", ~ (T. (Te 1 (Te La conclusión final es que las secciones que trabajan en dominio 2 se encuentran sobredimensionadas y seria recomendable reducir el tamaño de las mismas para lograr que trabajen en dominio 3 (que es 'el dominio en el que se produce el máximo aprovechamiento del hormigón y del acero). 11.Cálculo en dominio 3 Ey 10 E Los puntos se hallan indicados a partir de los valores de deformaciones hallados anteriormente y las tensiones correspondientes serán: 400 = Mpa fyd= Ee Se redimensiona la sección anterior con los siguientes valores,... <E---b~ rr d h U td, h = 400 mm b = 300 mm d' = r = 50 mm d = 350 mm

9 '" ECllt1dones de NjllilJlJrio.Ctilclllo de secciones. Con los demás datos iguales. A partir de aquí se procede de idéntica forma que anteriormente y será: ~ Profundidad del bloque de compresión: Desde: Quedará: G..b.0.85fcd)- y2 -(b.d.0.85fcd)' y +Mu =O ~ Posición de la fibra neutra: Haciendo: y=0.8.x; x=y/o.8= /0.8= mm ~ Determinación del dominio de deformación: Desde el diagrama de pivotes y Y = O te Con todas las unidades :t Y1.2 = Con lo que resulta: Y1 = Y2 = mm mm en [N] y [mm]. Resolviendo: Ti i ~. Lh ~.. Ee La solución lógica será: Los valores límites del dominio 3 son: Y2 = mm ~ Armadura de tracción necesaria: En la primera ecuación de equilibrio (de fuerzas): Nu = b. Y.0.85fcd - A,.fyd x = d = * 350 = mm XUm= d = * 350 = mm (Ver 18.1) Se debe cumplir que d < x < dy el valor de x esta comprendido en este rango por lo que la sección se encuentra en el dominio 3. ~ Determinación de deformaciones: Si es flexión simple, Nu = O Y queda: En el dominio 3 se tiene: T, = A,.fyd = b. Y.0.85fcd Que sale: T, = ~ = N = kN

10 '" ECllldones k Jlilill'io. C41Cok secciones. '" ECllldone.f k JlliUlJl'io. Ctilclllo k secciones. E. =3.5 r ~=Cc d-x d C =- d-x C e =4.27%0 s X x Los puntos se hallan indicados a partir de los valores de deformaciones hallados anteriormente y serán: 400 = Mpa ~ = 1.15 Uc = ~ = Mpa Finalmente E. entonces: 1 Cc = 3.5 %o Se observa que en el dominio 3, tanto el hormigón como el acero, se encuentran trabajando a pleno rendimiento, proporcionando la máxima tensión que son capaces de desarrollar. Observar que el acero no llega a su deformación de rotura pero supera la deformación de fluencia o cedencia por lo que entra en la fase plástica. Por este motivo, en el dominio 3 se logran los máximos aprovechamientos económicos de ambos materiales simultáneamente. 11.Cálculo en dominio 4 Cs = 4.27 %o(acero) Cc = 3.5 %o(hormigón) Se redimensiona nuevamente la sección con los siguientes valores, Siendo: ~ 400/1.15 = 1.74%0 cy="e= s ~ Determinación de las tensiones: h = 250 mm d h b = 600 mm d' = r = 50 mm ti d = 200 mm 81 A partir de los diagramas tenso-deformacionales hallan las tensiones. Los diagramas son: (1' r..,. r", (1'. de los materiales se ( b ) td, Con los demás datos iguales. Notar que se ha disminuido el canto y aumentado el ancho, quedando una sección que no es "de canto". Este es el caso tipico de las vigas de canto fijado o vigas planas en las que se adopta un canto exactamente igual que el forjado del que formarán parte 53. A partir de aquí se procede de idéntica forma que anteriormente y será: ~ Profundidad del bloque de compresión: E, = j 10 E. 3.5 E. " Las dimensiones adoptadas, tipicas de vigas planas, en las que se aumenta el ancho y se mantiene un canto menor, tienen una limitación. Generalmente no se pasa de una relación bh = 3. Esto es debido a que las consideraciones e hipótesis de cálculo adoptadas corresponden a elementos tipo BARRA (una dimensión mucho mayor que las otras dos) y aumentar de forma desmedida al anchura de la viga puede conducir a tener un elemento tipo PLACA (dos dimensiones mucho mayores que la tercera). cuyas hipótesis de cálculo difieren de las anteriores y se deben abordar de distinta manera

