TRABAJO DE FIN DE CARRERA

Transcripción

1 TRABAJO DE FI DE CARRERA TITULO DEL TFC: avegaón en el sstema solar empleando asterodes omo referena TITULACIO: Engnyera Tèna Aeronàuta, espealtat Aeronavegaó AUTOR: José Lus Cha Bermejo DIRECTOR: Jord Gutérrez Cabello FECHA: 29 de Juno de 2005

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3 Título: avegaón en el sstema solar empleando asterodes omo referena Autor: José Lus Cha Bermejo Dretor: Jord Gutérrez Cabello Feha: 29 de Juno de 2005 Resumen El objetvo prnpal de este trabajo, es dar los fundamentos que permtan desarrollar un sstema para la determnaón ópta de la posón de una sonda espaal dentro del Sstema Solar, medante la observaón desde la propa sonda de asterodes, u otros uerpos de órbta onoda. Para onsegur ese objetvo, se ha realzado una búsqueda en la bblografía nluda en el trabajo, on el propósto de enontrar, y resumr los oneptos neesaros para la elaboraón del sstema menonado. A partr de estos oneptos, se ha defndo un método que nos permte realzar el álulo de la posón de una forma fable y justfada matemátamente. Una vez estableda la forma de determnar la posón de la sonda espaal, se han mplementado dos programas que se enargan de realzar todas las operaones neesaras. Con estos ódgos, se ha realzado un ejemplo del álulo en un aso onreto. En onlusón, el trabajo demuestra que resulta fatble el dseño de un sstema de posonamento omo el estudado. Este, podrá ser de gran utldad para msones de exploraón planetara de bajo oste, omo las que se están realzando en la atualdad.

4 Ttle: Solar system navgaton makng use of asterods as a referene Author: José Lus Cha Bermejo Dretor: Jord Gutérrez Cabello Date: June, 29th 2005 Overvew The man objetve of ths paper, s gvng the fundamental ssues related to a spae probe system, for optal determnaton of ts poston wthn the Solar System, makng use of known asterods as a referene. To aheve the man purpose of ths paper, we made a bblograph researh to fnd and summarze the neessary onepts. From ths pont, we had to fnd out a relable, and rgorous way, to do all the math needed to get the system done. One we had the rght method of dong the alulatons, we made two omputer programs. These ones, wll be able to make all the neessary steps, whh would be tedous otherwse. The omputer programs have been appled to an example ase. Fnally, we onlude that t s possble to develop a postonal determnaton system as the one studed. In fat, ths knd of system may be a useful tool for the low ost mssons, whh are beng launhed nowadays.

5 IDICE ITRODUCCIO... CAPITULO. COCEPTOS PREVIOS Dstanas en el Sstema Solar Los asterodes Movmento de los uerpos del Sstema Solar Elementos orbtales Preesón de los equnoos utaón Movmento propo estelar Epoas Día Julano Paralaje Aberraón...6 CAPITULO 2. DETERMIACIO DE UA POSICIO CELESTE Sstemas empleados para ndar una posón eleste Sstema bdmensonal de asensón reta y delnaón Sstema de oordenadas geoéntro Sstema de oordenadas heloéntro Transformaón de oordenadas...24

6 CAPITULO 3. EL SESOR CCD Fundamentos del funonamento de un sensor CCD Caraterístas ténas de un sensor CCD Problemas en la aptaón de mágenes Relaón señal-rudo Captura de la magen Tratamento de la magen aptada...36 CAPITULO 4. ASTROMETRIA DESDE LA SODA Determnaón de la posón de la sonda Astrometría desde la sonda espaal Ajuste de entrodes Obtenón de las oordenadas elestes Relaón entre oordenadas (x, y ), y (ξ, η ) Coneptos de trgonometría esféra Relaón entre oordenadas (α, δ ), (ξ, η ), y (ξ, η ) Método de las onstantes de la plaa Elaboraón de los álulos...59 CAPITULO 5. CALCULO DE LA POSICIO DE LA SODA Método de determnaón de la posón Problema en dos dmensones Problema en tres dmensones Método de determnaón de la posón Problema en dos dmensones Problema en tres dmensones Posón fnal de la sonda espaal Elaboraón de los álulos...76

7 CAPITULO 6. RESULTADOS DE LOS CALCULOS Y COCLUSIO Cálulo de las oordenadas (α, δ) de un asterode Cálulo de la posón de la sonda espaal Conlusón...82 BIBLIOGRAFIA...84 AEXOS...86 AEXO A. ROTACIOES...88 A.. A.2. Rotaón de un sstema de dos oordenadas...88 Rotaón de oordenadas euatorales a elíptas...9 AEXO B. POSICIO DE U ASTEROIDE E SU ORBITA...94 B.. B.2. B.3. Anomalía meda...94 Anomalía exéntra...95 Posón del asterode...98 AEXO C. METODO DE LOS MIIMOS CUADRADOS...0 C.. C.2. Fundamentos del método de los mínmos uadrados...0 Aplaón para determnar las onstantes de la plaa...02 AEXO D. PROGRAMA : CALCULO DE LA POSICIO DEL ASTEROIDE VISTO DESDE LA SODA...06 D.. Códgo del programa prnpal...06 D.2. Códgo de las subrutnas del programa... D.3. Ejeuón del programa en el apítulo AEXO E. PROGRAMA 2: CALCULO DE LA POSICIO DE LA SODA ESPACIAL...7 E.. Códgo del programa prnpal E.2. Códgo de las subrutnas y funones del programa E.3. Determnaón de las líneas de vsón trdmensonales... 33

8 E.4. Base de datos de asterodes utlzada por el programa E.5. Informaón adonal sobre los asterodes...38 E.6. Posones geoéntras aluladas de los asterodes...40 E.7. Ejeuón del programa 2 en el apítulo E.8. Ordenamento de los asterodes por dstana...43 E.9. Arhvos on la posón de la sonda...45 E.0. Fguras adonales del aso del apítulo

