LA FUNCIÓN FUERZA ESPECÍFICA EN CANALES

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1 Resta EIA, ISSN 79-7 Número p. -7. Febrero 00 Esuela e Inenería e Antoqua, Meellín (Colomba) LA FUNCIÓN FUERZA ESPECÍFICA EN CANALES FRANCISCO JAIME MEJÍA * RESUMEN Se presenta la funón fuerza espeífa en flujo lbre en anales e seón eneralzaa, se estuan sus araterístas prnpales, un rtero e flujo ríto su onersón a funón amensonal o reua. PALABRAS CLAVE: momentum; estao e flujo; fuerza espeífa; número e Froue. ABSTRACT Ths paper shows the momentum equaton apple to open-hannel flow an to stu the spef fore funton n terms of ts propertes, the efnton of a rtal flow onton an ts non-mensonal form. KEY WORDS: momentum; state of flow; spef fore; Froue number. * Inenero Cl. Profesor e Hráula, Esuela e Inenería e Antoqua. Grupo e Inestaón Gabs Gestón el Ambente para el Benestar Soal, EIA. pffmeja@ea.eu.o Dbujos: Pero Nel Orozo T. (Centro e Seros Apoo Informáto, EIA.) Leantamento e textos: Lna María Álarez S. (alumna e nenería l EIA; Grupo e Inestaones Gabs) Artíulo rebo -IX-00. Aprobao on resón 9-I-00. Dsusón aberta hasta julo 00.

2 LA FUNCIÓN FUERZA ESPECÍFICA EN CANALES INTRODUCCIÓN El flujo lbre e un líquo en un anal se expla pree on la aplaón e un número reuo e prnpos físos lásos básos: el teorema e transporte e Renols, la seuna le e Newton sobre el momento, la le e rataón unersal e Newton, la le e sosa e Newton las lees e la termonáma. Aplar las lees e la termonáma al flujo lbre onue a la euaón e la enería; mentras que aplar el onjunto e las lees e momento a este flujo onue a la euaón que esrbe el elao equlbro el flujo unforme en anales. De ual manera, puee erse que aplar el teorema el transporte e Renols al aso el flujo lbre onue a las expresones e transporte e la masa, e la anta e momento lneal e la anta e momento anular. A su ez, el onjunto e esas expresones es la base para explar preer el reposo el momento e los fluos en eneral e los líquos en partular. Alunos fenómenos hráulos se explan o preen on la aplaón e la euaón e la enería, otros on la aplaón el prnpo el transporte e la anta e momento. En muhas stuaones ambos enfoques se omplementan. Para la aplaón el transporte e la anta e momento en anales es neesaro estuar la funón fuerza espeífa. Aquí se muestran las araterístas e esa funón, que posterormente permtrá estuar la euaón e transporte e anta e momento lneal o momentum en flujo lbre en anales. LA FUNCIÓN FUERZA ESPECÍFICA Para estuar el transporte e anta e momento en la reón paralela al fono e un anal on flujo permanente e nompresble, se onsera un olumen e ontrol (furas ) se obtene : Q Q p Fpf Wsenè Fe ñ ñ () A A f F one β es el oefente e orreón e anta e momento e Boussnesq, que aquí se onserará onstante e nepenente e la seón estuaa e la altura el flujo. S se requere tener en uenta esta araón, puee seurse el proemento nao por Naranjo (000). Este oefente La nomenlatura utlzaa se efne en la lsta e símbolos al fnal el artíulo. Fura. Volumen e ontrol para el análss e la anta e momento. Fura. Seón lontunal para el análss e la anta e momento. Resta EIA

