Análisis dinámico tridimensional del sistema catenaria pantógrafo en líneas ferroviarias de Alta Velocidad (350 km/h)

Transcripción

1 Análss dnámo trdmensonal del sstema atenara pantógrafo en líneas ferrovaras de Alta Velodad (35 km/h) Garía de Jalón, Javer. España Jorreto Maros, Federo. España 1. Introduón Con el aumento de la velodad de rulaón de los ferroarrles, el omportamento dnámo del sstema atenara-pantógrafo resulta ada vez más ríto debdo al notable nremento en el número y duraón de los despegues. Este fenómeno afeta negatvamente a la orreta aptaón de orrente, orgnando a su vez perturbaones de aráter eletromagnéto e nrementando el desgaste de la línea aérea. Los programas de smulaón onsttuyen una herramenta esenal en la fase de dseño para garantzar un orreto omportamento dnámo de estos sstemas. Además, dada la dfultad de realzaón de pruebas de ampo en líneas eletrfadas y on tráfo ontnuo, estas smulaones proporonan tambén una gran ayuda para mejorar líneas ya onstrudas, así omo para la eleón del pantógrafo más adeuado a ada línea. En este artíulo, los autores presentan un programa nformáto senllo y efente que permte analzar el omportamento estáto y dnámo de sstemas atenara-pantógrafo. A dferena de lo que suele ser habtual en la bblografía, este programa permte realzar estudos 3-D de sstemas reales on deenas de mles de grados de lbertad, onsderando los efetos del desentramento del hlo de ontato, del efeto del vento lateral, de la rulaón en tramos urvos, de los ambos de seonamento, de las agujas aéreas y de atenaras on dos hlos de ontato. Esta herramenta se ha desarrollado en MatLab, está basada en el método de los elementos fntos (FEM) y hae uso de un elemento espeal de tpo vga pretensada on el que se tene en uenta el efeto que produe la tensón en los ables sobre su rgdez a flexón. Una de las mayores dfultades del problema es la ntroduón de la ondón de ontato del pantógrafo on la atenara ya que, omo es sabdo, las fuerzas móvles dan lugar a la aparón de problemas numéros ada vez que éstas pasan por uno de los nudos del mallado, que se omportan omo s fueran puntos duros. Este fenómeno, uyo efeto dsmnuye on el tamaño de los elementos, es tanto más ausado uanto mayor es la velodad de la arga, por lo que resulta ríto en la smulaón de pantógrafos rulando a alta velodad, ya que oblga a utlzar elementos muy pequeños, on el onsguente aumento del número de euaones y del tempo de álulo. Para elmnar este problema se ha utlzado un mallado móvl del hlo de ontato, on el que han poddo obtenerse resultados altamente satsfatoros en tempos de

2 álulo muy aeptables. La magntud del problema numéro vene dada por el número de grados de lbertad y por el paso de ntegraón utlzado, que está ondonado por el algortmo de ntegraón y la duraón de los despegues. A modo de ejemplo, una smulaón a lo largo de un seonamento de 2 vanos modelzado on elementos de 1m de longtud da lugar a 2 euaones, que deben resolverse 5 vees por ada segundo de smulaón. El programa ontempla algunas araterístas no lneales del sstema, omo son la onexón-desonexón de péndolas y el aoplamento-despegue de los pantógrafos. Este programa ha sdo valdado a través de una normatva europea, y permte analzar el omportamento estáto y dnámo de dferentes sstemas, en los que se ontempla la rulaón smultánea de varos pantógrafos a lo largo de dversos vanos perteneentes a atenaras smples, atenaras on péndola en Y y ambos de seonamento, dotadas de uno o dos hlos de ontato. 2. Modelzaón del sstema pantógrafo-atenara Ambos elementos se modelzan por separado. La atenara se modelza por medo de elementos fntos, utlzando un elemento vga espeal que tene en uenta los efetos de la pretraón. El pantógrafo se modelza medante un sstema smplfado de masas, muelles y amortguadores, aunque dado su pequeño nº de grados de lbertad, su modelzaón omo sstema multuerpo no afeta apenas a la efena numéra del programa Elementos vga 3-D pre-tensados En la meána de hlos es habtual no desprear los grandes desplazamentos pero sí la rgdez a flexón. Sn embargo, en el aso de la atenara no se onsderan grandes desplazamentos pero se tene en uenta la rgdez a flexón aumentada por la alta pre-traón de los hlos. Tanto el able de ontato omo el sustentador (y el falso sustentador o péndola en "Y") se modelzan on elementos vga pre-tensada [1] que resultan muho más presos que los elementos estándar. Las funones de forma para las deformaones de flexón de estas vgas son las sguentes: N θ z N y L x x x os u os u u sn u 1+ osu+ usn u L L L = 2 + 2osu+ usn u L x x usn u + sn u sn u L L N z = L u u u ( 2 + 2os + sn ) L x x L x x x L sn u sn u + os u u + u osu+ sn u uosu L L L L L = u u u u N θ y L x os u L = ( 2 + 2os + sn ) x x L x os u + u sn u L L L 2 + 2osu + usnu 1+ osu (1) (2) (3) (4)

