Si llamamos: X: nº monedas 0.5 Y: nº monedas 0.2 Z: nº monedas 0.1

Transcripción

1 Bárbara Cánovas Conesa Junio 00 a) Despeja la matriz X en la ecuación X + AX = b) Halla matriz X de la ecuación anterior sabiendo que: A = ( 0 0 ) y = ( 0 1 0) X + AX = ( + A)X = ( + A) 1 ( + A)X = ( + A) 1 X = ( + A) 1 X = ( + A) 1 ( + A) 1 = A = ( 0 0) + ( 0 0 ) + A = ( 0 0) A (Adj. ( + A))t + A = 4 0 Adj. ( + A) = ( 1 ) 0 6 ( + A) 1 = ( 0 0 ) (Adj. ( + A)) t 6 = ( 0 0 ) { 6 1/ 1/4 1/ X = ( 0 1/ 0 ) 1/ /4 / Con las 1 monedas que tengo en el bolsillo (de 50 céntimos, de 0 céntimos y de 10 céntimos de euro) puedo comprar un pastel cuyo precio es,80 euros. Si una moneda de 50 céntimos lo fuera de 0, entonces el número de las de 0 céntimos y el número de las de 10 céntimos coincidiría. Cuántas monedas tengo de cada clase? Si llamamos: X: nº monedas 0.5 Y: nº monedas 0. Z: nº monedas 0.1 x + y + z = 1 { 0.5x + 0.y + 0.1z =.8 y + 1 = z Lo resolvemos por Gauss: 1 ( 5 1 8) E = 5E 1 E ( = x + y + z = 1 { 5x + y + 1z = 8 y z = 1 1 ) ( E = E E Es decir, tengo monedas de 50 céntimos, 4 de 0 céntimos y 5 de 10 céntimos. 1 ) z = 5 y = 4 x 5 Una confitería realiza una oferta a sus clientes través de dos tipos de lotes A y B. El lote A lleva tabletas de turrón y 5 cajas de bombones. El lote B está compuesto por 5 tabletas de turrón y cajas de bombones. Por cuestiones de estrategia comercial, el número de lotes del tipo B debe ser menor que el número de lotes del tipo A incrementado en 4. El número de tabletas de turrón disponibles en el almacén para esta oferta es 5 y el de cajas de bombones, 60. La venta de un lote del tipo A reporta una ganancia de 6,5 euros y uno del tipo B, 8,5 euros. a) Dibuja la región factible. b) Determina el número de lotes de cada tipo que debe vender para que la ganancia sea lo mayor posible. c) Calcula esa ganancia máxima. Si llamamos:

2 LGSE _ Matemáticas CCSS _ CLM x = nº lotes tipo A y = nº lotes tipo B La función a optimizar (maximizar) será: B(x, y) = 6.5x + 8.5y x + 5y 5 5x + y 60 y < x + 4 A = (0, 0) B = (0, 4) C = (4, 8) x > 0 { y > 0 D = (, 5) { E = (1, 0) Los valores que toma la función B(x, y) = 6.5x + 8.5y en cada uno de los vértices: En el vértice A : B(0,0) = 0 En el vértice B : B(0,4) = 4 En el vértice C : B(4,8) = 4 En el vértice D : B(,5) = 101 En el vértice E : B(1,0) = 78 Por tanto la solución óptima se encuentra en el vértice D, es decir, para lotes del tipo A y 5 lotes del tipo B. bteniéndose un beneficio de B (0, 4) 4 1 A(0, 0) 1 C (4, 8) D (, 5) E (1, 0) En una clase hay 0 alumnos, de los cuales son pelirrojos, 15 son rubios y el resto morenos. Si elegimos al azar dos alumnos de esa clase, calcula la probabilidad de que: a) Tengan el mismo color de pelo. b) Al menos uno sea rubio. Para responder a las preguntas hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos: - P = ser pelirrojo - R = ser rubio - M = ser moreno Si los dos alumnos tienen el mismo color de pelo: P(P 1 P ) + P(R 1 R ) + P(M 1 M ) = P(P 1 ) P ( P P1 ) + P(R 1 ) P ( R R1 ) + P(M 1 ) P ( M M1 ) = P(tengan el mismo color de pelo) = 5 La probabilidad de que al menos uno sea rubio es: P(P 1 R ) + P(M 1 R ) + P(R 1 P ) + P(R 1 M ) /0 1/0 15/0 P 1 R 15/ P / = P(P 1 ) P ( R P1 ) + P(M 1 ) P ( R M1 ) + P(R 1 ) P ( P R1 ) + P(R 1 ) P ( M R1 ) = P(ninguno sea rubio) = R 1 M 1 M M 1/ P / R 14/ M 1/ P / R 15/ 11/

