Relatividad Especial *

Transcripción

1 l Prnpo de relatvdad las lees de Mawell Relatvdad speal * Rafael erraro l Prnpo de relatvdad afrma que las msmas lees fundamentales de la ísa se satsfaen en todos los sstemas nerales. Cabría entones preguntarse s las lees de Mawell tenen o no el status de lees fundamentales de la ísa en el sentdo de que se aplque a ellas el enunado del Prnpo de Relatvdad. Para analar esta uestón onsderemos la sguente dstrbuón de argas: mag La gura de la querda muestra dos hlos nfntos que portan orrentes guales; uno es neutro el otro está argado. Las lees del eletromagnetsmo nos den que este una nteraón magnéta entre ambos hlos. n la gura de la dereha se representa la msma onfguraón vsta en un sstema de referena que aompaña a las argas postvas. n este aso las lees de Mawell nos den que no este nteraón alguna pues uno de los hlos aree de orrente mentras que el otro hlo aree de arga. Los resultados obtendos de aplar las msma lees en dos sstemas de referena dstntos son laramente ontradtoros la estena de una nteraón debería ser un heho absoluto ndependente del sstema de referena. prmera vsta esta ontradón pareería ndar que no es posble utlar las lees de Mawell en dos sstemas de referena dstntos. n tal aso las lees de Mawell no umplrían el Prnpo de Relatvdad sería menester dentfar el sstema de referena donde las lees de Mawell son aplables. Sn embargo debe remararse que el paso de la gura de la querda a la gura de la dereha no es ompletamente noente porque entraña dos suposones: que las dstanas no amban que las argas no amban. La reena en dstanas absolutas ha sdo una pedra basal en la onstruón de la Meána de Newton debemos admtr que nuestra eperena otdana nos da repetdas muestras de que se trata de una buena hpótess sobre la naturalea del espao. Sn embargo la eperena otdana es buena onseera sólo en el rango de fenómenos que ella msma abara. amnemos ómo entra la reena en dstanas absolutas en las transformaones de Galleo: O P O * ersón en astellano de R. erraro Relatvdade speal nas da sola do CP ol. p. 7-3 edtado por L.M.C.S. Rodrgues et al. Centro raslero de Pesqusas ísas Ro de Janero 5 ISN

2 n la gura está laro que d OP doo do P. sta relaón entre dstanas vale s todas las dstanas están meddas en un msmo sstema a sea S o S. Lo que llamamos oordenada no es más que la dstana d O P medda en S mentras que es la dstana d O P medda en S. Por otro lado d O O medda en S es gual a t. De aquí se onlue que d O P medda en S t Sólo nuestra reena en dstana absolutas nos nta a reemplaar el membro querdo por para así obtener las transformaones de Galleo. Dho sea de paso la hpótess de dstanas abolutas lleva neorablemente a onsderar tempos gualmente absolutos. n efeto para que no haa prvlego entre S S la transformaón de Galleo nversa debe verse gual a la dreta salvo por el ambo de por : pero esto es onsstente sólo s t t t t. 3 l problema planteado más arrba sobre el uso de las lees de Mawell en sstemas de referena dstntos suele eponerse en esta sentena: las lees de Mawell NO son nvarantes ante transformaones de Galleo. S las transformaones de Galleo son nuestra herramenta para pasar de un sstema de referena a otro entones las lees de Mawell no podrían ser utladas más que en un úno sstema de referena no entrarían dentro del Prnpo de relatvdad. n realdad esta uestón tenía sn udado a Mawell porque las ondas eletromagnétas que resultaban de sus euaones eran vstas por aquel entones omo ondas materales resultado de la perturbaón de un medo materal: el éter omo otras tantas ondas materales onodas el sondo la perturbaones de la superfe del agua de un estanque et.. ste tpo de fenómenos tene un sstema de referena naturalmente prvlegado que es el sstema fo al medo materal donde la perturbaón se propaga. La euaón de onda que desrbe esa propagaón es válda sólo en el sstema fo al medo nade pretendía que sea nvarante ante transformaones de Galleo es fál verfar que no lo es. Más aún la velodad de propagaón de la onda está esrta en la propa euaón de onda apareendo omo un oefente relaonado on las propedades del medo materal; es evdente que ésa sólo puede ser la velodad de propagaón relatva al medo. n efeto de las transformaones de Galleo resulta que las velodades no son nvarantes: u u 4 por lo tanto una euaón de onda no podría valer más que un úno sstema de referena. La teoría ondulatora de la lu era anteror a Mawell: naó on Hugens 678 alanó su formulaón matemáta aabada on resnel 88. La semeana entre el valor meddo de la velodad de la lu la velodad de propagaón de las ondas eletromagnétas en la teoría de Mawell demostró que la lu es un fenómeno eletromagnéto. l aráter ntangble del éter la lu se propaga en regones aparentementemente vaías movó a los físos del sglo XIX a ntentar detetar no a el éter msmo sno nuestro estado de movmento respeto del éter. Los epermentos busaban medr dferenas en las velodades de propagaón de raos de lu que revelaran una omposón galleana de velodades entre la velodad de la lu relatva al éter la velodad del laboratoro relatva al éter Hoe 868; Mhelson 88; Mhelson-Morle 887; et. o alteraones de la le de Snell debdas al movmento relatvo al éter del materal transparente donde un rao se refrata rago 8; r 87. Lo resultados de estos epermentos fueron sempre negatvos: el movmento del laboratoro relatvo al éter nuna se evdenó. Se teeron dstntas hpótess aera de la nteraón del éter on la matera para ustfar estos resultados. stas teorías dnámas sobre la nteraón entre éter el resto de la matera alanaron su forma más elaborada en la Teoría de los eletrones de Lorent 895.

