Teoría rigurosa de la dispersión de haces gaussianos por una rejilla con sustrato metálico

Transcripción

1 Superfes y Vaío 7(), 7-3, marzo de 004 Soedad Mexana de Cena de Superfes y de Vaío Teoría rgurosa de la dspersón de haes gaussanos por una rejlla on sustrato metálo O. Mata Méndez, Chávez Rvas Departamento de Físa, Esuela Superor de Físa y Matemátas. Insttuto Polténo Naonal, C.P Zaateno. Méxo, D.F., Méxo. J. Sumaya Martínez Faultad de Cenas. Unversdad Autónoma del Estado de Méxo. Av. Insttuto Lteraro No. 00, C.P Tolua. Estado de Méxo, Méxo. (Rebdo 5 de otubre de 003; Aeptado 6 de febrero de 004) Se presenta una teoría rgurosa de la dspersón de haes Gaussanos a ndena normal y oblua por una rejlla fnta en una pantalla ondutora, de espesor ero y on sustrato metálo. El sustrato puede ser el vaío o un ondutor. Se onsdera el aso de polarzaón T.E., es der, el ampo elétro es paralelo a las rendjas. Se analza en la regón vetoral de la dfraón a patrones de dspersón en funón de la longtud de onda, del haho del haz y de la posón del haz. De estos resultados se ha enontrado que el anho de los órdenes de dspersón aumenta on la relaón λ/l, donde λ es la longtud de onda y L el anho del haz ndente. Cuando el sustrato es un ondutor la euaón de dspersón por una rejlla en reflexón prede la posón angular de los órdenes dspersados de una rejlla fnta on una buena aproxmaón. Además, la posón angular de estos órdenes es ndependente del sustrato, del anho y de la posón del haz. Palabras lave: Dspersón; Dfraón; Ópta eletromagnéta; Rejlla; Rejlla fnta; Físa ópta A rgorous satterng theory of oblque ndent Gaussan beams by a fnte gratng s presented. The gratng s pearsed on a thn sreen of nfnte ondutvty wth a metall substrate. The substrate an be the vod or a ondutor. We onsder the ase of polarzaton T.E., that s, the eletr feld s parallel to the slts. We numerally analyzed n the vetoral dffraton regon the saterng patterns as a funton of: the wavelength, the wtdh and the poston of the beam. From these results we have found that the wdth of the dsperson orders nreases wth the relatonshp λ/l, where λ s the wavelength and L the wdth of the ndent beam. When the substrate s a ondutor the dsperson equaton for a gratng n refleton predts the angular poston of the dspersed orders of a fnte gratng wth a good approah. Also, the angular poston of these orders s ndependent of the substrate, the wdth and of the poston of the beam. Keywords: Fnte gratng; Gaussan beams; Polarzaton T.E.. Introduón En el XXI Congreso Naonal de Cenas de Superfe y Vaío (00) presentamos [] un estudo teóro y numéro prelmnar, sobre una teoría modal rgurosa, para la dfraón de haes Gaussanos por una rejlla fnta onsttuda de N rendjas de anho l y separaón d en una pantalla de espesor ero y ondutvdad nfnta. En este estudo se analzó el aso de ndena normal y se onsderó el estado de polarzaón T.E., es der, on el ampo elétro paralelo a las rendjas. Posterormente reportamos [] un estudo más detallado sobre el msmo problema, es der, la dfraón de haes Gaussanos por un rejlla fnta formada de N rendjas de anho l y perodo D. En estos trabajos se analzaron las araterístas de patrones de dfraón en ampo lejano, del oefente de transmsón y de la energía dfratada normal a la pantalla en funón de varos parámetros optogeométros en la regón vetoral de la dfraón, donde los efetos de la polarzaón son mportantes. En la Ref. [], tambén se estudaron los ambos en la dfraón produdos por un error en el período de la rejlla fnta. Por últmo la exstena en la regón esalar de ángulos de ntensdad onstante en ampo lejano uando la posón del haz ndente amba a lo largo de las N rendjas en una pantalla nfntamente delgada, fue generalzada a la regón vetoral. En el presente reporte extendemos la teoría modal de las referenas[,] al aso de la dspersón de haes Gaussanos a ndena normal y oblua sobre una rejlla fnta heha de N anales gualmente espaados y on un sustrato, el ual puede ser, ya sea el vaío o un ondutor. El estudo de un anal [3] de anho l y profunddad h, on sustrato metálo tambén se ha onsderado en la mplementaón de la dspersón de haes de anho fnto por una rejlla fnta on sustrato metálo. La rejlla fnta forma parte de una pantalla perfetamente ondutora de espesor ero. Según nuestro onomento este aso no ha sdo onsderado en la lteratura en detalle. En este trabajo se onsdera el aso de polarzaón T.E. (ampo elétro ndente E paralelo a las aanaladuras) y en un futuro trabajo el modo T.M. (ampo magnéto ndente H paralelo a las aanaladuras) será estudado. Enfoaremos nuestra atenón a la regón vetoral de la dspersón aún uando la regón esalar de la dspersón tambén se puede tomar en uenta. Es mportante menonar que el problema tratado en este reporte no es solamente un aspeto nteresante del ampo de la teoría ondulatora eletromagnéta, sno que tambén es un aspeto mportante que está relaonado on 7

