Ángulos I. Introducción: Notación: AOB, BOA

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Luis Figueroa Lagos
hace 6 años
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1 Ángulos I 9 uál es el menor ángulo que forman la v. Tacna con la v. olmena y cuál es el menor ángulo que forman la v. Garcilazo de la Vega con la avenida Tacna? 110 Introducción: uando manipulamos una tijera o usamos un compás de repente sin darnos cuenta nos encontramos con la idea de un ángulo geométrico. Notación: Ángulo, Ô, Ô, Ô En este capítulo nos dedicaremos a estudiar el ángulo geométrico, su clasificación y resolveremos problemas sencillos sobre medición, esto hará que entendamos mejor los capítulos posteriores como triángulos. bserve las figuras de abajo: Medida del ángulo = m - isectriz de un ángulo: Es el rayo cuyo origen es el vértice de un ángulo y divide a dicho ángulo en medidas iguales. M El compás y la tijera, nos dan la idea de ángulos Definición: Un ángulo es la reunión de dos rayos mediante su origen. Su medida está dada por la abertura entre sus lados y se epresa en grados seagesimales. m M = m M lasificación: I. De acuerdo a su medida: gudo: 0 < < 90 Elementos: Vértice : ados : y onveo: Recto: m = 90 btuso: 90 < 180 Medida : GEMETRÌ 3 Ñ

2 lano: 180 III. Por sus relaciones gráficas - s onsecutivos o adyacentes No conveo: Q R S 180 < < 360 P T II. Por la suma de dos ángulos - s omplementarios: Son aquellos dos ángulos que suman = 90 - s Suplementarios: Son aquellos dos ángulos que suman s puestos por el vértice P Q - s dyacentes y suplementarios "Par lineal" = 180 bservación: Problemas resueltos Sea: la medida de un ángulo. Entonces: Ejemplos: omplemento de = (90 - ) Suplemento de = (180 - ) 1. Hallar el complemento de 36.. Hallar el suplemento de = = Hallar el complemento del suplemento de ( ) = 10 4 Hallar el suplemento del complemento de Indique el triple de la mitad del complemento de 40. Del enunciado planteamos: a suma del complemento y el suplemento de un ángulo es igual a 140. Hallar la medida del ángulo. Sea "" la medida del ángulo. Del dato: + S = 140 (90 - ) + (180 - ) = = 65 = ( ) = 130

3 3. alcular "", si M es bisectriz del ángulo. Graficando según los datos: M M M omo M es bisectriz del M = M = 4 1. alcular "" m - m = 40 Reemplazando ( + ) - ( - ) = 40 = 40 = 0 Problemas para la clase = 180 = 0 4. En la figura, calcular "". 68 D 3 a) 3 b) c) 8 d) 0 e) 18. alcular " ", siendo: m PR = 18. P Q Hallamos primero " " + 3 = 90 5 = 90 = 18 Por s opuestos por el vértice: = = (18 ) = a) 44 b) 56 c) 46 d) 48 e) alcular " " R 5. En la figura, hallar " m M"; Si: m - m = 40, además M es bisectriz del ángulo. M a) 50 b) 60 c) 45 d) 40 e) 93

4 4. Si: M es bisectriz del, m = 48. Hallar: m M 10. y son bisec trices de y D respectivamente. Si: m D = 60. Hallar: m. 0 M a) 34 b) 4 c) 44 d) 38 e) alcular " " a) 0 b) 5 c) 15 d) e) Hallar el suplemento del complemento de 80. a) 160 b) 150 c) 170 d) 135 e) 75 D 3 1.Hallar el complemento del suplemento de 150. a) 50 b) 60 c) 30 d) 48 e) 75 a) 4 b) 34 c) 30 d) 3 e) 9 6. Hallar el suplemento de 16. a) 44 b) 54 c) 64 d) 58 e) Hallar el complemento de 49. a) 51 b) 41 c) 61 d) 57 e) Si: m = 100 y m = 40. Hallar : m MN N 13.alcular " " º - 0 º 4 º - º º + º a) 15 b) 5 c) 0 d) 30 e) alcular "" º 3º a) 40 b) 45 c) 36 M d) 48 e) Hallar: m ME a) 60 b) 80 c) 70 d) 50 e) 75 M 9. alcular " " º º D 38 E a) 0 b) 18 c) 36 a) 64 b) 74 c) 58 d) 48 e) 7 d) 54 e) 7

5 utoevaluación * ompruebe sus conocimientos adquiridos, resuelva: 1. Dos ángulos "" e "y" son complementarios, si "" es los tres medios de "y". uánto mide cada ángulo? a) 36 y 54 b) 30 y 60 c) 45 y 45 d) 0 y 70 e) 10 y 80. a diferencia de dos ángulos suplementarios es 36. Hallar la medida de dichos ángulos. a) 108 y 7 b) 110 y 70 c) 100 y 80 d) 10 y 60 e) 130 y Si: m = 4(m ); hallar m:. 4. alcular "", si: m D = a) 8 b) 30 c) 34 d) 38 e) Según el gráfico, el ángulo es agudo y D es un ángulo obtuso. Si " " es máimo y entero, calcular el máimo valor entero de "". D D 36 a) 5 b) 0 c) 15 d) 10 e) 1 a) 140 b) 145 c) 15 d) 135 e) 10 laves 1. a. a 3. e 4. c 5. d

