Los vectores en la física

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1 Los vetores en la físa Felpe A. Robledo Padlla, Móna Menhaa Mael, Rubén Morones Ibarra Faultad de Cenas Físo-Matemátas, UANL RESUMEN Las leyes de la físa están epresadas en forma matemáta; uno de los requstos fundamentales de estas epresones es que tengan la msma forma para todos los observadores nerales. Este requsto, onodo omo nvaranza de forma o ovaranza, se satsfae uando las euaones se esrben en forma tensoral. Los vetores son tensores de prmer orden y por lo tanto una euaón esrta en forma vetoral satsfae el requsto de nvaranza de forma. Como una aplaón en este trabao se muestra ómo el uso de uadrvetores en el espao-tempo, ondue a una evdente manfestaón de la unf aón de los ampos elétro y magnéto, mostrándolos omo aspetos dferentes de una entdad úna: el ampo eletromagnéto. PALABRAS CLAVE Vetor, smetría, ovaranza, nvaranza de forma, tensor. ABSTRACT Physal laws are wrtten by usng mathematal epressons; among the fundamental requrements for these epressons s that they have the same mathematal form for all nertal observers. Ths requrement, alled form nvarane or ovarane, s fullf lled when the equatons are wrtten n tensor form. Vetors are tensors of f rst order, hene, a vetor equaton satsfes the form nvarane requrement. As an applaton, t s also shown how, by usng four-vetors n the spaetme, the eletr and magnet felds appear as dfferent aspets of the unque entty: the eletromagnet f eld. KEYWORDS Vetor, symmetry, ovarane, form nvarane, tensor. INTRODUCCIÓN Los vetores se ntrodueron en la físa omo antdades que se neestan para representar ertas varables físas uyas araterístas no pueden ser epresadas medante números reales, debdo a que sus propedades no se reflean en el álgebra de los números reales. Como un eemplo senllo tenemos el problema de ubar la posón fnal de un obeto que se desplaza en un plano una erta dstana, dgamos a 10 metros de un punto nal. La posón fnal no queda determnada debdo a que el obeto puede estar en ualquer punto Ingenerías, Julo-Septembre 007, Vol. X, No

2 Los vetores en la físa / Felpe A. Robledo Padlla, et al. alrededor de un írulo de 10 metros de rado on entro en el punto nal. Para que la posón fnal del obeto quede determnada neestamos otra antdad, aparte de la longtud del desplazamento: la dreón. Estas dos magntudes son neesaras para la determnaón de la posón fnal del obeto y muestran la neesdad del empleo de los vetores. S en este eemplo agregamos la nformaón de que, después del prmer desplazamento el obeto se mueve, dgamos 15 metros más en otra dreón y queremos determnar la posón fnal, nos daremos uenta de que requermos para efetuar la suma, no la regla para sumar números reales sno la regla de suma de vetores. Muhas otras antdades físas dervadas de los segmentos drgdos, omo la velodad y la aeleraón se regrán por las reglas del álgebra vetoral. Cantdades físas omo la fuerza, el ampo elétro, el magnéto y muhas más aen en la ategoría de los vetores. Sn embargo, el verdadero poder y la utldad de los vetores no se runsrbe a su álgebra, la ual se requere en el álulo de antdades físas, sno en sus propedades de transformaón. Después de que Ensten estableera en el prmer postulado de la teoría de la relatvdad espeal que todas las leyes de la físa tenen la msma forma matemáta en todos los maros de referena nerales, los vetores han ugado un papel fundamental en esta ena porque on ellos se puede garantzar el umplmento de este postulado. 