9 TABLAS Y FIGURAS Tabla. Tabla.2 Dstanas desde el Sol a los planetas nterores...5 Dstanas desde el Sol a los planetas exterores...6 Tabla 4. Equvalenas entre los lados y ángulos de los trángulos esféros representados en las fguras 4.5 y Tabla 6. Datos neesaros para el programa...78 Tabla 6.2 Posones geoéntras de la sonda y de los 4 asterodes.80 Fgura. Fgura.2 Fgura.3 Fgura.4 Fgura.5 Fgura.6 Fgura.7 Fgura.8 Fgura.9 Zona entral del Sstema Solar...4 Representaón de las dstanas en el Sstema Solar nteror...5 Representaón de las dstanas en el Sstema Solar exteror...6 Dstrbuón de asterodes onodos...7 Posón de las dstntas famlas prnpales de asterodes...8 Forma elípta de la órbta de los asterodes del nturón...9 Areas barrdas guales a tempos T guales...0 Elementos orbtales...2 Movmento del eje de rotaón terrestre por preesón y nutaón...3 Fgura.0 Desomposón de la velodad de la estrella en dos omponentes...4 Fgura. Paralaje anual...5 Fgura.2 Representaón del fenómeno de aberraón...6 Fgura 2. Fgura 2.2 Fgura 2.3 Fgura 2.4 Fgura 2.5 Fgura 2.6 Fgura 2.7 Fgura 2.8 Esfera eleste magnara sobre un observador...8 Longtud y Lattud de un punto P sobre la superfe terrestre...8 Representaón de la esfera y del euador elestes...9 Representaón de los ángulos de asensón reta y de delnaón de un punto X sobre la esfera eleste...20 Sstema de referena geoéntro euatoral...2 Relaón entre oordenadas retangulares y polares...22 Sstema de referena heloéntro elípto...23 Angulo de nlnaón α entre los planos euatoral y elípto. Angulos de longtud λ, y de lattud β elestes de un punto X...25 Fgura 3. Aspeto de un sensor CCD...27

10 Fgura 3.2 Fgura 3.3 Fgura 3.4 Fgura 3.5 Fgura 3.6 Fgura 3.7 Fgura 3.8 Elementos que omponen un sensor CCD...28 Seuena de la transferena de arga entre eletrodos...30 Esquema de la onfguraón de los píxels, y de la transferena de arga de ada uno de ellos...3 Aspeto y gráfas S/ de tres tomas CCD de un msmo ampo...36 Imagen en bruto...4 Tomas para albrar la magen en bruto...4 Imagen albrada...4 Fgura 4. Determnaón del entro lumnoso de la magen medante el ajuste de dos urvas Gaussanas...44 Fgura 4.2 Determnaón del entro lumnoso de la magen medante una meda ponderada de las lumnosdades de todos sus píxels...45 Fgura 4.3 Coordenadas (x, y) sobre el sensor CCD, y oordenadas (ξ, η) sobre el plano tangente...47 Fgura 4.4 Relaón entre la posón de los objetos en la esfera eleste on su posón en el plano tangente y en el plano del sensor CCD...48 Fgura 4.5 Defnón de un trángulo esféro...49 Fgura 4.6 Relaón entre los puntos en la esfera eleste y su proyeón sobre el plano tangente...5 Fgura 5. Parámetros del problema en dos dmensones...6 Fgura 5.2 Representaón trdmensonal de las posones de la Terra, el asterode, y la sonda espaal, on su proyeón sobre el plano XY...62 Fgura 5.3 Vsta del problema trdmensonal sobre el plano XY...63 Fgura 5.4 Proyeón sobre el plano XY del problema trdmensonal..64 Fgura 5.5 Problema trdmensonal y su proyeón sobre el plano XZ...65 Fgura 5.6 Proyeón sobre el plano XZ del problema trdmensonal..66 Fgura 5.7 Esquema del problema en dos dmensones...67 Fgura 5.8 Dos representaones del problema en tres dmensones...7 Fgura 5.9 Proyeón sobre el plano XY del problema trdmensonal..72 Fgura 5.0 Proyeón sobre el plano XZ del problema trdmensonal..73 Fgura 5. Proyeón sobre el plano YZ del problema trdmensonal..73 Fgura 5.2 Posón de la Terra y la sonda respeto del Sol...75 Fgura 6. Imagen del asterode Pallas on estrellas de fondo...78 Fgura 6.2 Coordenadas del asterode aluladas por el programa...79 Fgura 6.3 Arhvo alulado por el programa 2 on la posón fnal de la sonda espaal...8 Fgura 6.4 Posones de la sonda, la Terra, el Sol, y los 4 asterodes empleados...8

11 Introduón ITRODUCCIO La tendena de los últmos años en las msones de exploraón del Sstema Solar, está sendo la de lanzar varas sondas espaales de oste redudo, en lugar de lanzar una sola sonda más ompleja y de mayor oste. Con ello se persgue una dspersón del resgo de fallo de una astronave, y la obtenón smultanea de objetvos entífos en dferentes áreas. Para llevar a abo esta flosofía, es neesaro dseñar sstemas fables y eonómos para ada funón de la sonda; una de estas funones es la del sstema de navegaón planetara, que estudaremos en parte en este trabajo. Los sstemas de navegaón que han empleado las sondas espaales desde sus omenzos, se han basado en su segumento desde la Terra on la red de antenas de espao profundo (DS) de la ASA. Desde estas antenas, es posble determnar la dstana y la velodad radal de la astronave, medante la medón del tempo que tarda en r y volver un pulso de rado, y mdendo el desplazamento doppler de una señal portadora oherente envada desde la sonda. Sn embargo, el proedmento de loalzaón de la nave a partr de estos datos, onlleva la aplaón de algortmos omplejos, y la ntervenón de un numeroso equpo de personas, que hae que todo el proeso tenga un alto oste, tanto eonómo, omo en tempo de utlzaón de las antenas. En un futuro próxmo, se quere mantener la operaón smultanea de una flota de pequeñas sondas de exploraón planetara, y esto supondrá que las antenas de la DS tendrán que ser apaes de soportar la transmsón y reepón de un elevado flujo de nformaón, on las omunaones neesaras para el funonamento de las sondas, y el retorno de datos entífos. En esas ondones, será ndspensable que las astronaves sean lo más autónomas posble, para mnmzar el tempo de uso de las antenas. El sstema de navegaón podrá dseñarse para ser sufentemente autónomo, s se apoya en la navegaón ópta, que veremos en este TFC. Cuando se empezó a defnr este trabajo, se estuvo analzando el aso de la sonda espaal de la ASA, Deep Spae, que expermentó on éxto un sstema de navegaón ópta autónomo, entre 998 y 200. A raíz de ese análss, se dedó aotar nuestro trabajo a la demostraón de la vabldad de un sstema ópto apaz de determnar la posón de la sonda dentro del Sstema Solar, a partr de la observaón de asterodes, u otros objetos; este sstema onseguría que la nave fuera mayormente autónoma respeto de las antenas terrestres. La desón de entrarnos en ese aspeto, se debó a los límtes que la EPSC reomenda para el trabajo, que no permtían extenderse más sobre otros aspetos del sstema ompleto de navegaón planetaro. Sobre la dea de dar unos fundamentos lo más sóldos posble, para la demostraón de la vabldad de nuestro sstema de posonamento, se ha busado nformaón en la bblografía nluda al fnal del trabajo, y se han desarrollado 6 apítulos on una línea argumental que nos ondue, en el