11 Desde: G.b.0.85foo )- y2 -(b.d.0.85foo), Y +Mu = O Quedará: y Y = O Con todas las unidades en [N) y [mm). Resolviendo sale: x = d = 200 mm Para el dominio 4 debería ser, d < x < d Y el valor de x esta comprendido justamente en este rango, por lo que la sección se encuentra en él. ~ Determinación de deformaciones: En el dominio 4 se tiene: :t Y1,2= Ce =3.5 ~=Be d-x x Que dará: Y1 = mm ~ 17 1 C = d-x Be =0.76%0 x Y2 = La solución mm lógica es: Es 1 Be = 3.5 %o Y2 = mm ~ Armadura de tracción necesaria: T, = A.fyd = b.y.0.85foo T, = ~ = N = kn 1.50 ~ Posición de la fibra neutra: Haciendo: Finalmente será: B. = 0.76 %o(acero) Be = 3.5 %o(hormigón) ~ Determinación de las tensiones: A partir de los diagramas tenso-deformacionales hallan las tensiones. Los diagramas son: de los materiales se y=0.8.x; x=y/o.8= = mm (Ts (Te ~ Determinación del dominio de deformación: fyd fed Desde el diagrama de pivotes. Los valores límites desde el dominio 2 al 4 son: (Ts x=o x = d = * 200 = mm Xlim= d = * 200 = mm 0.76 'y= , Es Ce

12 Los puntos hallados se hallan indicados a partir de los valores de sus deformaciones y será: O"s = E.lis = =152 Mpa O"c=0.85.'ed =14.17 Mpa La armadura de tracción obtenida resulta excesiva para el tamaño de la sección, ya que equivale a El motivo de esta armadura sobredimensionada se encuentra en el hecho de que al trabajar en dominio 4 el acero no proporciona toda la tensión que es capaz de desarrollar por lo que para conseguir la misma fuerza en la armadura de tracción se hace necesario sobredimensionar dicha armadura con la consiguiente pérdida de rendimiento. El acero está trabajando a una tensión menor que la mitad de la máxima que podría desarrollar (152 Mpa de 347 Mpa). La cuantíageométricacolocadaen la secciónes del 27 0/00(un valor muy alto). Por otra parte observar que el material que llega a la rotura es el hormigón mientras que el acero se encuentra trabajando en la zona elástica. Ello significa que la rotura producida será la típica rotura frágil del hormigón, algo que el proyectista no debe permitir. b : ancho de la sección d : canto útil de la sección 'ed : resistencia de cálculo del hormigón. Quedará entonces: Md J = b.d2.'ed Nd V = b. d. 'ed Donde, J es llamado Momento reducido y v es el Normal reducido. Luego, a partir de las ecuaciones de equilibrio vistas para el D 2 anteriormente, quedará: O" 0"2 W.._ v=~.v+w2'íyd - íyd Se desprende como conclusión que en flexión no debería permitirse a la sección trabajar en dominio 4. La solución al problema está en redimensionar la sección (aumentando fundamentalmente el canto) o incorporar a la sección una armadura de compresión que ayude al hormigón a resistir los esfuerzos y se obligue a la sección a trabajar en dominio 3, en el cual se logrará el máximo aprovechamiento tanto del hormigón como del acero. Con: J = ~ 'V.(-.-l.~)+ w2.;~ (1-152) ~.f;" ~'íyd W = b.d"ícd Y w2= b.d.ícd En la práctica, dimensionar las secciones a partir de las ecuaciones de equilibrio como se ha indicado, se puede volver algo extenso y laborioso, por lo que se adoptan otras formas que resuelvan el problema de forma más expeditiva Ecuaciones Adimensionales en flexión (D 2, D 3 Y D 4) A partir de las ecuaciones de equilibrio, es posible llegar a una formulación adimensional que hace posible tabular los distintos estados (en los distintos dominios) de que se trate. Así, para adimensionalizar se divide el valor del momento de diseño obtenido por b. d2 "ed ' Y el valor del axial de diseño por b. d"ed; donde son: Si se particularizan para el D 3 Y para flexión simple, será: Nd =O~ v =O 0"1 ='yd V= l= ~= xld 152 =d2 d= rl d(grado de recubrimiento en la parte comprimida) y ahora suponiendo que W2 = O (no se necesita armadura de compresión) queda: O = O.6881.~ - W

