TEMA 5: TRANSPORTE EN ESTADO ESTACIONARIO: RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE PROBLEMAS ODE-BVP

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1 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. TEMA 5: TRANSPORTE EN ESTADO ESTACIONARIO: RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE PROBLEMAS ODE-BVP. PROBLEMAS ODE-BVP: PRESENTACIÓN. CONDICIONES DE INTEGRACIÓN TIPO FRONTERA: TIPOS, SIGNIFICADO FÍSICO 3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ODE-BVP: MÉTODOS DE DISPARO 4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ODE-BVP: MÉTODOS DE DIFERENCIAS FINITAS 4.. Aproxmaones por dferenas fntas a la prmera segunda dervada de una funón 4.. Aplaón general del método de dferenas fntas (problemas lneales de º orden) 4.3. Aplaón de las ondones frontera en el método de dferenas fntas Condones frontera onstantes Condones frontera aslantes Condones frontera de transporte 4.4. ANEXO I: Algortmo de Tomas para la resoluón de sstemas trdagonales ANEXO II: programa fero de resultados del ejemplo BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA Asgnatura: Ttulaón: Curso: Cuatrmestre: Cálulo Avanzado de Proesos Químos. Ingenería Químa Cuarto Prmero Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C.

2 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso.. PROBLEMAS ODE-BVP: PRESENTACIÓN. Los problemas de valor frontera (BVP) están defndos medante euaones dferenales que requeren la soluón sujeta a ondones de ntegraón de tpo frontera. Una euaón dferenal ordnara de º orden puede expresarse de forma general: f d, dx d,,x dx, Para espefar ompletamente este problema es neesaro onoer DOS ondones de ntegraón. S las ondones se espefan en dos puntos dferentes del ntervalo de ntegraón el problema será del tpo BVP (s las dos ondones se espefan en el msmo punto del ntervalo el problema será IVP). Los problemas BVP se enuentran freuentemente en la desrpón matemáta de sstemas ngenerles. Ejemplos de BVP nluen el análss en estado estaonaro de dstrbuón de temperaturas, ampos de potenal de flujo, dfusón, dstrbuones de orrente, et. Para la maoría de estos ejemplos la euaón que goberna el sstema se redue a la euaón de Laplae uando las propedades físas del sstema, ondutvdad térma, vsosdad, oefentes de dfusón, ondutvdad elétra, et., se asumen onstantes. Un tratamento rguroso de este tpo de problemas ngenerles oblga a utlzar las tres oordenadas espaales que en funón del sstema de oordenadas serán: Coordenadas retangulares: Coordenadas líndras: Coordenadas esféras: x,, z x, r, r,, Así, un problema de onduón de alor en estado estaonaro multdmensonal (oordenadas retangulares) que pueda desrbrse por la le de Fourer se esrbe omo: T k x z T k x T k z f(x,,z) Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C.

3 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. Los sstemas multdmensonales presentan maor grado de dfultad en su resoluón que los undmensonales. Por otro lado no es freuente que las tres dreones espaales presenten la msma mportana en la dstrbuón de una varable de nterés. Así pues nos entraremos en este tema en la resoluón de euaones ODE-BVP en una dreón espaal. Sguendo on el ejemplo de onduón de alor desrto por la le de Fourer, la expresón general para un sstema undreonal se expresa de la forma: donde : k ondutvdad térma g(z) generaón de alor (o s fator geométro : d s dt z k g(z) s z dz dz. sumdero) para geometra retangular, z para lndra para esféra por lo tanto, onsderando la ondutvdad térma onstante, la expresón general se redue a: geometra geometra geometra reatangular : líndra : esféra : s s s d T k g(z) dz d T k dt k dz z dz d T k k dz z dt dz g(z) g(z) Para ertas geometrías para ondones frontera deales es posble enontrar una soluón analíta. Los tpos de geometría onsderados nluen retángulos, lndros, onos esferas mentras que las ondones frontera se lmtan a superfes on valor onstante o superfes aslantes. Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 3

4 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. La soluón numéra de los problemas BVP se requere uando:. La euaón dferenal es de un tpo que no permte la soluón analíta: p. ej. Euaones no lneales, oefentes varables, et.).. Las ondones frontera no son deales: p.ej. un aslante no perfeto. 3. Las propedades físas del sstema amban a lo largo del ntervalo de ntegraón. P. ej. Un sóldo en el que la ondutvdad térma amba on la temperatura. La resoluón numéra de un problema BVP aproxma el valor de la varable dependente solamente en determnados puntos dsretos (nodos) de la varable ndependente. Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 4

5 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso.. CONDICIONES DE INTEGRACIÓN TIPO FRONTERA: TIPOS. SIGNIFICADO FÍSICO Los problemas defndos por euaones dferenales ordnaras de ondón frontera (ODE- BVP) se araterzan porque las ondones de ntegraón están defndas en más de un punto del ntervalo de ntegraón (normalmente en los puntos nal fnal del msmo). Una forma general de expresar las ondones de ntegraón de tpo frontera es: donde: - a, a, b, b,, son onstantes. a b a b a b ' ' a b - (a), (b) son los valores de la varable dependente en los puntos límtes a b - (a), (b) son los valores de la dervada prmera de en los puntos límte a b. En la expresón anteror: ) s a b (a) a (b) b te. te. ondones frontera de valor onstante. ) s a b '(a) te. a '(b) te. b ondones frontera aslantes (te=) o de flujo onstante (te) ) s a b a b a b a a' a b b ' b. ondones frontera de flujo o transporte ada uno de estos tpos de ondones frontera tene un sgnfado físo dferente: Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 5