2 Superfes y Vaío 7(), 7-3, marzo de 004 Soedad Mexana de Cena de Superfes y de Vaío Fgura. Nuestra onfguraón. N rendjas de anho l on separaón d en una pantalla metála de ondutvdad nfnta y sustrato metálo. El ángulo β es usado para desrbr los patrones de dspersón. medones y dagnósto de superfes por medo de mroondas, de ondas mlmétras, de lásers y de haes ultrasónos y partularmente en el desarrollo de varos tpos de dspostvos óptos tales omo multplexómetros, polarzadores, fltros óptos y aopladores de guías de onda [4].. Formulaón de la teoría Consdérense N rendjas en una pantalla nfntamente delgada de ondutvdad nfnta, on anho de las rendjas l = y separaón entre rendjas de d, es der, se supondrá una rejlla fnta de perodo D= l + d (ver fgura ). Asumremos que el sustrato puede ser el vaío o un ondutor. El haz gaussano nde obluamente on un ángulo θ on polarzaón T. E. y on una longtud de onda λ = π/k (k magntud del vetor de onda). Usaremos la representaón ompleja para los ampos y el fator temporal exp(ωt) será omtdo. Sea E( x, y) la omponente del ampo elétro uando se tene la polarzaón T. E. (ampo elétro paralelo al eje Oz), este ampo satsfae la euaón de Helmholtz. E E + + k E = 0 () x y donde k = k 0 n y k 0 = π / λ es el módulo del vetor de onda en el vaío y n es el índe de refraón del medo, el ual es un número omplejo para el sustrato. Denotemos por E y E las soluones de la E. () para y>0 y para y<0 respetvamente omo un número nfnto de ondas planas y ondas evanesente de la sguente manera: ( ) ( α ) ( αx β y E x y C e ), = dα (para y<0) π donde tenemos las sguente defnones β = k 0 α on Im( β) 0, y β = k α on Im( β ) 0. El vetor de onda k es un número omplejo, ya que en general el sustrato es un ondutor. En la euaón () la funón A(α ) es la ampltud del haz ndente E, y B (α ) representa a la onda dspersada. El ampo debajo de la pantalla está dado por el oefente C (α ). Nótese que el sgno + en las exponenales sgnfa que tenemos una onda propagándose haa arrba, mentras que el sgno sgnfa ondas propagándose haa abajo. Supongamos que E3( x, y = 0) es el ampo elétro en y = 0, el ual tene que ser nulo en la pantalla según nuestro modelo de ondutvdad nfnta y que lo podemos expresar de la sguente manera: E ( x, 0) = a φ ( x) + a φ ( x) a φ ( x) 3 n n n n donde las funones φ np ( x ) (on p =,,..., N ) están dadas por: nπ sn [ x ( p ) D] s ( p ) D x l + ( p ) D φnp = l 0 de otra manera (5) (3) (4) k0 ( ) ( ) ( ) αx βy α α ( α ) ( αx+ βy E x y A e d B e ), = + dα π k0 π (para y>0) () 8