13 p = ;.( ;) despejando ; de la primera ecuación y reemplazando en la segunda, Resolviendo el polinomioqueda: w =w. p=w).( wj p = w w/ = J p Estos valores w =f(p) se hallan recogidos en una tabla (Fig. 19.5). En función del valor de p, es posible conocer en qué dominio de deformación se está trabajando y razonar si interesa estar alll o no. También da la correspondencia con otro valor adimensional (w), cuantfa mecánica54, que es: A.fyd w = b.d.fed donde están expresadas en el numerador y denominador, las fuerzas de cálculo del acero y hormigón, respectivamente. TABLA UNVERSAL PARA FLEXÓN SMPLE O COMPUESTA P CJ Jyd O d' O.OSOO M =, 0'= D NOTACONES: d d N M, 0.156\ p= O b.d' -/.J v= 2 b.d.j = A..J", b.d.j.. CJ'=-.!:.b... b.d.j D O M N O d ]< t'o.26oo;,!: i /' 0.'323ti>',.::,;jtt:..::,:, 3 r b-t- B500S B400S ~~'.t:j Zona no recomendable "No confundir con la Cuantía Geométrica. Ver S Cuantias. La cuantla mecánica es un cociente de fuerzas (acerolhormigón) y se tiene en cuenta la resistencia de cada material. La cuantia geométrica es una relación de áreas de secciones. Fig (de [5])

14 Al valor del numerador de esta ecuación, se le llama Capacidad Mecánica de la armadura y es generalmente, el valor que se busca en la etapa de dimensionamiento, a fin de escoger la armadura. Es decir: T = V = A. fyd El valor de Capacidad, no es otra cosa que la fuerza que es necesario que la armadura colocada resista para verificar el equilibrio seccional55. Estos valores de Capacidad están tabulados en función del tipo de acero (Fig. 19.6) Y con él se halla la armadura (n. <J) necesaria56: Se tendría entonces: T =V = A.fyd = w.b.d.f"d Si se coloca armadura de tracción y de compresión, se distinguen los valores de Capacidad mecánica con dos subíndices, 1 y 2, respectivamente. Así: ~ = V = A,.fyd T2 = V2 = ~.u2 Donde se supone que la armadura de tracción cedencia y la de compresión no. llega a la fluencia o A partir de aquí, sólo resta encontrar la cantidad de armadura necesaria (n.<j) ) para el valor de Capacidad que se busca..._ '.' ,. '"1..._.... Diám. NUMERODE BARRAS <>[mm] n n _ Diám. NUMERODE BARRAS <>[mm] Fig.19.6 Volviendo a la tabla de Fig Como se mencionó, los distintos valores de momento reducido indicarán en qué dominio de deformación se encuentra la sección.para pasar del D 2 al D 3, el valor de J. debe ser mayor que En el limite entre el D 3 Y el D 4, se observa que existen distintos valores en función del tipo (resistencia) del acero. Así, los valores limites para ambos aceros serán (Fig. 19.7): v ALORES LÍMTES ACERO -'". f.,... "1... D4005 y B 400SD 400 0, O,4(j/) Bsaos SOO 0, ,424 Cakulados con r. = 1.15 f.en N/rnm' (MPa) Fig (de [5]) " Serefiere a la armadurade tracción (queexiste siempre) o a la armadurade compresión,que existirá en casode sernecesaria. 56Al adoptarun valor de Capacidadcomo parámetrode dimensionamiento,seestáincluyendo implfcitamente el valor de la tensión de agotamientodel acero de la armadura. Otra forma de proceder (habitual en otras Normas) es trabajar con valores de áreasde armadura (cm' ó mm') e incorporar al cálculo el valor de la tensión del acero cada vez, que seria: A =w.b.d.f", ", Tal como se ha explicado anteriormente, no interesa que una sección preponderantemente flexionada, esté trabajando en el D 4 (57),por lo que, en caso de caer en este dominio, se deben adoptar medidas convenientes para volver a un " Esto fundamentalmente por dos razones: 1) por el tipo de rotura frágil que genera (rotura por compresión del hormigón) y 2) por ser un dimensionamiento antieconómico, al no aprovechar completamente la armadura traccionada (trabaja en zona elástica). Este es un dimensionamiento muy poco usual, y desde luego, no deseable. 4-27