12 2 avegaón en el sstema solar empleando asterodes últmo apítulo, a la resoluón de un aso onreto del álulo de la posón de la sonda espaal. El funonamento báso del sstema de posonamento, onsstrá en aptar la magen de un asterode de órbta onoda; en funón de dónde se enuentre la sonda uando adquera esa magen, el asterode apareerá en una u otra posón respeto de las estrellas de fondo aptadas en la msma toma. A partr de esta posón relatva del asterode, podremos dedur medante unos razonamentos trgonométros, uál es la posón desde donde la sonda ha aptado la magen. Estrutura de los apítulos En el prmer apítulo, se dan de forma breve una sere de oneptos que son neesaros para desarrollar el resto del trabajo, estos rán apareendo posterormente en dferentes apítulos. En el segundo apítulo, se desrben los dferentes sstemas de referena que se han utlzado para ndar la posón de un uerpo eleste, y ómo se pueden transformar las posones dadas, de uno a otro sstema. El terer apítulo se deda exlusvamente al sensor CCD, ya que esta es la peza fundamental del sstema, que le permtrá aptar las mágenes a partr de las uales se dedurá la posón de la sonda. Se dan sus prnpos de funonamento, y los tratamentos neesaros de las mágenes aptadas. En el apítulo 4, se desarrolla en detalle el denomnado método de las onstantes de la plaa, medante el ual podemos onsegur determnar on presón uáles son las oordenadas elestes del asterode aptado en la magen del sensor CCD. Este es un paso mportante, pues la posón determnada es la que nos ndará la posón de la sonda en el Sstema Solar. Una vez explado en el apítulo 3 ómo se apta la magen, y en el apítulo 4, ómo se determna la posón del asterode en ella; en el apítulo 5 se podrá dar la forma de alular la posón de la sonda medante dos métodos dferentes, uno basado en la aptura de la magen de un asterode y de la Terra, y otro basado en la aptura de las mágenes de dos asterodes. A partr de los proedmentos explados en los apítulos 4 y 5, se desarrollan dos programas para realzar todas las operaones neesaras, uyos ódgos se nluyen en los anexos. Estos programas se utlzan en el apítulo 6 para resolver un ejemplo de la aplaón de los métodos vstos, que nos permten determnar la posón de la sonda, on la aptura de mágenes. Aún habendo lmtado el objetvo del trabajo a la demostraón de la vabldad del sstema de determnaón de la posón de la sonda, éste se ha extenddo más de lo prevsto, por lo que se han nludo en los anexos todas aquellas partes que hemos onsderado que no eran fundamentales para segur la argumentaón del uerpo prnpal del trabajo.

13 Coneptos prevos 3 CAPITULO. COCEPTOS PREVIOS En este prmer apítulo, se va a dar una breve vsón de una sere de oneptos generales que se utlzarán a lo largo de este trabajo, éstos serán neesaros en los apítulos sguentes para desarrollar el método de determnaón de la posón de una sonda espaal, uyos fundamentos son el propósto de este TFC... Dstanas en el Sstema Solar El prmer onepto neesaro será el de Sstema Solar, y espealmente será mportante tener una dea del orden de magntud de las dstanas que se tenen de reorrer en una trayetora entre los dstntos planetas, así omo las undades empleadas para uantfarlas. El Sstema Solar puede defnrse omo la zona del espao, y todos los uerpos ontendos en ella, bajo la nfluena domnante del ampo gravtatoro de la estrella Sol. Para medr las dmensones de este espao se usan fundamentalmente las undades de dstana denomnadas; Undad Astronóma, y mnutos, horas, o años luz, en funón de la magntud de la dstana que se quera medr. Las dstanas tratadas serán de un orden muho mayor que las que usamos normalmente en la Terra, por lo que el klómetro sólo servrá omo undad de omparaón para haernos una dea de las grandes dstanas del Sstema Solar. Empezando por la undad de dstana mayor, el año luz, ésta se orrespondería on la dstana reorrda por un objeto movéndose a la velodad de la luz en el vaío durante el transurso de un año, esto orresponde a 9, km, o sea era de 0 bllones de klómetros. De forma análoga se defnen las horas y mnutos luz que son dstanas algo más modestas, pero tambén muy grandes en térmnos terrestres, orrespondendo respetvamente a 080 mllones de klómetros, y 8 mllones de klómetros. Entre las dos dstanas anterores se stúa la Undad Astronóma, que se defne omo la dstana del semeje mayor de la órbta terrestre alrededor del Sol, esta dstana de la Terra al Sol se onsdera atualmente de, km, aproxmadamente 49,6 mllones de klómetros, y nos referremos a ella omo UA. Tal omo se ha defndo el Sstema Solar en el segundo párrafo, este tendría un dámetro de aproxmadamente dos años luz o UA, es der, algo menos de la mtad de la dstana a la estrella más próxma al Sol, Proxma Centaur. Sn embargo, la mayor parte de esta regón del espao próxma a nosotros es prátamente desonoda, los objetos más lejanos onodos del Sstema Solar son los ometas, que se ree pueden provenr de la nube de Oort a unas UA; el resto de objetos naturales de los que se tene onstana están a menos de 50 UA. Por tanto, el onomento atual de nuestro sstema planetaro se lmta a su zona entral más erana al Sol, y aún en esta, es todavía bastante lmtado. Es en esta zona del espao donde se

14 4 avegaón en el sstema solar empleando asterodes moverá la sonda espaal uyo sstema de posonamento se fundamenta en este trabajo. En la fgura., se representan las 800x800 UA entrales del Sstema Solar tal omo se pensa que son atualmente. En ella, se puede ver en la zona verde una ruz negra que nda la posón del objeto humano que más lejos ha onsegudo llegar hasta el momento, la sonda Voyager, a 80 UA del Sol en enero de 200, a gran dstana de los planetas más lejanos eptuno y Plutón. En la fgura tambén se representa la nteraón entre el ampo magnéto generado por el Sol, y el de su entorno. Las temperaturas ndadas se orresponden a la de las partíulas que hay en ada zona, (al ser su densdad muy baja no afetarían a la temperatura de un uerpo masvo omo el de una sonda nterplanetara). Fg.. Zona entral del Sstema Solar. En el entro de ésta, se movería la sonda espaal tratada en este trabajo La zona entral del Sstema Solar, donde se moverá la sonda espaal, ontendrá al Sol, los planetas on sus satéltes, y numerosos objetos menores, gran parte de los uales serán los asterodes que vamos a usar omo referena para alular la posón de la sonda planetara. En las tablas. y.2 se ndan las dstanas medas desde el Sol a los planetas, ada una de estas dstanas se da en Undades Astronómas, en mllones de klómetros, y en horas o mnutos luz; estas dos últmas undades de dstana serán útles para estmar los tempos neesaros para la omunaón por rado on la sonda. Hay dos tablas pues se hae la dstnón entre dos zonas del Sstema Solar donde la magntud de las dstanas varía onsderablemente, la prmera