6 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. a) Condones frontera de valor onstante: La varable dependente tene un valor fjo onodo en el punto frontera. Las ondones frontera onstantes no son mu abtuales en problemas reales, se usan generalmente omo aproxmaones de stuaones reales. Ejemplo 5.. En la fgura se muestra una pared metála que lmta en una superfe. En el punto de ontato (x ) se a nstalado un sensor que permte onoer la temperatura (T ) Es por tanto una ondón límte onstante en el punto x. En el resto de la pared no se onoe la temperatura. b) Condones frontera tpo aslantes: Estas ondones se utlzan para representar superfes que NO PERMITEN el TRANSPORTE de ertas propedades. Matemátamente lo que estamos ndando on una ondón aslante es que el flujo de la varable dependente (propedad de nterés) en la dreón perpendular a la superfe es nulo. Ejemplos representatvos en Ingenera Químa onsttuen los aslantes térmos que mpden la transmsón de alor o las membranas seletvas que mpden el paso de ertos ompuestos. Ejemplo 5.. En la fgura se muestra una pared metála que lmta en una superfe aslante. En el punto de ontato NO se onoe T será una nógnta más de nuestro problema. Lo que sí sabemos es que la pared aslante no permtrá que el alor de la pared metála se transfera, es der, mpone una restrón al flujo de la propedad de nterés, en este aso la temperatura. Matemátamente: Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 6

7 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. ) Condones frontera de transporte Las ondones frontera de transporte expresan la le que rge el transporte de la varable de nterés en el punto de aplaón. En Ingenería Químa estas ondones se utlzan uando se puede desrbr el movmento de una propedad aa una superfe medante un oefente de transferena de matera o alor. Ejemplo 5.3. En la fgura se muestra una pared metála en ontato on un baño de agua. En un sstema omo este la transferena de alor entre la fase sólda la líquda se expla a través de la exstena de una zona donde se onentran todas las resstenas la transferena de energía, nterfase o apa límte. El transporte de alor (o matera) desde el seno de un líqudo asta una superfe sólda se puede desrbr medante un oefente de transferena de energía (o matera). Por ejemplo el flujo de energía desde la superfe aa el fludo puede presentarse por: qs, sendo T a = temperatura del fludo (T Ta ) T =temperatura en la superfe sólda = oefente de transmsón de alor Aplando un balane de energía en la superfe del sóldo podemos ver que el flujo de alor de la fase sólda a la líquda va a ser gual a la transmsón de alor por onduón dentro del sóldo: [Reelaborado a partr de Rggs, 994] Comentaro: omo el flujo de alor es negatvo en la dreón x, ambos térmnos en esta euaón tenen sgno postvo Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 7

8 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. 3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ODE-BVP: MÉTODOS DE DISPARO Los métodos de dsparo pueden usarse para resolver problemas ODE-BVP en una dmensón onvrtendo el problema BVP en un problema IVP teratvo. Se denomnan métodos de dsparo un onjunto de ténas que resuelven problemas BVP medante el uso onjunto de a) algortmos propos de problemas IVP b) algortmos propos de resoluón de euaones algebraas no lneales. Los pasos a segur para soluonar un problema ODE-BVP medante un método de dsparo son:. TRANSFORMAR la euaón BVP en un sstema de euaones IVP de prmer orden utlzando el msmo método desarrollado para euaones IVP de orden superor a uno.. ESTIMAR las ondones nales que no están espefadas en la euaón orgnal (la euaón BVP tendría una ondón en el punto nal de ntegraón otra en el punto fnal por lo tanto para ntegrar el sstema de euaones IVP será neesaro estmar una ondón nal adonal). 3. Aora se puede INTEGRAR EL SISTEMA IVP on ualquera de los algortmos vstos para ese fn. 4. La ondón límte real en el punto fnal del ntervalo de ntegraón se COMPARA on la aproxmaón numéra alanzada para esa varable en ese punto medante el algortmo IVP. S la dferena entre ambos valores es menor que el error permtdo la ntegraón se onsdera válda se a alanzado la soluón del problema. 5. S la dferena es maor que el error permtdo se vuelve a estmar una nueva ondón nal se repte la ntegraón del sstema IVP asta que se alane la onvergena exgda. Para el PROCESO ITERATIVO se puede usar ualquer algortmo para resoluón de euaones no lneales (Newton, seante, et.) Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 8

9 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. Ejemplo 5.4: d d Resolver el problema ODE-BVP: 5 dx dx on (), () medante el método del dsparo: Prmer paso: obtener un sstema IVP de prmer orden para ello se rea las nuevas varables =z d dx dz z dx obtenéndose el sstema : dz z dx dz ( z dx * z ) 5 z () z ()????? Segundo paso: Estmar una ondón nal para la varable z, en este ejemplo se a estmado z (), Terer paso: Integrar el sstema medante un algortmo IVP (p.e. RK) omparar la aproxmaón obtenda para la varable en el punto x= on la ondón límte (). Para ello se rea la funón FV=()-. El objetvo será aer ero da funón, para ello se a utlzado el método de la seante. Se an utlzado los sguentes parámetros: a) para la resoluón del sstema IVP: Algortmo: Runge Kutta de Orden 4 x =, x max =, Tamaño de paso:, b) Para el proeso teratvo de seleón de z(): Algortmo: método de la seante: dx x x F * x x/ F F F= ()-. Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 9