3 La relatvdad de nsten Mentras la omundad entífa debatía estas uestones en 95 nsten ambó el enfoque del problema proponendo que las lees de Mawell son lees fundamentales que ntegran por lo tanto el onunto de lees que satsfaen el Prnpo de relatvdad. Para nsten el ampo eletromagnéto tene entdad propa no presa una materalaón medante la dea de un éter. S el éter no este entones no ha nada que prvlege un sstema de referena frente a otro las lees de Mawell deben ser váldas en ualquer sstema de referena neral. sto sgnfa que la lu se propaga on la msma velodad en ualquer sstema de referena neral. No esten entones las dferenas de velodad busadas por los epermentadores la le de Snell se umple en ualquer laboratoro donde el materal refratante esté en reposo relatvo. Claro que admtr una velodad fnta nvarante rompe on el teorema de adón de velodades de Galleo supone entones el abandono de nuestra reena en dstanas tempos absolutos. nsten propuso elevar las lees de Mawell al rango de lees fundamentales abandonado nuestras noones ntutvas de espao tempo para subordnarlas a la nvarana de la velodad de la lu. Proederemos ahora a replantear la transformaón de oordenadas udando de no ntrodur en ellas preuo alguno sobre la naturalea del espao el tempo. n la gura se muestra una barra reorrda por una partíula; el movmento relatvo barra-partíula está araterado por la velodad relatva : L o L n la gura de la querda se desrbe el movmento relatvo en el sstema fo a la barra mentras que la gura de la dereha lo desrbe en el sstema fo a la partíula. Como no estamos dspuestos a preugar sobre la naturalea del espao el tempo hemos dbuado la barra on dstntas longtudes en ada sstema. Llamamos longtud propa L o a la longtud de la barra en el sstema donde se enuentra en reposo. l tempo que demora el reorrdo de la partíula a lo largo de la barra tambén puede depender del sstema de referena. Llamaremos tempo propo τ al tempo tranurrdo entre dos eventos meddo en el sstema de referena donde los eventos ourren en la msma posón sempre que tal sstema esta. n el aso bao estudo los dos eventos son el paso de la partíula por un etremo de la barra el paso de la partíula por el otro etremo de la barra. stos dos eventos ourren en la msma posón en el sstema fo a la partíula; de modo que el tempo transurrdo entre los eventos es un tempo propo en el sstema de la gura de la dereha. La mera defnón de velodad nos permte esrbr: L o t L τ 5 donde t es el tempo del reorrdo de la partíula a lo largo de la barra en el sstema de la gura de la dereha. De aquí resulta t τ Lo L 6 sta relaón nos de que s estamos dspuestos a renunar a dstanas absolutas L o L tambén habremos de renunar a tempos absolutos τ t. demás nos de que la relaón entre la longtud en movmento la longtud propa de un msmo uerpo tene el msmo aráter que la relaón entre tempo propo el tempo entre el msmo par de eventos en otro sstema de referena. Conretamente ambas relaones no pueden depender más que de la velodad relatva entre el sstema propo orrespondente el otro sstema de referena arbtraro. La euaón 6 de entones que la msma funón γ que epresa la relaón entre longtudes ha de epresar tambén la relaón entre tempos: L o t γ γ 7 L τ 3

4 n realdad las relaones 7 suponen que el espao el tempo son sótropos homogéneos; de otra forma las relaones podrían depender del lugar o el nstante de ourrena de los eventos o de la orentaón de la barra. amos a admtr omo en la ísa lása que el espao está dotado de una geometría euldana por lo tanto es sótropo homogéneo que las relaones 7 no dependen del tempo homogenedad del tempo. La forma de la funón γ será dtada por la nvarana de la velodad de la lu a la ual se subordnarán las noones de espao tempo. Para hallar γ reemplaemos la partíula del epermento anteror por un rao de lu oloquemos un espeo en un etremo de la barra onderemos omo par de eventos el paso del rao de lu por el etremo lbre de la barra su regreso al msmo luego de reflearse en el espeo. n este aso el tempo propo entre los eventos orresponde al sstema fo a la barra pues ambos eventos ourren en el msmo etremo de la barra. Como la lu vaa on velodad en ualquer sstema! dremos que τ L o 8 en tanto en el otro sstema el tempo t entre los eventos lo alulamos on la msma velodad para el rao de lu; tenendo en uenta el desplaamento de la barra de longtud L resulta t t L t L t da da vuelta vuelta entones L L L t tda tvuelta. 9 Dvdendo 8 9 usando las relaones 7 se obtene γ. Luego ontraón de longtudes L Lo dlataón del tempo t τ stas son las relaones entre longtudes tempos que resultan de admtr la estena de una velodad fnta nvarante gual en todos los sstemas de referena. Las transformaones de Galleo en ambo no dean nnguna velodad fnta nvarante véase 4; podría derse que la úna velodad nvarante en 4 es la velodad 4

5 nfnta. Consstentemente podemos reenontrar las noones lásas de espao tempo tomando en - el límte. Tambén podemos ver en - la raón por la ual nuestra eperena otdana no es apa de revelarnos la relatvdad de dstanas tempos: la velodad nvarante la velodad de la lu es muho maor que las velodades nvoluradas en el rango de fenómenos otdanos de modo que el fator γ es prátamente gual a en ese rango. Intuen ahora uál es la respuesta relatvsta al problema planteado en la prmera gura? Podríamos preguntarnos qué suede on el fator γ s >. S fuera maor que entones el rao de lu no alanaría al espeo en el sstema donde la barra se mueve. sto nos llevaría a una stuaón absurda donde un evento que ourre en un sstema la llegada del rao de lu al espeo no suede en otro sstema. sto nos está ndando que la velodad debe ser una velodad límte para los uerpos materales: <. olveremos a esta uestón en la lase de Dnáma relatvsta. hora sabemos qué haer on d O P medda en S en la euaón. La oordenada es d O P medda en S puede pensarse omo la longtud L o de una regla en reposo en el sstema S. ntones d O P medda en S es la longtud ontrada de esa regla: d O P medda en S γ d O P medda en S γ la euaón resulta: γ t 3 ero : Para que los sstemas S S estén en pe de gualdad la transformaón nversa de 3 debe tener su msma forma salvo por el ambo de por γ t. 4 Utle 3 4 para obtener t γ t. 5 t γ t. 6 ero : Medante un epermento pensado omo el que permtó obtener γ demuestre que las longtudes transversales a la dreón del movmento no amban: 7 8 uda: oloque la barra on el espeo perpendular a la dreón del ee. Las transformaones son las transformaones de oordenadas que dean nvarante la euaón de onda on velodad de propagaón. Se llaman transformaones de Lorent ogt 887; Larmor 9; Lorent unque fueron obtendas antes del trabao de nsten su nterpretaón era ompletamente dferente. Mentras que para nsten la ontraón de longtudes la dlataón del tempo son efetos puramente nemátos que no prvlegan a sstema de referena alguno la barra tendrá longtud L o en ualquer stema de referena donde se enuentre fa tendrá longtud L en ualquer sstema de referena donde se mueva longtudnalmente on velodad según Lorent la velodad era la velodad de la barra respeto del éter la ontraón era un heho absoluto verfado en todo sstema de referena produdo por una nteraón on el éter. Según Lorent la dlataón del tempo no afetaba al tempo absoluto sno que nvoluraba a un tempo matemátamente aular. 5