15 Coneptos prevos 5 será el Sstema Solar nteror, formado por los planetas Meruro, Venus, Terra y Marte, y la segunda zona será, el Sstema Solar exteror formado por Júpter, Saturno, Urano, y eptuno. La mayor onentraón de asterodes estará en una extensa regón omprendda entre estas dos zonas. En las fguras.2 y.3 se representan aproxmadamente a esala las dstanas dadas en las tablas, se puede aprear que las dstanas son muho mayores en el Sstema Solar exteror, por lo que en éste se usa omo undad de dstana la hora luz, en lugar del mnuto luz empleado para el Sstema Solar nteror. Tabla. Dstanas desde el Sol a los planetas nterores UA Mnutos luz 0 6 km Meruro 0,387 3,2 57,9 Venus 0,723 6,0 08,2 Terra 8,3 49,6 Marte,524 2,7 227,9 Fg..2 Representaón de las dstanas en el Sstema Solar nteror, (Júpter se nluye para mostrar la esala entre órbtas)

16 6 avegaón en el sstema solar empleando asterodes Tabla.2 Dstanas desde el Sol a los planetas exterores UA Horas luz 0 6 km Júpter 5,203 0,72 778,3 Saturno 9,580,3 425,7 Urano 9,200 2, eptuno 30,050 4, Fg..3 Representaón de las dstanas en el Sstema Solar exteror (Marte se nluye para mostrar la esala entre órbtas).2. Los asterodes Los asterodes, tambén onodos omo planetas menores, tenen un papel vtal en el onepto de este trabajo, ya que vamos a usarlos omo referena para saber dónde se enuentra la sonda nterplanetara. Para ello, deberemos ontar on una antdad mportante de asterodes uya órbta esté ben determnada, y podamos por tanto onoer su posón exata en un momento onreto. En este apartado, vamos a dar una dea general sobre que son los asterodes y dónde están dentro del esquema espaal del Sstema Solar vsto en el apartado anteror.

17 Coneptos prevos 7 El desubrmento de los prmeros asterodes se realzó a prnpos del sglo XIX, uando se busaba un planeta que según la llamada ley de Bode debía enontrarse entra las órbtas de Marte y Júpter, y desde entones, ya se han atalogado mles asterodes. La mayoría de ellos se enuentran a dstanas entre 2.2 UA y 3.4 UA del Sol en el llamado nturón prnpal de asterodes, el entro de esta zona de alta onentraón de planetas menores está aproxmadamente a 2.8 UA; la dstrbuón de asterodes dentro de ella no es unforme, exstendo zonas llamadas espaos vaíos de Krkwood arentes de asterodes. Estas zonas están a dstanas uyo perodo orbtal tene una relaón on el perodo orbtal de Júpter de /3, 2/5, 3/7, ó /2. Más allá del nturón prnpal se enuentran dos agrupaones de asterodes de menor densdad, son el llamado grupo Hlda a unas 4 UA y una relaón 2/3 entre sus perodos orbtales y el de Júpter, y el grupo de los Troyanos stuados en la msma órbta de Júpter a 60º delante y detrás de éste en los puntos de Lagrange L4 y L5 del sstema Sol Júpter. Hay tambén un grupo menor de asterodes llamados Apolo y Amor uyas órbtas entran en el Sstema Solar nteror, y ruzan respetvamente las órbtas de la Terra y Marte, pudendo llegar a suponer un resgo remoto, aunque no nulo, de olsón on nuestro planeta. En la fgura.4-a se representan junto on las órbtas de la Terra, Marte, Júpter, y Saturno, la posón de de los asterodes onodos. En la fgura.4-b se representa una gráfa on la dstrbuón de esos asterodes omentada en este párrafo, en el eje de absas están las dstanas al Sol en UA, y en el de ordenadas el número de asterodes en ada dstana; se ndan tambén las dstanas de Marte, La Terra, y Júpter, y las dstanas a las que se umplen las relaones entre los perodos orbtales de los asterodes y de Júpter omentadas antes. Fg..4 Dstrbuón de asterodes onodos

18 8 avegaón en el sstema solar empleando asterodes Hay otros objetos elestes más allá de la órbta de Júpter, en el Sstema Solar exteror, que no está del todo laro s deben ser atalogados omo asterodes o omo ometas. Los que están stuados entre Saturno y Urano se onoen omo Centauros, y los que están más allá de eptuno son los llamados objetos Trans-neptunanos. Atualmente se están desubrendo objetos todavía más lejanos que de momento se denomnan Plutodes y que empezan a entrar en el lejano reno de los ometas. El tamaño de los planetas menores o asterodes vstos hasta aquí, va de los aproxmadamente 000 km de dámetro del mayor de ellos Ceres, en el nturón prnpal, a los menos de 30 km de dámetro de 433 Eros de la famla Apolo-Amor; aunque se estma que debe haber una gran antdad de uerpos más pequeños, y aún desonodos, que podrían servr gualmente para la determnaón de la posón de la sonda. Los asterodes que tendrán en nuestro aso mayor valor omo referenas para la sonda planetara serán los del nturón prnpal, debdo a su mayor onentraón y tamaño, aunque podrán utlzarse otras famlas de asterodes en funón de por donde tenga que pasar la sonda en su vaje nterplanetaro, s en el futuro se ve que el número de asterodes de tpo Centauro o Trans-neptunano no es sufente omo para que sea realzable la determnaón de la posón de la sonda on ellos, se tendrían que busar sstemas omplementaros para la navegaón. En la fgura.5 se representa la posón de los prnpales asterodes menonados en este apartado. Fg..5 Posón de las dstntas famlas prnpales de asterodes

19 Coneptos prevos 9.3. Movmento de los uerpos del Sstema Solar El movmento de todos los uerpos que omponen el Sstema Solar, está gobernado prnpalmente por el ampo gravtatoro del Sol, ya que la masa de todos estos uerpos juntos es muy pequeña omparada on la masa solar. El Sol aporta el % de la masa del Sstema Solar, todos los planetas aportan el 0.35 % de la masa, y el restante 0.05 % está formado por los satéltes de los planetas, los asterodes, los ometas, meteortos, y la matera del medo nterplanetaro. Por tanto, en una prmera aproxmaón es posble estudar el movmento de ada uerpo del sstema planetaro en su órbta alrededor del Sol onsderando sólo la nteraón gravtatora entre la estrella y el uerpo, aunque para un estudo preso será neesaro tener en uenta las nteraones on otros uerpos del sstema. Un objeto del Sstema Solar, nmerso en el ampo de fuerzas entral generado por el Sol, de magntud nversamente proporonal al uadrado de su dstana al Sol, tendrá una órbta on la forma de una seón óna on el Sol en uno de sus foos. Este objeto segurá las tres leyes empíras de Kepler que desrben el movmento de los uerpos dentro del Sstema Solar. Estas se pueden enunar on las expresones.,.2, y.3 que se nluyen a ontnuaón, para el aso de las órbtas elíptas segudas por los asterodes del nturón prnpal que vamos a usar omo referena: 2 ( e ) a r (.) + e os θ donde r es la dstana del asterode al entro del Sol, a es el semeje mayor de la elpse, e es su exentrdad, y θ es el ángulo en radanes desde el asterode hasta el punto de la órbta más erano al Sol, o perhelo. Fg..6 Forma elípta de la órbta de los asterodes del nturón