10 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. Prmeros valores teratvos: x =.; x =.95 Error máxmo permtdo:.d-6 Número máxmo de teraones permtdas:. Varaón máxma en ada teraón: dx=. ) Programas subrutnas:. programa prnpal: ontene los parámetros del problema, las llamadas a las subrutnas las saldas de resultados. Subrutna seant: ontene el algortmo del método de la seante. 3. Subrutna F: ontene la funón de la que se quere allar el ero medante el método de la seante. 4. Subrutna rkutta: ontene el algortmo de Runge Kutta de orden 4 5. Subrutna funt: ontene el sstema de euaones IVP de ºorden a ntegrar medante RK d) Los programas subrutnas así omo los resultados se muestran en el Anexo II Tabla 5.. Resultados del problema ejemplo 5.4. aplando método de dsparo. Iteraón Valor nal Valor nal Valor fnal Valor fnal Nuevo nal a, (dato), (estmado) -,69 (,) -5,43,95 b,,95(estmado) -,76(,) -5,6,,, -,54(,) -3,4 3, 3, 3,,3(,) -,5 3,85 4, 3,85,86(,) -,56 4,6 5, 4,6,98(,) -,47 4,3553 6, 4,3553,99(,) -,46 4,3643 7, 4,3643,999(,) -,463 4,3644 8, 4,3644, -,463 La resoluón del problema a requerdo ntegrar 9 vees el sstema IVP asta alanzar la onvergena exgda. Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C.

11 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. Los métodos de dsparo pueden ser aplados a problemas BVP en una dmensón ( on algortmos más omplejos tambén a BVP de más dmensones). Permten utlzar algortmos de orden de exattud elevado para resolver el problema BVP. (en el ejemplo se a obtendo una aproxmaón de 4º orden de exattud). Cuando se usa un método del dsparo tres son los fatores que nfluen el la exattud fnal de la aproxmaón lograda: el orden del método de ntegraón, el tamaño de paso del método de ntegraón, el rtero de onvergena del método de resoluón de la euaón no lneal. Los fatores () (3) deben ser redudos todo lo posble para proporonar la exattud deseada en la aproxmaón del problema BVP. Utlzar este método on problemas BVP en los que nnguna de las ondones frontera tene un valor onstante presenta maores dfultades. Así msmo, uando este método se apla a problemas BVP altamente no lneales debe tenerse sumo udado en la seleón de la ondón nal desonoda (s el valor nal supuesto está mu alejado del orreto la ntegraón de las ODEs puede fallar por problemas de overflow, et.). Se a de tener en uenta además que una euaón puede tener más de una raíz (el método teratvo puede llegar a más de una soluón), por lo tanto uando se pretende resolver problemas de ngenería químa (o de ualquer otra área aplada) no basta on alanzar una soluón matemátamente orreta sno que se debe tener sentdo físo. Hasta aora sólo se an omentado los métodos de dsparo que omenzan desde el punto nal del ntervalo de ntegraón, sn embargo el método puede aplarse en ualquer dreón. Este proedmento se denomna bombardeo nverso. Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C.

12 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. 4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ODE-BVP: MÉTODOS DE DIFERENCIAS FINITAS 4.. APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS A LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN A partr de las aproxmaones de Talor de la forma: (x ) (x )!! 3 3! 3 3! 4 4! 4 4! v x ' x '' x ''' x x x v x ' x '' x ''' x x- x Se pueden obtener aproxmaones por oentes de dferenas a la prmera segunda dervada de la funón de la forma: Aproxmaones a la prmera dervada: dferena s aa delante : d dx x x x x x x Dferena s Adelante : dferena s aa atras : d dx - x x - x x - x - x Dferena s Atras - dferena s entrales : d dx x x x x x x Dferena s Centrales - Aproxmaones a la segunda dervada: d dferenas entrales : dx x Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C.

13 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. 4.. APLICACIÓN GENERAL DEL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS (PROBLEMAS LINEALES DE º ORDEN) a a' a b b ' b a Dado un problema de la forma '' f (x,, ' ) on las ondones frontera b los pasos a segur para obtener una soluón medante el método de dferenas fntas son:, ) Dsretzar el ntervalo de ntegraón: esoger una sere de puntos (nodos) dentro del ntervalo de ntegraón [a, b] de la forma: a =x < x <x < x 3 <...< x n+ =b tales que se busque la soluón en esos puntos. Comentaro: La nomenlatura abtual en la maoría de la bblografía del tema (Davs, Rggs, et.) es la que se lustra en el ejemplo sguente: = x=x = =n+ x=x n+ = n+ Posón valor de valor de x valor de Exteror nal x Interor n x -----x n --- n Exteror fnal n+ x n+ n+ Esta nomenlatura aarrea problemas a la ora utlzar ordenador, a que la forma abtual de trabajo de ualquer lenguaje de programaón es almaenar en un vetor de longtud gual al numero de nodos los valores de las varables x(), () en los vetores no exste la posón () lo ual puede aarrear errores s no se tenen en uanta estos detalles. Otra nomenlatura admsble podría ser: = x=x = = =n =n x=x n = n Posón valor de valor de x valor de Exteror nal x Interor n- x -----x n- --- n- Exteror fnal n x n n Cualquera de ellas puede usarse pero es mu mportante SABER EN TODO MOMENTO CUAL DE ELLAS ESTAMOS USANDO PARA NO COMETER ERRORES EN LOS PUNTOS FRONTERA Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 3

