EXERCICIS PROPOSATS. Observa la figura i digues quin element geomètric determinen la recta i el pla.

Transcripción

1 13 COSSOS GEOMÈTRICS EXERCICIS PROPOSTS 13.1 Observa la figura i digues quin element geomètric determinen la recta i el pla. r α La recta r i el pla determinen un punt mb els quatre punts que delimiten una cara d un cub, quantes rectes es poden determinar? Es poden determinar sis rectes: les quatre que contenen les arestes i les dos diagonals Dibuixa el cub i assenyala-hi totes les rectes determinades per arestes paral leles al pla de la base. r 4 r 3 r 2 r Observa el teu llibre de text, que té forma d ortoedre, i digues quants parells de plans paral lels determinen les seues cares. Les seues cares determinen tres parells de plans paral lels Calcula la mesura de l angle diedre p i classifica l. 120 o La mesura de l angle és de p partir de p i p , calcula: a) p p b) p p c) El complementari de p d) El suplementari de p p a) p p b) p p c) 90 p d) 180 (p p) = Classifica tots els angles de l exercici anterior. a) p p és un angle obtús. b) p p és un angle agut. c) El complementari de p és un angle agut. d) El suplementari de p p és un angle agut. 252

2 13.8 Una taula circular està subjecta per una sola pota situada al seu centre. Quina posició ha de tenir la pota respecte al tauler perquè aquest quede horitzontal? La pota ha de ser perpendicular al tauler Dibuixa dues rectes perpendiculars a un pla. Quina és la posició de les dues? r 1 r 2 P Les dues rectes són paral leles entre si Quina relació tenen la línia que forma la base de la porta oberta i la recta sobre la qual gira? Les dues rectes són perpendiculars Classifica en còncau o convex: a) Convex b) Còncau Comprova la relació d Euler. c) a) c 5; v 5; a 8 b) c 6; v 8; a 12 c) c 5; v 6; a 9 c v c v c v a a a Indica quin tipus de prisma és una caixa de sabates. Una caixa de sabates és un ortoedre Dibuixa un prisma pentagonal còncau És cap paral lelepípede un prisma regular? Un ortoedre és un prisma regular Comprova en els prismes pentagonal i hexagonal que c v a 2. Prisma pentagonal: Prisma hexagonal: c 7; v 10; a 15 c 8; v 12; a 18 c v a c v a En efecte, en els dos casos es compleix la relació d Euler Quina piràmide té totes les cares iguals? Una piràmide triangular regular té totes les cares iguals. 253

3 13.18 Una piràmide està formada per 7 polígons. a) Com és la seua base? b) Quin tipus de piràmide és? a) La seua base és un hexàgon. b) Es tracta d una piràmide hexagonal Quin tipus de piràmide resulta de cada desenvolupament? a) Piràmide triangular convexa i recta b) Piràmide triangular convexa i obliqua Explica per què no són regulars aquests poliedres. No són regulars perquè les seues cares no són polígons regulars. En l apartat a) les cares són rectangles, que no són polígons regulars. En l apartat b) les cares són triangles isòsceles, que no tenen tots els seus costats iguals Completa la taula següent. Poliedre Cub Dodecaedre Icosaedre Polígon de les cares Nombre de cares que concorren en un vèrtex Poliedre Polígon Nombre de cares que de les cares concorren en un vèrtex Cub Quadrat 3 Dodecaedre Pentàgon regular 3 Icosaedre Triangle equilàter Explica el procediment pel qual s han obtingut els poliedres següents. c) a) Deformació d una piràmide hexagonal b) Truncament d un cub c) Intersecció d un cub i d un octaedre Si es talla una piràmide pentagonal amb un pla paral lel a la base, quin poliedre s obté? S obté un tronc de piràmide Dibuixa el poliedre que s obté en unir una piràmide quadrangular a cadascuna de les cares d un cub. 254

