Dos ecuaciones para la expansión del espacio-tiempo

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Rosario Valdéz Castillo
hace 5 años
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1 Dos euaones para la expansón el espao-tempo Carlos S Chnea Dos euaones para la expansón el espao tempo Estuo meante aproxmaón newtonana Introuón Las euaones que esrben la expansón el espao-tempo ese el bg bang se obtenen ese las euaones e ampo e la relatva general, sn embargo, poemos, meante una senlla aproxmaón a la náma e Newton, obtener algunos e los resultaos lave, omo la euaón e Fremann o la euaón e estao que lga la presón on la ensa e masa el unverso Es neesaro suponer la valez el prnpo osmológo en too espao-tempo, por lo que tenremos en uenta tanto el que las leyes e la ísa son las msmas en toa loalzaón, omo que, a gran esala, el unverso presenta la suente homogenea e sotropía oy ía las observaones sobre la strbuón e galaxas an por heho que se pueen onserar sótropas y homogéneas zonas e, al menos, 5 egaparses e ámetro En estas onones poemos analzar el proeso, meante noones e la ísa lása e Galleo y Newton, e ómo se expanría en el espao-tempo una esera e rao lo suentemente ampla, on masa y ensa homogénea a veloa v y sn transerena e alor ese o haa el exteror e la regón eséra, es er, aabátamente ara poer haer el estuo e una orma onsa es neesaro entener que en la expansón e una regón eséra e esta magntu, las únas uerzas que tenerían a renar gravtaonalmente la expansón seran las prouas por la exstena e la masa el nteror e la esera Es er, no ntervenrían gravtatoramente los eetos e las strbuones e masa exterores a la regón eséra onseraa orqué la masa exstente en el nteror e una regón eséra es la úna que atúa gravtaonalmente sobre la expansón? Se aostumbra a oreer un argumento teóro para justar esta armaón, que onsste en suponer una apa superal eséra e matera, e grosor nntesmal, envolveno nuestra esera, y onserar un setor e vérte en la esera que enrá os superes aproxmaamente rulares en la supere julo, 8

2 Dos euaones para la expansón el espao-tempo Carlos S Chnea envolvente, tal omo mostramos en la gura, superes que hemos llamao S y S, las uales ejererían sobre la masa eséra que onseramos, una uerza gravtaonal nula en onjunto, pues aa una e las os superes atraerían a la esera on la msma uerza gravtatora y on sentos opuestos, tal omo se eue a ontnuaón Veamos que en aa punto e la zona eséra que envuelve la asara superal S la gravea orgnaa por ésta tene eeto total nulo S r, S r r tg( φ / ) r tg( / ) φ Fuerza ejera sobre el punto por la zona S : p s p S s p r s p r s G G G G G tg p s r tg φ ( φ / ) ( / ) Fuerza ejera sobre el punto por la zona S : p s p S s p r s p r s G G G G G tg p s r tg φ ( φ / ) ( / ) El balane total, por tanto, es nulo, por tratarse e uerzas e ontraro sento: r r S extenemos el razonamento para setores en toas las reones el espao, quea laro que el balane e toa la ásara nntesmal es e gravtaón nula en el punto S extenemos el razonamento a una supere S e grosor nto, julo, 8

3 Dos euaones para la expansón el espao-tempo Carlos S Chnea ntegrable omo suma e nntas apas superales e grosor nntesmal, el argumento señala, en onseuena, que la gravtaón en aa punto nteror es nula or onsguente, s, volveno a la esrpón el problema, tenemos una regón eséra que se expane, la gravtaón que tene a renar la expansón e la msma no es la orgnaa por la masa e nnguna asara exteror, por muy gruesa que sea, sno solamente la masa nteror e la zona eséra que estamos estuano El ator e esala y la onstante e ubble El ator e esala: Nos permte mer el grao e la expansón S onseramos una esera e rao ao en el nstante t, es obvo que el rao eséro va aumentano a mea que transurre el tempo Se tene, por tanto: t < t < t < t < < t < < < < < < < Debo, pues, a la expansón el espao_tempo poemos onserar que una esera e rao onoo en el nstante t se expane e moo que su rao sea en el nstante t posteror Llamaremos ator e esala en t reero a t al oente e vr ambos raos: Fator e esala en t reero a t : Asmsmo, s llamamos t al nstante atual, poemos onserar el ator e esala respeto al nstante t : Fator e esala atual on respeto a t : aeno una elemental susttuón, poemos reerr el rao e la esera en el nstante atual al rao e la esera en el nstante t : Es er, el rao e la esera en expansón en el nstante atual t puee ser reera al rao e la esera en un nstante t anteror multplánolo por el oente e sus atores e esala on respeto a un orgen omún S elegmos el rao e moo que su ator e esala on respeto al orgen ao sea ( ), a n e smplar las expresones, se tenrá que representaremos, por senllez, en la orma julo, 8