14 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. ) Aproxmar en ada nodo los térmnos de la euaón dferenal medante dferenas fntas, reemplazando las dervadas por dferenales (oentes entre dferenas) medante las fórmulas de dferenas fntas presentadas anterormente (dsretzaón de la euaón dferenal); el resultado de esta operaón es que emos susttudo UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA BVP por UN SISTEMA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS. Ejemplo 5.5 Consderamos la ODE de º orden lneal general : '' p(x)' q(x) r(x) que debe ser ntegrada en el ntervalo [, ]. a) dvdmos el ntervalo en nrementos de =, b) de forma que a) n+=(b-a)/=5 b) n=((b-a)/)+=5 = x = = x = = x =, = x =, = x =,4 =3 x 3 =,4 =3 x 3 =,6 =4 x 4 =,6 =n= 4 x 4 =,8 =n-=5 x 5 =,8 =n+=5 x 5 =, =n=6 x 6 =, ) en ada uno de los nodos aproxmamos por dferenas entrales (para mantener el msmo rtero de exattud en la prmera segunda dervada): p(x) que en nuestro ejemplo mpla: p(x ) p(x ) 3 p(x ) p(x 4 3 ) 5 3 p(x 4 ) 6 4 p(x 5 ) q(x ) r(x ) =...n+ ó =---n q(x ) r(x ) q(x ) r(x ) q(x ) r(x ) q(x 3 ) 3 r(x 3 ) q(x 4 ) 4 r(x 4 ) q(x 5 ) 5 r(x 5 ) para para para para 3 para 4 para 5 Hemos transformado una euaón dferenal ordnara lneal en 6 euaones algebraas lneales. Comentaro: en el proeso de dsretzaón an aparedo pos puntos nodales nuevos -, 6 que no exsten dentro del ntervalo de ntegraón. Qué aemos on ellos? Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 4

15 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. 3. Aplar las restrones mpuestas por las ondones frontera de ada problema. Este apartado lo veremos on detalle en la próxma seón APLICACIÓN DE LAS CONDICIONES FRONTERA EN EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS 4.3..Condones frontera onstantes: Un problema sujeto a ondones frontera onstante mpla que el valor de la varable en los puntos nal fnal e n+ (ó e n ) son onodos, luego elmnamos dos euaones del sstema general Ejemplo 5.6: En el sstema general del ejemplo 5.5. s espefamos las ondones ()=, ()= el sstema de 6 euaones presentado en do ejemplo se transforma en: () () 3 p(x) p(x ) p(x3) p(x 4 ) q(x) r(x) q(x ) q(x3)3 r(x3) q(x 4 )4 r(x ) r(x 4 ) para para para para 3 para 4 para 5 En general un sstema una euaón ODE-BVP on ondones lmte onstantes dsretzada en n euaones se resolverá a través de un sstema de n- euaones algebraas. S en la expresón general p(x ) q(x ) r(x ) agrupamos ada valor de, podemos obtener la expresón: Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 5

16 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 6 n n n p(x ) - x r x q x p...n x r p(x ) x q x p x p x r ) p(x x q que expresada en forma matral: r * A, donde: n,,..., 4 x p x r, x r,..., x r, 4 x p x r r n n n n n n n n a b a b a b a A sendo: 4 ) p ( x 4 x p b x q a La matrz A se denomna trdagonal. Esta forma espeal permte una aplaón mu efente del proedmento de elmnaón gaussano medante el algortmo de THOMAS. COMENTARIO: Todos los problemas ODE-BVP pueden expresarse medante un sstema matral trdagonal pero la forma de los oefentes a, b,, r depende del problema.

17 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. Ejemplo 5.7 Partendo del sstema obtendo en el ejemplo 5.5. vamos a obtener una representaón matral trdagonal del problema dsretzando el ntervalo de ntegraón en 6 nodos de los uales el prmero (=) el últmo (=5) no orresponden a euaones porque el valor de es onodo por las ondones frontera. En el Ejemplo 5.5. abíamos obtendo un sstema de 4 euaones de la forma: () p(x) p(x ) p(x 3 ) 3 4 q(x) r(x) para q(x ) q(x 3 )3 para r(x ) para r(x 3 ) para p(x ) 4 q(x 4 ) 4 r(x 4 ) para 4 () para 5 Agrupando los oefentes orrespondentes a ada valor de obtenemos: p(x) p(x) q(x) r(x) para p(x) p(x ) q(x) 3 r(x ) para p(x ) p(x3) q(x3) 3 4 r(x3) para 3 p(x3) p(x 4 ) 3 q(x4) 4 r(x 4 ) para 4 s denomnamos: q(x ) a p(x) a b podemos expresar: b p(x) r(x ) r a b3 a3 b4 p(x) r / r. q. d. 3 3 r3 a4 4 p(x4) r4 Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 7

