Tema 2: Movimiento relativo

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1 Tema : Movimiento relativo Mecánica Racional, º Grado en Ingeniería Civil Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8

2 Índice Introducción Derivación en triedros móviles Notación y definiciones Composición de velocidades Traslaciones Rotaciones Composición de aceleraciones Traslaciones Rotaciones ares cinemáticos. Sólidos en contacto puntual Dinámica en sistemas de referencia no inerciales Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8

3 Movimiento relativo: traslación Z Z Z Y X Trayectoria del coche vista desde el suelo X Z Y X Y Y X Trayectoria del coche vista desde el tren Y Y X Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 X 3

4 Movimiento relativo: rotación Z Z Z Y X Y Y X X Trayectoria del coche vista desde el sistema que gira con la plataforma Y X Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 Trayectoria del coche vista desde el sistema fijo al suelo Y X 4

5 Movimiento relativo: aplicaciones Rotación de la Tierra Z Z Un sistema solidario a la tierra es un sistema en rotación Y X Y X Composición de movimientos El movimiento de un punto de la hélice se describe más fácilmente intercalando un sistema de referencia auxiliar Y X Z Z Y Z Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 X X Y 5

6 Índice Introducción Derivación en triedros móviles Notación y definiciones Composición de velocidades Traslaciones Rotaciones Composición de aceleraciones Traslaciones Rotaciones ares cinemáticos. Sólidos en contacto puntual Dinámica en sistemas de referencia no inerciales Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 6

7 Derivación temporal en triedros móviles: fórmulas de oisson El vector a(t) se mueve solidariamente con el sólido (triedro) Z Q Y Z X Y X es el vector rotación total instantáneo del movimiento del sólido respecto al sólido Z Z X Y X La fórmula también funciona a la inversa, suponiendo el sólido en reposo y el moviéndose Y Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 7

8 Derivación temporal en triedros móviles: fórmulas de oisson Z Z i k i j X k Los vectores de la base del triedro se mueven respecto al triedro j Y Y X Un vector cualquiera puede expresarse en los dos sistemas Variación temporal del vector A(t) respecto al triedro Variación temporal del vector A(t) respecto al triedro Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 8

9 Derivación temporal en triedros móviles: fórmulas de oisson Z Z i k i k X j Notación en forma de operador j Y Y X Notación en forma de operador con subíndices generalizados Zi Zj ki j ii kj ij j Xi jj i ji i Yi Yj Xj Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 9

11 Notación y definiciones Cada sólido rígido es un triedro infinito, tenga o Z no partes materiales Al moverse, los sólidos se atraviesan unos a otros Cada punto geométrico del espacio pertenece Y Y En cada punto geométrico del espacio se superponen en cada instante varios puntos X X Y X Y Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 Z Y Y X X Z Z En el instante posterior, cada uno de esos correspondiente Z simultáneamente a todos los sólidos definidos puntos superpuestos se mueve con su sólido X Z X Z Y

12 Notación y definiciones {ij} mov. del sólido i respecto al sólido observador j Magnitudes cinemáticas Velocidad angular del sólido i respecto al j Aceleración angular del sólido i respecto al j Vector de posición del punto perteneciente al sólido i respecto al sólido j Vector de velocidad del punto perteneciente al sólido i respecto al sólido j Vector de aceleración del punto perteneciente al sólido i respecto al sólido j Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8

13 Notación y definiciones Z Si sólo hay tres sólidos sólido de referencia sólido intermedio sólido problema X Z Y X Z X Y Y {} mov. absoluto {} mov. relativo {} mov. arrastre Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 3

14 Notación y definiciones Z ara dos sólidos genéricos i, j X Y X Y Z X Campos de velocidad y aceleración Z Y El movimiento entre dos sólidos se puede descomponer en dos movimientos introduciendo un sólido intermedio {ij}={ik}+{kj} Leyes de composición Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 4

16 Composición de velocidades Z En un instante dado Z X Y Esta expresión no es derivable en el tiempo El punto no está asignado a un sólido determinado ara cualquier instante X Z X Y Y Cada uno de los vectores esta asociado a un punto de un sólido Esta expresión es derivable en el tiempo Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 6

17 Composición de velocidades Z Derivamos respecto del tiempo Z X Y X Derivable en el tiempo Y X Z Y Con validez instantánea No derivable en el tiempo Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 7

18 Composición de velocidades angulares Z Ley de composición de velocidades Z Ecuación del campo de velocidades X Y X Z X Reagrupando Y Y Ley de composición de velocidades angulares Esta expresión es derivable en el tiempo Tomando i=j Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 8

19 Composición de velocidades: traslación Z Z Z X X Coche respecto al paso a nivel {} X Y Tren respecto al paso a nivel {} Y Y Coche respecto al tren {} Trayectoria respecto al suelo Y X Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 9

20 Composición de velocidades: traslación Z Z Z X X Coche respecto al paso a nivel X Y Tren respecto al paso a nivel Y Y Coche respecto al tren Trayectoria respecto al tren Y X Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8

21 Composición de velocidades: rotación Z Z = X Z Y Y Y X X lataforma respecto al suelo {} Y Y d(t) = X X X Coche respecto al suelo {} Coche respecto a la plataforma {} Distancia recorrida sobre la plataforma Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8

23 Composición de aceleraciones Z Ley de composición de velocidades derivable en el tiempo Z Derivación respecto del tiempo desde el sólido X Y X Y X Z Y Derivable en el tiempo Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 3

