GUI y la Robótica. Figura 1. Robot manipulador KUKA KR-16

Transcripción

1 RESUMEN GUI y la Robótica Miguel Durán 1, Jorge Gudiño 1, David Bolaños 1, Luís Avendaño 1 (1) Facultad de Ingeniería Electromecánica, Universidad de Colima, Colima (México) (mduran@ucol.mx) El objetivo de este trabajo es mostrar una interface gráfica de usuario (GUI Graphical User Interface por sus siglas en inglés) aplicado a la robótica. En este artículo se obtiene la cinemática directa e inversa de un robot manipulador industrial KR-16, empleando el método de Denavit- Hartenberg (D-H). Además se realizó la validación experimental y en simulación con la interfaz gráfica. INTRODUCCIÓN Una interfaz gráfica de usuario o simplemente interfaz gráfica es una ventana que contiene elementos con los cuales puede interactuar el usuario. Las interfaces gráficas son de gran utilidad en el aprendizaje (Moran y Moasterolo, 2009). Las aplicaciones de las interfaces gráficas en el área de ingeniería son diversas y van desde interfaces que realizan cálculos sencillos como una conversión de grados Celsius a grados Fahrenheit hasta aplicaciones más complejas como la que se presenta en este trabajo. Matlab GUIDE (Graphical User Interface Development Enviroment) es un entorno de programación gráfica y visual que ofrece Matlab para poder realizar interfaces gráficas de forma sencilla (MathWorks, 201). La interfaz gráfica desarrollada para un brazo manipulador de seis grados de libertad KUKA KR-16,mostrado en la Figura 1, resuelve el problema de la cinemática directa e inversa, es decir, calcula la posición y orientación del efector final a partir de los ángulos de sus articulaciones (cinemática directa), y calcula al mismo tiempo los ángulos de las articulaciones necesarios para llegar a la posición y orientación indicada (cinemática inversa). Figura 1. Robot manipulador KUKA KR-16 La cinemática directa describe de forma analítica el desplazamiento espacial del manipulador, en particular las relaciones entre variables espaciales de tipo de articulación y la posición y

2 orientación del efector final, es decir determina la posición y orientación de un punto colocado en el efector final del manipulador desde un punto de referencia ubicado en la base del mismo en términos de las coordenadas articulares del manipulador (Fu et al, 1990), (Spong, 1989), (Rojas et al, 200). A su vez, la cinemática inversa relaciona las coordenadas articulares en función de la coordenadas cartesianas. CÁLCULO DE LA CINEMÁTICA DIRECTA La cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin importar las causas que los producen. Mediante la cinemática directa es posible conocer la posición y orientación del efector final de un robot, para ello se conocen lo que son el espacio articular y los parámetros geométricos del robot. Para la solución de este problema de la cinemática se pueden aplicar diferentes métodos, en este caso para la obtención de la cinemática directa del robot KR16 se aplicó la metodología de D-H (Spong, 1989). Para localizar un cuerpo rígido en el espacio es necesario contar con una herramienta matemática que permita la localización espacial de sus puntos. En el espacio tridimensional el posicionamiento implica tres grados de libertad y por lo tanto será necesario emplear tres componentes. La forma más intuitiva y utilizada para especificar posición de un punto son las coordenadas cartesianas. En el caso de un robot, no es suficiente con especificar cuál debe ser la posición de su extremo, sino que en general, es también necesario indicar su orientación con respecto a un sistema de referencia. Las matrices de rotación son el método más extendido para la descripción de orientaciones debido principalmente a la comodidad que proporciona el uso del algebra matricial. La transformación homogénea es una herramienta matemática que involucra operaciones de rotación y traslación dentro de una matriz que estructura el modelo de cinemática directa. Se define como una matriz de dimensión 4x4 que representa la transformación de un vector expresado en coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro y cuya estructura se muestra a continuación: R x P x1 Rotación Traslación T f W Perspectiva Escalado 1x 1x1 (1) Se puede considerar que una matriz homogénea se compone por cuatro sub-matrices de distinto tamaño, de las cuales en robótica generalmente, sólo interesará conocer el valor de la matriz de rotación y la matriz de traslación. La matriz homogénea 0 T i especifica la localización del sistema de coordenadas i-ésimo con respecto al sistema de coordenadas de la base de un robot manipulador y es el producto en cadena de matrices de transformación de coordenadas sucesivas i-1 A i que se expresa como: donde: i i1 j1 i 1 2 i j j1 T A A... A A para i 1,2,..., n nx bx ax px ny by ay p y ni bi ai pi T nz bz az p z i (2)

