Dpto. Física y Mecánica. Cinemática del

Transcripción

1 Dpto. Física y Mecánica Cinemática del sólido rígido I

2 Sólido rígido. Condición de rigidez Notación Teorema de la proyección de las velocidades Movimientos del sólido rígido Invariantes cinemáticos Clasificación del movimiento Rd Reducción en un punto dl del movimiento i dl del sólido Eje instantáneo de rotación y deslizamiento Traslación Rotación Movimiento helicoidal Varias traslaciones Varias rotaciones Dos rotaciones Traslaciones y rotaciones

3 Sólido rígido Un sólido rígido es cualquier sistema de puntos materiales en el que la distancia que une dos puntos cualesquiera del mismo permanece invariable en el transcurso del tiempo i Z k r i j i r ij j j r r = C r ( ) Y i i j j 2 r r = C X

4 Sólido rígido. Condición de rigidez d ( ) 2 2( dr dr ) i j r i r j = r i r j = 0 dt dt dt 2 r v = 0 ij ij r v = 0 ij ij

5 Teorema de la proyección de las velocidades Dados dos puntos i, j de un sistema indeformable, la proyección de los vectores velocidad d de dichos puntos sobre la recta que los une, permanece constante Proy v i, ij = Proy vj, ij

6 Movimientos i del sólido rígido Traslación Rotación Helicoidal m Traslaciones n Rotaciones m Traslaciones + n Rotaciones

7 Movimientos i del sólido rígido: Traslación Un sólido rígido realiza un movimiento de traslación, cuando el segmento que une dos puntos cualesquiera del sólido permanece durante el movimiento paralelo a si mismo r ji r ji r ji r ji r ji r ji Trayectoria rectilínea Trayectoria curvilínea

8 Movimientos del sólido rígido: Traslación Durante el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad, y en consecuencia la misma aceleración dr dr r = r r = C i j = 0 ij i j dt dt v = v = v i j t

9 Movimientos i del sólido rígido: Rotación Un sólido rígido realiza una rotación en torno a un eje cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas en dicho eje y contenidas en planos perpendiculares a éste El eje de rotación puede atravesara al sólido o ser eteio exterior a él

10 Movimientos i del sólido rígido: Rotación Durante el movimiento de rotación, todos los puntos rotan con la misma velocidad angular ω, y todos los puntos describen trayectorias en planos perpendiculares al eje de rotación E i k

11 Movimientos i del sólido rígido: rotación Un movimiento de rotación queda determinado completamente por el vector velocidad angular Basta con conocer el vector ω y su recta de aplicación para determinar completamente el movimiento de todos los puntos del sólido rígido en una rotación

12 Movimientos del sólido rígido: vector velocidad angular ω dϕ dϕ r + r dr Es un vector deslizante cuya línea de acción es el eje de dϕ rotación, caracterizado por su módulo ω =, dirección (la del eje de rotación) y sentido (regla del sacacorchos) dt

13 Movimientos del sólido rígido: vector velocidad angular Es la derivada respecto al tiempo del vector velocidad angular α = dω ω dt dϕ Es un vector deslizante cuya línea de acción es el eje de dωω rotación, caracterizado porsumódulo α =, dirección (la dt del eje de rotación) y sentido (regla del sacacorchos)

14 Movimientos i del sólido rígido: helicoidal id l Z v R Un sólido rígido realiza un movimiento helicoidal si gira en torno a un eje y se traslada paralelamente al eje de rotación. X x ϕ yy z Y Todas las partículas describen trayectorias helicoidales, el eje de las hélices es el eje instantáneo de rotación y deslizamiento

15 Movimientos i del sólido rígido: Varias traslaciones Si el sólido está sometido a varias traslaciones, la velocidad del sólido es la suma de todas las velocidades de traslación m v = v ( t ) + v ( t ) +... v ( t ) = v ( t ) P P 1 P 2 P m P i i=1

16 Movimientos i del sólido rígido: varias rotaciones Si un sólido está sometido avarias rotaciones, la velocidad d del sólido es la suma de las velocidades debidas a cada una de las rotaciones Como la velocidad de un punto es el momento respecto a dicho punto del vector deslizante ω, la velocidad debida a todas las rotaciones ω,... 1 ω n es la suma de los momentos respecto a dicho punto de cada una de las rotaciones n v = M ( ω ) + M ( ω ) M ( ω ) = M ( ω ) P P 1 P 2 P n P j j=11