1 El onepto de vetor omo se usa en la físa ya no está lmtado a la dea de una fleha, de una antdad on magntud y dreón, sno que es un obeto matemáto on ertas propedades de transformaón que permten asoarlo on oneptos más profundos y fundamentales de la naturaleza. El desarrollo moderno del onepto de vetor y de la notaón vetoral se debe al entífo brtáno Olver Heavsde y al físo norteamerano John W. Gbbs. Mawell había esrto las euaones del eletromagnetsmo en forma de omponentes, lo que las haía apareer on una enorme abundana de símbolos. En su formulaón orgnal, las euaones del eletromagnetsmo eran vente, ontenendo vente varables. Posterormente Mawell ntentó una reformulaón matemáta de sus euaones que tampoo resultó ser senlla. Vente años El entífo brtáno Olver Heavsde y el físo norteamerano John W. Gbbs desarrollaron el onepto de vetor y de la notaón vetoral. después de la formulaón matemáta orgnal del eletromagnetsmo, Heavsde y Gbbs esrberon las euaones en forma vetoral, obtenendo una smplfaón notable. La elegana y la belleza que adqureron las euaones de Mawell fue tal que el físo alemán Ludwg Boltzmann, uando termnó de leerlas elamó: fue un Dos quen esrbó estos símbolos?, en una frana alusón al plaer que sntó el Fausto de Goethe uando abre el lbro donde se revelan los msteros del maroosmos. La smpldad y la belleza de estas uatro euaones de Mawell, donde quedan sntetzados todos los fenómenos del eletromagnetsmo y de la luz, ausaron gran admraón en el mundo entífo. Sn embargo, la utldad de la notaón vetoral no se redue solamente a que proporona una forma ompata de esrbr epresones matemátas. Subyae en la estrutura de los vetores un aspeto oneptual que los hae muy poderosos desde el punto de vsta de su utldad en la físa. El poder y alane de los vetores se puso de manfesto a prnpos del sglo XX, on el desarrollo de las deas de Ensten sobre la nvaranza de las leyes de la físa. Esten varos prnpos en la físa uya mportana no se destaa en los tratados elementales. Aquí nos referremos solamente a dos de ellos: la homogenedad y la sotropía del espao. Homogenedad del espao sgnfa, en térmnos senllos, que la desrpón matemáta de un sstema físo no debe depender del orgen de oordenadas utlzado para la desrpón. Smlarmente, la sotropía sgnfa que no hay dreones prvlegadas en el espao, o, equvalentemente, 48 Ingenerías, Julo-Septembre 007, Vol. X, No. 36

3 Los vetores en la físa / Felpe A. Robledo Padlla, et al. Albert Ensten ( ). Su trabao mpulsa la ena del sglo XX. Desrbe on éto el efeto fotoelétro y epla el movmento brownano on la naente teoría uánta. Desarrolla la Teoría de Relatvdad. la orentaón del sstema de oordenadas no debe reflearse en las euaones que desrben un sstema físo. Estos dos prnpos o postulados, mplítos en toda teoría físa, egen que las euaones que desrben el omportamento físo del sstema, deban ser nvarantes ante traslaones y rotaones de las oordenadas. Cuando las euaones se epresan en forma vetoral el requsto de sotropía del espao se satsfae automátamente, omo se verá más adelante. En uanto al requsto de homogenedad del espao, se satsfae uando los térmnos en las euaones ontenen dervadas respeto al tempo o fatores que dependen solo de la dstana entre dos puntos. INVARIANZA DE LAS LEYES DE LA FÍSICA Lo prmero que se desea asegurar en la formulaón de una teoría físa es que las leyes que apareen en la teoría sean las msmas para todos los observadores. Sn embargo, para estableer ben este prnpo, onodo omo Prnpo de Invarana, neestamos espefar de qué tpo de observadores estamos hablando. Nosotros nos onretaremos aquí a onsderar los observadores nerales, es der, los observadores para los uales tene valdez la prmera ley de Newton, esto es, la ley de la nera. Todas las demás teorías físas, eepto la teoría general de la relatvdad, son onstrudas en maros de referena nerales, que es donde se uban los observadores nerales. En un maro de referena no neral tendríamos que nlur las fuerzas ftas, las uales son fuerzas no atrbubles a sstemas físos sno a la msma eleón del maro de referena. 