3 transforma el flujo e la anta e momento a traés e la seón, one exste una strbuón e eloa, h, en térmnos e la eloa mea el flujo en la seón,, que a su ez se obtene on la ontnua el flujo olumétro, Q/A: ñh A ñ A () S se reorenan los térmnos e () se e por el peso espeífo, se llea a la suente expresón: F γ p Q Fpf A γ Q Fe A f γ senè () A aa térmno entre paréntess se le onoe omo la fuerza espeífa en la seón, se enota on la letra M: F Q M p () γ A Esta expresón reúne el empuje espeífo estáto que ejere el resto el flujo sobre el olumen e ontrol el empuje espeífo námo en la seón, que es el flujo e anta e momento a traés e ésta. La fuerza estáta total en la seón es: F p pa () Ahora, s se puee norar la uratura e las líneas e orrente (Nauasher, 00) se aepta la strbuón unforme e la eloa, la fuerza estáta sobre la seón se puee obtener on: F p pa () one la presón en el entro e área es: p γhos è (7) Aemás se tene que la profuna el entro e área es una fraón partular e la altura el flujo en la seón, que epene e la forma tamaño e la seón transersal: h kh (8) e manera que: F p khaosè γ on () se obtene la funón fuerza espeífa o ímpetu (Newton, 87) en la seón: (9) Q M khaosè (0) A CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL La fura lustra los prnpales elementos eométros en una seón transersal perpenular al fono el anal, a partr e los que se estableen las relaones eométras e nterés que se muestran en la tabla : h osè () A Th () D A T () El peso espeífo es el prouto entre la ensa la aeleraón rataonal loal. Esuela e Inenería e Antoqua

4 LA FUNCIÓN FUERZA ESPECÍFICA EN CANALES Esquema lontunal Seón transersal Seón transersal Seón transersal Fura. Elementos eométros el anal. En la tabla se aprea que las araterístas eométras e las seones retanular (z z 0) tranular (b0) son asos partulares e la seón trapeal, que es aquella one os laos son paralelos entre sí, en este aso el fono (b) la superfe lbre (T). La seón trapeal es ferente e la seón trapezoal, que es aquella one el fono e la seón no es paralelo a la superfe lbre. CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN FUERZA ESPECÍFICA La funón fuerza espeífa (0) tene mensones e lontu al ubo está efna para too alor no nulo e la profuna (fura ). La fuerza espeífa es asntóta a la profuna ero, tene onaa posta en el omno posto, tene un punto e nflexón ( M/ 0) en un alor neato Tabla. Caraterístas eométras e la seón transersal. Tabla. Caraterístas eométras e la seón transersal. Cualquera Trapeal Retanular Tranular Parabóla Seón Área Anho superfal Profuna hráula k A T D h h b h z z h bh ( z z ) h h ax at b z z h b ( z z)h h a h ( b hz z ) h h h h b hz z b h z z b h z z Resta EIA

5 () P r o fu n a Flujo ríto Flujo subríto, prof. subríta o seuente Flujo superríto Fuerza espeífa (M) Punto e nflexón Interepto Fura. La funón fuerza espeífa e la profuna un nterepto (M0) en la profuna neata que umplen lo expresao en (): T Tnf hnf h nf A nf hnta nt T T kosè nf Anf h nf () En los asos partulares e seones retanular tranular el punto e nflexón one on el nterepto. La funón fuerza espeífa (0), en el rano e alores postos e la profuna, tene un alor mínmo relato a una profuna que se onoe omo profuna ríta a esa fuerza espeífa se le onoe omo fuerza espeífa ríta o mínma. Para un alor ao e la fuerza espeífa exsten tres profunaes que lo satsfaen. S el tal alor ao es maor que la fuerza espeífa mínma, exstrán tres alores e profuna que satsfaen la funón, os postos ferentes entre sí uno neato. S la fuerza espeífa es la mínma, habrá os alores e profunaes postas uales entre sí, que orresponen presamente a la profuna ríta, una profuna neata. S la fuerza espeífa es menor que la mínma, la soluón estará formaa por una pareja e alores omplejos onjuaos entre sí por un alor neato e la profuna. Para too alor e M maor que el mínmo, exsten os posbles profunaes postas e flujo que se onoen omo profunaes onjuaas: una e ellas, maor que la profuna ríta, es la profuna seuente, que orrespone al estao subríto la otra, menor que la profuna ríta, está asoaa al estao superríto el flujo. La fuerza espeífa mínma es el ímpetu mínmo que se requere en una seón e flujo para mantener el momento el flujo. S el mpulso en una seón es nferor a este alor mínmo, el flujo se remansa para aumular maor anta e momento que a su ez permta transportar la masa flua. Mentras se aumula esa anta e momento, el flujo eja e ser permanente se onoe omo flujo no permanente. S la euaón que esrbe el omportamento e la funón fuerza espeífa (0) se era on respeto a la profuna e flujo, se obtene: Esuela e Inenería e Antoqua 7