4 13.25 Si es fa girar el rectangle per un dels seus costats grans, D, quina figura s obté? C C S obté un cilindre. D D Fes el desenvolupament pla dels cilindres següents i dona les dimensions. 8 cm 6 cm 7 cm 2 cm a) r = 2 cm b) 8 cm r = 3 cm r = 2 cm 7 cm Indica quins dels desenvolupaments següents corresponen a cons. Només el desenvolupament de l apartat b correspon a un con En un con de 3 centímetres de radi i 4 centímetres d altura, quant mesura la generatriu? 4 cm g 4 cm g Pel teorema de Pitàgores: g g 2 25 g 5 La generatriu mesura 5 cm. 3 cm 3 cm S ha dibuixat un sector circular de 20 centímetres de radi i 29,3 d arc, i una circumferència de 5 centímetres de radi. És possible construir un con amb aquests? No podem construir un con perquè la longitud de l arc ha de coincidir amb la de la circumferència. La longitud d una circumferència de 20 cm de radi és: 2 r 2 3, ,4 cm, i no coincideix amb la longitud d arc que dóna el problema. L c El gir d un cercle al voltant d una corda, dóna lloc a una esfera? No, llevat que la corda siga un diàmetre En tallar una esfera per un pla, quina figura plana es forma? Una circumferència. 255

5 13.32 Es talla una esfera amb radi de 9 centímetres per un pla que passa pel centre. Quant mesura la circumferència que es determina en la superfície esfèrica? La circumferència té 9 cm de radi. La seua longitud és: L c 2 r 2 3, ,52 cm PROLEMES PROPOSTS En quantes parts queda dividida el full si totes les rectes que tracem es tallen en el mateix punt? En dibuixar en un full n rectes que es tallen en un punt que no forma part del contorn del full, aquest queda dividit en 2n parts En quantes parts queda dividit el full si les rectes que tracem no es tallen en la superfície del full? Quan dibuixem en un full n rectes que no es tallen en la superfície del full, aquest queda dividit en n 1 parts. CÀLCUL MENTL La mesura de dos angles diedres és p 93 i p Calcula: a) p p b) p p a) p p b) p p Són complementaris els angles diedres que mesuren i 16 40? Sí, són complementaris, perquè Una piràmide té 4 vèrtexs i 6 arestes. a) Calcula el nombre de cares. b) De quina piràmide es tracta? a) Usem la relació d Euler: c v a 2 c 4 8 c 4 Té 4 cares. b) Piràmide triangular. 256

6 13.38 Completa la taula següent. Piràmide triangular Cares 4 Vèrtexs 4 restes 6 c v a 2 Prisma octogonal Ortoedre Piràmide triangular Prisma octogonal Ortoedre Cares Vèrtexs restes c v a Indica a quin poliedre regular corresponen els desenvolupaments plans següents. a) Cub b) Octaedre Un cilindre s ha construït fent girar pel costat D el rectangle següent. Indica la mesura del radi de la base del cilindre i de la generatriu. 5 cm C 3 cm El radi mesura 3 cm, i la generatriu, 5 cm. D Es fa girar el triangle rectangle de la figura al voltant del costat C. Quant mesuren el radi i l altura del con que engendra? El radi del con es correspon amb el costat. Mesura, per tant, 8 cm. L altura del con es correspon amb el costat C. Usem el teorema de Pitàgores: 8 cm 10 cm C C 2 2 C C 2 C C 6 L altura del con mesura 6 cm. 257

7 EXERCICIS PER ENTRENR-SE Plans, rectes i punts en l espai Observa els plans següents. γ β α a) Quin element determinen de dos en dos? b) I entre els tres? a) Una recta b) Un punt Quatre punts,, C i D que no estan en el mateix pla, quants plans determinen? Determinen 4 plans: C, D, CD i CD Calcula el nombre de plans que determinen tres rectes que es tallen en un mateix punt en els casos següents. r t s t r s a) Un pla b) Tres plans Posicions de rectes i plans. Recta i pla perpendiculars Dibuixa en un pla: a) Dues rectes que es tallen. b) Dues rectes paral leles. c) Dues rectes que s encreuen. a) r 2 b) r 1 r 2 c) Dues rectes que s encreuen no es troben contingudes en el mateix pla. r Quina posició tenen dos plans que són perpendiculars a una mateixa recta? Els dos plans són paral lels entre si Dibuixa dos plans perpendiculars i una recta perpendicular a cadascun. Quina és la posició de les dues rectes? Les dues rectes s encreuen o són secants. En aquest últim cas són perpendiculars. r 1 r 2 258