3 La herramenta matemáta que permte garantzar la nvaranza de forma de las leyes de la físa es el análss vetoral (en realdad la rama de las matemátas que trata este tema en forma más general se onoe omo análss tensoral). Un vetor se defne en térmnos de sus propedades de transformaón. El vetor de posón es el prototpo de vetor y lo usaremos para ntrodur este onepto. 4 Prmeramente, dada la hpótess de la sotropía del espao, debemos garantzar que las rotaones no modfan la forma de las euaones de la físa. Para esto ntrodumos la defnón de vetor a través de sus propedades de transformaón ante rotaones de oordenadas. ROTACIÓN DE COORDENADAS (COORDENADAS CARTESIANAS) Consderemos un sstema de oordenadas on una base ortonormal 5 {} e ˆ ; tenemos entones que eˆ ˆ e = δ, donde: 0 s δ = 1 s = es la delta de Kroneker. Sean ( 1,, 3) las oordenadas de un punto en el maro de referena orgnal y ( 1,, 3) las oordenadas del msmo punto en un maro de referena rotado. Las transformaones de oordenadas que preservan la dstana, se onoen omo transformaones ortogonales, las uales son asos partulares de transformaones rígdas. Un punto en el espao determna el vetor de posón r =,,. ( ) 1 3 En este sstema de oordenadas este punto se puede representar o esrbr omo r = eˆ on e ˆ1 = ( 1, 0, 0), e ˆ = ( 0,1, 0) y e ˆ3 = ( 0, 0,1) Por otra parte, en un maro de referena rotado respeto al prmero, ver dagrama, y on una base ortonormal { e ˆ } r = ˆ e., este msmo punto se epresa omo Ingenerías, Julo-Septembre 007, Vol. X, No

4 Los vetores en la físa / Felpe A. Robledo Padlla, et al. El punto no amba, lo que amban son las oordenadas de este punto epresadas en dferentes maros de referena, por lo tanto: r = r eˆ = eˆ (1) Multplamos esalarmente la euaón (1) por la zquerda por e ˆ k, obtenemos, eˆ eˆ = eˆ eˆ Es der, δ k k k = λ k Lo ual equvale a k = λ k () donde λ = ( λ ) ( ˆ ˆ k = e k e ) es la matrz formada por los osenos dretores de los vetores oordenados untaros del sstema prmado, en el maro de referena no prmado. La ondón que se mpone sobre la rotaón es que se preserve la norma del vetor de posón, es der, r = r o ben r = r. El tpo de transformaones que satsfaen esta ondón omo ya se menonó se denomnan Transformaones Ortogonales. 6 r = = r = (3) λ = λ λ = l l l λλ = l l l λλ = l l l Para que se satsfaga la euaón (3) se debe umplr que λλ l = δ l (4) l l l δ = = = La euaón (4) se puede esrbr omo, T λl λ = δ l (5) y la euaón (5) se esrbe en forma matral omo T λ λ = I (6) La euaón (6) es la ondón que deben satsfaer las matres de transformaón para que deen nvarante la dstana entre dos puntos ualesquera del espao. Una matrz λ que satsfae la euaón (6) se de que es una matrz ortogonal. Por etensón, defnmos un vetor artesano A omo un onunto de tres omponentes A = ( A1, A, A3 ) que se transforman ante una rotaón de oordenadas desrta por la matrz ortogonal ( λ ), en A = ( A1, A, A3 ) de la msma manera que las oordenadas de un punto, es der, medante la relaón. A =ΣλA (7) donde A y A representan las omponentes del vetor A en el sstema rotado y en el orgnal, respetvamente. Con los resultados anterores podemos probar que ualquer euaón epresada en forma vetoral es nvarante de forma ante rotaones. Consderemos la euaón vetoral epresada en el maro de referena O, omo αa= βb+ γc (8) Donde AB, y C son vetores, omo lo ndan 50 Ingenerías, Julo-Septembre 007, Vol. X, No. 36