3 Superfes y Vaío 7(), 7-3, marzo de 004 Energía Angular Dspersada Fgura. Influena de la longtud de onda en la Energía angular dspersada uando el sustrato es oro. Para una rejlla fnta heha de 0 rendjas y perodo D / l =. El ángulo de ndena es θ = 0º, el anho del haz es L = 0/, para las longtudes de onda λ /l = 0. (a), 0.8 (b),.5 () y.5 (d). Soedad Mexana de Cena de Superfes y de Vaío Los oefentes a np son los llamados oefentes modales y las funones φ np ( x ) son funones seno en las rendjas y son nulas a lo largo de la pantalla y onsttuyen una base ortogonal. Para alular el ampo dspersado dado por el segundo ntegrando de la E. () utlzaremos las ondones de ontnudad[, 3] obtendas a partr de las euaones de Maxwell. Estas ondones de ontnudad nos onduen al sguente sstema matral para los oefentes modales de la E. (4) hasta ahora desonodos. a n... + ( β + β ) ˆ φ, ˆ φ a n ( β + β ) ˆ φ, ˆ φ + a n ( β + β ) ˆ φ, ˆ φ n = βa( α), $ φ (6) +. on m =,,...,, y q =,,..., N. Con la nversón matral del sstema (6) se determnan numéramente los oefentes modales de la E. (4) y de esta forma el problema de la dspersón de un haz gaussano por una rejlla fnta onsttuda de N rendjas pasa a un sstema lneal algebrao en funón de los oefentes modales de la E. (4). Una vez determnados los oefentes modales de la E. (4), es nmedato alular el ampo dspersado para la polarzaón T.E. 3. Resultados numéros Energía Angular Dspersada Como onda eletromagnéta ndente, onsderaremos la versón b-dmensonal de un haz gaussano, el ual en la pantalla y a ndena normal tene a su ampo elétro dado por: ( x b) E ( x, y = 0) = exp L (7) A partr de esta expresón la ampltud espetral del haz gaussano a ndena oblua es: Fgura 3. Influena de la longtud de onda en la Energía angular dspersada uando el sustrato es oro. Para ndena oblua de θ = 30º, msmos parámetros de la Fg.. L α A( α) = (os θ + senθ) exp ( αb + βh) exp( γ / ) β (8) Donde θ es el ángulo de ndena on respeto del eje Oy. La posón de la ntura del haz ndente esta dada por b y por h, esta últma será gual a ero, para oloar de ahora en adelante al haz en la pantalla (ver Fg. ). Denotaremos por L al dámetro del haz uando la ntensdad del haz a deaído de /e y γ = ( α osθ βsenθ ) L /. 9

4 Superfes y Vaío 7(), 7-3, marzo de 004 Energía Angular Dspersada 00 E- E-4 -E6 E- E-4 -E6 E- E-4 -E6 00 E- E-4 (a) (b) () (d) L/ l=7/ L/ l=0/ L/ l=50/ L/ l=5000/ -E Fgura 4. Influena del anho del haz en la Energía angular dspersada uando el sustrato es oro. Para una rejlla fnta heha de 5 rendjas y perodo D / l =. 5, lumnada por un haz gaussano a ndena normal ( θ = 0º ), on una longtud de onda λ /l = 0.9 y anhos de haz: a) L / l = 7 /, b) L / l = 0/, ) L / l = 50/ y d) L / l = 5000/. Energía Angular Dspersada 00 E- E-4 -E6 E- E-4 -E6 E- E-4 -E6 00 E- E-4 (a) (b) () (d) L/ l=7/ L/ l=0/ L/ l=50/ L/ l=5000/ -E Fgura 5. Msmos parámetros de la Fg. 4 pero on ndena oblua de θ = 30º Soedad Mexana de Cena de Superfes y de Vaío Los índes omplejos η de los sustratos de las rejllas fntas que se presentan a ontnuaón han sdo obtendos por nterpolaón del Handbook of optal onstants of solds by Edward D. Palk [5] 3. Influena de la longtud de onda En las Fguras y 3 mostramos la nfluena de la longtud de onda en la energía angular reflejada uando el sustrato es oro. Suponemos una rejlla fnta formada de 0 rendjas de anho l = y separaón d = y on perodo D / l =.0. Esta rejlla fnta es lumnada por un haz Gaussano a ndena normal a la pantalla, θ = 0º, Fg. y a ndena oblua de 30º, Fg. 3; el anho del haz ndentes es L / l = 0 / y las longtudes de onda ndentes son: λ / l = 0., 0.8,.5 y. 5. De estos resultados tenemos que la euaón de la rejlla en reflexón dada por os β n = senθ + nλ / D, ver Fg., prede la posón de los órdenes dfratados, on un error máxmo relatvo de 0.35%. Tambén se puede observar que el anho angular de los órdenes aumenta uando la longtud de onda aumenta. Estas onlusones fueron establedas en transmsón y para ndena normal de haes Gaussanos para una rejlla fnta [, ]. 3. Influena del anho del haz En las fguras 4 y 5 mostramos la nfluena del anho del haz en la energía angular dspersada uando el sustrato es oro. En estas smulaones la rejlla fnta esta formada por 5 rendjas on un período normalzado de D / l =. 5 e lumnada por haes Gaussanos a ndena normal, Fg. 4, e ndena oblua de θ = 30º, Fg. 5, para una longtud de onda λ / l = 0. 9 y anhos de haz L / l = 7 /,0/, 50/ 50 y 5000/ Nuevamente omparando el orden de dspersón mostrado en las Fguras 4 y 5 en funón del anho del haz, on el predho por la euaón de la rejlla, hemos enontrado un error máxmo relatvo de 0.3%. Tambén se puede observar que el anho angular del orden dsmnuye uando el anho del haz aumenta, este resultado tambén ya ha sdo observado para el aso de transmsón en el vaío para una rejlla fnta[, ]. Además la posón angular de los órdenes es ndependente del anho del haz (L/λ). De los resultados de las dos seones anterores podemos onlur que el anho de los órdenes de dspersón aumenta on la relaón λ/l, donde λ es la longtud de onda y L es el anho del haz ndente, ver Fg Influena de la posón del haz A ontnuaón mostramos la energía dspersada uando el sustrato es el vaío o un ondutor y la posón del haz es el entro y la orlla de la rejlla fnta. En todos los asos onsderados hemos grafado la energía dspersada por una rejlla fnta onsttuda por 0 rendjas on período D / l =. Tambén supondremos una ndena oblua de 30