6 Ángulos II Vía Epresa 7 uál es el ángulo de inclinación entre el Estadio Nacional con la venida Petit Thouars? v. Petit Thouars Introducción: Rectas paralelas: uando viajamos de ima hacia Miraflores muchos hacemos uso de los colectivos que van por la requipa. Don Jorgito tiene dos hijos: uchito y arlitos, el primero estudia en el olegio "Trilce Roma" ubicado a la altura de la cuadra 9 de la v. requipa y el segundo en el colegio "Trilce San Isidro" en la cuadra 35 de dicha avenida, mientras Don Jorgito labora en el colegio "Trilce Miraflores" en un alto cargo ejecutivo. En su diario recorrido uchito s e b a j a e n l a c a l l e E m i l i o F e r n án d e z q u e e s PERPENDIUR a la v. requipa y para llegar a su destino debe cruzar la v. Petit Thouars que es una avenida PRE a la v. requipa, mientras Don Jorgito y arlitos para llegar a sus respectivos centros de estudio y trabajo deben cruzar la congestionada v. Javier Prado que es una TRNSVERS a la v. requipa. En este breve relato hemos usado términos que usaremos comúnmente en este capítulo donde hablaremos de rectas paralelas, rectas secantes y perpendiculares así como de los ángulos que se originan al cortar dos rectas paralelas con una tercera recta llamada secante o transversal. alle Emilio Fernández v. Petit Thouars v. requipa En el plano dos rectas son paralelas si no tienen puntos comunes. Rectas secantes: En el plano dos rectas son secantes si tienen un punto de intersección. Rectas perpendiculares: Punto de intersección Son rectas secantes que forman un ángulo recto (90 ). 90 Se observa que las avenidas requipa y Petit Thouars son paralelas y ambas son intersectadas por la calle perpendicular Emilio Fernández y la v. transversal Javier Prado. 3 Ñ

7 Ángulos formados por dos rectas paralelas y una. secante 1. Ángulos correspondientes a Siendo: // b a y b son alternos internos pero a b 3.. Ángulos alternos internos Siendo: // " " y " " son conjugados internos pero 180 Propiedad Siendo: 3. Ángulos conjugados internos a b y Siendo: // c z 180 se cumple: + y + z = a + b + c aso particular: bservación: Siendo: Si las rectas y no son paralelas la nomenclatura de los ángulos se mantiene pero las propiedades no se cumplen. 1. Ejemplo: = + 1 " " y " " son correspondientes pero

Problemas resueltos 1. Si: ; calcular "" Usando ángulos correspondientes colocamos los ángulos de tal manera que los tres estén alineados: 40 135 1 60 + + 60 = 180 3 = 10 = 40 4.

8 Problemas resueltos 1. Si: ; calcular "" Usando ángulos correspondientes colocamos los ángulos de tal manera que los tres estén alineados: = = 10 = Si:, calcular = = Si: ; calcular "" Trazamos una paralela 3 a y criterio de conjugados internos. para utilizar el = 180 = 60 3 Por la propiedad: = = = 5. Si: ; calcular "" Si: ; calcular "" Tra zamo s 3 p ara lel a a y conjugados internos 3. y ap li cam os ( + 30 ) = = 180 = 50 3

9 Problemas para la clase 6. Si: a b, calcular "". 1. alcular "", si:. º a 1 º 56 º a) 14 b) 114 c) 56 d) 10 e) 118. Si: a b, calcular " ". 100 º 10 º a) 10 b) 140 c) 150 d) 130 e) Si:, calcular "". 6 b º a 110 º b 48 8 a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 3 a) 0 b) 5 c) 30 d) 35 e) Si: a b, calcular "". 3. Si:, calcular "". 3 º 16 º a) 0 b) 18 c) 4 d) 5 e) Si: a b, hallar: m. 44 º 6º a) 60 b) 80 c) 70 d) 50 e) alcular "", si: m n. a b 44 º m a b 130 º º 110 º a) 10 b) 0 c) 30 d) 15 e) 5 9. alcular "", si:. º 60 º 160 º a) 40 b) 50 c) 60 d) 45 e) Si: m n, calcular "". 14 º º n º 138º 1 m n a) 46 b) 56 c) 44 d) 54 e) 38 a) 98 b) 108 c) 118 d) 90 e) 11

10 11.Si: m n, calcular "". 14.alcular "", si: m // n. m n 70 º 140 m a) 140 b) 150 c) 160 d) 130 e) 135 n 1.alcular "", si: m n. a) 55 º b) 65 º c) 70 º d) 45 e) 75 4 º + 0º m 15.Si:, calcular "". 5 º º a) 70 b) 60 c) 80 d) 65 e) 85 n 13.alcular "", si: a b c. a 68º b º c a) 40 b) 45 c) 60 d) 50 e) 65 a) 136 b) 146 c) 15 d) 140 e) 130

11 utoevaluación 1. alcular el valor de " ", si:. 4. Si: ; calcular "" a) 70 b) 45 c) 35 d) 60 e) 30. Si: ; calcular "". a) 60 b) 50 c) 45 d) 40 e) Si: ; calcular "" a) 65 b) 45 c) 70 d) 60 e) 80 a) 85 b) 75 c) 70 d) 80 e) Si: y a + b = 160, calcular "". a º b º a) 50 b) 55 c) 45 d) 60 e) 61 laves 1. c. e 3. b 4. a 5. d

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