5 Los vetores en la físa / Felpe A. Robledo Padlla, et al. Isa Newton ( ). Desarrolló el álulo dferenal e ntegral y formuló las leyes de la meána y de la gravtaón. Su prnpal obra, Phlosophae naturales prnpa mathemata, establee las bases donde se apoya la ena atual. las flehas sobrepuestas, y αβ, y γ son esalares (números) que no amban en la transformaón de oordenadas. Usando la notaón de omponentes, en el maro de referena rotado, O, la forma de esta euaón la podemos obtener multplando (8) por ( λ ) y sumando sobre, obtenemos, α λ A = β λ B + γ λ C La ual, de auerdo on la regla de transformaón dada por (7), se puede esrbr omo, αa = βb + γc (9) Como podemos ver, la forma matemáta de las euaones (8) y (9) es la msma, lo que sgnfa que ada observador, en su maro de referena on dferente orentaón, podrá usar la forma vetoral de las euaones on la garantía de que son las msmas para los demás observadores. Este es el onepto de ovaranza de las euaones ante rotaones de oordenadas. Un eemplo de una euaón que no fuera nvarante de forma ante rotaones, sería aquella en la que apareera, por eemplo, un térmno esalar y uno vetoral. Se puede probar que el produto punto entre dos vetores A = ( A A A ) y B = ( B B B ), 1,, 3 3 = 1,, 3 defndo omo AB AB es un esalar, esto es, = 1 una antdad que no amba de forma ante rotaones. Una euaón omo A B + C = D, donde D es un vetor, no puede representar una ley de la naturaleza, ya que A B es un esalar mentras que C y D son vetores. En el momento de efetuar una rotaón de oordenadas, la euaón ambaría de forma, ya que A B no amba de forma, mentras que los vetores C y D se transformarán de auerdo on la euaón (7). Toda euaón de la físa debe esrbrse en forma vetoral o de una manera tal que todos sus térmnos se trasforman de la msma manera, ovarantemente. Esto garantza la nvaranza de forma o ovaranza, de las euaones. En partular, en el aso de la meána Newtonana, la ley fundamental que desrbe el movmento de una partíula de masa m sobre la que atúa una fuerza F, es la segunda ley de Newton, epresada matemátamente omo F = ma Sendo la masa m un nvarante absoluto. La nvaranza de esta euaón ante rotaones queda garantzada por el resultado general, dsutdo anterormente, para una euaón vetoral. La forma matemáta de la segunda ley de Newton tambén nos asegura que la homogenedad del espao se satsfae, ya que la aeleraón es la segunda dervada del vetor de posón respeto al tempo. En uanto a la homogenedad del tempo, esta queda garantzada en la meána Newtonana debdo a la hpótess de que el tempo es absoluto, es der, es el msmo para todos los observadores. Respeto al eletromagnetsmo, uya desrpón se hae a través de las euaones de Mawell, la forma vetoral de estas euaones nos garantza su nvaranza de forma ante rotaones. Este es el aspeto esenal del uso de los vetores en la físa. Las transformaones dadas por (7), garantzan el postulado de la sotropía del espao. Sn embargo, este otro tpo de transformaones que nvoluran al tempo y que onetan los maros de referena nerales. En estos maros de referena las transformaones de Galleo nos garantzan que las euaones de la meána son las msmas para todos los observadores nerales. 7 En este aso, la forma vetoral de las euaones es tambén de muha utldad. Ingenerías, Julo-Septembre 007, Vol. X, No

6 Los vetores en la físa / Felpe A. Robledo Padlla, et al. Galleo Galle ( ). Astrónomo y matemáto que estudó la aída de los uerpos, el movmento relatvo sentando las bases para el desarrollo de la meána. Sn embargo, on el eletromagnetsmo ourre algo dferente a lo que suede on la meána; el eletromagnetsmo no es nvarante ante transformaones de Galleo. Para satsfaer el requsto de que todas las leyes de la físa sean las msmas para todos los observadores nerales, se requró modfar la meána y la ntroduón de un nuevo tpo de transformaón para relaonar las observaones entre dferentes maros de referena nerales. Las nuevas transformaones se onoen omo Transformaones de Lorentz. La meána relatvsta es onstruda a partr de uadrvetores, llamados vetores de Lorentz, los uales son defndos bao el requsto de que la velodad de la luz