8 13.48 Dues rectes paral leles a un mateix pla, són paral leles entre si? Poden tallar-se? Poden encreuar-se? Raona les respostes amb l ajuda del poliedre següent. Pot donar-se qualsevol dels casos, tal com indica el dibuix: les rectes r i s són paral leles, les rectes s i u es tallen i les rectes s i t s encreuen. u s r t ngles diedres mb dos semiplans que es tallen perpendicularment, quants angles diedres es formen? Quant mesura cadascun? Es formen quatre angles diedres. Cadascun mesura Calcula el complementari i el suplementari dels angles diedres següents. a) 65 b) 32 c) 40 d) 59 a) Complementari: ; suplementari: b) Complementari: ; suplementari: c) Complementari: ; suplementari: d) Complementari: ; suplementari: Calcula p, p i Cp en la figura següent. C 75 o p , p 75 i Cp p 105 Poliedres Quines de les figures següents són poliedres? Indica si és el cas, si són regulars o no. a) Poliedre no regular b) Poliedre regular 259

9 13.53 Un poliedre regular té 12 arestes i 6 vèrtexs. Calcula n el nombre de cares i digues quin poliedre és. Usem la relació d Euler: c v a 2 c c Té 8 cares. Es tracta d un octaedre Quin poliedre regular té el mateix nombre de cares que de vèrtexs? El tetraedre: té 4 cares i 4 vèrtexs Pot ser la figura el desenvolupament pla d un cub? No Observa la figura següent. a) Com està formada? b) Estudia si es compleix la relació d Euler. a) Es tracta d un poliedre format per composició, unint un cub i un tronc de piràmide. b) c v a 2. No es compleix la relació d Euler Calcula la suma dels angles que concorren en un vèrtex del dodecaedre. Els angles interiors d un pentàgon regular mesuren 72. En un vèrtex d un dodecaedre concorren 3 d aquests angles, per tant La suma dels angles que concorren en un vèrtex del dodecaedre és 216. Prismes. Paral lelepípedes. Piràmides Digues de quin tipus són els prismes i les piràmides següents. a) Piràmide còncava pentagonal i recta b) Piràmide convexa rectangular i recta Un prisma té 12 arestes i 8 vèrtexs. a) Calcula n el nombre de cares. b) És possible saber quina prisma és? c) Si totes les seues cares són rombes, quin tipus de prisma és? Com s anomena? a) c v a 2 c c Té 6 cares. b) No, només podem saber que la base és un quadrilàter. c) És un paral lelepípede anomenat romboedre. 260

10 13.60 Quants vèrtexs i quantes cares tenen les piràmides quadrangular, pentagonal i hexagonal? Compleixen la relació d Euler? Vèrtexs Cares restes c v a Piràmide quadrangular Piràmide pentagonal Piràmide hexagonal Totes compleixen la relació d Euler Es pot obtenir un poliedre regular unint dues piràmides quadrangulars per les seues bases? Sí: podem obtenir l octaedre unint dues piràmides quadrades per la base Calcula la suma dels angles de les cares que concorren en els vèrtexs indicats. a) p b) p Cilindres. Cons. Esferes Digues quin tipus de figura de l espai es genera quan giren els polígons següents pel costat. a) b) a) Cilindre b) Tronc de con Un cilindre té 4 centímetres de radi i 9 centímetres d altura. Dibuixa el seu desenvolupament pla i indica les dimensions de cadascuna de les figures que el formen. r = 4 cm 9 cm Longitud de la circumferència: L c 2 r 2 3, ,12 cm r = 4 cm Calcula la longitud de la corda. 7 cm pliquem el teorema de Pitàgores: ,9 cm 261

