sistemas de conductores

Transcripción

1 Energía y presón electrostátca en sstemas e conuctores Antono González Fernánez Dpto. e Físca Aplcaa III Unversa e evlla nopss e la presentacón Las fórmulas para la energía electrostátca pueen aplcarse a un sstema e conuctores La energía puee expresarse en funcón e los coefcentes e capaca 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez El resultao puee nterpretarse en térmnos el crcuto equvalente La repulsón entre las cargas e un conuctor prouce una presón haca el exteror La presón permte calcular la fuerza neta sobre un conuctor

2 Energía electrostátca en un sstema e cargas Una strbucón e cargas almacena una energía, gual al trabajo necesaro para proucrla = q φ ' ( r ) + s σ φ + ρφ τ V 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez La energía electrostátca es una funcón e estao: sólo epene e la confguracón, no el proceso La energía no verfca el prncpo e superposcón, ó ya que ( r) ( r) ( r) ( r) φ =φ +φ +φ q σ ρ Puee calcularse a partr e la ensa e energía = ε E τ= ue τ ue = ε E 3 Equlbro electrostátco en un sstema e conuctores 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez Q V ρ V 3 Q 4 Cuano ρ = too el campo se ebe a los conuctores Un conjunto e conuctores cargaos prouce un campo eléctrco entre ellos Toa la carga e los conuctores está en sus superfces La superfce e caa conuctor es equpotencal Los conuctores puee estar aslaos (Q cte.) o conectaos a un generaor (V cte.) pero no ambas cosas a la vez. 4

3 Energía e un sstema e conuctores cargaos (en ausenca e otras cargas) La energía almacenaa en un sstema e conuctores es la e una ensa σ s U e = σ φ = σ φ = s s = V s σ = QV 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez Es smlar a la energía e un conjunto e cargas puntuales, pero para los conuctores sí ncluye la contrbucón el propo conuctor U = q φ' ( r ) e Para cargas puntuales Requere conocer a la vez la carga y el potencal e caa conuctor, lo que oblga a resolver el problema el potencal 5 Los coefcentes e capaca relaconan las cargas y los potencales La carga e los conuctores se relacona lnealmente con los potencales (suponemos ρ = ) Q = CkVk En forma matrcal 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez Vector que contene las cargas Q = C V Vector que contene las tensones k Q C C CN V Q C C CN V = QN CN CN CNN VN La matrz e coefcentes e capaca Depene sólo e la geometría el sstema Es smétrca Cumple que C > y C k ( k) 6

4 Energía en funcón e los coefcentes e capaca usttuyeno en la expresón e la energía U e = QV = V Qk k CV = CVV k, k e k k k k Los os sumatoros van e a N. Incluyen los casos = k. En forma matrcal C C C N V C C CN V ( V V VN) = QV= VC V= CN CN CNN VN Es una funcón cuarátca e los potencales: a oble carga, cuáruple energía 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez La concón e que U e >mpone lmtacones aconales a los valores e los C k (p.ej C C C ) 7 Ejemplos: Una esfera; os esferas concéntrcas En el caso e un solo conuctor esférco = QV = CV = πεrv En el caso e os esferas concéntrcas 4 πε a a b C = b a a b 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez Es sempre postva πε b a a V = ( V V) = b a a b V πε b = ( av avv + bv ) b a ( ) πε b ( ) = a V V + ( b a) V > b a 8

5 Qué ocurre s lo que se conoce es la carga e los conuctores? el ato es la carga, se usa la matrz nversa Q= C V V = C Q U e = QV = Q C Q Para una sola esfera V = cte, U e U e Q Q = QV = = C 8 πε R, e aumenta con R Q = cte, U e smnuye con R 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez Para os esferas concéntrcas / a / b C = 4 πε / b / b / a / b Q Q QQ Q U = e ( Q Q ) 8 / b / b Q = 8 a + b + πε πε b 9 Un ejemplo más complcao: problema 3.6 Tenemos una esfera con os cavaes, en la cuales hay senas esferas. Datos: V = V, Q =, V 3 = El sstema es ( ) ( ) ( ) Q = πε R V V = 4πε R 4V V Q = πε R V 3 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez Y su solucón 3πε V V πε RV Q = V = Q = 4 La energía almacenaa en el sstema 3 = QV + QV Q3V3 3 πε V + = 4

6 aemás e conuctores hay strbucones e carga se suman tenemos conuctores en presenca e strbucones e carga, la energía total es = qφ '( r) + QV + + s σ φ + ρφ τ V Q V ρ V 3 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez uperfces no conuctoras Q Q C V = + k k k Las cargas e los conuctores ncluye las contrbucones e las cargas externas Q 4 El potencal φ ncluye las contrbucones e los conuctores Energía almacenaa en un conensaor Un conensaor lo forman os superfces en nfluenca total, e moo que Q = Q La energía corresponente al conensaor es U ec = QV + QV = QV ( V + V ( ) Q= ) V C V V 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez ( ) ( ) Puee emostrarse que ( ) c = C V V = E ε τ τc En el volumen el conensaor Un conensaor es un spostvo que almacena energía eléctrca en el campo que contene en su nteror Esta fórmula permte calcular C