6 n Relatvdad es omún utlar gráfos t vs.. n tales gráfos un evento es un punto un rao de lu es una reta a 45. Los movmentos de las partíulas se denomnan líneas de unverso: línea de unverso de una partíula en reposo t t línea de unverso de una partíula on velodad onstante < u < tgα u / u t t línea de unverso de un rao de lu u α t o s omún nsertar las líneas oordenadas del sstema S en el gráfo espao-temporal del sstema S. Para ello usamos las transformaones 3 5 para determnar el lugar geométro de los eventos que tenen t onstante onstante ; resultan ser retas de pendente / / respetvamente. n partular t aratera a los eventos que forman el ee mentras que aratera a los eventos que forman el ee t : t t α t α Para etraer resultados uanttatvos de estos gráfos mtos es neesaro albrar prevamente los ees de ambos sstemas de referena. dferena de las rotaones las transformaones de Lorent no dean nvarantes runferenas sno hpérbolas omo veremos enseguda; de manera que las undades de medda en los ees de S dferen de las de los ees de S. n ambo no ha dfultad en etraer resultados ualtatvos el más evdente de todos es que lo eventos que son smultáneos en S no lo son en S veversa. La smultanedad de eventos es una noón relatva mentras que en ísa lása es absoluta. n efeto en el sstema S son smultáneos todos los eventos que tengan la msma oordenada t es der todos los puntos que estén sobre una msma reta paralela al ee de la gura anteror. Por otro lado en S son smultáneos todos los eventos que tengan la msma oordenada t es der que se trata de puntos dspuestos sobre retas paralelas al ee de la gura anteror. vdentemente las noones de smultanedad de ada sstema dferen entre sí t NO mpla t en las transformaones de Lorent. La relatvdad de la smultanedad es el ngredente neesaro para ustfar que dos sstemas de referena no auerden en las dmensones de un obeto. La medón de una barra en el sstema S mpla la determnaón de las poones smultáneas de sus etremos. sta medón no es buena para el sstema S porque éste no omparte la noón de smultanedad de aquél. 6

7 ero 3: Muestre que las transformaones de Lorent dean nvarante la sguente ombnaón de dstanas tempos que llamamos ntervalo: s t r 8 donde t r son el tempo transurrdo la dstana entre dos eventos ualesquera r. Invarante sgnfa que la magntud en uestón tene el msmo valor en ualquer sstema de referena. l ntervalo tendría el aspeto de una dstana euldana en un espao-tempo de uatro dmensones s no fuera porque las oordenadas espaales entran on sgno opuesto al de la oordenada temporal. Se de entones que el espao-tempo tene una geometría pseudo-euldana espao-tempo de Mnows. La nvarana del ntervalo permte lasfar pares de eventos en forma ndependente de los sstemas de referena. Dremos que un par de eventos tene separaón temporal espaal o nula según s el ntervalo entre ellos es postvo negatvo o ero. Los eventos on separaón nula están sobre raos de lu s t ± r sta lasfaón absoluta ntrodue en el espao-tempo la noón de ono de lu de un evento. l ono de lu de un evento está formado por todos los eventos que tenen separaón nula on. sto sgnfa que el ono de lu de está generado por todos los raos de lu que pasan por. Los eventos nterores al ono de están separados temporalmente de. Los eventos eterores al ono de están separados espaalmente de. partr de la gura anteror no es dfíl ver que s dos eventos están separados temporalmente sempre es posble onstrur un sstema de referena donde los dos eventos ourren en la msma posón de manera que para ellos este un tempo propo. n ambo s dos eventos están separados espaalmente sempre este un sstema de referena donde los dos eventos son smultáneos; en el resto de los sstemas de referena o ben ourre antes que o ben ourre antes que. Por lo tanto no puede hablarse de una relaón ausa-efeto entre eventos separados espaalmente. n ambo el orden temporal de dos eventos separados temporalmente es el msmo en todos los sstemas de referena. t 7

8 Composón relatvsta de movmentos olvamos a realar un epermento pensado para averguar uál es la orreón relatvsta que ha de sufrr el teorema de adón de velodades de Galleo 4. Nuevamente onsderemos una partíula que reorre on velodad u la longtud de una barra que se mueve on velodad. u u L L o l tempo transurrdo entre los pasos de la partíula frente a ada etremo de la barra satsfae u t L t γ L o t γ u t t n este aso n t n t son tempos propos porque el tempo propo transurre en el sstema fo a la partíula. La relaón del tempo propo on t t es entones t γ u τ t γ u τ de modo que γ u t γ u t reemplaando u γ u u γ u γ. 9 S agregamos al movmento de la partíula una omponente transversal reordamos que entones u t u t resulta γ u u γ u análogamente γ u u γ u u. u Cuando los fatores γ tenden a se reuperan las transformaones de velodad galleanas. n las transformaones 9- podemos desembaraarnos de γu γu. Para esto onstrumos la transformaón nversa de 9 valéndonos del argumento de que el úno ambo debe ser el de por : Reemplaando 9 en se obtene dvdendo 9 por : u γ u u γ u γ. u γ u γ u γ u u u u u u u u 3 u ero 4: Reobtenga las transformaones 3 dervando las transformaones de Lorent de las oordenadas a lo largo de la línea de unverso de la partíula. ero 5: Derve las transformaones 3 para obtener las transformaones de la aeleraón. 8