11 PROLEMES PER PLICR Observa un racó d una habitació format pel sostre, el terra i dues parets laterals. a) Quants plans diferents hi ha? b) Quants angles diedres es formen? Calcula la mesura de cadascun. a) 4 plans b) 5 angles diedres. Tots mesuren Imagina que la calçada d una carretera és un pla. a) Les rectes que delimiten els carrils i la vorera d emergència, quina posició tenen respecte al pla? b) Quina és la posició del pla i les rectes imaginàries que formen els semàfors? a) Les rectes que delimiten els carrils i la vorera d emergència estan contingudes en el pla de la calçada. b) El pla de la calçada i les rectes dels semàfors són secants i perpendiculars Per a celebrar el Dia de les Matemàtiques (12 de maig), Pilar i els seus companys de classe construiran figures geomètriques amb les quals decoraran l aula. Com han de dibuixar el desenvolupament pla de les figures següents? a) Un prisma quadrangular amb la base de 5 centímetres de costat i l altura de 10 centímetres. b) Un tetraedre de 8 centímetres de costat. c) Un cub de 6 centímetres de costat. a) a) b) b) c c) 5 cm 5 cm 10 cm 8 cm 8 cm 8 cm c) 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm Pere té un pot blanc per a col locar els llapis i el vol folrar amb un paper de colors. El radi de la base fa 2 centímetres, i l altura, 11. Dibuixa la figura plana que ha de construir en el paper per a poder folrar el pot, i indica n les dimensions. Recorda que el pot no té tapa. 11 cm r = 2 cm La mesura d un gelat té 14,5 centímetres de generatriu i 14 d altura. Calcula el radi màxim de la bola de gelat que s hi pot posar. 14 cm r 14,5 cm Fem ús del teorema de Pitàgores: 14 2 r 2 14, r 2 210,25 r 2 210, ,25 r 14,25 3,77 cm El radi màxim de la bola de gelat és de 3,77 cm. 262

12 13.71 Calcula el nombre de cares i indica quin tipus de poliedre és cadascun dels següents. a) Un prisma de 6 vèrtexs i 9 arestes. b) Una piràmide de 10 arestes i 6 vèrtexs. a) Per la relació d Euler: c v a 2 c c El prisma té 5 cares. Es tracta d un prisma triangular. b) c v a 2 c c La piràmide té 6 cares. Es tracta d una piràmide pentagonal Un bric de llet fa 10 centímetres de llarg, 6,5 d ample i 16,5 d alt. En un paquet se n envasen 6. a) Quina figura geomètrica té el paquet? b) Fes-ne el desenvolupament pla i indica quines dimensions té. 6, ,5 a) El paquet té forma de prisma rectangular. b) 16, , L etiqueta que embolica una llanda és un rectangle de 21,98 centímetres de base i 9 d altura. Calcula el diàmetre de la llanda. Longitud de la circumferència: L c 2 r 2 3,14 r 21,98 cm r 2 1,98 3,5 cm 2 El diàmetre de la llanda fa 2 r 2 3,5 = 7 cm Per a eliminar barreres arquitectòniques, s ha construït una rampa a l institut. Quina forma té? Calcula la llargària de la rampa. 43 cm 20 19,5 cm 3,25 m Té forma de prisma triangular. Per a calcular la longitud de la rampa expressem totes les dimensions en les mateixes unitats i apliquem el teorema de Pitàgores: 3,25 m 325 cm. l l l ,83 cm 3,28 m 263