18 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso Condones frontera aslantes S en el problema presentado en el apartado 5.. susttumos una de las ondones frontera onstantes, por ejemplo la orrespondente al punto x n+, por una ondón aslante el valor de la varable en el punto fnal n+ (ó n ) es aora desonodo. Esto mpla dos ambos mportantes respeto al sstema de euaones generado en el apartado anteror: a) En la euaón orrespondente al nodo =n tendremos tres varables: n-, n, n+, en vez de dos varables ( n-, n ) b) Debemos añadr una nueva euaón al sstema general a que n+ es desonodo. Esta nueva euaón mplará a las varables n, n+, n+ : b a r(x ),...n En el nodo =n+ el punto n+ queda fuera del domno del ntervalo de ntegraón, por lo tanto no tene sentdo físo no puede nlurse en los álulos del problema. Para resolver este problema se utlza la denomnada téna de los límtes ftos : d La ondón aslante en el punto =n+ mpla: dx n Por otro lado la ondón aslante es matemátamente una dervara de prmer orden de la varable respeto a la varable x por lo tanto podemos aplar dferenas entrales a la prmera dervada den en ese punto: Igualando ambas expresones: d n n dx n n n n n Es der, se a onsegudo expresar una varable que no exste en el sstema, n+, en funón de una varable que sí exste en el sstema, n Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 8

19 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. Ejemplo 5.8: Partendo del sstema obtendo en el ejemplo 5.5. vamos a obtener una representaón matral trdagonal del problema on ondón frontera onstante en x=: ()=, ondón aslante en x=: dsretzando el dx x ntervalo de ntegraón en 6 nodos sendo el prmero (=) el últmo (=5). para p(x) p(x) q(x ) r(x ) 4 para p(x) p(x) q(x) 3 r(x ) para p(x3) p(x3) q(x3) 3 4 r(x 3 ) para 3 p(x4) p(x4) 3 q(x4) 4 5 r(x 4 ) para 4 p(x5) p(x5) 4 q(x5 ) 5 6 r(x5 ) para 5 d En este sstema aparee la varable 6 que no exste en el ntervalo de ntegraón. Aplando la ondón d aslante en el punto : 6 4. dx 5 Susttuendo 6 por 4 en la últma euaón del sstema: * 4 q(x 5 ) 5 r(x 5 ) para 5, Por lo tanto en forma matral: a b a b3 a3 b4 3 a4 p(x) r / r 3 4 r3 4 r4 a5 5 r5 Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 9

20 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso Condones frontera de transporte Al gual que en el aso anteror uando tenemos una o dos ondones de flujo (puntos x e x n+ ), los valores de la varable dependente en esos puntos se desonoen por lo que debemos nlur las euaones oportunas (una ó dos). Así msmo, al plantear las euaones orrespondentes a los puntos x e x n+, apareerán dos varables nuevas, -, n+ que no tenen sentdo físo dentro del ntervalo de ntegraón. La estratega para trabajar on ellas es la msma que en el aso de ondón aslante. Ejemplo 5.9. Partendo del sstema obtendo en el ejemplo 5.5. vamos a obtener una representaón matral trdagonal d del problema on ondón frontera de flujo en x=: k A sendo k, a onstantes, dx d ondón aslante en x=:, dsretzando el ntervalo de ntegraón en 6 nodos sendo el dx x prmero (=) el últmo (=5). En este aso el sstema de euaones será: p(x ) q(x ) p(x ) q(x ) p(x) q(x ) p(x3) q(x 3 ) p(x 4 ) 3 q(x4) p(x 5 ) 4 q(x5) p(x) r(x ) para p(x) r(x ) para p(x) 3 r(x ) para p(x3) 3 4 r(x 3 ) para 3 p(x4) 4 5 r(x 4 ) para 4 p(x5) 5 6 r(x5 ) para 5 En este sstema apareen dos varables que no perteneen al ntervalo de ntegraón: -, 6. La forma de susttur 6 la emos presentado en el ejemplo 5.8. Nos entraremos en la forma de susttur - : d dx k k A A Susttuendo en la prmera euaón del sstema (=): Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C.

21 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. p(x ) p(x ) k q(x ) r(x ) para k A Reorganzando: q(x ) k p(x ) r(x ) k A p(x ) on lo que el sstema sgue sendo trdagonal. En resumen: Un problema ODE-BVP de º orden lneal se transforma medante dsretzaón en n nodos aplaón de dferenas fntas a la prmera segunda dervada en ada nodo en: a) Un sstema de n- euaones algebraas lneales on matrz de oefentes trdagonal s el problema nal tenía dos ondones frontera onstantes. b) Un sstema de n- euaones algebraas lneales on matrz de oefentes trdagonal s el problema nal tenía una ondón aslante o de flujo. ) Un sstema de n euaones algebraas lneales on matrz de oefentes trdagonal s el problema nal tenía dos ondón de flujo /o aslante. La resoluón práta de un problema planteado por este método neesta de la utlzaón de subrutnas de resoluón de sstemas de euaones algebraas lneales: Gauss, Gauss- Sedel en partular el método de Tomas que es una forma partular del método de elmnaón gaussana para sstemas on matrz de oefentes trdagonal. Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C.