20 0 avegaón en el sstema solar empleando asterodes El rado vetor que une el entro del Sol on la posón en ada momento del asterode en su órbta, barre áreas guales en tempos guales, y por tanto la velodad del uerpo en su órbta será mayor uanto menor sea la dstana al Sol. Esto puede expresarse omo: da dt r 2 2 dθ te dt (.2) donde A es el área barrda por el rado vetor. Fg..7 Areas barrdas guales a tempos T guales El oente del ubo del semeje mayor a de una órbta dada, entre el uadrado del perodo P de esa órbta es onstante para dstntas órbtas, es der el perodo de la órbta será proporonal a la dstana del Sol: a P 3 2 (.3) donde a está dado en UA, y P en años..4. Elementos orbtales Una vez vstas la forma y las leyes que obedeerán los movmentos de los asterodes en sus órbtas, ahora vamos a ver ómo defnremos la órbta y la posón dentro de ella de ada asterode partular. Prmero, neestamos ntrodur unas defnones omo la de plano de la elípta, que es el plano defndo por la órbta terrestre, éste onde

21 Coneptos prevos aproxmadamente on los planos defndos por las órbtas de la mayor parte de los planetas mayores y menores, es der, que as todos ellos orbtan aproxmadamente en el msmo plano del Sstema Solar. Otra defnón que se utlza es la de línea de los nodos, que es la reta que queda defnda por la nterseón del plano de la elípta on el plano orbtal de un uerpo eleste del Sstema Solar; los puntos sobre esta línea de los nodos donde el uerpo traspasa el plano de la elípta de sur a norte y de norte a sur, se llaman respetvamente nodo asendente y nodo desendente, (ver fgura.8). Por últmo, el punto Ares es por defnón un punto en el espao que defne una dreón de referena para ndar otras dreones o puntos del espao. La dreón del punto Ares vene dada por la nterseón del plano de la elípta on el plano del euador eleste. Defndas las deas del párrafo anteror, ahora vemos omo a partr de no parámetros ndependentes llamados elementos orbtales, se puede defnr el tamaño, la forma, y la orentaón de una órbta respeto del plano de la elípta, mentras que un sexto elemento orbtal onretará la posón del uerpo dentro de la órbta defnda on los no parámetros anterores. Este onjunto de ses elementos orbtales puede ontener dstntos parámetros pero los más usuales, serán los dbujados en la fgura.8, que son los sguentes:. Semeje mayor a. Es el semeje que se defnía para una seón óna dada. 2. Exentrdad e. Es la msma e que se defne para una seón óna. Con e y a queda defnda la forma y el tamaño de la órbta. 3. Inlnaón. Es el ángulo entre los vetores perpendulares a los planos de la elípta y el defndo por la órbta que estamos onsderando. 4. Longtud del nodo asendente Ω. Es el ángulo defndo entre la dreón del punto Ares y el nodo asendente. 5. Argumento del Perhelo ω. Es el ángulo defndo sobre el plano orbtal, meddo en el sentdo de rotaón del uerpo, entre el nodo asendente y la posón del perhelo de la órbta. Entones,, Ω, y ω nos defnen la orentaón de la órbta respeto al plano de la elípta. 6. Anomalía verdadera ν.

22 2 avegaón en el sstema solar empleando asterodes Es el ángulo defndo sobre el plano orbtal, entre la posón del perhelo, y la posón del uerpo para un momento onreto. Este parámetro nos defne entones la posón del uerpo en su órbta. Fg..8 Elementos orbtales.5. Preesón de los equnoos El llamado efeto de la preesón de los equnoos, es un fator muy mportante a tener en uenta para determnar on exattud la posón de un objeto en el espao, ya que hae que la dreón del punto Ares, que usamos omo referena para medr las posones de los objetos elestes, vaya varando on el tempo. La dreón haa el punto Ares, tambén onoda omo dreón del equnoo Vernal, queda determnada por la línea de nterseón del plano de la elípta on el plano del euador eleste, sn embargo aunque el plano de la elípta podemos onsderarlo fjo en una prmera aproxmaón, el plano del euador eleste varía su posón a lo largo del tempo, por lo que la dreón marada por la línea de nterseón de ambos planos tambén rá varando on el tempo. El movmento del plano euatoral eleste se debe a que la Terra no es una esfera perfeta, y por tanto la fuerza gravtatora que el Sol ejere sobre ella no se produe de forma totalmente smétra, provoando un momento de fuerzas o torque sobre el planeta; este altera el momento angular de rotaón terrestre, y su eje de rotaón tende a moverse sguendo una trayetora en

23 Coneptos prevos 3 forma de ono omo la que se representa en la fgura.9. Dho movmento de preesón tene un perodo de unos años, y hará que el eje terrestre que atualmente apunta haa la estrella Polars apunte dentro de unos años aproxmadamente haa la estrella Vega. Lo que será más mportante para nosotros en este trabajo es que el efeto de preesón provoa que atualmente la dreón del punto Ares se mueva unos 50 segundos de aro por año haa el oeste, lo ual afetará a la determnaón de las posones elestes que se explan en el sguente apítulo..6. utaón La nutaón es un efeto que se superpone al de la preesón del eje de rotaón terrestre, y que se produe por la nteraón de la Terra on el ampo gravtatoro de la Luna, que provoa, omo en el aso del Sol, un momento de fuerzas sobre la Terra por su falta de esferdad; sn embargo en este aso el plano orbtal lunar tambén preesona por perturbaones de la gravedad solar debdo a la nlnaón de este plano respeto del plano de la elípta. La preesón lunar tene un perodo de 8.6 años, y estas varaones se reflejan en la nfluena gravtatora de la Luna sobre el eje de rotaón terrestre provoando pequeñas oslaones de su posón de perodo 8.6 años, estas tenen aproxmadamente la forma representada en la fgura.9, aunque a una freuena muho menor a la real. Fg..9 Movmento del eje de rotaón terrestre por preesón y nutaón.7. Movmento propo estelar