9 Dnáma relatvsta Las nuevas noones de espao tempo adeuadas para dar a las lees de Mawell el status de lees fundamentales que verfan el Prnpo de relatvdad oblgan a reformular la Dnáma lása. n efeto las lees de la Dnáma newtonana se basan en la nvarana de dstanas tempos. n la Segunda Le de Newton m a la fuera es dtada por una le para la nteraón omo la le de gravtaón la le de Hooe et.; las nteraones fundamentales dependen de dstanas omo las dstanas son nvarantes tambén lo son las fueras. Por otro lado las aeleraones son nvarantes ante transformaones de Galleo. De esta forma la Segunda Le de Newton es onsstente on el Prnpo de relatvdad galleano la masa es onsderada una propedad de la partíula ndependente del sstema de referena. n ambo en Relatvdad la nteraón paradgmáta es la nteraón eletromagnéta de manera que la fuera paradgmáta es la fuera de Lorent que depende de la velodad de la arga. Por otro lado leos de ser nvarante la aeleraón se transforma de manera mu omplada ante transformaones de Lorent. sto sgnfa que no paree una buen plan reformular la Dnáma omenando por la Segunda Le de Newton. Cuando se ombnan la Segunda Le de Newton on el Prnpo de ón Reaón Terera Le de Newton se obtene la onservaón de la antdad de movmento de un sstema de partíulas aslado. La onservaón resulta de la anelaón de a pares de todas las fueras nternas las únas que esten en un sstema aslado debdo a que en ada nstante son guales opuestas. Cualquer varaón de la antdad de movmento de una parte del sstema es ompensada nstantáneamente por una varaón gual opuesta de otra parte del sstema. sta ompensaón nstantánea ourre aún s ambas partes están separadas porque en ísa lása se admte la estena de nteraones nstantáneas a dstana. La onservaón de la antdad de movmento se verfa en todos los sstemas nerales omo podemos omprobar s multplamos el teorema de adón de velodades por la masa de la partíula sumamos sobre todas la partíulas del sstema: u u m u m u m p p m Σ p Σ p Σ m. 4 l últmo térmno de la últma euaón es la masa total del sstema multplada por la velodad relatva S -S. n ísa lása se aepta la onservaón de la masa de un sstema aslado. ntones la onservaón de la masa de la antdad de movmento en S onduen a la onservaón de la antdad de movmento en S. Será la le de onservaón de la antdad de movmento un buen punto de partda para reformular la Dnáma? n prmer lugar la Relatvdad no puede aeptar que una magntud se onserve porque una varaón de esa magntud en un lugar se ompense nstantáneamente por otra varaón gual opuesta en otro lugar. La noón de smultanedad no es absoluta; eventos separados espaalmente que son smultáneos en un sstema de referena no lo son en otro sstema de referena. ntones la ompensaón nstantánea a dstana onservaría una magntud en un úno sstema de referena volaría el Prnpo de relatvdad. Las únas ompensaones admsbles deben ser loales. l eletromagnetsmo nuestra nteraón paradgmáta nos enseña ómo deben ser las lees de onservaón en una teoría relatvsta. Por eemplo la onservaón de la arga se epresa medante la euaón de ontnudad que es una euaón dferenal que de que las varaones loales de arga se deben elusvamente a un fluo de argas haa puntos venos. Del msmo modo la varaón loal de la antdad de movmento del ampo eletromagnéto es balaneada por un fluo dado por el tensor de esfueros una transferena a las argas presentes en ese lugar. s der que s en un sstema de argas varía la antdad de movmento de alguna de ellas esta varaón se debe elusvamente a un nterambo de antdad de movmento entre la arga el ampo en la posón de la arga. Como el ampo transporta energía antdad de movmento on una velodad fnta más tarde podrá nterambar antdad de movmento on argas en otro lugar. n eletromagnetsmo no ha ompensaones nstantáneas a dstana; sólo ha nterambos loales onservaones loales. n Relatvdad la nteraón nstantánea a dstana es reemplaada por nteraones medadas por ampos que tranportan energía antdad de movmento on velodad fnta. Por lo tanto uando se estuda un sstema de partíulas en nteraón no se onserva la antdad de movmento de las partíulas por separado omo dría la Terera Le sno que se onserva loalmente la antdad de movmento de las partíulas el ampo medador. Nuestro obetvo es averguar uál es la magntud que tene el papel de la antdad de movmento relatvsta de una partíula. Para evtar onsderar ampos medadores omenaremos estudando un sstema de partíulas lbres que sólo nteratúan loalmente a través de hoques. sí la úna antdad de movmento en uego será la de las 9