en el vaío permaneza onstante y que las euaones de transformaón, las transformaones de Lorentz, deen nvarante la longtud del ntervalo ds, defndo en un nuevo espao de uatro dmensones, el espao-tempo o espao de Mnkowsk. El elemento de longtud en el espao de Mnkowsk se defne omo: 8 ds = ( d ) + ( dy ) + ( dz ) ( dt ) (10) Las transformaones de Lorentz pueden ser nterpretadas omo rotaones en el espao-tempo de Mnkowsk. Con las leyes de la físa, epresadas en forma vetoral o tensoral, omo tensores de Lorentz, garantzamos que estas son nvarantes de forma uando haemos la transformaón entre observadores nerales, lo ual satsfae el prmer postulado de la Teoría Espeal de la Relatvdad. LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ COMO ROTACIONES EN EL ESPACIO-TIEMPO En la relatvdad espeal, el tempo y el espao perteneen a la msma ategoría de obetos, uegan papeles equvalentes. Por esta razón debemos amplar el espao matemáto en el que elaboramos las leyes de la físa a un espao de uatro dmensones. La dea de un espao matemáto abstrato, el espao-tempo, no es de Ensten, sno del físomatemáto alemán H. Mnkowsk quen ntroduo en 1908 la manera de medr dstanas en este espao, medante la generalzaón de la métra euldana, al ntrodur una oordenada temporal magnara: 4 = t. Un punto en el espaotempo se representa medante las oordenadas ( 1,, 3, 4). La uarta omponente en el espao de Mnkowsk es t, donde la undad magnara se ntrodue omo fator para obtener la métra de Mnkowsk dada en la euaón (10) la ual garantza la nvaranza de la velodad de la luz en el vaío ante las transformaones de oordenadas. El fator, que es la velodad de la luz, proporona a la omponente 4 las dmensones de longtud, en onordana on las dmensones de longtud de las otras tres omponentes. De auerdo on Mnkowsk, no solo el tempo y el espao deben onsderarse omo dferentes omponentes del espao uadrdmensonal que él propone, tambén el trmomentum p y la antdad E, donde E es la energía y la velodad de la luz, forman un uadrvetor en este espao abstrato. La generalzaón de estas deas a otras antdades físas es tambén posble. Con esta onstruón se logra la formulaón ovarante de la meána relatvsta y tambén del eletromagnetsmo. Toda teoría físa Hendrk Antoon Lorentz ( ). Su ontrbuón a la físa fue fundamental para el desarrollo de la Teoría de la Relatvdad. 5 Ingenerías, Julo-Septembre 007, Vol. X, No. 36

7 Los vetores en la físa / Felpe A. Robledo Padlla, et al. o modelo nuevo que pretenda ser onsstente on la teoría de la relatvdad es formulada en este espao uadrdmensonal. La generalzaón de la defnón de la dstana en el espao uadrdmensonal se realza en forma natural, smplemente defnendo la dstana s del punto ( 1,, 3, 4) al orgen (0,0,0,0) omo 4 = 1 s =Σ (11) Tenemos entones que el elemento de longtud ds entre dos puntos ( 1,, 3, 4) y ( 1,, 3, 4), muy prómos entre sí, está dada por ds = ( d ) + ( d ) + ( d ) + ( d ) lo ual orresponde, en una notaón lgeramente dferente, a la euaón (10). Con esta notaón, la etensón de las deas ya establedas sobre rotaones de oordenadas en el espao trdmensonal a rotaones en el espao-tempo se obtenen de la msma manera que en las euaones (1)-(4). Las transformaones de Lorentz que son las transformaones que dean nvarantes las euaones relatvstas, resultan ser rotaones en el espaotempo. Estas rotaones en uatro dmensones se pueden separar en traslaones on velodad onstante en las tres dreones de los ees espaales más las rotaones en el espao, del tpo que ya hemos menonado en otra seón de este artíulo. Un aso partular de transformaones de Lorentz está dado por las transformaones que onetan las medones de dos observadores en maros de referena nerales O y O, donde O se mueve on velodad onstante v en la dreón + respeto al maro de referena O. 