15 4.Ecuaciones de equilibrio. Cálculo de secciones. dominio de trabajo D 3 ó D 2. Para pasar al D 3, como ya fue comentado, se pueden utilizar dos procedimientos:. Colocar armadura de compresión, logrando así aumentar la fuerza que es posible resistir en compresión y obligar a una rotura o agotamiento en la zona de tracción (o al menos que la armadura supere su límite elástico) o,. Redimensionar la sección, aumentando fundamentalmente el canto de la misma a efectos de que haya más hormigón trabajando en compresión y (al igual que antes) forzar la rotura de la parte traccionada (otra vez, hacer que el acero supere su limite elástico). De las dos opciones, es más económica la segunda (es más barato el hormigón que el acero). Sin embargo, existen situaciones en las que no es posible redimensionar la sección y que se tiene su canto fijado 58. En estos casos se debe colocar armadura de compresión si se quiere estar en D 3. Todo lo anterior lleva a asumir que habrá que sobredimensionar las secciones (nunca se colocaría menos armadura que la teórica necesaria) pero esto, debe ser bien cuantificado, restringido Y controlado, como se estudiará más adelante Análisis del canto Mlnlmo y canto Recomendado (J.ld ::; J.lLM) De lo anteriormente visto, se desprende que existe un valor de canto de la sección para el que no es necesario colocar armadura de compresión. Este canto es tal, que el volumen de tensiones que se genera en el hormigón, o en otras palabras, la fuerza de compresión que se genera en el hormigón, es suficiente para equilibrar las fuerzas internas que se producen. Se estaría en D 3 ó D 2. De la tabla vista de valores limites (Fig. 19.7), se ve que existen valores a partir de los cuáles es necesario colocar armadura de compresión o redimensionar Secciones de análisis Estos valores son: Se puede entender que si se quiere hallar una distribución de armaduras en secciones que tienen un canto adoptado y constante en todo el miembro de que se trate, estos valores de armaduras no deberían ser los mismos en todas ellas, teniendo en cuenta que las solicitaciones son distintas en cada sección. Lo que parece lógico es empezar por dimensionar la sección que tenga mayores valores de solicitaciones (sección más desfavorable) y luego analizar las secciones restantes. Si se coloca la armadura correspondiente a la sección más desfavorable en todas las demás secciones, resulta obvio que se produciria un sobredimensionando de estas últimas. Pero reducir los valores de armaduras dispuestas en las secciones que lo requieran, choca con un problema práctico y tecnológico, que es la imposibilidad de colocar los valores de secciones de armaduras que se obtienen del cálculo. Se debe colocar lo que sea posible de acuerdo a las barras que son cortadas (o se pongan) en esas secciones. Dicho en otras palabras, se debe optimizar la colocación de la armadura y no sobredimensionar (con un criterio razonable) pero hay que tener presente que se debe dimensionar también con aspectos puramente prácticos y tecnológicos que permiten colocar barras de armadura sólo desde una serie estandarizada.. Para el B 500 S: J.l L~ 0.316;.;= Y w = Aplicando: Md J.l = b. d2. fed Si se hace en el límite J.lLlM= y despejando d,. Para el B 400 S: í1~ d = Vo:316.V~ dm1n(500)=1.7789~ J.lLl~ 0.332;.; = Y w = 0.46, que dará: b. Mdfed ssestoya fue comentado.estoseda en algunosdise~osde vigas de cantoy. en general,en lasvigasplanasde forjados

16 dm1n(400)=1.7355~ b.,ctj Md Donde los valores de dmln(500) Y dmln(400)' son los cantos minimos para los aceros B 500 S Y B 400 S, respectivamente. Se ve que no existe gran diferencia entre ambos valores y cómo, un mayor valor de tensión resistente lleva a tener que adoptar un canto minimo mayor (para cumplir el equilibrio interno de fuerzas). En general, es suficiente (y conservador) considerar un valor de canto minimo, para cualquier acero, de: dm1n =dm1n(500) fk =1.78V~ Como este es el valor limite, se considera siempre un canto mayor y se le llama Canto Recomendado o Canto Práctico. Para este canto se parte de un valor de q = x/d = 0.45, es decir, una profundidad de eje neutro de x = 0.45 d, como máximo. Esto garantizará un comportamiento dúctil de la sección 59. Observar en tabla (Fig. 19.5) que el valor máximo de q en D 3 llega a más de 0.60). Para este valor de ~, será entonces: q = 0.45; PREC = Y WREC = 0.310, y a partir de estos máximos se puede hallar el canto recomendado buscado como: d Jtt d Jtt d Jtt drec=k. -= ;;2. - b'f~ b'f~ b'hd Aceptándose, en la práctica, un canto recomendado minimo con K = 2 Y adoptando valores comprendidosentre 2.0 y Además, diversos autores sugieren un valor aceptable de Pd entre 0.10 Y 0.25 (valores en D 2 Y D 3). 