10 partíulas. S repetmos el esquema de la euaón 4 on las transformaones relatvstas de velodad 9- obtenemos: [ mγ u u m u ] mγ u u γ γ m γ u u mγ u u m γ u u mγ u u. stas epresones sugeren fuertemente que la magntud que uega el papel de antdad de movmento de una partíula de auerdo on las noones relatvstas de espao tempo debería ser m u p mγ u u. 5 u Naturalmente el epermento estará enargado de onfrmar s esta es la magntud onservada o no. n 98 uherer verfó epermentalmente que la defleón de una partíula argada de alta velodad en un ampo elétro unforme no seguía la le m a ; el apartamento era onvnentemente desrpto por d p / d t donde p es la antdad de movmento relatvsta 5. Según vemos en las euaones anterores p se transforma de la sguente manera: [ p m u ] p p p p. p γ γ 6 sta transformaón trae una sorpresa que podría derse el resultado más dramáto de la Relatvdad speal. Para que se onserve Σ p en S en S a no es la masa total del sstema la que debe onservarse por separado omo ourría en la euaón 4. Su lugar ha sdo tomado por m γu. De modo que la onservaón de la antdad de movmento relatvsta en todo sstema neral en auerdo on el Prnpo de relatvadad egría a no la onservaón de la masa de un sstema aslado sno la onservaón de una magntud que ombna las masas on las velodades de las partíulas ndvduales. Para entender qué tpo de magntud es ésta desarrollaremos γu: u 4 4 m γ u m m O u /. Naturalmente el prmer térmno del desarrollo es la masa. Pero el segundo térmno es la energía néta lása dvdda. Defnmos la energía relatvsta de una partíula omo m mγ u m T 7 u donde m es la energía en reposo T es la energía néta relatvsta. La energía relatvsta total de un sstema aslado debe onservarse; s así no fuera la onservaón de la antdad de movmento total no verfaría el Prnpo de relatvdad. Igualmente la onservaón de la energía relatvsta de un sstema aslado umple el Prnpo de relatvdad graas a la onservaón de la antdad de movmento. n un sstema de partíulas lbres que sólo nteratúan medante hoques la energía relatvsta total es la suma de las energías de las partíulas: ε Σ. S las partíulas nteratúan a dstana la energía relatvsta total nlue la energía de los ampos medadores. Combnando las defnones de energía antdad de movmento se obtene: p u. 8 ste es un típo resultado relatvsta: la antdad de movmento es un fluo de energía lo msmo suede on el ampo eletromagnéto donde el vetor densdad de antdad de movmento es proporonal al vetor de Pontng

11 Multplando por m en la euaón obtenemos la transformaón de la energía. Podemos reunr este resultado on la euaón 6 para esrbr: [ p ] p γ [ p ] p p p p. γ 9 Las transformaones 9 son enteramente smlares a las transformaones de Lorent de las oodenadas. La raón es ben smple: a hemos dho que entre dos eventos perteneentes a la línea de unverso de una partíula se umple que dt γ u dτ entones u dr / dt γ u dr / dτ p m dr / dτ m dt / dτ. Como dτ es nvarante se omprende entones que p se transforme gual que t r. Una msma transformaón mpla un msmo tpo de nvarante. l nvarante de la transformaón de Lorent de las oordenadas es el ntervalo. nálogamente el nvarante energía-antdad de movmento es p uo valor es p u γ u m 3 4 l nvarante energía-antdad de movmento da la medda de la masa de la partíula. S dferenamos la euaón 3 reemplaamos la euaón 8: d p dp d u dp dp d dr dt 3 La euaón 3 debe verse omo la relaón entre trabao varaón de la energía e nda que la fuera debe gualarse on dp / dt: dp 3 dt luego podremos verfar que la fuera de Lorent dp / dt se tranforman de la msma manera. stá laro que dp / dt no resulta proporonal a la aeleraón a pues p no es proporonal a u. n Relatvdad la fuera la aeleraón no son olneales. Como la energía relatvsta de una partíula tende a nfnto uando su velodad tende a habría que haer un trabao nfnto para que la velodad de una partíula se nreemente hasta alanar la velodad de la lu. Por lo tanto la velodad de la lu es una velodad límte para una partíula. Sstema entro de momento Se llama sstema entro de momento al sstema de referena donde se anula la antdad de movmento de un sstema aslado de partíulas. S la antdad de movmento es P en un sstema S que se mueve on velodad U respeto de S entones el valor de P en S es úsense las transformaones 9: P ε γ ε U. 33 U U Comparando la relaón 33 para un sstema de partíulas on la epresón 5 para una partíula se onlue que la energía ε del sstema físo en el sstema entro de momento uega el papel de masa del sstema multplada por. sto sgnfa que la energía nterna de un sstema ompuesto ontrbue a su masa. Por eemplo la masa de un gas deal ontendo en un volumen en reposo no es tan sólo la suma de las masas de sus partíulas sno que rebe una ontrbuón de la energía néta de las msmas.

12 quvalena masa-energía La onservaón de la energía relatvsta en reemplao del prnpo láso de onservaón de la masa abre la posbldad de onvertr masa en otros tpos de energía veversa sendo este el resultado más dramáto de la Relatvdad speal. Según nsten 95 la masa de un uerpo es una medda de su ontendo de energía. sta equvalena masa-energía se puede observar en dstntos fenómenos físos: defeto de masa: la masa de un sstema ompuesto no es la suma de las masas de sus onsttuentes pues la energía de lgadura ontrbue a su masa. Por eemplo un núleo de 4 He está formado por dos protones dos neutrones su energía en reposo masa es Me. Podemos pensar al 4 He omo onsttudo por dos deuterones un protón un neutrón ada uno. La energía en reposo masa de un deuterón es 8756 Me. Como se ve la masa de dos deuterones eede en 3845Me a la masa del 4 He. La masa del 4 He es menor que la suma de las masas de sus onttuentes porque rebe una ontrbuón negatva de la energía nterna de lgadura que mantene undos a los deuterones. fusón fsón nulear desntegraón espontánea: son reaones nuleares donde la masa de los produtos es menor que la masa de los reatvos; omo la energía relatvsta se onserva esto sgnfa que la dferena de masa se ha onvertdo en otro tpo de energía. La dsmnuón de masa que se produe tanto en la fusón donde núleos lvanos se unen para formar un núleo más grande omo en la fsón donde un núleo pesado se dvde en núleos más hos puede verse omo onseuena de que la energía de lgadura negatva por nuleón es reente para núleos lvanos hasta unos 6 nuleones por núleo mentras que deree para núleos pesados. energía umbral: esten reaones donde la masa de los produtos es maor que la masa de los reatvos. Por eemplo la reaón de un par neutrón-antneutrón en la olsón entre dos protones: p p p p n n sta reaón ourre sólo s los protones que hoan tenen energía néta sufente para dar uenta de la masa que se rea. n el sstema entro de momento donde se anula la antdad de movmento del sstema de partíulas la energía umbral de la reaón ε umbral es la que permte rear las partíulas deando todos los produtos en reposo. De auerdo on la transformaón de la energía en otro sstema de referena la energía umbral es ε umbral γu ε umbral. otones La Teoría Cuánta enseña que el ampo eletromagnéto nteramba su energía antdad de movmento on la matera omo lo harían partíulas de energía antdad de movmento hν p hν n 34 donde ν es la freuena n es la dreón de propagaón de las ondas planas que onfguran el ampo h es la onstante de Plan. Como p n resulta que las partíulas tenen la velodad de la lu véase la euaón 8 masa nula véase la euaón 3.