24 4 avegaón en el sstema solar empleando asterodes Tanto el Sol omo el resto de las estrellas llamadas fjas, están en realdad en movmento alrededor del entro de gravedad de la Galaxa; esto provoa que la posón de ada estrella tal omo la vemos desde la Terra tenda a moverse respeto del resto de las estrellas, este movmento se onoe omo movmento propo de la estrella, y es muy pequeño. S desomponemos el vetor de velodad relatva de la estrella respeto a nosotros, en una omponente radal en la dreón haa la que vemos la estrella, y en una omponente tangenal perpendular a la anteror, tal omo se representa en la fgura.0, la omponente tangenal de la velodad es la que podremos aprear omo un movmento en la esfera eleste, y por tanto será la ausante del movmento propo de la estrella tal omo lo vemos nosotros. La estrella on el mayor movmento propo onoda es Barnard que se mueve en el elo 0.3 segundos de aro al año, es der neesta algo menos de 200 años para reorrer una dstana omo la del dámetro de la luna llena. Este es un movmento propo muy grande omparado on la gran mayoría de las demás estrellas, omo se podrá ver en la tabla 6. del apítulo 6. Para el aso que tratamos en este trabajo, el movmento propo de las estrellas sólo nos nflurá uando alulemos la posón de los asterodes vstos desde la sonda espaal para lo que utlzaremos algunas estrellas omo referena, la posón de las uales orregremos por su movmento propo. Fg..0 Desomposón de la velodad de la estrella en dos omponentes.8. Epoas Como se puede dedur de lo que hemos estado vendo en los apartados anterores es muy mportante determnar el momento en que queremos onoer la posón de un objeto eleste, ya que el entorno en que este se enuentra es dnámo y varará on el tempo. Un onepto que se empleará será el de époa que es un momento onreto en el tempo, en ese nstante de tempo, los asterodes y planetas estarán en una posón dada, el punto Ares estará señalando haa una dreón dada debdo a la preesón y a la nutaón, y las estrellas se verán en una posón dada debdo a su movmento propo; y todo eso varará para otro momento o époa. Por ejemplo el atálogo on las posones de las estrellas que tendremos que usar, nos dará estas posones para una époa, es der respeto de la dreón del punto Ares para esa époa, y on el atálogo de asterodes ourre algo paredo, sus elementos orbtales son váldos para una époa onreta, y estos podrán r ambando

25 Coneptos prevos 5 debdo a perturbaones de sus órbtas. Es der, que la époa será un onepto mportante a tener en uenta para realzar los dstntos álulos. Las époas suelen darse on el número de año on demales ndando las fraones de año, por ejemplo 950.5, o Día Julano Las époas del apartado anteror tambén podrán darse en días Julanos, estos tenen la msma duraón de los días que usamos habtualmente, pero tenen su orgen o día ero el de enero del año 473 a.c. al medodía. Cualquer momento posteror se da on el número de días transurrdos desde ese momento, las horas se dan omo una fraón de día. Esto se hae así por que a lo largo de la hstora han habdo algunos ambos de alendaros que no se han produdo al msmo tempo o de forma global en todas partes, por lo que al ambar la forma de uantfar las fehas habría onfltos para nterpretar las observaones astronómas realzadas en dstntos países y momentos de la hstora. Para haernos una dea del orden de magntud de las fehas Julanas, el día 3 de Enero de 2005 a las 0:00 horas solares orresponde al día Julano Paralaje Este es un onepto fundamental, ya que nos permtrá averguar la stuaón de la sonda a partr de su vsón de asterodes de posón onoda. Se basa en el heho de que s mramos un objeto desde dferentes posones, lo vemos en dferentes dreones, y las dferenas angulares entre estas dreones es lo que llamamos paralaje. La paralaje varará en funón de la posón desde donde se observe el objeto, y de la dstana a la que se haga, por lo que en general podremos usarla para determnar posones y dstanas. El efeto de paralaje se emplea por ejemplo, en el sstema estereosópo de vsón humano, en el ual observamos un msmo objeto desde dos posones dstntas separadas una meda de 7 m, que es la separaón entre nuestros dos ojos. Tambén se emplea para determnar las dstanas a estrellas eranas observándolas desde dos posones a aproxmadamente 2 UA ó mllones de klómetros una de otra, que es la dstana que separa las posones de la Terra tras 6 meses de reorrer su órbta solar; este aso es el denomnado paralaje anual y se representa en la fgura.. Fg.. Paralaje anual

26 6 avegaón en el sstema solar empleando asterodes Para el aso de los uerpos elestes eranos omo los asterodes, el ambo de dreón al observarlos desde dos puntos dstntos, se aprea por el desplazamento aparente de su posón respeto de las estrellas muho más lejanas detrás de él; esto se debe a que la dstana entre los dos puntos de observaón es sufentemente grande, omparada on la dstana al asterode, omo para generar una dferena angular apreable entre las dreones en las que vemos al asterode, sn embargo, esa msma dstana entre los dos puntos es muy pequeña omparada on la dstana a las estrellas, y no será sufente para aprear algún ambo en las dreones de observaón de estas. Como onseuena, las estrellas no ambarán de posón vstas desde los dferentes puntos de la trayetora de la sonda, pero sí lo harán los asterodes muho más eranos, y este heho nos permtrá alular la posón de la sonda dentro del sstema solar... Aberraón El fenómeno llamado aberraón ourrrá al observar una estrella desde un uerpo en movmento, omo una sonda espaal, o la Terra, y será debdo a la velodad fnta de la luz que provene de la estrella. Aunque no lo haremos aquí, se puede demostrar que la omposón de estos dos fatores provoará que la dreón aparente en la que se observa la estrella, dfera un ángulo a, en la dreón del movmento del observador, de la dreón real de la msma. El valor de este ángulo a será funón de: la velodad del observador v, de la velodad de la luz, y del ángulo θ entre la dreón real de la estrella y el vetor velodad del observador, tal omo nda la expresón.4. En la fgura.2 se puede ver la dea del onepto de aberraón, el observador en reposo observaría la dreón real haa donde está la estrella, pero el observador en movmento la verá desplazada un ángulo a. v a sn θ (.4) Fg..2 Representaón del fenómeno de aberraón

27 Determnaón de una posón eleste 7 CAPITULO 2. DETERMIACIO DE UA POSICIO CELESTE Como este trabajo trata sobre un método para determnar la posón de una sonda espaal, a lo largo de él se tendrán que haer referenas a la posón de dstntos objetos elestes, y se hará usando varos sstemas de referena según sea más onvenente en ada aso. En este apítulo se presentan los sstemas de oordenadas que hemos usado para ndar las posones de los uerpos elestes. 2.. Sstemas empleados para ndar una posón eleste Cuando tengamos que dar la posón de un objeto eleste dentro del Sstema Solar podremos usar dferentes sstemas de referena. En este trabajo, se usan posones referdas al entro de la Terra o geoéntras, y posones referdas al entro del Sol o heloéntras. En ada uno de esos dos asos, se emplean oordenadas retangulares (x, y, z), y oordenadas polares o esféras (r, ϕ, θ). Respeto a las oordenadas polares, en funón de que estas sean geoéntras o heloéntras, emplearemos dos planos de referena dstntos, a partr de los uales medremos uno de los ángulos; para el aso geoéntro, el plano de referena será el que ontene al euador terrestre, y las tres oordenadas esféras se llamarán, rado, asensón reta, y delnaón, que desgnaremos on (r, α, δ), o (r, AR, DEC). Para el aso heloéntro, el plano de referena será el plano de la elípta, y las tres oordenadas se llamarán, rado, longtud eleste, y lattud eleste, que desgnaremos on (r, λ, β). En los sguentes apartados se ven estos sstemas on más detalle. Además de los sstemas de referena anterores, que nos darán una posón en el espao trdmensonal del Sstema Solar, tambén emplearemos un sstema de referena bdmensonal, en el ual una posón en la esfera eleste se dará on dos ángulos. Dhos ángulos serán los msmos nombrados antes de asensón reta y delnaón (α, δ), pero esta vez no será neesaro dar un valor r para la terera dmensón. Este sstema de referena en dos dmensones se usará uando estemos nteresados en ndar sólo la dreón en la que se enuentra un objeto eleste, sn mportar ual es su dstana Sstema bdmensonal de asensón reta y delnaón S se mra al elo en una nohe lara desde una zona despejada de obstáulos, podremos observar multtud de objetos lumnosos; la gran mayoría de ellos serán estrellas, pero tambén podremos ver algún planeta, algún satélte artfal, y s mramos on atenón, alguna galaxa. Cada uno de estos objetos estará a dstanas muy dferentes de nosotros, desde unos poos entos de klómetros hasta muhos bllones de klómetros, sn embargo, a smple vsta no seremos apaes de detetar la nmensdad de ese espao, y