24 Composición de aceleraciones Z Buscamos una expresión mas sencilla en términos de composición de movimientos Z X Y X Validez instantánea Y X Z Y Teorema de Coriolis Tomando i=j Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 4

25 Composición de aceleraciones angulares Z Ley de composición de velocidades angulares Z Derivamos respecto al tiempo desde el sólido X Y X Ley de composición de aceleraciones angulares Y X Z Y Tomando i=j Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 5

26 Composición de movimientos Z Velocidades Z Instantánea X Y X Velocidades angulares Y X Z Y Aceleraciones Instantánea Aceleraciones angulares Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 6

28 ares cinemáticos Z X Z Y El sólido rígido libre tiene 6 grados de libertad La reducción cinemática en cualquier punto tiene 6 componentes independientes X Y Z X Z Y X Y El sólido rígido vinculado tiene sus movimientos limitados, por tanto tiene menos grados de libertad El numero de componentes independientes de la reducción cinemática es igual al número de grados de libertad Un par de sólidos vinculados y en movimiento relativo es un par cinemático Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 8

29 Sólidos en contacto puntual (par esférico instantáneo) Las superficies de los sólidos están siempre en contacto puntual es el plano tangente común rodadura: es la componente de la rotación paralela al plano pivotamiento es la componente de la rotación perpendicular al plano es la velocidad de desplazamiento, paralela al plano La semiesfera tiene 5 grados de libertad Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 9

30 ares cinemáticos: ejemplos ar cilíndrico ar de revolución Z ar esférico ar helicoidal Z Z Z Y X Y Cojinete de sustentación grados de libertad X X Y Bisagra grado de libertad h Y X Rótula Tornillo 3 grados de libertad grado de libertad Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 3

32 Sistemas de referencia no inerciales Consideramos un punto material que realiza un movimiento circular con velocidad angular constante Z Z,Z Y R Y X X,X Aplicamos la Segunda Ley de Newton en el sistema XYZ para obtener la fuerza Se puede aplicar la Segunda Ley de Newton pues el sistema es un S.R.I. En este caso particular obtenemos la fuerza a partir del movimiento conocido en el S.R.I. Es una fuerza centrípeta Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 3

33 Sistemas de referencia no inerciales Se puede aplicar la Segunda Ley de Newton en el sistema? Es un sistema no inercial No se puede aplicar la Segunda Ley Hay alguna forma de analizar el problema desde el sistema? Z Z,Z R Y X X,X En el sistema la partícula está en reposo ara poder analizar la dinámica en el sistema hemos tenido que corregir la Segunda Ley introduciendo fuerzas de inercia -ma es, en este caso, la fuerza centrífuga, que no es la reacción de la centrípeta Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 33 Y

34 Sistemas de referencia no inerciales Segunda Ley de Newton en un sistema no inercial en el caso general ( y/o a ) m F es la fuerza neta real en el S.R.I (debida a interacciones) Fa r r es la fuerza de arrastre Fc o r es la fuerza de Coriolis ropiedades de la fuerzas de inercia S.R. no inercial S.R.I. Son aparentes o ficticias para el observador inercial, pero para el no inercial tienen los mismos efectos que una fuerza real (realizan trabajo, pueden ser conservativas) Son proporcionales a la masa No añaden incógnitas al problema dinámico {} (conocido el movimiento {}) Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 34

35 Fuerza de Coriolis El sólido es un punto moviéndose con velocidad v Z,Z paralela la superficie de la Tierra Derecha El término de Coriolis empuja hacia la derecha en el X Hemisferio sur Y hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur Hemisferio norte Y X Izquierda Derecha Izquierda Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 35

36 Fuerza de Coriolis Este efecto se deja sentir sólo en sistemas de tamaño muy grande o que se mueven muy rápido, o en los que se acumula el efecto en el tiempo Huracanes éndulo de Foucault El efecto en el sentido de giro del agua en los desagües es despreciable Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 36

37 Fuerza de Coriolis: sentido de giro de los huracanes En las tormentas, una zona de bajas presiones relativas atrae el aire formando un corriente convergente de aire En el hemisferio norte el flujo de aire se desvía hacia la derecha, y en el hemisferio sur hacia la izquierda, formando la estructura espiral del torbellino Hemisferio norte Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 Hemisferio sur 37

38 Fuerza de Coriolis: péndulo de Foucault El término de Coriolis hace girar el plano de oscilación de un péndulo En cada oscilación, el término de Coriolis empuja al péndulo hacia la derecha (en el hemisferio norte) Z,Z B B Y X Y X A A Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 A lo largo del tiempo, el plano de oscilación gira respecto a la Tierra, pero no respecto al espacio (si estuviese en el olo Norte o Sur). Esto demuestra que la Tierra tiene un movimiento de rotación 38

39 Fuerza de Coriolis: péndulo de Foucault Experimento de Foucault en el antheon en arís, 85 Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 éndulo de Foucault en el antheon en arís 39

40 Resumen Fórmulas de oisson Describe como varía en el tiempo un vector solidario con un sólido rígido Notación y definiciones Velocidad, aceleración, velocidad angular y aceleración angular Leyes de composición Velocidades Aceleraciones Velocidades angulares Aceleraciones angulares Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 4

41 Resumen ares cinemáticos El sólido vinculado tiene menos grados de libertad Ejemplos de pares Contacto puntual Revolución (bisagra) Esférico (rótula) Helicoidal (tornillo) Cilíndrico (cojinete) Dinámica en sistemas de referencia no inerciales Fuerzas de inercia Mecánica Racional, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 7/8 4