3 Su representaón geométra se observa en la Fgura 1 junto on los polnomos úbos ordnaros, uando el elemento mde 1m y.25m y el hlo está pretraonado on 2kN Elemento.25 m off Elemento 1 m Fgura 1. Funones de forma espeales y estándar para elementos de.25m y 1m Modelzaón del pantógrafo Los pantógrafos se dseñan para mantener lo más unforme posble la fuerza de ontato on la atenara. Por eso se dstnguen dos partes fundamentales: una nferor, menos atva, que ompensa las dferenas de altura de la atenara a lo largo de las grandes dstanas (vadutos, túneles,...) y una superor, más lgera, que tene que adaptarse a los movmentos rápdos y de pequeña ampltud (mperfeones de la altura del hlo, fleha, vbraones del teho de la loomotora, proeso de despegues, et.). Los pantógrafos se pueden modelzar omo un onjunto de masas, muelles y amortguadores on 2 ó más grados de lbertad (gdl). Dos masas son sufentes s el pantógrafo es smétro y tres s es asmétro (omo suelen ser los utlzados en alta velodad). Los parámetros de estos modelos smplfados se ajustan medante ensayos expermentales, on lo que se onsgue que se adapten bastante ben a la realdad Interaón pantógrafo-atenara Para la resoluón del problema de la nteraón entre el pantógrafo y la atenara se han utlzado multpladores de Lagrange, por la faldad on que permten ntrodur las euaones de restrón del ontato. Las euaones de Lagrange pueden expresarse omo: d T V R + + λa = Q (5) dt x x x donde T, V y R son respetvamente la energía néta, la potenal elásta y la funón de dspaón de Raylegh; x y x los vetores de oordenadas y velodades generalzadas; Q el

4 vetor de fuerzas generalzadas no dervables de un potenal; λ los multpladores de Lagrange, y a los vetores que resultan de dervar las euaones de restrón respeto al vetor de oordenadas generalzadas. Desomponendo los desplazamentos de atenara y pantógrafo en sus omponentes básas, las dstntas omponentes de la energía se pueden formular medante las formas uadrátas: 1 T 1 T T x p T = xmx + { x p x pb} p 2 2 M x 1 T 1 T T x p V = xkx + { xp xpb} p 2 2 K x 1 T 1 T T x p R = xcx + { x p x pb} p 2 2 C x x p donde x y son los desplazamentos nodales de la atenara y de la abeza y la base del x pantógrafo, respetvamente. De esta forma, el vetor de oordenadas generalzadas es: x x= x p x Las euaones de restrón mponen la ondón de que el pantógrafo permaneza en ontato on la atenara, medante gualdad de posones de la abeza del pantógrafo y el hlo de ontato. El desplazamento de la atenara en el punto de ontato se alula aplando el prnpo de superposón: es la suma del desplazamento debdo a los desplazamentos nodales de la atenara y el desplazamento de empotramento perfeto dentro de dho elemento. El desplazamento del punto de ontato se puede expresar, por tanto, omo: donde ( t) ontat ( t) T (6) (7) (8) (9) x = N x + k F (1) N es el vetor de funones de forma del elemento, F es la fuerza de ontato y k es el desplazamento de empotramento perfeto para un fuerza de ontato untara (Fgura 2). Fgura 2 Desplazamento del punto de ontato del hlo aplando superposón.