6 LA FUNCIÓN FUERZA ESPECÍFICA EN CANALES M h A h Q A h kosè A h h () A h Combnar esta expresón on (), () la ontnua el flujo, permte obtener, en onones e fuerza espeífa mínma (M/0): A k T osè khosè () por onsuente: k ( D h ) osè (7) que no es más que una forma el número e Froue para el estao ríto e flujo, en el sento e la fuerza espeífa mínma, ferente el rtero ríto a partr el flujo e enería, o el flujo e masa (Naranjo, 000). De esta manera, puee efnrse el número e Froue así: F k( D h)osè (8) onertrlo a una expresón que ontena sólo elementos eométros: F (9) k ( D h) A osè Cuano una arable tene la letra por subíne se refere al alor e esa arable en estao ríto. El estao e flujo se araterza por su relaón e fuerzas e nera a rataonales meante el número e Froue o por su relaón e fuerzas e nera a sosas meante el número e Renols. La onseraón e los os estaos a la ez orrespone a la lasfaón el rémen e flujo (Chow, 99). Con la expresón eneral para la fuerza espeífa (0) en la onón mínma, ombnaa on (9), tambén en estao ríto, se obtene: M ka ( h D )osè (0) Las expresones enerales enontraas se pueen ealuar para alunas seones transersales partulares así obtener los resultaos naos en la tabla. Tanto en la tabla omo en la tabla en las emás que se presentarán puee aprearse que las seones retanular tranular son asos partulares e la seón trapeal. EFECTO DE LAS PEQUEÑAS PENDIENTES LONGITUDINALES La tabla muestra alunos alores e nterés asoaos a pequeños ánulos e nlnaón lontunal. Los alores onsnaos en la tabla muestran que para anales on penentes tan altas, ese el punto e sta hráulo, omo 0%, se obtenen orreones e altura e flujo nsnfantes, representaa por osθ. El efeto e la orreón smultánea e la presón la altura e flujo por penente, representaa por os θ, na que, on penentes nferores a 7,%, se refleja en mantues nferores a la entésma. Así msmo, para pequeñas nlnaones e los anales, nferores al 7%, se obsera la uala entre el ánulo, el seno, la tanente la penente. Tambén se obsera que para penentes nferores a 0,%, el efeto el peso el olumen e líquo en el olumen e ontrol, representao por sen θ, empeza a ser nsnfante. Por supuesto que s en alunas runstanas los efetos e la orreón para alunas penentes son nsnfantes, no mpe que esos alores puean alularse s se requere maor pulrtu en los álulos. 8 Resta EIA