13 Transformaón de un rao de lu n un sstema de referena S sea un rao de lu on freuena ν dreón de propagaón n. Sea t el tempo transurrdo en el sstema S entre los pasos de dos frentes suesvos por la posón de un observador que se mueve on velodad. De manera que el segundo frente ubre en el tempo t la longtud de onda que lo separa del prmer frente más el desplaamento del observador normal a los frentes de onda. ntones n λ t λ n t ν t n Transformando t en tempo propo del observador obtenemos el período en el sstema del observador: t γ T obs γ ν. Luego ν n ν. 35 n partular ha efeto Doppler aún uando n. ste efeto Doppler transversal es un efeto típamente relatvsta provenente de la dlataón del tempo. Su verfaón epermental es una omprobaón dreta de la dlataón del tempo. Para hallar la transformaón de la dreón de propagaón nos valdremos de la transformaón nversa de 35 n ν ν 36 entones multplando llamando θ al ángulo entre la dreón de propagaón el vetor : n n os θ osθ osθ osθ Por lo tanto la dreón de propagaón en S aberraón de la lu es: osθ os θ osθ 37 ero 6: Reobtenga la euaón 35 usando la transformaón de la energía 9 aplada a un fotón véase 34. ero 7: Reobtenga la euaón 37 reemplaando en las transformaones 3 las omponentes de la velodad de una partíula que se mueve on velodad : u osθ u senθ u osθ u senθ. 3

14 Transformaones de Las transformaones de Lorent de las oordenadas es una ondón neesara para la nvarana de las lees de Mawell en umplmento del Prnpo de relatvdad. Pero no sólo las oordenadas sno tambén los ampos deben transformarse adeuadamente para ese fn. La lnealdad de las lees de Mawell nvta a probar on una transformaón lneal de los ampos. demás la transformaón deberá ser homogénea pues s el ampo eletromagnéto es nulo en un sstema de referena entones es gualmente nulo en ualquer sstema de referena. Los oefentes de la transformaón lneal sólo pueden depender de la velodad relatva entre S S. No pueden depender de las oordenadas del evento donde se evaluan los ampos porque el espao-tempo es homogéneo. Los vetores serán entones ombnaones de vetores lneales en los ampos ontrudas on. n esta onstruón deben atenderse los arateres de vetor polar del ampo elétro de pseudo-vetor o vetor aal del ampo magnéto. Son vetores polares son vetores aales. No hae falta onsderar más vetores lneales en los ampos: por eemplo es proporonal a. Por otra parte mentras que llamamos a las proeones de longtudnal transversal a. sto sgnfa que ambas proeones de los ampos pueden entrar en la transformaón on oefentes dferentes: es entones alguna ombnaón lneal de on oefentes dependentes a lo sumo de : e. e e3 nálogamente: b. b b3 n partular las proeones longtudnales de estas transformaones son e b omo las transformaones nversas deben verse gual que las dretas se onlue que e b :. 38 La proeón transversal de la transformaón del ampo elétro es Γ κ donde hemos redefndo los oefentes e e 3. s laro que κ debe ser gual a. n efeto una arga en reposo en S está sometda a una fuera proporonal a mentras que en S la fuera es proporonal a pues la arga se mueve en el sstema S on velodad. La anulaón de la fuera en un sstema tene que ondur a la anulaón de la fuera en ualquer otro sstema; pero esto sólo es posble s κ. Resta entones averguar el valor de Γ. Como sempre apelamos a que las transformaones nversa dreta deben tener la msma forma salvo por el ambo de por : de donde resulta además que Γ Γ Γ Γ. Para determnar el oefente Γ sustturemos en estas transformaones los ampos orrespondentes a una onda plana propagándose en la dreón de. Una onda plana es plana en ualquer sstema de referena neral los 4

15 5 ampos dependen lnealmente de las oordenadas las transformaones de Lorent de las oordenadas son lneales. demás sabemos que s la onda se propaga en la dreón de entones no sufre aberraón en la euaón 37 es θ θ. Como las lees de Mawell deben ser váldas en ualquer sstema de referena neral entones la onda plana estará araterada tanto en S omo en S por n n. 39 n nuestro aso es n / n reemplaando en las transformaones Γ Γ Γ Γ. Multplando esalarmente estas dos euaones resulta Γ γ. n suma las transformaones de Lorent de las omponentes transversales de los ampos son γ γ. 4 s mportante enfatar que podríamos haber obtendo el resultado κ on un poo más de esfuero sn haer menón alguna a argas. Por eemplo podríamos haber utlado una onda plana propagándose en S on una dreón transversal a valéndonos de la aberraón 37 llegar al msmo resultado. Las transformaones de los ampos sólo tenen que ver on las lees de Mawell en ausena de argas el aráter vetoral o pseudo-vetoral de los msmos. Transformaones de las densdades de arga orrente l método más dreto para tranformar las fuentes de ampo es busar una onfguraón senlla de fuentes obtener las transformaones de las fuentes a partr de las transformaones de los ampos. n el plano - onsderemos una lámna de espesor d argada unformemente on densdad ρ reorrda por una orrente unforme ˆ ˆ. Según las lees de Mawell los ampos resultan unformes fuera de la lámna su valores en el semespao > son: ˆ ˆ ˆ d d d π π ρ π. n un sstema S que se mueve a lo largo del ee respeto de S la dstrbuón de arga orrente es ualtatvamente smlar graas al tpo de onfguraón de fuentes elegdo las lees de Mawell son gualmente váldas de modo que: ˆ ˆ ˆ d d d π π ρ π. demás d d pues las longtudes transversales a la dreón del movmento relatvo no amban. ntones reemplaando estos valores de los ampos en las transformaones 38 4 se obtene ρ γ ρ γ ρ. 4