5 Para el aso más senllo de un pantógrafo y un hlo de ontato la euaón de restrón es: donde f( vt) ( t) T + kf x = f( vt ) N x (11) es la predeformaón o fleha del hlo de ontato, que es funón del espao reorrdo por el tren en un tempo t. La dervada de las euaones de restrón (11) respeto al vetor de oordenadas generalzadas tene la forma: p T T ( t) = ( t) { 1,,...} a N (12) Fnalmente, el vetor Q de fuerzas generalzadas omprende la fuerza estáta aplada por el pantógrafo F e, la fuerza aerodnáma F a, y las fuerzas orgnadas por el movmento del teho de la loomotora. Utlzando notaón matral, las euaones dnámas de la atenara y del pantógrafo venen dadas por la expresón: x x K N( t) x M C x x x (13) p p p Mp + Cp + K p = x x 1 x Fe T λ λ ( t) { 1} k λ f( vt ) N Observando este sstema de euaones dferenales se omprende el sgnfado físo del multplador de Lagrange. Así, el produto N ( t) λ se dentfa on las fuerzas nodales equvalentes orrespondentes a la fuerza F ejerda por el pantógrafo en un punto nteror de un elemento. De aquí se dedue que los multpladores de Lagrange λ son las fuerzas de ontato entre pantógrafo y atenara. En la euaón matral (13) sólo la matrz de rgdez tene térmnos dependentes del tempo, que están onentrados en las últmas flas y olumnas. Esta propedad permtrá optmzar el tempo de álulo Integraón del sstema de euaones dferenales Las euaones (13) resultan no lneales debdo a la onexón y desonexón de péndolas, y a las perddas de ontato entre pantógrafo y atenara. Como onseuena las matres en (13) no son onstantes a lo largo de la ntegraón, y se deben alterar onforme la propa ntegraón da lugar a unos estados u otros. Es por esto que se ha optado por métodos de ntegraón adaptados a las araterístas del problema, tales omo los ntegradores estruturales, nluyendo erto amortguamento numéro. El α-method de Hlber, Hughes y Taylor [?] ha sdo el ntegrador utlzado, debdo a los buenos resultados obtendos y la posbldad de ontrolar la dspaón El problema numéro de las argas móvles Es onodo que s una fuerza puntual ruza en un análss dnámo un nudo de la malla en una dsretzaón por elementos fntos se produen problemas de tpo numéro [2], [3]. La Fgura 3 muestra un able bempotrado de 12m de longtud on elementos fntos de 1.5m. En ontato on el hlo se mueve un pantógrafo de dos gdl a 5 m/s. En este aso no está permtda la separaón de able y pantógrafo, de forma que apareen fuerzas postvas uando able y pantógrafo tenden a separarse. Pueden observarse grandes oslaones en la fuerza de ontato, laramente lgadas a la longtud del elemento fnto que se utlza.

6 El problema se puede resolver refnando la dsretzaón omo se ve tambén en la Fgura 3 (línea roja), donde el tamaño de los elementos se ha redudo a.1m. Esta soluón mpla un fuerte nremento en oste omputaonal. 15 FUERZA DE CONTACTO m.1 m Fuerza [N] Tempo [s] Fgura 3. Fuerza de ontato pantógrafo-atenara Desrpón de la soluón adoptada A la soluón del aoplamento medante multpladores de Lagrange según la e. (13) se le denomna soluón exata. Algunos autores añaden a la euaón de ompatbldad un muelle de ontato. A este tpo de soluón se le puede llamar aproxmada. Una posble soluón al problema tado ha onsstdo en utlzar la soluón aproxmada. Otra posble soluón onsste en aproxmar la arga de ontato puntual medante una funón ontnua más suave. En este trabajo se ha preferdo mantener las fuerzas puntuales. La soluón preferda por los autores de este trabajo ha onsste en mplementar un refnamento móvl del mallado, de modo que sempre exsten elementos más pequeños en la zona de ontato pero sólo en ella, mantenendo elementos de mayor tamaño en el resto del modelo. Este método se omplementa on la utlzaón de ntegradores on dspaón numéra. Se parte de un mallado general unforme omo el mostrado en la Fgura 4 y se ensamblan las matres orrespondentes de rgdez, nera y amortguamento,. 1 m Nodo gral. Hlo de ontato pantógrafo Fgura 4. Mallado unforme en el espao y onstante en el tempo. A ontnuaón se realza un mallado más fno en la zona de ontato del pantógrafo on la atenara, es der en el elemento de ontato y en al menos dos elementos por delante según se observa en la Fgura 5. Cuando el pantógrafo pasa a un nuevo elemento el elemento anteror vuelve a su tamaño anteror y se refna el mallado en un nuevo elemento por delante. Los des-