22 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso ANEXO I: Método de Tomas para la resoluón de sstemas lneales de euaones algebraas on matrz de oefentes trdagonal. Un ejemplo de sstema lneal de euaones algebraas on matrz trdagonal es el sguente: x x x x x 3 x x 3 x 4 3 x 3 x 4 4 la matrz de oefentes de este sstema es:. En ella todos los elementos exepto la dagonal prnpal las nmedatamente superor e nferor son eros. Este tpo de matrz tambén puede denomnarse matrz de bandas on anura de bandas de 3. El método de elmnaón gaussana puede aplarse a un sstema de este tpo dando omo resultado un algortmo smplfado. Consderemos un sstema lneal de forma general: a x a x a x a x a 3 x 3 a 3 x a 33 x 3 a 34 x a n,n x n b b b 3... a n,n x n b n El sstema puede esrbrse de forma más onvenente: d x e x x d x e 3 x 3 3 x d 3 x 3 e 3 x n x n b b b 3... d n x n b n donde, d, e representan los oefentes de x -, x, x + en la euaón. Medante elmnaón Gaussana x puede ser elmnada del problema usando la prmera euaón para elmnar x de la segunda euaón, Así msmo la segunda euaón puede ser utlzada para elmnar x de la terera euaón. De esta forma ada euaón se utlza para elmnar una varable de una euaón. Para un sstema de n euaones lneales la soluón vene dado por: x n n e x dx, n -, n -,...., Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C.

23 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. donde se deteremnan medante las formulas reursvas : b e d,, d,,, 3,..., n b,,, 3,..., n Los requermentos de álulo omputaonal de este método reen lnealmente on el número de euaones del sstema mentras que los requermentos de álulo del método de Gauss reen proporonalmente al ubo del número de euaones del sstema. A ontnuaón se muestra una subrutna en FORTRAN (Rggs, 994) que resuelve un sstema de n euaones lneales medante el método de Tomas. Los argumentos N, C(I), D(I), E(I) B(I) deben ser proporonados por el usuaro omo argumentos de entrada. La subrutna proporona el vetor X(I) omo soluón del sstema. BETA(I) GAM(I) deben ser dmensonados en el programa de llamada pero no se usan omo argumentos de entrada n salda. C******************************ABSTRACT ********************************************************************* C ESTA SUBRUTINA CALCULA LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES C CON MATRIZ DE COEFICIENTES TRIDIAGONAL USANDO EL METODOD DE THOMAS C******************************************************************************************************************* SUBROUTINE TM(N,C,D,E,B,X,BETA,GAM) IDENTIFICACIÓN DE ARGUMENTOS N = número de nógntas C(I) = oefente de el térmno stuado a la zquerda de la dagonal prnpal para la euaón. Dmensonado por N (entrada) D(I) = oefente de el térmno de la dagonal prnpal para la euaón. Dmensonado por N (entrada). E(I) = oefente de el térmno stuadoa a la derea de la dagonal prnpal para la euaón. Dmensonado por N (entrada). B(I) = onstante para la euaón. Dmensonado por N (entrada). X(I) = vetor soluón. Dmensonado por N (salda). BETA(I)= vetor nterno usado por la subrutna TM. Dmensonado por N GAM(I)= vetor nterno usado por la subrutna TM. Dmensonado por N IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) DIMENSION C(),D(),E(),B(),X(),BETA(),GAM() BETA()=D() GAM()=B()/BETA() DO I=,N BETA(I)=D(I)-C(I)*E(I-)/BETA(I-) GAM(I)=(B(I)-C(I)*GAM(I-))/BETA(I) X(N)=GAM(N) DO I=,N J=N-I+ X(J)=GAM(J)-E(J)*X(J+)/BETA(J) RETURN END ****************************************************************************************** Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 3

24 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. ANEXO II: PROGRAMA Y RESULTADOS DEL EJEMPLO 5. Y''+Y*Y'+5=. METODO DISPARO PROGRAM SHOOTING METHOD ********************************************************************************** DOCUMENTACION: C C Autora: Raquel Ibáñez Fea: urso - Lenguaje: Fortran 77 Asgnatura: Cálulo Avanzado de Proesos Químos. Tema 5. programa prnpal: sootng metod (usuaro) subroutnas: rkutta(funct,n,p,t,,tmax,dtpnt,pnt,a,,ddt)(rggs,994) C FUNCT(n,t,,ddt) (usuaro) seant(f,erlm, max,dxmax,prnt,x) (Rggs 994) F(x,fv) (usuaro). *********************************************************************************** OBJETIVOS GENERALES: C C ) Este programa ntegra una euaón ODE-BVP on dos ondones C frontera onstantes medante el método del dsparo transformandoslo en C un sstema ODE_IVP de ºorden. ) la ondón límte en xo se utlza omo ondón nal de la ondón nal de se SUPONE la ondón límte en x se esa para omprobar que la ondón C nal supuesta para permte la ntegraón orreta. 3) Para ntegrar el sstema ODE-IVP se usa una subroutna que ontene un C algortmo de Runge-Kutta de 4º orden on los argumentos: rkutta C (FUNCT,n,p,t,,tmax,dtpnt,pnt,a,,ddt) sendo FUNC la subroutna C donde se almaena el sstema de ODE-IVP: subroutne FUNCT (n,t,,ddt). 4) Para determnar que la ondón nal supuesta es oreta se C utlza un método teratvo reando una funón : Fv= Y()teoro C Y()numero. S la funón tene un valor maor que el del error máxmo permtdo C se modfa la ondón nal de se vuelve a realzar la C ntegraón numéra del sstema ODE-IVP. Para llevar a abo el proeso C teratvo se a usado el método de la seante en la subroutna: C seant(f,erlm,max,dxmax,prnt,x)que neesta la subroutna F(x, fv) que ontene la funón objetvo. OBJETIVOS DEL PROBLEMA EJEMPLO: El ejemplo a resolver: ''+*'+5= en el ntervalo [,] on ()=. ()= El sstema reado es: '= ()=. '=-(*)-5. ()=se omneza suponendo. se obtendrá medante traones el valor que aga que ()-.<error permtdo. NOMENCLATURA: a) argumentos de la subroutna rkutta (Funt, C n,p,t,,tmax,dtpnt,pnt,a,,ddt) Fun: subroutna donde se alamenan las funaones a evaluar. n: Entero. argumento de entrada. Número de euaones del sstema ODE-IVP p: máxmo ambo en el valor de la funón permtdo. ontrol del reero. t: varable ndependente. omo argumento de entrada el valor nal de t = vetor de varables dependentes del sstema IVP a resolver (nógntas). C omo argumento d entrad la ondón nal. tmax: valor fnal del ntervalo de ntegraón. Argumento de entrada. dtpnt: tamaño de paso de la slda de resultados. Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 4