7 Tabla. La fuerza espeífa en ersas seones transersales. Cualquera Trapeal Retanular Tranular Parabóla ( )( ( )) b hz z b h z z ( b hz z )( b hz z ) k( D h)osè ( ) k Dh A osè hosè β Q ( b h z z ) ( h ( z z ))( b h z z )( b h z z ) h osè b ( D h ) A ( b h ( z z ))( b h z z )( b h z z ) hosè b h z z kosè khaosè A ka ( h D )osè ( b h z z ) h osè ( b h z z ) h βq ( )( ) b h ( z z ) b h z z b h z z h osè hosè h osè b h osè ( ) ( ) Q b 8 os è ( ) bh osè bh bh osè h ax hosè 8 7β aq z z h osè h osè z z os è ( z z ) h osè βq z z h ( ) ( ) osè 7aQ os è Th osè Th z z h T h osè Tabla. Ánulos funones e nterés en hráula e anales. anales. ánulo rao raán osθ os θ senθ tanθ So % % % % % % % % % % % LA FUNCIÓN FUERZA ESPECÍFICA REDUCIDA EN CANALES (M ) La funón fuerza espeífa (0) aopta alores ferentes e auero on el aual que transporta el anal. Se puee obtener una expresón amensonal e nepenente el aual a partr e una reuón e las arables respeto a las onones rítas. Seún lo anteror, se pueen transformar las expresones reportaas en la tabla para obtener las araterístas e anales horzontales omo se muestra en la tabla. Así, a partr el número e Froue (9), en estao ríto, se puee esrbr: haosè () k ( D h ) A Esuela e Inenería e Antoqua 9

8 LA FUNCIÓN FUERZA ESPECÍFICA EN CANALES Tabla Tabla. La. La fuerza fuerza espeífa espeífa en en anales anales horzontales horzontales Cualquera Trapeal smétra Retanular Tranular Seón smétra Seón F β F β k( D ) F β F β k ( D ) A ( b z)( b z) ( b z)( b z) β Q ( b z) ( b z)( b z)( b z) βq,β ( D ) ( )( )( ) b z b z b z βq ( Q b) A,,β b z k b β Q z β, β βq z Parabóla, β h ax 7βQ 7βaQ M M ka A M ka ( D ) M ( b z) βq b ( h z) ( b z)( b z) b b βq z z Q T T β z b z T b Ahora, la relaón () se aopta omo fator para obtener las formas amensonales e la funón las arables e flujo ríto se usan para efnr otras arables amensonales, así: M M' h A osè () ' () A A' () A De manera que es posble obtener, meante la ombnaón e (0) on (), (), () (): ( D h ) k M' k' A' () A' Esta expresón es la funón e fuerza espeífa reua para ualquer seón transersal e anal. Meante proementos análoos puee obtenerse la expresón para la fuerza espeífa reua en anales on otras seones transersales, tal omo se muestra en la tabla. Fnalmente, ale la pena resaltar que la euaón para la fuerza espeífa reua (), es amensonal representa una famla e uras, nepenentemente el aual que rule por el anal e su penente, está representaa en la fura, para aras seones transersales. / Trapeal b/h; zz Retanular Tranular Parabóla M ' M /h A o s? Fura. Fuerza espeífa reua en ersas seones transersales 70 Resta EIA

9 Tabla. Fuerza espeífa reua en ersas seones transersales. rza espeífa reua en ersas seones transersales Cualquera Trapeal Retanular Tranular Parabóla Seón M khaosè A ( ) b h z z h osè ( b h z z ) h bh osè bh ( z z ) ( z z ) h βq h osè h ax Th osè βq Th Fator e reuón h A osè k D h A ( ) ( b h z z ) βq ( b h z z) ( h ( ))( ) z z b h z z h b h osè βq bhosè bh ( z z ) βq ( z ) z h h osè Thosè 9βQ T h M M k' A' k ( D h ) D k h A' b h 'z z b h z z ' ( b h 'z z )( b h z z )( b h ( z z )) ( )( ) ( b h z z) ( b h ( z z ) ( b h z z )( b h z z ) b h z z b h 'z z ' ' ' ' ' ' ' CONCLUSIONES En la seón transersal e eometría eneralzaa en un anal on ualquer penente, se pueen obtener: La funón fuerza espeífa (euaón 0) El número e Froue a partr el rtero e fuerza espeífa (euaón 9) La profuna ríta a partr el rtero e fuerza espeífa mínma (euaón 9 on el número e Froue untaro) La fuerza espeífa mínma (euaón 0) La fuerza espeífa reua (euaón ) La ombnaón e las euaones () () permte estuar el transporte e la anta e momento, por tanto, el omportamento e la altura el flujo raual o rápamente arao a lo laro e un anal sn estruturas o reulao por una ompuerta o por un azu, o en una transón raual, o en un resalto hráulo s se onoen las onones e flujo en la seón nal o en la seón seuente, para una seón eneralzaa o partular, pero too ello se presentará en otro esrto se publará en otra oportuna. LISTA DE SÍMBOLOS A a área mojaa e la seón transersal el anal. nerso el latus retum e la seón transersal parabóla. A área mojaa reua e la seón transersal el anal. A A f A A nf A nt b área mojaa ríta e la seón transersal el anal. área mojaa e la seón transersal fnal. área mojaa e la seón nal el olumen e ontrol. área mojaa e la seón para el punto e nflexón e la funón fuerza espeífa área mojaa el flujo en el nterepto e la funón fuerza espeífa. anho el fono en la seón transersal retanular o trapeal. Esuela e Inenería e Antoqua 7