4 Dos euaones para la expansón el espao-tempo Carlos S Chnea La onstante e ubble: Es la onstante e proporonala entre la veloa e la expansón y el rao e la esera que se expane Esta onstante, que se puee mer en klómetros por seguno y megaparses, se expresaría e la orma sguente para el nstante atual: que poemos expresar en unón el ator e esala e la expansón haeno la susttuón oportuna: v v La anteror relaón veloa-stana omo una onstante nos na, pues, que la veloa e expansón es proporonal al rao e la zona eséra que se expane, o, ho e otro moo, que las zonas más alejaas e nosotros se alejan on mayor veloa Se expresa, por tanto, omo la varaón relatva el ator e esala Este aumento e la veloa on la stana tene un horzonte osmológo, que será aquel rao para el ual la veloa e la expansón llegara a ser la e la luz, veloa máxma e propagaón e las nteraones Esta stana se aostumbra a llamar rao e ubble v h h or otra parte, e la enón e la onstante e ubble, se eue que el tempo urante el ual se ha esarrollao la expansón el espao tempo, o ho e otro moo, la ea el unverso, one on la nversa e la onstante: espao espao veloa tempo th tempo veloa v Este tempo, tempo e ubble, que na la ea el unverso, puee alularse, pues, meante el nverso e la onstante e ubble ara 7 kms - p - se obtenen estos valores: - ao e ubble: egapares - Tempo e ubble: 6 años Euaones que se euen ese el prnpo e onservaón e la energía: La euaón e Fremann julo, 8

5 Dos euaones para la expansón el espao-tempo Carlos S Chnea S expresamos matemátamente, e orma elemental, el prnpo e onservaón e la energía meána, esrbremos: G v ons tan te [] (La energía gravtaonal que tene a renar la expansón más la energía néta e la expansón es gual a la energía total en la regón eséra) one la onstante tene mensones el uarao e una veloa ara que la onstante k que se ntrouza se amensonal, poemos haerla gual al prouto por el uarao e una veloa, por ejemplo, e la veloa e la luz: k Esrbremos, por onsguente: Susttumos los valores y resulta: G v k, v G k [] y smplamos: 8 G k 8 G k 8 k G y se obtene, en entva, la euaón e Fremann, que la eujo retamente ese las euaones e ampo e la relatva general Aquí se obtene ese una aproxmaón newtonana k 8 G Una euaón e estao La expansón e una regón eséra sn que haya transvase energéto on el exteror, es er, uano se trata e una expansón e tpo aabáto, el prmer prnpo e la termonáma, en reala una expresón el prnpo e onservaón e la energía, arma que toa la energía que se esarrolla en la expansón es la msma que la varaón e la energía nterna total e la regón eséra oemos expresarlo, pues, e este moo julo, 8 5

6 Dos euaones para la expansón el espao-tempo Carlos S Chnea julo, 8 6 E ϑ Calulamos por separao los os membros ( ) ( ) E ϑ Igualano: por tanto: ) ( nalmente: ) ( Euaón e estao que relaona la presón on la ensa e masa y que tambén resulta ser euble e las euaones e la relatva general 5 Densa ríta El valor e la ensa e masa en la regón eséra tal que equlbre el proeso e la expansón, esto es, e orma que en la euaón [] la energía gravtaonal guale en valor absoluto a la energía e la expansón, y por tanto, la onstante sea nula, es lo que se enomna ensa ríta Es la ensa e masa tal que rene entvamente la expansón el espao tempo Tenrá que ser, por onsguente, K en [], o sea, haeno ero esta onstante amensonal en la euaón e Freman, tenremos que G 8 O ben

7 Dos euaones para la expansón el espao-tempo Carlos S Chnea 8G S tomamos, por ejemplo, el valor para la onstante e ubble, 75 Km s p poemos, meante un pequeño álulo, etermnar el valor e la ensa ríta: 9 gr m,576 El valor e G utlzao es G 6,67 N m Kg Es neesaro nar que, según los osmólogos atuales, s sumamos la masa e las galaxas y sstemas estelares ontenos en el volumen atualmente observable el unverso, la ensa sería algo así omo la entésma parte e la ensa ríta neesara para etener la expansón, y que s sumamos tambén la masa orresponente a la no etetaa matera osura neesara pare explar toos los movmentos estelares en los sstemas galátos, la ensa total no pasaría el % e la ensa ríta or lo ual es lógo esperar que puea llegar a etetarse más matera e la que atualmente sospehamos que exste, o alguna energía atratva por ahora esonoa, o ben, hemos e pensar que la expansón nuna se etenrá 6 Doumentaón eryes&typeinte&letypep 6 YES&typeINTE&letypep julo, 8 7

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