25 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. pnt: Entero. señal para ndar s se desea o no la mpresón de resultados a: vetor de evaluaones de la funón del algortmo de RK : vetor de varables dependetnes detro de la subroutna de RK ddt: veor de funones. b) argumentos de la subroutna FUNCT(n,t,,ddt) a omentados en apartado a) ) argumentos de la subroutna seant(f,erlm, max,dxmax,prnt,x) F: subroutna que onten la funón ua raz se desea obtenr erlm: error máxmo permtdo max: número máxmo de teraones. dxmax: máxmo ambo permtdo de la varable x en ada teraón. prnt: Entero,señal para ndar s se desea o no la mpresón de resultados x: varable. d) argumentos de la subroutna F(x,fv) x: varable. fv: funón a evaluar. *********************************************************************************** C delaraón de varables en el programa prnpal mplt real*8 (a-, o-z) dmenson (), a(), (), ddt() ommon /one/ra,d external F open (unt=,fle="bomba") parámetros del metodo de la seante erlm=.d-6 max= dxmax=. prnt= prmer valor teratvo para z() x=. llamada al método de la seante all seant (F, erlm, max, dxmax, prnt, x) wrte (,*) stop end *********************************************************************************** *********************************************************************************** SUBROUTINE F(x, fv) COMENTARIOS: C Esta subroutna ontene la funón que se ntenta aer ero medante el método de la seante: FV. En este aso para generar esta funón es Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 5

26 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. preso ntegrar un sstema de ODE-IVP de prmer orden.el valor numero de la varable en el últmo punto de ntegraón menos el valor teoro que debe tener es la funón busada mplt real*8 (a-, o-z) dmenson (), a(), (), ddt() external FUNCT espefaón de los datos de entrada para el ntegrador Runge-Kutta N= tmax=. dtpnt=. pnt= p=. Espefamos ondones nales t=. ()=. valor supuesto (objetvo del proeso tratvo): ()=x Llamada al ntegrador Runge-Kutta all rkutta (FUNCT,n,p,t,,tmax,dtpnt,pnt,a,,ddt) reamos la funón sobre la que aplamos el método de la seante FV=()-. return end C********************************************************************************** SUBROUTINE FUNCT (n,t,,ddt) COMENTARIOS: En esta subroutna se ontenen las funones que se an de evaluar en el algortmo de Runge Kutta para la ntegraón de un sstema de ODE-IVP. mplt real*8 (a-, o-z) dmenson (), ddt() ommon /one/ra,d ddt()=() ddt()=-()*()-5. eturn end ******************************************************************************** SUBROUTINE SECANT (F, erlm, max, dxmax, prnt,x) COMENTARIOS: Esta subroutna apla el método de la seante para enontrar la solu- Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 6

27 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. ón a una euaón algebraa no lneal. La eaón a resolver se enuantra en la subroutna F. mplt real*8 (a-, o-z) external F wrte (*,*) 'ola7' = COMIENZO DEL BUCLE ITERATIVO =+ all F(x,F) Inalzaón: f (.eq.) x=x*.95 f (.eq.) all F(x,F) Aplaón de la aproxmaón de la seante: dx=-f*(x-x)/(f-f) f (dabs(dx).gt.dxmax) dx=dxmax*dabs(dx)/dx x=x+dx Transferena de valores del punto -a al : x=x F=F x=x Impresón de resultados ntemedos: f (prnt.eq.) wrte (,),x,f format (5x, '=',3,5x,'x=',f7.5,5x,'F(x)=',d.3) equeo del número de teaones: f (.gt.max) wrte (6,) format('el metodo de la seante no onverge') f (.gt.max) stop equeo de la onvergena f (abs(dx).gt.erlm) go to return end *************************************************************************** Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 7