59 Aumentar la Ductilidadde la sección significaaumentarsu capacidadde rotaciónen zona inelástica,antes de la rotura. Esta limitación de la profundidad de la fibra neutra (45 % d) coincide con el criterio del EC2 y aproximadamente con la AC-318 (nonna EEUU). 60 Estosvaloresson utilizadosparael predimensionadode la sección,pero hayque tener en cuentaqueal ajustarel cálculo,estos valorespuedenvariar,por lo que,sirvensolamenteen la etapa de prediseftoparaadoptarvaloresde seccionesde hormigón. Tener en cuenta que el canto de una sección intervendrá en la verificación de la sección resistente (ELU) y en los ELS y generalmente los valores mayores de canto se darán frente a verificaciones de flechas muy exigentes. Esta fórmula es válida tanto sea para Oexión simple como para flexión compuesta Análisis de canto inferior al Minimo (JJd > JJREC) Para el caso de que el canto adoptado no sea superior al recomendado, alguna de las dos alternativas con las que se cuenta para trabajar en D 3 debe ser aplicada. Si el canto no puede ser redimensionado (canto fijado), se debe colocar armadura de compresión para aumentar la fuerza resistente en la zona comprimida. Ante esta situación, las cuantias quedan:. Para el B 500 S Y B 400 S: w2 = JJd- JJREc 1- d2 / d JJd l-r/d W. = w2 + WREC = w Donde r es el recubrimiento de la armadura en la zona comprimida Estudio de Dlmensionamlento YVerificación De lo explicado anteriormente, se deduce que el Dimensionamiento o Dimensionado o Diseño (estos términos se emplean a veces indistintamente) de una secciónes, dado unos valores de solicitaciones, encontrar las dimensiones de la sección de hormigón (que en general se adoptan) y de las armaduras, que se calculan siguiendo las hipótesis para cumplir las ecuaciones de equilibrio interno que se vieron. Si se sigue la metodologia de aplicación de las ecuaciones adimensionales que se han visto, será: {~J-+{~}-+w-+ T -+ n.q) A partir de las solicitaciones (ELU) de la sección, entonces, se llegará a un valor de T (capacidad) que será buscado en tabla62, para definir la armadura necesaria (n. q) ) a colocar. En el caso de Verificación o Comprobación, el problema es inverso, es decir, se conocen las dimensiones de una sección y su armadura dispuesta y se " Generalmente, de fonna teórica se distinguen los recubrimientos en zona de fibras comprimidas (d,) Ytraccionadas (di), pero en la práctica es lógico adoptar el mismo valor (r). 62Recordar que también es posible trabajar con las secciones [cm' ó mm'], a partir de la Capacidad hallada. 4-31

17 quiere encontrar el valor de solicitación (última) que es capaz de resistir esta sección. Esquemáticamente: n.<>~ T ~ w~{,u} ~ {Mil} Luego se hace: _ A,'/yd _ 1;. áj - -, b.d'fcd b.d'fcd ájo= áj - áj2 ~'/yd T2 áj b.d./cd b.d'/cd En general se dice que este caso es propio de cálculos que se hacen sobre estructuras construidas a efectos de saber la capacidad resistente última de que se dispone. Sin embargo, como se verá a continuación, este estado de cálculo está íntimamente relacionado con el dimensionamiento, y ambos son correlativos y complementarios en cuanto se aborda un esquema mínimo de optimización seccional en el cálculo general (algo que desde luego, es necesario y deseable) Cálculo de Verificación o Comprobación El problema de Verificación es inverso al de Dimensionamiento y conociendo el plano de agotamiento y las características geométricas, tanto de dimensiones como de armaduras, y las propiedades mecánicas de los materiales, se pueden integrar las tensiones para obtener los axiles últimos N u y los momentos últimos Mu' Si se trabaja en flexión simple, se habrá de comprobar que el momento resistente último (Mu ), en el estado de agotamiento de la sección, sea mayor que el momento resistente de cálculo (Md). Esto se puede plantear en términos de momento resistente o de momentos reducidos, es decir: 00 Se pueden presentar 3 casos: A). Si ájos O; prescindiendo de la colaboración del hormigón, puede tomarse: donde era: 6' = 62= d2/d = rld,u = áj,.