28 8 avegaón en el sstema solar empleando asterodes sólo podremos determnar en que dreón está ada uno de los objetos que observamos. Es omo s todo lo que vemos estuvera sobre una superfe esféra sobre nosotros (fgura 2.), y omo esto ourrrá sobre ualquer punto de la superfe terrestre, será omo s exstera una gran esfera on todos los objetos elestes sobre ella, y on la Terra en su entro (fgura 2.3). A esta esfera magnara la llamamos esfera eleste, y será un onepto muy útl para poder determnar en que dreón está ada objeto eleste, sn determnar a que dstana se enuentra. Esto msmo ourrrá uando observemos el elo desde la sonda espaal, aunque ahora será ésta el entro de su esfera eleste; se debe resaltar que para la sonda habrá un ambo de perspetva on respeto a la terrestre, lo que modfará las posones aparentes de objetos eranos omo los asterodes. Fg. 2. Esfera eleste magnara sobre un observador Para ndar on presón uál es la posón de un uerpo en la esfera eleste, el sstema de oordenadas que emplearemos es el de asensón reta y delnaón, (AR, DEC), o (α, δ). Al dar estas dos oordenadas de un objeto eleste, su posón queda perfetamente determnada en el elo, de forma análoga a omo queda determnada una posón sobre la superfe terrestre al dar sus oordenadas de lattud y longtud terrestres. De heho el sstema de oordenadas de lattud y longtud terrestre, representado en la fgura 2.2, se establee de forma as dénta a ómo lo hae el sstema de oordenadas de asensón reta y delnaón eleste. En la fgura 2.2 se muestra omo on dos ángulos a y b, estableemos una forma de ndar on presón el punto que nos nterese sobre la superfe terrestre. Fg. 2.2 Longtud y Lattud de un punto P sobre la superfe terrestre

29 Determnaón de una posón eleste 9 Una vez vsto el fundamento del sstema de oordenadas de longtud y lattud terrestres, la defnón del sstema de oordenadas elestes de asensón reta y delnaón es nmedata. Ahora, en lugar de espefar la posón de un punto sobre la superfe de la esfera terrestre, estaremos nteresados en haerlo sobre la esfera eleste. Para ello, prmero proyetaremos el euador terrestre sobre la esfera eleste, y a esta proyeón la llamaremos euador eleste (ver fguras 2. y 2.3). Sobre este euador podremos espefar el ángulo equvalente al de longtud terrestre, que ahora llamaremos asensón reta, de forma que dando el valor de un ángulo de asensón reta quedará espefado un punto sobre el euador eleste; s ahora, a partr de ese punto damos un segundo ángulo análogo al de lattud terrestre, podremos determnar, un segundo punto sobre la esfera eleste, este segundo ángulo será el de delnaón. Por tanto, dando el valor de los ángulos de asensón reta y delnaón podremos determnar un punto de la esfera eleste de forma análoga a omo lo haíamos sobre la superfe terrestre on la longtud y la lattud. Fg. 2.3 Representaón de la esfera y del euador elestes Ahora, neestaremos un orgen a partr del ual medr el ángulo de asensón reta. Para enontrar un punto que no se mueva sobre el euador de la esfera eleste, se toma el punto donde la trayetora aparente del Sol sobre la esfera eleste a lo largo del año (elípta), ruza al euador eleste pasando del hemsfero sur eleste al norte, y éste será un punto as fjo sobre el euador eleste. Este punto es el que ya se había omentado en el apítulo, donde se había dado una defnón análoga a la dada aquí, y que llamamos punto Ares. Demos as fjo, porque omo se vo, se mueve lentamente debdo al efeto de la preesón del eje de rotaón terrestre. En la fgura 2.4 se representan los ángulos de delnaón y asensón reta, de un objeto eleste X, se mara el punto Ares on su símbolo del zodíao orrespondente.

30 20 avegaón en el sstema solar empleando asterodes Fg. 2.4 Representaón de los ángulos de asensón reta y de delnaón de un punto X sobre la esfera eleste Defndo un orgen sobre el euador eleste, el ángulo de asensón reta se medrá a partr de él reendo haa el Este; se podría medr en grados, pero por onvenón se hae en horas, mnutos y segundos, ya que un punto sobre la esfera eleste vsto desde la superfe terrestre paree dar una vuelta en algo menos de 24 horas, entones los 360º del euador eleste serán aproxmadamente 24 horas, y por tanto ada hora de asensón reta equvaldrá aproxmadamente a 5º sobre el euador eleste. El ángulo de delnaón adoptará valores entre -90º y +90º, de forma que el polo norte eleste estará a +90º, el polo sur eleste a -90º, y el euador eleste a 0º de delnaón. Hay que espefar que para la determnaón de la posón de la sonda espaal que tratamos en este trabajo, habrá que dstngur entre la posón del asterode que usemos de referena dada tal omo se vería desde la Terra, y la posón de ese msmo asterode tal omo se vería desde la sonda espaal. En el prmer aso nos referremos a asensón reta y delnaón geoéntras del asterode, y en el segundo aso smplemente omo asensón reta y delnaón del asterode vsto desde la sonda Sstema de oordenadas geoéntro En el apartado anteror hemos onsderado la forma de dar la posón de un objeto sobre la esfera eleste, es der, on lo vsto hasta ahora podemos determnar on presón la dreón haa la que se enuentra un uerpo eleste dado. S a la dreón onoda on dos ángulos dados de asensón reta y delnaón, le añadmos ahora un terer parámetro que uantfque la dstana a la que se enuentra el objeto, su posón en el espao de tres