9 En este aso partular las transformaones de Lorentz toman la sguente forma: =γ( vt) y= y z= z (1) t=γ t v v donde γ = 1. Usaremos estas transformaones para desrbr, en el sguente punto, la relaón entre las observaones de un fenómeno eletromagnéto hehas por dos observadores nerales. LA UNIFICACIÓN DE LA ELECTRICIDAD Y EL MAGNETISMO Aún uando las euaones de Mawell muestran la undad de los ampos elétro y magnéto, el estudo de estos fenómenos en el espao trdmensonal no muestra el aspeto fundamental de la unfaón, la ual sólo se observa uando analzamos los fenómenos en el espao-tempo. En este espao de uatro dmensones se manfesta de manera lara la estrutura de la teoría eletromagnéta, ponendo en evdena que la eletrdad y el magnetsmo son sólo aspetos dferentes de los fenómenos produdos por las argas elétras y que el heho de que se manfeste uno, el otro o los dos, depende solamente del observador. Estudando los fenómenos en el espao-tempo se logra observar tambén que el magnetsmo es de heho un efeto relatvsta. Esto sgnfa que el magnetsmo puede obtenerse omo resultado de egr que se umpla el segundo postulado de la relatvdad espeal, es der, la nvarana de las leyes de la físa ante transformaones de Lorentz. Consderemos dos maros de referena nerales, movéndose el sstema prmado en la dreón + on velodad v. Consderemos ahora la euaón de Mawell 10 E = 1 B t Consderemos la omponente en y de esta euaón: E ( ) y = E B y t z E z = 1 (13) Aplquemos ahora la transformaón de Lorentz dadas por las euaones (1) James Clerk Mawell ( ). Desarrolló las euaones que desrben los fenómenos elétros y magnétos sntetzando los trabaos de Ampere y Faraday en la teoría eletromagnéta. Ingenerías, Julo-Septembre 007, Vol. X, No

8 Los vetores en la físa / Felpe A. Robledo Padlla, et al. E z = E z + E y y z + E z z z + E t t z E E (0) E (0) E (1) E (0) = y z t z por lo tanto E z = E z Obtengamos ahora E z E z = E z + E z y y + E z z z + E z t t Ez Ez Ez Ez v = ( γ) + (0) + (0) + ( γ) y z t por lo tanto Por otra parte, B y t E z =γ E z v E z t = B y t t t + B y t + B y y y t + B y z z t (14) (15) Nuevamente, de las trasformaones de Lorentz dadas por (1) B y = B y γ+ B y t t ( vγ) es der B y =γ B y v B y (16) t t Susttuyendo las euaones (14), (15) y (16) en la euaón (13), obtenemos E γ E z v E z = 1 z t γ B y v B y t Agrupando térmnos, obtenemos: E γ E z v z γ B y = 1 γ B y v t γ E z t E v 1 v γ ( Ez By) γ ( By Ez z + = t + ) (17) Puesto que esta euaón fue obtenda transformando solamente las oordenadas espao temporales y no los ampos, podemos enontrar ómo deben transformarse éstos para que se umpla la nvaranza de forma de la euaón (13) frente a las transformaones de Lorentez dadas por (1). El requsto es que la euaón (13) debe tener la forma que se nda en la euaón (18) en el maro de referena transformado, E z E z = 1 B y t (18) Comparando las euaones (17) y (18), obtenemos que para que se satsfaga la nvaranza de forma, deberemos dentfar los térmnos orrespondentes, on lo ual se obtene que: E z =γ E z + v B y E = E B y =γ B y + v E z ontnuando on un tratamento semeante para los demás térmnos, y haendo lo propo para las demás euaones de Mawell, obtenemos que la transformaón de los ampos está dada por las sguentes epresones: E y =γ E y v B z E z =γ E z + v B y E = E B = B (19) B y =γ B y + v E z B z =γ B z v E z Debdo a que hemos tomado el movmento relatvo del maro de referena en la dreón +, observamos lo sguente: E = E y B = B E =γ E + v B ; B =γ B v E En esta notaón E y B, ndan las omponentes paralelas al ee de los ampos elétro y magnéto, respetvamente. Smlarmente E y B ndan las omponentes perpendulares a la dreón. Una vez que hemos obtendo las euaones de transformaón entre los ampos podemos plantear el sguente problema. Consderemos una arga elétra en reposo en el maro O. Esto sgnfa que sólo tendremos la presena de un ampo elétro observado por O. Consderemos ahora un observador en O que se mueve on velodad v en la dreón +. De auerdo on las reglas de transformaón de los ampos, enontramos que el observador O tambén deteta la estena de un ampo magnéto. 54 Ingenerías, Julo-Septembre 007, Vol. X, No. 36