3 [n i, b i, a i ] = Matriz de orientación del sistema de coordenadas i-ésimo establecido en el elemento i con respecto al sistema de coordenadas de la base. p i = Vector de posición que apunta desde el origen del sistema de coordenadas de la base hasta el origen del sistema de coordenadas i-ésimo. En general un robot de n grados de libertad está conformado de n eslabones unidos por n articulaciones, de forma que cada articulación-eslabón constituye un grado de libertad. A cada eslabón se le puede asignar un sistema de referencia solidario a él y, utilizando las transformaciones homogéneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones que componen el robot. La forma habitual que se suele utilizar para relacionar la posición y orientación entre dos eslabones consecutivos es la representación de D-H. Según la representación D-H, eligiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados a cada eslabón, será posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón: 1. Rotación alrededor del eje z i-1 un ángulo θ i 2. Traslación a lo largo de z i-1 una distancia d i. Traslación a lo largo de x i una distancia a i 4. Rotación alrededor del eje x i un ángulo α i En la representación D-H cada transformación homogénea i-1 A i se representa por el producto de 4 transformaciones básicas, de este modo se tiene que: i1 A T T T T () i z, d z, x, a x, Realizando el producto entre matrices: i1 cosi cosi seni seni seni ai cosi seni cosi cosi seni cosi ai sen i Ai 0 seni cosi di (4) Los cuatro parámetros de D-H (θ i, d i, a i, α i ) dependen únicamente de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y el siguiente. En concreto estos representan: θ i : Es el ángulo que forman los ejes x i-1 y x i medido en un plano perpendicular al eje z i-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias. d i : Es la distancia a lo largo del eje z i-1 desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)-ésimo hasta la intersección del eje z i-1 con el eje x i, Se trata de un parámetros variable en articulaciones prismáticas. a i : Es la distancia a lo largo del eje x i que va desde la intersección del eje z i-1 con el eje x i hasta el origen del sistema i-ésimo, en el caso de articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia más corta entre los ejes z i-1 y z i. α i : Es el ángulo de separación del eje z i-1 y el eje z i medido en un plano perpendicular al eje x i utilizando la regla de la mano derecha.

4 Cada sistema de coordenadas se determina y establece sobre la base de tres reglas: 1. El eje z i-1 yace a lo largo del eje de la articulación 2. El eje x i es normal al eje z i-1 y apunta hacia fuera de él. El eje y i completa el sistema de coordenadas dextrógiro según se requiera A continuación se describen los pasos del método D-H para obtener la cinemática directa: D1. Establecer el sistema de coordenadas de la base. Establecer un sistema de coordenadas orto-normal dextrógiro (x 0, y 0, z 0 ) en la base soporte con el eje z 0 estando a lo largo del eje de movimiento de la articulación 1. Los ejes x 0 e y 0 se pueden establecer convenientemente y son normales al eje z 0. D2. Inicializar y repetir. Para cada i = 1, 2,, n-1, realizar los pasos D a D6. D. Establecer los ejes de la articulación. Alinear el z i con el eje de movimiento (giratorio o deslizante) de la articulación i+1. Para robots que tengan configuraciones de brazo levógiras, los ejes z 1 y x 2 están apuntando hacia fuera del hombro y el tronco del brazo del robot. D4. Establecer el origen del sistema de coordenadas i-ésimo. Localizar el origen del sistema de coordenadas i-ésimo en la intersección de los ejes z i y z i-1 o en la intersección de las normales comunes entre los ejes z i y z i-1 y el eje z i. D5. Establecer el eje x i. Establecer x i = ±(z i-1 x z i )/ z i-1 x z i o a lo largo de la normal común entre los ejes z i-1 y z i cuando son paralelos. D6. Establecer el eje y i. Asignar y i = +(z i x x i )/ z i x x i para completar el sistema de coordenadas dextrógiro. (Extender si es necesario los ejes x i y z i a los pasos D9 a D12). D7. Establecer el sistema de coordenadas de la mano. Normalmente la articulación n-ésima es de tipo giratorio. Establecer z n a lo largo de la dirección z n-1 y apuntando hacia afuera del robot. Establecer x n tal que sea normal a ambos ejes z n-1 y z n. Asignar y n para completar el sistema dextrógiro. D8. Encontrar los parámetros de la articulación y del elemento. Para i = 1, 2,, n, realizar los pasos D9 a D12. D9. Encontrar d i. d i es la distancia del origen del sistema de coordenadas (i-1)-ésimo a la intersección del ejes z i-1 y el eje x i a lo largo del eje z i-1. Es la variable de la articulación si i es prismática. D10. Encontrar a i. a i es la distancia de la intersección del ejes z i-1 y el eje x i al origen de coordenadas i-ésimo a lo largo de x i. D11. Encontrar θ i. θ i es el ángulo de la rotación desde el eje x i-1 hasta el eje x i respecto al eje z i-1. Es la variable de la articulación si i es giratoria. D12. Encontrar α i. α i es el ángulo de la rotación desde el eje z i-1 hasta el eje z i respecto al eje x i. A continuación se hace uso de las matrices de transformación homogénea, así como el algoritmo de D-H para la obtención del modelo cinemático directo de un brazo manipulador KUKA KR-16, mostrado en la figura 1. En la figura 2 siguiendo el algoritmo de D-H se determinan los sistemas de referencia enlazadas a cada articulación en base a los ejes de giro para cada eslabón.