7 Energía en el crcuto equvalente: suma e las energías e los conensaores Un sstema e conuctores se puee moelar por un crcuto equvalente C C k = Ck = C k k 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez Operano en la expresón e la energía U = C VV = C V + C V V resulta ( ) e k k k k k, k, < k La energía total es la suma e las energías almacenaas en caa uno e los conensaor el crcuto equvalente ( ) = Cn Δ Vn = εe τ C n n n 3 Ejemplo: un bloque cargao entre las placas e un conensaor (3.8) Tenemos tres conuctores: V = V, Q = Q, V 3 = El crcuto equvalente está formao por os conensaores, εl C = C 3 = C = b a una fuente e tensón V y una e carga Q Q = C V V Q = C V V + CV Q = CV 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez ( ) ( ) 3 Q CV V Q Q CV Q = + V = + Q = C 3 La energía Q CV V Q CV Q = V Q = + C almacenaa 4 4C 4

8 Las os placas y el bloque: forma alternatva usano el campo eléctrco Entre caa os superfces planas hay un campo unforme E = E u E = E u z 3 3 La..p. entre y 3 es V ( ) ( ) B A 3 V = E r = E b a + E b a z La carga en el bloque es Q Q = = E L + E 3 L ε E Resultan los campos Q V E = + z εl ( b a) u 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez E Q V = + L b a 3 ε ( ) u z La energía almacenaa U e = 3 ε E τ+ C ε E τ = C3 Q ( b a ) ε LV = + 4L ε 4 b a ( ) 5 Fuerza sobre las cargas e un conuctor: sempre haca afuera 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez obre las cargas e la superfce e un conuctor se ejerce una fuerza ebo al resto e cargas el unverso F= q E' empre apunta haca el exteror el conuctor Las cargas tenen a salr el materal pero se lo mpe la resstenca e éste (eben saltar una barrera e potencal para escapar) El resultao es que el materal se ve someto a una tensón mecánca (presón) la ensa e carga es muy grane, pueen consegur escapar e ncluso romper el materal 6

9 Relacón entre la fuerza sobre q y el campo en el conuctor La fuerza sobre el elemento e carga es ( q ) F= qe' =σ E E Para hallar E hay que escontar el campo e la propa carga, E q El campo total es nulo en el conuctor s El campo E es contnuo 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez El campo E q es smétrco σ ε s n = E = E' + E q = E = E' E qq La fuerza sobre el σ σ elemento e carga es F s s = = ε n ε σ E' = s n ε σ s prouce la mta el campo; el unverso la otra mta 7 Presón electrostátca: a la proporconala entre fuerza y superfce La fuerza sobre un elemento e superfce puee escrbrse F= p La canta p e es la presón electrostátca σs ε pe = = E ε Establece que la fuerza 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez Va en la reccón y sento e Normal Haca fuera el conuctor Es más ntensa one el campo en la superfce, o σ s, es mayor La fuerza total sobre el conuctor es p e F = pe = εe Depene cuarátcamente el campo o e la ensa e carga Equvale a la ensa e energía eléctrca justo en la superfce el conuctor 8

10 Ejemplo e presón electrostátca: una esfera cargaa Para una esfera que almacena una carga Q Q σ Q σ s = p e = 4 π R ε 3 s = 4 π εr 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez Va como R -4. se reuce el rao a la mta, la presón se multplca l por ecsés Para μc en una esfera e cm, p e ~ 36Pa ~.35 atm Para un núcleo e Helo (Q = e,r ~ -4 m), p e ~ 37 7 Pa La fuerza sobre la esfera es nula, F =, ya que F tra por gual en toas reccones lo que se conoce es VR V ε E= u r = u E εv r p la tensón V e = = r R R r= R 9 Ejemplo: el bloque entre las capas el conensaor La presón a ambos laos el bloque central es p p ε ε Q V = E = + L b a ε 3 3 ε ( ) = ε ε Q V E = L + b a ( ) 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez F = p + p = 3 Las presones son ferentes, por lo que se prouce una fuerza neta sobre el bloque: 3 3 L Q V εl Q V z εl ( b a) u εl ( b a) ε = uz = QV = u no hay carga en el bloque o no z b a hay..p., la fuerza se anula ( )

11 Ejemplo: eformacón e una gota e agua en un campo externo Una partícula esférca escargaa nmersa en un campo unforme aquere una ensa e carga Postva haca aone apunta el campo Negatva en el hemsfero opuesto Nula en el ecuaor 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez La presón electrostátca será máxma en los polos y nula en el ecuaor La fuerza neta es nula, pero la esfera tene a alargarse en la reccón el campo Un campo muy ntenso puee romper la gota (pulverzacón electrostátca) Ejemplo: levtacón eléctrca e una pequeña partícula conuctora Una partícula hemsférca e rao a reposa sobre un plano a terra se aplca un campo unforme haca arrba, la partícula se carga postvamente La fuerza eléctrca sobre la partícula puee hacerla levtar 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez 3 a φ= E r cosθ r E= φ = Ε θ r= a 3 cos ur p ε E 9ε E F 9 ε E 9πε E a = p = θ θ θ ϕ= u 4 u e = = cos θ Integrano sobre la semesfera ( < φ <π, < θ < π/) ( ) π π / e cos sen ra z Igualano al peso se halla el campo necesaro 9πεEa π = a ρmg E = 8aρmg 7ε MV.7 m Para una partícula e alumno e Ø=mm

12 Resumen e la presentacón Las fórmulas para la energía electrostátca pueen aplcarse a un sstema e conuctores La energía puee expresarse en funcón e los coefcentes e capaca 8, An ntono Gonzá ález Fernáne ez El resultao puee nterpretarse en térmnos el crcuto equvalente La repulsón entre las cargas e un conuctor prouce una presón haca el exteror La presón permte calcular la fuerza neta sobre un conuctor 3 evlla, Dcembre e 8