(1-62 ) Este caso se presenta excepcionalmente y representa un exceso de armadura comprimida. Se ha colocado mayor cantidad de armadura comprimida que traccionada, lo cual es ilógico, teniendo en cuenta que siempre existe colaboración del hormigón en compresión. B). Para 0< ájos 0.310; ájrec = este es el caso más frecuente. Se fija el máximo en Entrando en la tabla de Fig con Wo se obtiene J.o,Y luego:,u =,uo + áj2.(1-6j o también: Mu ~ Md,u ~,ud Para el caso en que q < , debe hacerse áj2= O, con lo que directamente se halla,u = J.o. siendo: Mu,u = b.d2 "ccj Md,ud=b.d2.,ccJ C). Para ájo> 0.310; se trata de una sección excesivamente armada. Se recomienda tomar:,u = áj2.(1-62) El proceso de cálculo es el siguiente. Se comienza por determinar las cuantías mecánicas de las armaduras (como siempre, con subíndices 1 y 2 se denotan traccionadas y comprimidas, respectivamente): correspondiente a una profundidad de fibra neutra de x = 0.45 d

18 4. Ecuacio"es de equilibrio. Cálculo de secciones Flexión Compuesta (Método de Ehlers) Cuando se quiera dimensionar una sección a flexión simple (Nd =O), el procedimiento de cálculo es el que se ha indicado anteriormente, y sólo será necesario encontrar la armadura desde un valor de Mdinicialy de cálculo. Ahora bien, si se tiene una solicitación de flexión compuesta63 (Mdy Nd distintos de cero), hay que tener en cuenta la fuerza axial aplicada en el equilibrio seccional y analizar cómo influye en la cantidad de armadura a colocar. Para solucionar este caso existen varios métodos pero el más conocido y usado tradicionalmente es el Método de Ehlers. Este método consiste, en esencia, en transformarun problemade flexióncompuestaen uno de flexión simple(quetiene una resolución más fácil). Así, se hace: e=- donde e, es la excentricidad referida al baricentro de la armadura de tracción y Md Y Nd, momento y normal de cálculo. Normalmente, el momento y el normal vienen referidos al baricentro de la sección de hormigón (eo) por lo que la excentricidad, en este caso, será: Md Nd Md eo = Nd La excentricidad respecto a la armadura de tracción 64, que es la que interesa, será entonces: Luego será: e = e + d - d2 0-2 Pd = " Nd.e '"'~ red 63Referido acompresióno tracción con grandesexcentricidades(e = M/N). Al menose> h /2. " Suponientod' = d, = d, (recubrimientos superior einferior. iguales). Notar que seusala letra d paradenominarel recubrimiento. A lo largo del texto seha utilizado indistintamented o r. También es importante hacer notar que es aconsejablehacerd, = d,. de caraasusimplificación práctica Vd = b.d Hallado el valor de J.1d, se entra en la tabla (Fig. 19.5) Ypueden darse dos casos: Para J.1d~ ::::>Noes necesario colocararmadurade compresión. y además: új1 =újd - Vd Nd.fed (65) ~ =A.fYd =(újd-vd).b.d.fed =új1.b.d.fcd Observar que es la expresión de flexión simple, ahora afectada por el normal reducido. En caso de que este valor resultase negativo (lo que indicaría que no se necesita armadura, es decir, no se descomprime la sección), debe colocarse la armadura mínima66.esto sucede cuando el hormigón es capaz de resistir sólo la solicitación dada, sin llegar al agotamiento (elementos fuertemente comprimidos), algo que no es propio en flexión.. Para J.1d> => En este caso es necesario colocar armadura de compresión,y las cuantías mecánicasnecesarias son: új2 = Pd új1=új vd Luego, las capacidades mecánicas resultarán: T2 =~.fyd = új2.b.d.fed ~ =A.fyd =új1.b.d.fed A partir de aquí, sólo restaría encontrar las armaduras necesarias de tabla ( n.el>) desde cada valor hallado de T. Para los casos de comprobación o verificación en flexión compuesta se hace como se indica: os El valor de N. de compresión es positivo y el de tracción negativo. 66 Cuantia geométrica de 3.3 ó 2.8 por mil (función del acero). para vigas; y 4 por mil. para columnas. 4-35