5 Figura 2. Sistemas de coordenadas enlazados a cada articulación. Las dimensiones del brazo robot manipulador KUKA KR-16 se muestran en la figura, y posteriormente se determinan los parámetros D-H de la tabla 1. Figura. Dimensiones del brazo manipulador industrial. Tabla 1. Parámetros D-H d a α mm 260mm mm mm mm mm 0 0 A partir de esto se obtienen las matrices de transformación homogéneas: cos2 sen2 0 a2 cos 2 cos 0 sen a cos 0 sen1 0 cos1 a1 sen A1 A2 sen2 cos2 0 a2 sen 2 A sen 0 cos a sen d 1 cos 0 sen a cos (5 ) cos4 0 sen4 0 cos5 0 sen5 0 cos6 sen A4 sen4 0 cos4 0 A5 sen5 0 cos5 0 A6 sen6 cos d d

6 La transformación final del sistema simplemente se obtiene efectuando el producto de las matrices anteriores: T A A A A A A (6) CINEMÁTICA INVERSA La cinemática inversa es un problema no lineal que relaciona las coordenadas articulares en función de la coordenadas cartesianas y por lo tanto representa mayor complejidad que la cinemática directa debido a que pueden existir varias soluciones o no haber solución analítica. A la hora de resolver el problema cinemático inverso es mucho más adecuado encontrar una solución cerrada. Esto es, encontrar una relación matemática explicita de la forma: q f ( x, y, z,,, ) k k k 1... n grados de libertad (7) La mayor parte de los robots poseen cinemáticas relativamente simples que facilitan en cierta medida la resolución de su problema cinemático inverso. Por ejemplo, si se consideran sólo los tres primeros grados de libertad de muchos robots, estos tienen una estructura planar, esto es, los tres primeros elementos quedan contenidos en un plano. Asimismo, en muchos robots se da la circunstancia de que los ejes de giro de los últimos tres grados de libertad, dedicados fundamentalmente a orientar el extremo del robot, se cortan en un mismo punto. Los métodos geométricos permiten tener normalmente los valores de las primeras variables articulares, que son las que consiguen posicionar el robot. Para ello utilizan relaciones trigonometrías y geométricas sobre los elementos del robot. Utilizando el método de desacoplo cinemático el cual se fundamenta en la división en dos del problema inicial: 1. Posicionar el punto de muñeca (q 1, q 2, q ). 2. La orientación del eje z del último sistema de coordenadas, mediante (q 4, q 5, q 6 ). Previamente a estos dos cálculos se ha de saber en qué posición y orientación se desea llegar, la cual viene dada por el modelo cinemático directo presentado en la sección anterior. La matriz de transformación de las tres primeras articulaciones (q 1, q 2, q ) es:

7 nx bx ax px ny by ay p y T A A A nz bz az pz C1C 2C C1S 2S S1 C1C 2S C1S 2C a1c 1 a2c1c 2 ac 1S2S ac 1C 2C 0 S1C 2C S1S 2S C1 S1C 2S S1S 2C a2s1 a2s1c 2 as1s2s as1c 2C T C 2S S2C 0 S2S C 2C d1 a2s2 ac 2S as2c donde C i = cos i y S i = sen i (8) El ángulo 1 se puede determinar a partir del elemento (1,2) de la matriz 0 T : sen b 1 1 sen x 1 b x (9) Por tanto el ángulo de la primera articulación 1 se puede obtener al aplicar el seno inverso del elemento (1,2) b x de la matriz 0 T. Para obtener los ángulos de la segunda 2 y tercera articulación, se utilizan los elementos (,1) n z y (,4) p z de la misma matriz, y mediante manipulaciones algebraicas e identidades trigonométricas se obtiene: 1 nza pz d1 2 sen a2 1 sen n z 2 (10) (11) La matriz de transformación de las articulaciones q, q 4 y q 5 es: nx bx ax px ny by ay p y T A A A nz bz az pz C 4C5C 6 S4S6 S4C 6 C 4C5S 6 C 4S5 d6c 4S5 C 4S6 S4C 5C 6 C 4C 6 S4C 5C 6 S4S5 d6s4s 5 T 6 S5C 6 S5S6 C5 d4 d6c (12) Del elemento (,) a z de la matriz anterior se puede obtener la expresión para calcular el ángulo de la quinta articulación: 5 cos z 1 a (1) Una vez conociendo 5, y haciendo uso del elemento (1,) a x de la matriz T 6, se obtiene:

8 a 1 x 4 cos sen 5 (14) Finalmente el ángulo de la última articulación 6 se obtiene mediante el elemento (,1) n z de la matriz T 6, INTERFAZ GRÁFICA cos 6 1 n z sen5 (15) Haciendo uso de las ecuaciones (5) y (6) obtenidas para la cinemática directa y las ecuaciones (9), (10), (11), (1), (14) y (15) para la cinemática inversa, se desarrolló la interfaz gráfica (GUI por sus siglas en inglés Graphical User Interface), mostrada en la figura 4, usando el ambiente de desarrollo GUIDE (Graphical User Interface Development Environment) de Matlab con el propósito de que los estudiantes de robótica comprendan el significado del problema de la cinemática directa e inversa. Figura 4. Interfaz gráfica desarrollada. La interfaz gráfica desarrollada funciona de la siguiente manera: En la parte superior izquierda existe un panel llamado Grados de movimiento, aquí el usuario mediante unos cuadros de texto introduce los datos correspondientes a los ángulos de las articulaciones del robot, y posteriormente se debe dar clic en el botón Calcular. En el panel Resultados que se encuentra a la izquierda el programa muestra las coordenadas cartesianas (x, y, z) a las que se movería el robot con los ángulos introducidos. En la parte inferior izquierda se muestra la matriz de transformación T, donde de acuerdo a la ec. (1) el usuario puede identificar las submatrices de: rotación, traslación, perspectiva y escalado. En la parte central se muestra una gráfica tridimensional de la posición que los eslabones del robot tomarían con los ángulos introducidos. Esto es de gran utilidad ya que da una idea mucho más clara al usuario de lo que pasa con el manipulador que la que tendría si solamente obtuviera los resultados numéricos del cálculo de la cinemática.

9 La cinemática inversa se calcula a partir de la matriz de transformación T, y se muestra arriba a la izquierda justo a un lado de los ángulos introducidos con el objetivo de comparar los resultados. La figura que se muestra en la parte de abajo solamente es para mostrar al usuario la asignación de los ejes de coordenadas en cada eslabón. Se realizaron validaciones experimentales con el robot industrial KUKA KR-16 en el laboratorio de la Facultad, utilizando la propia unidad de control del robot con una computadora con Windows xp embedded, un panel de control KCP. Por ejemplo para la posición mostrada en la fig. 1, los ángulos de las articulaciones son los mostrados en la tabla 2. Tabla 2. Ángulos de las articulaciones Articulaciones Valor El valor de la posición del efector final del robot manipulador obtenido mediante la interfaz gráfica es mostrado en la siguiente tabla. Tabla. Coordenadas del efector final Coordenada Valor x 1088mm y 0mm z 120mm Además la posición del robot en la fig. 1 es representada adecuadamente como se puede observar en la fig. 4. Los resultados obtenidos experimentalmente para esta misma posición son similares a los obtenidos mediante la interfaz gráfica. CONCLUSIONES Las interfaces gráficas nos permiten crear un ambiente donde el usuario interactúe con el programa y obtenga resultados tanto numéricos como gráficos que además de ayudar a realizar cálculos repetitivos facilitan la comprensión de algunos temas. Tal es el caso de la cinemática directa e inversa de un robot manipulador donde el usuario puede variar repetitivamente los ángulos de las articulaciones y observar gráficamente que pasaría con el robot y además obtener resultados numéricos. REFERENCIAS Moran, D.D. y Monasterolo, R.R. Enseñanza aprendizaje en robótica, construcción de simuladores como actividades de comprensión. Formación Universitaria, Vol 2(4), 1-6. (2009)

10 MathWorks, MATLAB Creating Graphical User Interfaces, (201). K. S. Fu, R.C. Gonzalez, C. S. G. Lee, Robotica control, detección, visión e inteligencia, Mc. Graw Hill, (1990). Mark. W. Spong, Robot Dynamics and control, Ed. Jhon Wiley & sons, Rojas, J., et. al. Diseño de un Sistema robótico cartesiano para aplicaciones industriales. Revista Facultad de Ingeniería UTA (Chile). Vol II, no.2, pp (200)