17 Movimientos i del sólido rígido: 2 rotaciones Si el sólido está sometido a 2 rotaciones, y éstas forman un par, la velocidad de cualquier punto del sólido es el momento del par; por tanto equivale a una traslación perpendicular al plano que determinan los vectores del par Si un sólido está sometido a un movimiento de traslación, el movimiento equivale a un par de rotaciones en el plano perpendicular al vector traslación

18 Movimientos i del sólido rígido: traslaciones y rotaciones La velocidad debida a la traslación es la suma de las m velocidades de traslación. Todos los puntos tienen la misma velocidad d detraslación. Cada traslación se puede sustituir por un par de rotaciones en el plano perpendicular p tenemos 2m + n rotaciones

19 Movimientos del sólido rígido: traslaciones y rotaciones ( v + v +... v ) + ( ω, ω, ω,... ω ) t1 t2 tm n v = ( v + v +... v ) + M ( ω ) + M ( ω ) M ( ω ) A t1 t2 tm A 1 A 2 A n v = ( v + v +... v ) + M ( ω ) + M ( ω ) M ( ω ) B t1 t2 tm B 1 B 2 B n v = ( v + v +... v ) + M ( ω ) + M ( ω ) M ( ω ) C t 1 t 2 tm C 1 C 2 C n

20 Movimientos i del sólido rígido: traslaciones y rotaciones v = v + BA ω B C A v = v + CA ω O A v = v + OA ω A Estas fórmulas demuestran que el movimiento de todos los puntos del sólido rígido se puede obtener mediante la suma de una traslación, definida por v A, y una rotación definida por ω

21 Invariantes cinemáticos i Son magnitudes independientes del punto del sólido considerado 1. Rotación resultante 2. Producto escalar de la rotación resultante por la velocidad de un punto cualquiera del sólido 3. Velocidad de mínimo deslizamiento

22 Invariantes cinemáticos i 1.La velocidad angular no depende del punto O del sólido indeformable que se considere ω 2.El producto escalar de los vectores velocidad y velocidad angular de rotación es un invariante en cualquier punto del sistema indeformable y en cualquier instante ω v O 3.La proyección del vector velocidad sobre la dirección de la rotación es un invariante, i denominada d velocidad d de mínimo deslizamiento v d = ω v ω O

23 Segund o in variant te Tercer inv variant te Invariantes cinemáticos. i Segundo ytercer invariantei v = v + BA = v ( ) + ω ω ω ω B A A v = v + CA = v ( ) ω ω ω ω C A A ω v = ω v = ω v C A B v v v C A B = = = v ω ω ω ω ω ω min

24 ω 0 v = 0 O ω = 0 0 v O Clasificación ió del movimiento i El sistema lleva movimiento de rotación instantánea El sistema lleva movimiento de traslación instantánea con la velocidad v O ω = 0 = 0 v O ω 0 vo 0 El sistema está en reposo El sistema tiene movimiento helicoidal; en los puntos del eje instantáneo, el vector velocidad angular y el vector velocidad son colineales

25 Reducción a un punto del movimiento del sólido Sea un sistema indeformable sometido a un conjunto de n rotaciones ω1, ω2, ω3,... ωn ω = ω1+ ω2 + ω ωn La velocidad d de un punto cualquiera del sistema it material se puede expresar por n v = ω OP+ ω O P ω O P = ω OP P n n i i i= 1 Si existiese alguna traslación, ésta se puede considerar como un par de rotaciones.

26 Reducción a un punto del movimiento i del sólido Por tanto, un punto P del sólido indeformable queda reducido por los términos del grupo cinemático * Una traslación v P,velocidad que es propia de cada punto del sistema considerado v * Una rotación resultante ω,que es invariante para todos los puntos del sistema

27 Eje instantáneo de rotación y deslizamiento Es el lugar geométrico de los puntos del sistema para los cuales la velocidad de un punto cualquiera y el vector rotación son colineales Los puntos del eje instantáneo de rotación y deslizamiento tienen velocidad de mínimo deslizamiento El eje instantáneo tá de rotación y deslizamiento i va variando con el tiempo, y en su movimiento va generando una superficie denominada axoide