16 6 ero 8: Demuestre que la arga elétra ontenda en un elemento de volumen es nvarante. uda: omene evaluando la arga en el sstema donde ésta se enuentra en reposo luego tranforme a un sstema de referena arbtraro. ero 9: Utle la transformaón de los ampos para demostrar que la fuera de Lorent q u sobre una arga q nvarante se transforma según: u u u γ. 4 ero : Compruebe que dp/dt obedee una transformaón análoga a 4. ero : Resuelva la uestón sobre los ables paralelos planteada en la prmera lase. ero : Utle la transformaón de los ampos para demostrar que los potenales se transforman según: φ γ φ γ φ. 43

17 Cuadrtensores Del msmo modo que el lenguae vetoral ordnaro es el más adeuado para formular enunados que son nvarantes frente a rotaones espaales este un lenguae matemáto natural para enunar relaones matemátas que son nvarantes no sólo frente a rotaones espaales sno frente a transformaones del grupo de Lorent en general. se es el lenguae uadrvetoral desarrollado por Mnows. Llamaremos uadrvetor ontravarante a ualquer obeto formado por una magntud nvarante frente a rotaones un vetor ordnaro 3 44 que ante transformaones de Lorent se transforme omo lo hae el uadrvetor formado por las oordenadas de un evento: 3 t. 45 Llamaremos Λ a los oefentes de la transformaón de Lorent que transforma desde S a S. Por eemplo s la transformaón es un boost transformaón de Lorent sn rotaón espaal de ees artesanos a lo largo del ee entones la matr Λ es Λ γ β γ β β γ β β γ β 46 donde β /. Usando la onvenón de nsten suma sobre pares subínde-supraínde guales la transformaón de un uadrvetor ontravarante se esrbe Λ. 47 Ya onoemos varos uadrvetores ontravarantes: oordenadas de un evento t r energía-momento p p uadrvetor de onda π ν λ n densdad de arga-orrente ρ potenal eletromagnéto φ Podemos generar otros uadrvetores multplando un uadrvetor por un nvarante. Por eemplo sean τ las euaones paramétras de la línea de unverso de una partíula en funón de su tempo propo el tempo propo τ a lo largo de una línea de unverso resulta de tomar el ntervalo entre dos eventos venos de esa línea de unverso ds dt dr dt u dt γu dt dτ e ntegrarlo a lo largo de esa línea de unverso: τ ds; τ es un nvarante. Podemos entones defnr una uadrvelodad: U d τ dt dr γ u u. 48 dτ dτ dτ 7

18 Puede verse que p m U. 49 aléndonos nuevamente de la relaón dτ γu dt onstrumos la dervada de p respeto de τ a lo largo de la línea de unverso de la partíula: dp dτ γ u d dt dp dt ; entones defnmos la uadrfuera véanse las euaones 3 3 K u γ u. 5 Llamaremos uadrvetor ovarante a todo obeto de omponentes artesanas C que se transforma on los oefentes de la matr nversa de Λ. Nótese que usamos supraíndes para ndar el aráter ontravarante de un uadrvetor mentras que usamos subíndes para ndar el aráter ovarante. La matr nversa de Λ es aquella matr que ompuesta on ésta da por resultado la matr dentdad. n el aso de una transformaón de Lorent la matr nversa no es otra que la orrespondente a la transformaón que retorna de S a S; entones haremos ben en llamarla Λ : Λ Λ δ Λ Λ δ 5 la transformaón que defne a un uadrvetor ovarante es entones C C Λ. 5 ste omportamento garanta que una ombnaón ontraón del tpo C es nvarante ndependente del sstema de referena: C Λ C. 53 C Las dervadas parales artesanas omponen un uadrvetor ovarante. Llamamos gradente : 54 n efeto Λ. La uadrdvergena de t 3 t 55 es entones un nvarante. modo de eemplo nótese que la euaón de ontnudad -que epresa la onservaón loal de la arga elétra- no es más que la uadrdvergena de ρ gualada a ero: 8

19 ; 56 omo es nvarante ante transformaones del grupo de Lorent entones queda garantado que la euaón 56 se umple en ualquer sstema de referena. ste es un prmer eemplo para mostrar que el lenguae uadrvetoral es el lenguae natural para esrbr lees físas que mantengan su forma uando se pasa de un sstema de referena neral a otro medante transformaones del grupo de Lorent boosts rotaones espaales. s der que la formulaón ovarante de las lees físas automátamente manfesta el umplmento del Prnpo de relatvdad ante transformaones de Lorent. n general llamamos uadrtensor a todo obeto uas omponentes artesanas se dentfan medante r índes ontravarantes s índes ovarantes que ante transformaones del grupo de Lorent amban según T K l m K K l m K m m Λ Λ K T Λ Λ Λ K 57 La multplaón de uadrtensores resulta en uadrtensores on maor antdad de índes produto tensoral: l l l m n p m n p l T O C D 58 O es un nvarante. n partular m D n p es un uadrtensor. La ontraón de índes 53 se generala a ualquer par de índes ovarante-ontravarante de un uadrtensor da por resultado otro tensor on menor antdad de índes: l n p l n p T M. 59 ero 3: Demuestre que las antdades defndas en las euaones se transforman omo omponentes de un uadrtensor. Toda le físa que se esrba omo un uadrtensor gualado a ero o lo que es gual un uadrtensor gualado a otro uadrtensor automátamente atsfae el Prnpo de relatvdad ante transformaones de Lorent porque omo muestra la transformaón 57 s un uadrtensor es ero en un sstema de referena es ero en ualquer otro sstema de referena. Produto esalar de uadrvetores. Tensor métro Como sabemos la omponentes de un uadrvetor ontravarante permten onstrur el nvarante 3. 6 Casos partulares de este nvarante son el ntervalo asoado a el nvarante energía-antdad de movmento asoado a p. Otros nvarantes de este tpo son para un rao de lu U U para ualquer partíula. l nvarante 6 puede esrbrse g 6 on auda del uadrtensor smétro 9