13 13.75 Els contenidors de reciclatge subterranis tenen la forma següent. Calcula el diàmetre del cilindre. 8 cm 8 cm 4 cm 4 cm l 24 cm 60 cm 60 cm 84 cm 84 cm 70 cm 70 cm Pel teorema de Pitàgores, l l cm cm. El diàmetre del cilindre és de 62 cm. REFORÇ Plans, rectes i punts en l espai mb dos punts del pla, quantes rectes es poden determinar? Quants plans? r Dos punts determinen una recta i infinits plans. P 1 P 2 ngles diedres a) Calcula la suma i la diferència dels angles diedres p i p b) Troba el complementari de p, p i p p. c) Troba el suplementari de p p. a) p p ; p p b) Complementari de p: 90 p Complementari de p: 90 p Complementari de p p: 90 (p p) c) Suplementari de p p: Poliedres És possible que un poliedre convex tinga 8 cares, 10 arestes i 8 vèrtexs? No. Un poliedre convex ha de complir la relació d Euler: c v a 2 Com que , no es verifica la relació Un poliedre regular té 12 arestes i 8 vèrtexs. Calcula n el nombre de cares i digues de quin poliedre es tracta. Per la relació d Euler, c v a 2 c c El poliedre té sis cares. Es tracta d un cub a) Com està formada la figura següent? b) Estudia si es compleix la relació d Euler. a) La figura està formada per composició, unint dos poliedres. b) Sí que es compleix la relació d Euler. En efecte, la figura té 9 cares, 17 arestes i 10 vèrtexs. Tenim que c v a

14 Prismes. Paral lelepípedes. Piràmides Un prisma té 9 cares. Com són les seues bases? Quin tipus de prisma és? Les bases són heptàgons. És un prisma heptagonal Una piràmide té 6 vèrtexs. Quina és la seua base? Quin tipus de piràmide és? La base és un pentàgon. És una piràmide pentagonal Si s uneixen dos cubs per una de les cares, quin tipus de poliedre s obté? Un prisma quadrat. Cilindres. Cons. Esferes Observa la figura següent. És possible que siga el desenvolupament pla d un cilindre? 3 cm 22,05 cm 7 cm La longitud de les circumferències de les bases és de: L c 2 r 2 3, ,84 cm. No és possible que siga el desenvolupament pla d un cilindre, ja que la longitud de les circumferències de les bases del cilindre no coincideix amb la longitud de la base del rectangle Construeix el desenvolupament pla d un con de 8 centímetres de diàmetre i 10 centímetres de generatriu i indica les dimensions de cada figura. 10 cm r = 2 cm Dues esferes tenen un punt comú. Els seus centres estan situats a 12 centímetres de distància i el radi d una és de 8 centímetres. Quin és el radi de l altra? 8 cm 4 cm cm. El radi de l altra esfera és de 4 cm. 12 cm MPLICIÓ Un dels angles diedres determinats per dos plans que es tallen mesura Calcula la mesura dels altres angles diedres formats. C D = Les mesures dels quatre angles diedres són les següents: p Cp p Dp

15 13.88 Pot existir una piràmide amb un nombre imparell d arestes? No. El nombre d arestes d una piràmide és sempre el doble del nombre de costats de la base. Per tant, sempre ha de ser un nombre parell Quantes arestes té un prisma triangular? I un de quadrangular? I un de pentagonal? I un de decagonal? partir de les respostes, dedueix una relació que done el nombre d arestes del prisma si en coneixem la base. Un prisma triangular té 9 arestes; un de quadrangular, 12; un de pentagonal, 15, i un de decagonal, 30. Si la base d un prisma té n costats, el prisma té 3n arestes Estudia si les figures següents tenen algun punt en comú. a) Dues esferes de 8 i 10 centímetres de radi, respectivament, i la distància de les quals entre els centres és de 20 centímetres. b) Dues esferes de 5 i 6 centímetres de radi, respectivament, i la distància de les quals entre els centres és d 11 centímetres. a) No tenen cap punt en comú, ja que la distància entre els centres de dues esferes tangents és igual a la suma dels radis. b) Sí que tenen un punt en comú: són tangents mb quants tetraedres es pot formar un cub? No és possible formar un cub amb tetraedres. Les cares d un cub són quadrats, per tant tots els angles són de 90. Les cares d un tetraedre són triangles equilàters, aleshores tots els angles són de 60. No és possible formar un angle de 90 sumantne angles de Un con de 9 centímetres de radi i 12 d altura es talla per un pla paral lel a la base com es veu en la figura. 5 cm 12 cm 9 cm a) Quines dues figures geomètriques es determinen? b) Fes-ne el desenvolupament pla i indica les dimensions de cada figura plana. a) Quan tallem un con per un pla paral lel a la base es determinen un con i un tronc de con. b) Els dos triangles rectangles de la figura són semblants. Pel teorema de Tales, el radi del con que obtenim verifica: r 9 1 r 9 5 3,75 cm. Los desarrollos de las figuras son: ,75 = 23,55 cm 5 cm 7 cm r = 3,75 cm r = 9 cm Construeix el desenvolupament pla d una piràmide quadrangular de 10 centímetres de costat de la base i de 15 d altura i indica les dimensions de cada figura plana. 15,81 10 cm 15 cm La base és un quadrat de 10 centímetres de costat. Les cares laterals són triangles isòsceles de 10 centímetres de base i 15 d altura. Pel teorema de Pitàgores, els costats iguals dels triangles mesuren: l ,81 cm 266