19 Se debe verificar que un momento Nu e, en estado último de agotamiento, sea mayor que Nd e, es decir,.j;::: J-d. Si se quiere conocer el valor del momento último resistido por la sección: Mu = Nu.e =.J' b.d.fed El procedimiento a seguir es el siguiente. Primeramente se halla: li.a = li.l + Vd -li.2 A partir de este valor hallado pueden presentarse 3 casos: 1. Si li.a:5o, prescindiendo de la colaboración del hormigón, puede tomarse:.j =(li.l+vd).(1-b'2) 2. Si 0< li.a:50.310, entrando en la tabla de Fig. 19.5, con el valor de li.a,se encuentra un momento reducido f.jo.el momento buscado será:.j = f.jo + li.2. (1- En el caso de que li.acorrespondaa q <0.1667, puedeconsiderarseli.2 = O, a favor de la seguridad. 3. Si li.a> 0.310, se entra en la tabla con el valor de 103. % / fyd (para fyd en kg/cm2 ) ó 102'li.a /fyd (para fyd en N/mm2). Con este valor se encuentra f.joy q. El momento buscado será: b'2).j ==f.jo + ~.(1- b'2) Esta es una sección con armadura excesiva y mal aprovechada Optimización seccional. Coeficientes de Sobrerresistencia y de Sobreseguridad A partir del dimensionamiento seccional se llega a encontrar un valor de T ó U [knj,capacidad mecánica de armadura y con ella, se adopta una armadura. Lo deseable es encontrar una armadura que represente exactamente el mismo valor 4-36 de capacidad necesaria. Ahora bien, la armadura adoptada, por razones obvias67 tendrá una capacidad mayor que la buscada68. Esta mayor capacidad adoptada dará, por supuesto, una sobrerresistencia que debe ser evaluada y cuantificada con precisión porque ya se vio el significado que tiene desde el punto de vista del agotamiento (además de la economía de material) estar en una sección subarmada o sobrearmada69. Para cuantificar este exceso, se puede usar un coeficiente de sobrerresistencia, que es: Donde es: p: Coeficiente de sobrerresistencia T' : Capacidad de la armadura colocada T: Capacidad teórica exacta o buscada T'-T.100 P= T No existe un valor establecido respecto a la limitación del exceso. En general, parece aceptable considerar como máximo un 10 a 15 %, aunque todo depende de si existe margen de aumento en compresión o no. Si se aumenta simultáneamente (y proporcionalmente) la capacidad resistente en la parte comprimida,el estadode agotamientono variará70. En caso contrario,es posible pasar a otro estado (dominio) de rotura, con la consiguiente incertidumbre que esto conlleva. El concepto de coeficiente o indice de sobreseguridad es distinto. Este coeficiente (17) se plantea en términos de la solicitación última de la sección resistente. Se puede poner: Mu-Md100 17= Md Donde los subíndices denotan última y de diseño o cálculo, respectivamente. Como se está trabajando en ELU, ya se han adoptado unos coeficientes parciales de seguridad de minoración de los materiales y de mayoración de las 67 Las annaduras comerciales tienenunaseriede diámetrosestandarizadosa losque hay que adaptarse... Generalmente se recurre a colocar annadura de distintos diámetros para no sobredimensionar demasiado, aunque esto también tiene una limitación práctica a tener en cuenta. 6. Recordar que en estos casos se habla de "sobrearmar" la annadura de tracción, la que en principio, debe llegar a la fluencia o cedencia. 70Aunque variará de forma notable el coeficiente o índice de sobreseguridad, que se verá a continuación y lógicamente, se afectará el diseño económico. [%J [%J 4-37 l