5 Superfes y Vaío 7(), 7-3, marzo de 004 Soedad Mexana de Cena de Superfes y de Vaío Energía Angular Dspersada Energía Angular Dspersada Fgura 6. Energía angular dspersada uando el sustrato es el vaío. Para una rejlla fnta heha de 0 rendjas y perodo D / l =. El ángulo de ndena es, la longtud de onda es λ / l = 0. 8, y el anho del haz es L = 0/. En (a) el haz está entrado en la rejlla fnta ( b / l = 9. 5 ), en (b) el entro del haz está loalzado en la orlla de la rejlla fnta ( b / l = 0 ) y en () se muestra la superposón de (a) y (b). haes Gaussanos de 30º, una longtud de onda de λ / l = 0. 8 y un anho de haz L = 0 /. En la Fg. 6 hemos trazado la energía angular reflejada uando el sustrato es el vaío. En la Fg. 6a el haz se enuentra en el entro de la rejlla fnta, ( b / l = 9. 5, ver Fg. ) y en la Fg. 6b el entro del haz está loalzado en la orlla de la rejlla fnta (b / l = 0, ver Fg. ). Estas dos fguras nos muestran la nfluena de la posón del haz en la dstrbuón angular de la energía. En ambos asos se observan la presena de los no órdenes de dspersón que prede la euaón de la dfraón de una red dada por os β n = snθ + nλ / D, ver Fg.. De estos resultados podemos der: ) Que para un haz gaussano ndente la euaón de la red en reflexón prede las posones angulares de los ordenes dspersados por una rejlla fnta on una buena aproxmaón, es der, las posones angulares de estos ordenes son ndependentes del anho del haz y de la posón de haz en la rejlla fnta. ) En la Fg. 6 hemos superpuesto a las Fgs. 6a y 6b. De esta superposón tenemos que la envolvente de la energía reflejada se mantene onstante uando la posón del haz amba a lo largo de la rejlla fnta. 3) Estas dos últmas onlusones tambén se umplen para un sustrato metálo omo se muestra en la Fg. 7 para el lto y para un sustrato de oro (resultados no mostrados). En esta fgura hemos utlzado los msmos parámetros de la Fg. 6. Estas gráfas nos muestran omo amba la energía Fgura 7. Msmos parámetros de la Fg. 6, pero para una rejlla fnta on sustrato de lto. dspersada uando la ondutvdad del sustrato aumenta. Y por últmo tambén observamos que los órdenes de dspersón son ndependentes de la ondutvdad del sustrato. 4. Conlusones Se ha presentado una teoría modal rgurosa para resolver el problema de la dspersón de haes Gaussanos por una rejlla fnta en una pantalla plana on sustrato. Hemos supuesto que el sustrato sea el vaío o un ondutor. El aso de polarzaón T.E. y de ndena normal y oblua ha sdo onsderado. Este trabajo se ha llevado a abo en la regón vetoral de la dfraón donde los efetos de la polarzaón son mportantes. El estudo numéro de los patrones de dspersón en funón de varos parámetros optogeométros nos ha permtdo analzar la nfluena de sustratos metálos. Agradementos El autor J. Sumaya Martínez agradee el apoyo de CONACYT-Méxo y a la UAEM por los apoyos I35695 y 57/00. Los autores O. Mata Méndez y F. Chávez Rvas agradeemos el apoyo de la Comsón de Operaón y Fomento de Atvdades Aadémas del Insttuto Polténo Naonal. Referenas [] J. Sumaya-Martnez, O. Mata-Mendez, and F. Chavez-Rvas, Superfes y Vaío. 3, 38, (00). [] J. Sumaya-Martnez, O. Mata-Mendez, and F. Chavez-Rvas, J. Opt. So. Am. A. 0, 87 (003). [3] O. Mata-Mendez, J. Sumaya-Martnez, and F. Chavez-Rvas, Rev. Mex. Fs (995). [4] E. Loewen and E. Popov, Dffraton gratngs and applatons, Marel Dekker, In., New York (997). [5] Palk D. Edward, Handbook of optal onstants of solds, Aadem Press In. (985). 3

6 Superfes y Vaío 7(), 7-3, marzo de 004 Soedad Mexana de Cena de Superfes y de Vaío