16 PER INTERPRETR I RESOLDRE Generació de cossos geomètrics Per a animar els seus equips, Joan i Marta fan girar els banderins. D C D C a) ssenyala quin dels cossos geomètrics següents s obté en fer girar el banderí de cada xiquet b) De les opcions anteriors, la que no s obté en fer girar el banderí de Joan ni el de Marta és, no obstant això, el cos geomètric que resulta en fer girar el trapezi CD al voltant d un altre dels seus costats. De quin costat es tracta? a) El banderí de Marta genera el cos 1, i el de Joan genera el cos 3. b) El cos geomètric 2 resulta en fer girar el trapezi CD al voltant del costat D. UTOVLUCIÓ 13.1 Classifica les figures geomètriques següents. c) a) Piràmide pentagonal convexa i obliqua. b) Prisma rectangular convex i recte. c) Cilindre oblic Estudia si són complementaris els parells d angles diedres següents. a) p p b) p p a) Sí que són complementaris, ja que b) No són complementaris, ja que

17 13.3 Comprova si es compleix la relació d Euler en els poliedres següents. a) Un prisma octogonal. b) Una piràmide heptagonal. a) Sí que verifiquem la relació d Euler: a 24, c 10, v 16 c v 26 a 2 b) Sí que verifiquem la relació d Euler: a 14, c 8, v 8 c v 16 a Calcula la longitud de la circumferència que s obté en tallar una esfera de 8 centímetres de radi per un pla que conté el seu diàmetre. Obtenim una circumferència de 8 cm de radi. L c 2 r 2 3, ,24 cm 13.5 Indica els elements de l espai que poden determinar dues rectes que es tallen. Dues rectes que es tallen determinen un punt i un pla: el punt de tall i el pla que conté les dues rectes Els catets d un triangle rectangle són de 6 i 8 centímetres. Calcula la generatriu del con que s obté en girar el triangle al voltant del catet major. 6 cm g 8 cm pliquem el teorema de Pitàgores: g g g 10 La generatriu fa 10 centímetres Escriu el poliedre el desenvolupament del qual pla és cadascun dels següents. a) Prisma quadrangular recte. b) Piràmide triangular obliqua Construeix el desenvolupament pla de cada figura i indica n les dimensions. a) Un cilindre de 5 centímetres de radi i 9 d altura. b) Un con de 4 centímetres de radi i 10 de generatriu. a) r = 5 cm b) ) 10 cm 2 r = 31,4 cm 9 cm r = 5 cm r = 4 cm 268

18 JUGNT M LES MTEMÀTIQUES El tortell Com tallaries una tortell en huit parts iguals usant només tres talls de ganivet? Tall 1: tall longitudinal per un pla paral lel a la taula. Tall 2: tall transversal per un pla perpendicular al primer. Tall 3: tall transversal per un pla perpendicular als dos anteriors. 269