20 g. 6 No abe duda de que g debe tener un omportamento uadrtensoral pues s así no fuera entones la ombnaón 6 no sería nvarante. Por otra parte las omponentes g tenen la forma 6 en ualquer sstema de referena artesano pues el nvarante tene la estrutura 6 en ualquer sstema de referena artesano. l nvarante puede verse omo un aso partular de produto esalar entre dos vetores ontravarantes: g 63 por lo que el uadrtensor g rebe el nombre de tensor métro. No obstante debe menonarse que el produto esalar 63 no es postvo defndo: la geometría del espao-tempo de Mnows es pseudo-euldana. Los uadrvetores se lasfan en temporales > espaales < nulos. ero 4: Se defne la uadraeleraón omo que U a use que U U. a du / dτ. Demuestre que la uadraeleraón es espaal Indaremos on g a las omponentes del nverso del tensor métro: g g δ. 64 s laro que las omponentes g onden on las g esto es propo de las geometrías euldanas pseudoeuldanas. Con el tensor métro su nverso podemos estableer una orrespondena bunívoa entre vetores ovarantes ontravarantes: g g 65 µ es der µ µ 3 que permte esrbr el produto esalar en forma ndstnta on vetores ovarante o ontravarantes: g g. 66 Se puede subr o baar índes de tensores de ualquer tpo. Por eemplo: l m l m m l l m T g T T g T. 67 n partular la euaón 64 de que g δ.

21 ormulaón ovarante del letromagnetsmo Con las dervadas del uadrpotenal φ podemos onstrur el uadrtensor antsmétro 68 que llamamos tensor de ampo. Reordando que φ /t resulta 69 Se defne tambén el dual del tensor de ampo l l ε 7 Con los tensores * se onstruen los sguentes nvarantes Las lees del eletromagnetsmo pueden esrbrse en forma manfestamente ovarante a partr de ambos tensores de ampo. Las euaones sn fuentes están ontendas en t ó. 73 en ambos asos ha uatro euaones ndependentes; la prmera de las euaones uadrtensorales onsste en la anulaón de un tensor ompletamente antsmétro de tres índes que tene tan sólo uatro omponentes ndependentes. stas euaones se reduen a meras dentdades s se reemplaan los ampos en funón de los potenales. Las uatro euaones on fuentes se epresan omo l dual de un tensor ompletamente antsmétro de r índes se defne omo el pseudo tensor ompletamente antsmétro de n r índes que resulta de su ontraón on el símbolo de Lev-Cvta multplado por / r!. * es un pseudo-esalar.

22 t 4 4 π ρ π 4π ó 4 π. 74 La euaón de ontnudad resulta de la euaón anteror notando que pues se trata de la ontraón de un operador tensoral smétro on un tensor antsmétro. Reemplaando 68 en la euaón 74 se obtene una euaón para el uadrpotenal: g g 4 π 75 donde es el operador d lembertano t g. 76 Como sabemos los potenales no están ompletamente determnados por los ampos. La nvarana del tensor de ampo ante una transformaón de gauge ξ 77 puede aproveharse para elegr ξ de manera que se anule la uadrdvergena de gauge de Lorent 78 smplfando así la euaón 75: 4 π. 79 n el aso de una onda plana el gauge de Lorent equvale a la ondón establee una relaón entre las omponentes temporal longtudnal del uadrpotenal. sta relaón basta para que los ampos resulten dependentes tan sólo de las omponentes transversales de que son los genunos grados de lbertad del ampo orrespondentes a los dos estados de polaraón ndependentes. No obstante el gauge de Lorent no fa ompletamente la funón ξ la ual puede aún elegrse para anular las omponentes temporal longtudnal de. La uadrfuera 5 asoada a la fuera de Lorent sobre una arga q q u es U q K. 8 La fuera por undad de volumen sobre una dstrbuón de arga orrente f ρ 8 está asoada al uadrvetor f f. 8

23 l tensor de esfueros de Mawell T el vetor de Pontng S la densdad de antdad de movmento g la densdad de energía eletromagnéta u em no son más que dstntos setores de un uadrtensor smétro llamado tensor de energía-momento del ampo eletromagnéto T ampo : T ampo l g l 4π 4 83 T u g em -T S La traa T del tensor de energía-momento del ampo eletromagnéto es nula. Las lees de onservaón de la energía la antdad de movmento de un sstema aslado de argas ampo se epresan así: u em S t g f T t t ampo f T. 84 ero 5: Muestre que el uadrvolumen d 4 es nvarante ante transformaones del grupo de Lorent alule el Jaobano de la transformaón de oordenadas. ero 6: Muestre que las euaones de movmento de una arga en un ampo eletromagnéto resultan de varar la aón nvarante q S [ t] m ds d. 85 ero 7: Muestre que las lees de Mawell del ampo eletromagnéto resultan de varar la aón nvarante l r s 4 4 S [ ] g g r l s d d. 86 6π blografía R. erraro l espao-tempo de nsten uenos res: dones Cooperatvas 5. L.D. Landau.M. Lfsht Teoría Clása de Campos Curso de ísa Teóra ol. arelona: Reverté. C. Møller The Theor of Relatvt Oford: Clarendon Press 97. W. Rndler Relatvt. Speal General and Cosmologal N.Y.: Oford Unverst Press... Talor J.. Wheeler Spae-Tme Phss San ranso: reeman 99. 3