3 Bárbara Cánovas Conesa Junio 00 0 si x Dada la función f(x) = { x 4 si < x <, se pide: (x ) si x a) Dibuja su gráfica. b) Estudia su continuidad en x = - y en x =. c) Calcula el área del recinto cerrado deitado por la gráfica de la función y el eje horizontal. Lo primero es mejor estudiar la continuidad, porque esto nos ayuda a representar la gráfica de la función. Una función es continua en un punto si: f(x) = f(x) = f(a) x a x a + En x = -: x (0) = 0 x +(x 4) = 0 f( ) = 0 Por tanto, la función es continua en x = -. En x = : x (x 4) = 5 x +(x ) = 1 f() = 1 Como en el caso anterior, la función no es continua en x =, sino que presenta una discontinuidad inevitable de salto finito igual a 4. Si -< x < Si x 5 4 f(x) = x 4 f(x) = x 4x + 4 V = (0, -4) Puntos: (-, 0) (, 5) Cortes con el eje x: (-, 0) (, 0) V = (, 0): no está dentro del intervalo Puntos: (, 1) (4, 4) El área del recinto deitado por la gráfica y el eje de abscisas está formada por dos áreas, la primera entre x = - y x =, y la segunda entre x = y x = : A = ( x + 4) dx + (x 4) dx = [ x + 4x] + [ x 4x] = [( 8 + 8) (8 8)] + [( 1) (8 8)] = + 7 A = 1u El coeficiente de elasticidad de un producto, en función de la temperatura (t) en grados centígrados, viene definido por la función E(t) = t t + 10 a) A qué temperatura o temperaturas se obtiene una elasticidad de? b) Calcular el valor de la temperatura para la que la elasticidad es mínima. c) Calcular ese mínimo. Para calcular la temperatura para la cual la elasticidad es, calculamos E(): E() = 4 4t + 10 E() = Para contestar a los apartados b y c, calculamos el mínimo de la función con la primera derivada: E (t) = t E (t)=0 t = 0 t = E() = 1 Es decir, la elasticidad mínima es de 1 y se alcanza a una temperatura de ºC.

4 4 LGSE _ Matemáticas CCSS _ CLM Se ha realizado una encuesta a un grupo de estudiantes de bachillerato. Entre las conclusiones está que un 40% han recibido clases de informática. Además, el 80% de aquellos que han recibido clases de informática tienen ordenador en casa. También que un 10% de los estudiantes a los que se les pasó la encuesta tienen ordenador en casa y no han recibido clases de informática. Elegido al azar un estudiante encuestado, calcular la probabilidad de que: a) Tenga ordenador en casa. b) Tenga ordenador en casa y haya recibido clases de informática. c) Haya recibido clases de informática, sabiendo que tiene ordenador en casa. Para responder a las preguntas hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos: - = haber recibido clases de informática - = tener ordenador La probabilidad de que un alumno al azar tenga ordenador será, según el teorema de la probabilidad total: P() = P() P( ) + P( ) P ( ) = P() = 0. 8 La probabilidad de que tenga ordenador y haya recibido clases de informática la hallamos con la probabilidad condicionada: P( ) = P( ) P() = P( ) = 0. La probabilidad de que haya recibido clases de informática, sabiendo que tiene ordenador en casa, la calculamos con la probabilidad condicionada: P( P( ) ) = = 0. P() 0.8 P( ) = ,4 0,6 0,8 0, 0,1 0, La talla de los varones recién nacidos en una determinada ciudad sigue aproximadamente una distribución normal con desviación típica de 4 cm. Si en una muestra de 81 recién nacidos de esa ciudad obtenemos una talla media de 51cm, a) Encontrar el intervalo de confianza al 7 % para la talla media de los recién nacidos de esa ciudad. b) nterpretar el significado del intervalo obtenido. El intervalo de confianza para la media es: C = (x ± Zα σ ) n x = 51 cm =.4 cm n = 81 recién nacidos 1 = 0.7 = 0. 0 α = α = El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα ) 1 α buscamos en la tabla P (Z Zα ) 0.85 Zα =.17 C = (x ± Zα σ.4 ) = (51 ±.17 ) = (51 ± 0.57) C = (50. 41, ) n 81 Por tanto, el intervalo de confianza al 7% para la talla media de los varones recién nacidos es de (50.41, 51.57). Esto significa que la talla media de los varones recién nacidos está entre y cm, con una probabilidad del 7%.

5 Bárbara Cánovas Conesa Junio 00 Dicho de otra forma, si elegimos un individuo al azar, con una probabilidad de 7.8% su satisfacción estará comprendida entre los 7.71 y los 7.7 puntos. Si lo que se está estudiando es la satisfacción de los vecinos y tomamos para el estudio los primeros 100 que contesten a la encuesta en el horario de 10 a 14 horas, estaríamos sesgando la muestra, ya que ésta puede no es representativa de la población en estudio. Es decir, el intervalo de confianza obtenido no sería válido.