10 LA FUNCIÓN FUERZA ESPECÍFICA EN CANALES D D F e F p F pf F p F β f h h h nf h nt h k L M profuna hráula en la seón. profuna hráula ríta en la seón. fuerza externa que atúa sobre el olumen e ontrol. fuerza estáta total sobre la seón transersal. fuerza eba a la presón en la seón fnal el olumen e ontrol. fuerza eba a la presón en la seón nal el olumen e ontrol. número e Froue para flujo e anta e momento (Boussnesq). subíne para la seón fnal el olumen e ontrol. aeleraón rataonal loal. profuna hasta el entro e área. profuna e flujo en la seón, perpenular al fono el anal. Orenaa e la seón parabóla. profuna e flujo en la seón para el punto e nflexón e la funón fuerza espeífa. profuna e flujo en el nterepto e la funón fuerza espeífa. profuna ríta el flujo en la seón perpenular al fono el anal. subíne para la seón nal el olumen e ontrol. fraón e profuna el entro e área en la seón respeto a la profuna el flujo. lontu el olumen e ontrol en la reón el flujo. fuerza espeífa. M fuerza espeífa reua para la seón el anal. M fuerza espeífa mínma. M fuerza espeífa mínma reua. n-n seón transersal perpenular al fono el anal. p p Q S o T T T nf presón en el entro e área. funón strbuón e presón en la seón. aual que rula a traés e la seón. penente el fono el anal. anho e la superfe lbre en la seón transersal. anho e la superfe lbre ríto. anho e la superfe lbre en el punto e nflexón e la funón fuerza espeífa. olumen el líquo entro el olumen e ontrol. f h x eloa mea el flujo en la seón. eloa ríta en la seón. eloa mea en la seón fnal el olumen e ontrol. eloa mea en la seón nal el olumen e ontrol. funón eloa en térmnos e la stana h ese el fono. abssa e la seón parabóla en sento perpenular al flujo. profuna e flujo, paralela al eje ertal. profuna reua para la seón el anal.,β z z z W β γ θ ρ profuna ríta. profuna ríta obtena on el rtero e fuerza espeífa mínma. omponente horzontal el talu (V:zH), uano son uales en ambas márenes. omponente horzontal el talu (V:z H) orresponente a la maren ereha el anal. omponente horzontal el talu (V:z H) orresponente a la maren zquera el anal. peso el líquo onteno en el olumen e ontrol. oefente e orreón e anta e momento o e Boussnesq. peso espeífo el líquo. ánulo e nlnaón el anal meo on la horzontal. ensa el líquo. BIBLIOGRAFÍA CHOW, Ven Te (99). Open-Channel Hrauls. New York : MGraw-Hll, 7 p. NARANJO MESA, Jore Alberto (000). La seón ríta son tres. XIV Semnaro Naonal e Hráula e Hroloía. Vlla e Lea, Colomba, oumento. NAUDASCHER, Euar (00). Hráula e anales. Méxo : Lmusa, 8 p. NEWTON, Isaa (87). Phlosophae Naturales Prnpa Matemáta. Barelona, España : Altaza, p. 7 Resta EIA