20 cargas. Estos coeficientes usados deben ser suficientes como para garantizar la rotura tal y como ha sido supuesta. No es necesario adoptar ningún otro coeficiente ni margen de seguridad adicional además de los estipulados, y adoptar otro, redundaráen un diseñoantieconómicoe inadecuado71. Lógicamente que siempre habrá un valor de 17> O, pero se trata de ajustar o acotar este valor al minimo posible (se podria considerar como máximo un 15 %). El proyectista debe ser capaz de fijar un % máximo y no sobrepasarlo, para todas las secciones de todos los elementos de toda la obra, pero especialmente para las secciones criticas o de máximos. Esto que parece muy complicado o extenso, es sumamente sencillo si se cuenta con algoritmos cerrados en programas muy simples de implementar72. El valor de solicitación resistente última (Mu)de una sección seguramente estará sobrevalorado, principalmente por el efecto del coeficiente de sobrerresistencia (en armadura de tracción) y por el efecto de la armadura que se coloca en la parte comprimida como armadura de montaje73que se considera que no trabaja, desde el punto de vista resistente, pero realmente deberia tenerse en cuenta, o por el coeficiente de sobrerresistencia de armadura necesaria en compresión. Claro que sobredimensionar sólo en compresión (y con ello garantizar la rotura o agotamiento en tracción) no es tan perjudicial como sobredimensionar en tracción, como ya se comentó antes. Cuando en un análisis no lineal de una estructura (a cargas sismicas, por ejemplo) se estudian los procesos de migración de rótulas (aparición de agotamientos seccionales) en las estructuras, se supone que los dimensionamientos no variarán el camino o ruta de colapso de la estructura 74y, en caso de hacer alguna sección sobrerresistente, se sabe que este proceso de rotulas encadenadas a modo de fusi.bles energéticos variará, y con ello, podría hacer impredecible el proceso, algo que el proyectista estructural no debe consentir. De todo lo comentado, se ve la necesidad de hacer un dimensionadocomprobaciónen cada paso de diseño seccionalpara asegurar un minimonivelde optlmización resistente de la sección. Son dos aspectos de una misma cosa, algo que habitualmente no se aborda asi. Claro que, el aspecto resistente (y su optimización) en el diseño de elementos, es uno de los más importantes pero no el único. Otros aspectos a tener en cuenta son el económico y el tecnológico (entendiendo como tal, la facilidad o simplicidad de fabricación, colocación o montaje de los elementos) Análisis real del canto útil Antes de proceder a realizar algunos ejemplos de cálculo es importante aclarar este punto. Habitualmente se define el canto útil como: Donde: d=h-, h = canto total, =,nom= recubrimientonominal,que sale de,mon = 'min+~, (donde el recubrimiento minimo es función del tipo de ambiente y el grado de recubrimiento del control de ejecución). Conceptualmente debe aceptarse que el recubrimiento nominal o recubrimiento de trabajo, es un espacio desde la cara externa de la armadura hasta el borde exterior de la sección más cercano. Esto seria lo que garantizaria una protección real de la armadura, lo que se persigue. La armadura que debe considerarse, además, es la más externa o expuesta y ésta es la armadura de los cercos o estribos y no la longitudinal (Fig. 19.8) hl d A partir del esquema de la Fig. 19.8, se puede ver que el valor del canto útil será: d=h-d'.. Donde es: 71Por esto es que se denomina "índice de sobreseguridad". Se considera (o se toma) más seguridad de la necesaria. En realidad se estará calculando una sección para resistir un estado de cargas diferente. 72Ver programa EH 98. 7J Según EHE (y la práctica) se deben colocar 2 <1>12 Yse sugiere más del 30 % de tracción. La Norma indica que para poder tener en cuenta esta annadura en el cálculo det>e haber una armadura de cortante con estribos a separación. s~ 15 F min(de la longitudinal). 74Se refiere a la fonoa (lugar y tiempo) en que se irán produciendo las rótulas plásticas. hasta hacer la estructura hipostática y llegar al colapso. Además de esto. se debe garantizar la capacidad de curvatura plástica de la sección - ductilidad seccional - en cada rótula. r_.. Fig.19.8 d' = 'nom+" +!"

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