31 Determnaón de una posón eleste 2 dmensones quedará totalmente determnada. Con esta dstana al objeto, que llamaremos rado tendremos que la posón de ada uerpo eleste quedará determnada on tres oordenadas: rado, asensón reta, y delnaón, (r, AR, DEC), o (r, α, δ). La posón trdmensonal determnada on (r, α, δ), será respeto del entro de la Terra, ya que la hemos defndo a partr del sstema bdmensonal anteror, y éste lo habíamos onsderado omo entrado en la Terra, luego el sstema vsto se llamará geoéntro. Además el plano que habíamos utlzado omo referena para medr los ángulos de delnaón había sdo el plano del euador eleste, por lo que el sstema vsto se llamará además euatoral. En onjunto el sstema de referena de oordenadas (r, α, δ) se llamará geoéntro euatoral, y es el representado en la fgura 2.5. En dha fgura, se puede ver omo el plano formado por los ejes X e Y, onde on el plano euatoral, y el eje x apunta en la dreón del punto Ares. Fg. 2.5 Sstema de referena geoéntro euatoral La msma posón en el espao dada on el rado y los dos ángulos vstos (r, α, δ), puede gualmente darse on las tres oordenadas retangulares (x, y, z) de los ejes de oordenadas de la fgura 2.5, en el prmer aso nos referremos a unas oordenadas geoéntras euatorales polares o esféras, y en el segundo aso a unas oordenadas geoéntras euatorales retangulares. La relaón entre las oordenadas de una msma posón dada on (r, α, δ), o on (x, y, z), se puede obtener on las sguentes expresones a partr de la fgura 2.6.

32 22 avegaón en el sstema solar empleando asterodes Fg. 2.6 Relaón entre oordenadas retangulares y polares S se onoen los valores de (r, α, δ) se puede dedur de la fgura 2.6 que los valores de (x, y, z) serán los sguentes: ( δ ) os( α ) ( δ ) sn ( α ) sn( δ ) x r os y r os (2.) z r y s se onoen los valores de (x, y, z), tambén en la fgura 2.6 se puede ver que los valores de (r, α, δ) serán: ( x + y z ) r + y α artan x (2.2) z δ artan 2 2 ( x + y ) Sstema de oordenadas heloéntro Además del sstema de oordenadas geoéntro vsto en el apartado anteror, tambén se usará el sstema de oordenadas heloéntro, en el ual las posones de un objeto dentro del Sstema Solar, no se dan respeto del

33 Determnaón de una posón eleste 23 entro de la Terra, sno respeto del entro del Sol. Las oordenadas heloéntras serán el sstema natural para expresar la posón de los uerpos que se mueven dentro del ampo gravtatoro solar, ya que onsderaremos el Sol fjo en el entro del sstema, y todos los demás uerpos tendrán en ada momento, una posón relatva respeto de él. Por tanto, estas oordenadas heloéntras resultarán las más apropadas para dar la posón fnal alulada de nuestra sonda nterplanetara. Además de la dferena entre la posón tomada omo orgen de los ejes de oordenadas, entre el sstema geoéntro y el heloéntro, en el segundo, en lugar de usar el plano del euador eleste omo referena, se empleará el plano de la elípta, que omo se había dho anterormente es el plano defndo por la órbta de la Terra alrededor del Sol. Por tanto, el sstema de referena que usaremos para dar la posón fnal de la sonda espaal será el representado en la fgura 2.7, y lo llamaremos sstema heloéntro elípto. Fg. 2.7 Sstema de referena heloéntro elípto En la fgura 2.7 podemos ver omo en este aso el plano xy onde on el plano de la elípta, mentras que el eje x sgue señalando en la dreón defnda por el punto Ares. Para dar las posones en tres dmensones dentro de este sstema, usaremos un proedmento smlar al empleado para el sstema geoéntro euatoral. Una posón podrá darse o ben por sus oordenadas retangulares (x, y, z), usando los ejes de la fgura 2.7, o ben por sus oordenadas polares dando dos ángulos y un rado. El ángulo equvalente al de asensón reta vsto antes, se llamará ahora de longtud eleste λ, y se medrá desde la dreón del punto Ares a lo largo del plano elípto entre 0º y 360º, y el equvalente al ángulo de delnaón se llamará lattud eleste β, y se medrá a partr del plano elípto entre +90º y 90º. En la fgura 2.8 se pueden ver estos dos ángulos para un punto X stuado sobre la bóveda eleste.

34 24 avegaón en el sstema solar empleando asterodes 2.5. Transformaón de oordenadas Para realzar los álulos de la posón de la sonda en los apítulos sguentes, se tendrán que haer ambos de oordenadas entre los sstemas de referena trdmensonales expuestos en este apítulo, por tanto vamos a ver ómo se expresarían, en los dstntos sstemas de referena vstos, las oordenadas de una msma posón del Sstema Solar. Ya hemos expresado on 2. y 2.2 ómo se pueden pasar las oordenadas retangulares a las polares, esto es general y vale para los dos sstemas de referena trdmensonales vstos. Ahora nos faltaría ver ómo se pasa una posón dada en oordenadas retangulares geoéntras, a oordenadas retangulares heloéntras; y ómo se pasa dentro de unos msmos ejes de una posón en oordenadas polares euatorales a oordenadas polares elíptas. Conodas estas transformaones de oordenadas menonadas, se podrán ombnar para pasar una posón dada en unas oordenadas, a otras oordenadas ualquera de las vstas. Para pasar una posón dada en oordenadas retangulares geoéntras a oordenadas retangulares heloéntras, sólo habrá que onoer las oordenadas retangulares heloéntras de la Terra, y sumarlas una a una on las oordenadas geoéntras que tenemos. Puesto que los elementos orbtales de la Terra serán onodos, podremos alular las oordenadas de su posón respeto del Sol en un momento dado, y sumando éstas a las oordenadas del objeto eleste respeto de la Terra, obtendremos las oordenadas del objeto referdas al Sol. Para transformar una posón dada en oordenadas polares euatorales a oordenadas polares elíptas, (ya sean geoéntras o heloéntras), tendremos que haer una rotaón de los ejes de oordenadas. La forma en que se han heho estos ambos de oordenadas en este trabajo ha sdo la sguente. Prmero, medante las expresones 2. hemos pasado las oordenadas polares euatorales a retangulares euatorales. Segundo, omo tanto el sstema euatoral omo el elípto tenen el eje x en omún, se ha utlzado éste omo eje para efetuar la rotaón, entones el valor de la oordenada x no varía, y sólo lo harán las oordenadas z e y (ver anexo A), on lo que efetuada la rotaón obtendremos unas oordenadas retangulares elíptas. Y terero, a partr de las oordenadas retangulares obtendas tras la rotaón, aplando las expresones 2.2, obtenemos las oordenadas polares elíptas deseadas de la posón dada. La matrz de rotaón utlzada es la que se da a ontnuaón, y su justfaón se ha nludo en el anexo A de este trabajo. x y z Elp Elp Elp osα snα 0 x snα y osα z Euat Euat Euat