28 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. OBTENCIÓN VALORES f() Y f(): X=.D+ Y=.D+.D+ X=.D+ Y= D D+ X=.D+ Y= D D- X=.3D+ Y= D D+ X=.4D+ Y= D- -.D+ X=.5D+ Y= D D+ X=.6D+ Y= D D+ X=.7D+ Y= D D+ X=.8D+ Y= D D+ X=.9D+ Y= -.34D D+ X=.D+ Y= D D+ X=.D+ Y=.D+.95D+ X=.D+ Y=.69986D D+ X=.D+ Y= D D- X=.3D+ Y= D D+ X=.4D+ Y= D- -.56D+ X=.5D+ Y= -.57D D+ X=.6D+ Y= D D+ X=.7D+ Y= D D+ X=.8D+ Y= D D+ X=.9D+ Y= D D+ X=.D+ Y= D D+ = x=. F(x)= -.69D+ X=.D+ Y=.D+.D+ X=.D+ Y=.74454D D+ X=.D+ Y=.96544D D+ X=.3D+ Y= D D+ X=.4D+ Y= D D- X=.5D+ Y= D D+ X=.6D+ Y=.77564D D+ X=.7D+ Y=.44449D D+ X=.8D+ Y= D D+ X=.9D+ Y= D D+ X=.D+ Y= D D+ = x=3. F(x)= -.54D+ X=.D+ Y=.D+.3D+ X=.D+ Y= D D+ X=.D+ Y=.49995D D+ X=.3D+ Y= D+.897D+ X=.4D+ Y= D+.797D+ X=.5D+ Y= D+.8449D+ X=.6D+ Y= D D+ X=.7D+ Y= D D+ X=.8D+ Y= D D+ X=.9D+ Y= D D+ X=.D+ Y=.3749D+ -.48D+ = 3 x=3.85 F(x)= -.69D+ X=.D+ Y=.D+.385D+ X=.D+ Y= D D+ X=.D+ Y= D+.68D+ X=.3D+ Y= D D+ X=.4D+ Y=.3348D+.77D+ X=.5D+ Y=.3467D D+ X=.6D+ Y=.69897D+.6737D+ X=.7D+ Y=.5783D D+ X=.8D+ Y=.99778D D+ X=.9D+ Y=.365D D+ X=.D+ Y=.86758D D+ Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 8

29 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. = 4 x=4.6 F(x)= -.37D+ X=.D+ Y=.D+.46D+ X=.D+ Y= D D+ X=.D+ Y= D D+ X=.3D+ Y= D+.8669D+ X=.4D+ Y=.377D D+ X=.5D+ Y=.83D D+ X=.6D+ Y=.64D+.835D+ X=.7D+ Y=.5693D D+ X=.8D+ Y=.6854D D+ X=.9D+ Y=.595D D+ X=.D+ Y= D D+ = 5 x= F(x)= -.4D- X=.D+ Y=.D D+ X=.D+ Y=.3764D D+ X=.D+ Y= D D+ X=.3D+ Y= D D+ X=.4D+ Y=.75D+.4988D+ X=.5D+ Y=.84D+.7993D+ X=.6D+ Y=.7593D D+ X=.7D+ Y=.686D D+ X=.8D+ Y=.8843D D+ X=.9D+ Y=.85D D+ X=.D+ Y= D D+ = 6 x=4.364 F(x)= -.36D-3 X=.D+ Y=.D D+ X=.D+ Y= D D+ X=.D+ Y= D+.798D+ X=.3D+ Y= D+.998D+ X=.4D+ Y=.349D+.4967D+ X=.5D+ Y=.387D D+ X=.6D+ Y=.78D+.8566D+ X=.7D+ Y=.683D D+ X=.8D+ Y=.9D D+ X=.9D+ Y=.84D D+ X=.D+ Y= D D+ = 7 x=4.364 F(x)= -.69D-6 X=.D+ Y=.D D+ X=.D+ Y= D D+ X=.D+ Y= D+.798D+ X=.3D+ Y= D+.998D+ X=.4D+ Y=.349D+.4967D+ X=.5D+ Y=.388D D+ X=.6D+ Y=.78D+.856D+ X=.7D+ Y=.683D D+ X=.8D+ Y=.9D D+ X=.9D+ Y=.84D D+ X=.D+ Y=.D D+ = 8 x=4.364 F(x)= -.34D- Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 9

30 Ingenería Químa Cálulo Avanzado de Proesos Químos. TEMA 5 4º urso. 5. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA Textos que desarrollan los métodos numéros presentados a nvel de usuaro on ejemplos de ngenería químa: Davs, M. E.; Métodos Modelos Numéros para Ingeneros Químos CAPÍTULO. Compañía Edtoral Contnental de C. V. Méxo, Méxo D.F. 99. Rggs, J. B.; An Introduton to Numeral Metods for Cemal Engneers CAPÍTULO 5. Texas Te Unverst Press, Lubbok, Texas Walas, S. M.; Modelng wt Dfferental Equatons n Cemal Engneerng. Ed Butterwort- Henemann, Stoneam, MA, USA. 99. Textos que desarrollan los métodos numéros presentados a nvel de usuaro on ejemplos generales: Gerald, C. F., Weatle P. O.; Appled Numeral Analss. CAPÍTULO 6. Addson-Wesle Publsng Compan Matews, J. H., Fnk K. D.; Métodos Numéros on MATLAB. Prente Hall Ibera, Madrd.. Departamento de Ingenería Químa Y Químa Inorgána. U.C. 3