9 Los vetores en la físa / Felpe A. Robledo Padlla, et al. Las omponentes de este ampo se obtenen de las euaones (19); Con E = ( E, Ey, Ez) y B = 0 en el maro de referena O, obtenemos que E = γe E y z = γe y z E = E B = B = 0 v By = γ( Ez ) v Bz = γ( Ez ) Este resultado muestra que la presena del ampo magnéto en el maro de referena O es onseuena de la nvaranza relatvsta. 11 Fenómenos que son de naturaleza puramente elétra solo lo son en un maro de referena partular; en general el fenómeno es eletromagnéto. Los ampos elétros y magnétos no son ndependentes, por el ontraro, están lgados estrehamente y la relaón entre ellos depende del maro de referena seleonado. 1 La onsstena entre este desarrollo teóro y lo observado epermentalmente, muestra la utldad de los oneptos de nvaranza y de los vetores omo el nstrumento matemáto para mplementarla. COMENTARIO FINAL En el desarrollo de este trabao se ha puesto de manfesto que el uso de vetores, defndos omo obetos matemátos que satsfaen ertas propedades de transformaón, nos garantza que la forma matemáta de las euaones que representan leyes de la naturaleza, no ambará durante las transformaones. El sgnfado físo atrbudo a una transformaón es que ésta es equvalente a ambar de observador. Que la euaón sea nvarante de forma sgnfará que ambos observadores llegan a las msmas onlusones físas sobre el omportamento del sstema observado. Para elaborar un modelo matemáto que represente una ley de la naturaleza, se debe reurrr a una estrutura matemáta que garante el umplmento de ertas smetrías que suponemos váldas para el espao y el tempo. Entre las smetrías fundamentales están las de homogenedad del tempo y la homogenedad e sotropía del espao. La estrutura matemáta que garantza esto es el análss tensoral, donde los vetores son asos partulares de los tensores. Cuando esrbmos una ley de la naturaleza en forma matemáta, todos los térmnos de la epresón deben ser de la msma naturaleza tensoral, lo ual garantza la nvaranza de la euaón ante las transformaones que ege la smetría. Este heho nos lbera de la preoupaón de que otros observadores obtengan formas matemátas dferentes para las leyes de la físa. Cuando esrbmos una euaón en forma vetoral, estamos seguros que su forma matemáta no ambará uando realzamos ertas transformaones en las oordenadas. Estas transformaones son las que nosotros, de antemano, hemos mpuesto guados por la smetrías que suponemos deben satsfaerse en la naturaleza. Así msmo, la aplaón del onepto de vetor en el espao-tempo nos permte lograr una omprensón más profunda de los fenómenos eletromagnétos. REFERENCIAS 1. Sokolnkoff, I. S., Análss tensoral, Lmusa, W. S. C. Wllams, Introdung Speal Relatvty, Ed. Taylor and Frans, Wolfang Rndler, Introduton to Speal Relatvty, Clarendon Press, Wrede, R. C. Introduton to vetor and tensor analyss, John Wley and Sons, Butkov, E. Mathematal Physs, Addson- Wesley, Lebedev, L. P. and Cloud, M. J., Tensor Analyss, World Sentf, Morones, J. R., Ingenerías Julo-Sept. 006, Vol. 9. No. 3, P Mohammad Saleem and Muhammad Rafque, Speal Relatvty, Ed. Ells Horwood, W. S. C. Wllams, Introdung Speal Relatvty, Ed. Taylor and Frans, Eyges, L., The Classal Eletromagnet Feld, Dover, Ohanan, H. C., Classal Eletrodynams, Allyn and Baon, In., Barut, A. O., Eletrodynams and Classal Theory of Felds and Partles, Dover, Ingenerías, Julo-Septembre 007, Vol. X, No