7 plazamentos, velodades y aeleraones de los nuevos nudos se obtenen nterpolando. 1 m Nodo gral. Hlo de ontato Nodo fno a) pantógrafo 1 m Nodo gral. Hlo de ontato Nodo fno b) pantógrafo Fgura 5. Mallado general y zona de ontato remallada. Las euaones son smlares a la e (13), on nuevos nudos x m añaddos a la atenara. xf x f Kf N f xf Mf Cf m m m m x x K N xm M m C m x p + x p + p p K x p = M p C x 1 x pb Fe x T T λ λ N f ( t) Nm( t) { 1} k f ( v t λ ) ( t) ( t) (14) 3. Resultados y onlusones Se ha omprobado que los resultados mejoran sgnfatvamente on los tados elementos vga pretensados. Se han utlzado dsretzaones de 1 y 2 tramos, on 176 elementos vga y 7 péndolas por tramo. Los elementos fntos tenen una longtud aproxmada de 1m y de.1m en la zona remallada. La Fgura 6 muestra los resultados on un pantógrafo a 1m/s omparando funones de nterpolaón úbas (en verde, muy oslantes) y trgonométras (en azul, más suaves). La Fgura 7 muestra los efetos de remallas más o menos elementos por delante del pantógrafo. La soluón de referena utlza todos los elementos de.1m FUERZA DE CONTACTO FUERZA DE CONTACTO Referena Mallado móvl 3 m Mallado móvl 6 m Mallado móvl 2 m Fuerza [N] Fuerza [N] Interpolaón úba Interpolaón trgonométra Referena Tempo [s] Fgura 6. Elementos úbos y trgonométros Tempo [s] Fgura 7. Efetos del tamaño del mallado móvl.

8 La resoluón efente de modelos 3-D de tamaño real exge ténas numéras adeuadas. Se ha utlzado la fatorzaón de Cholesky on renumeraón de varables para redur el llenado y adaptarse al refnamento de la malla. La fatorzaón debe repetrse ada vez que se desoneta una péndola o se modfa el mallado. La Fgura 8 muestra los elementos no nulos del fator resultante de Cholesky sn renumeraón y la Fgura 9 renumerando nz = Fgura 8. Matrz L T de Cholesky sn renumerar nz = Fgura 9. Matrz L T de Cholesky renumerando. La Tabla 1 muestra los resultados de algunas smulaones de gran tamaño realzadas on la metodología desrta en los apartados anterores. Puede observarse que los modelos 2-D tenen un oste aproxmado del 4% de los modelos plenamente 3-D. Se onluye que estos últmos pueden resultar neesaros y rentables. En el aso más omplejo, que nluye dos pantógrafos, 2 tramos y gdl, la smulaón se ha realzado en menos de hora y meda, nluyendo 387 refatorzaones de una matrz (429 debdas a desonexones de péndolas y el resto a los remallados de la zona de ontato). Se ha utlzado un PC on un Intel 32. Tabla 1. Tempos en funón de modelo y tamaño para una velodad de 1 m/s modelo tramos gdl pasos refat. CPU (s) 2-D, 1 pant (123) 751,1 2-D, 1pant (243) 2525, 3-D, 2 pant (173) 1511,9 3-D, 2 pant (429) 518,3 4. Referenas [1] BEAUFAIT, F. W., ROWAN, W. H., HOADLEY, P. G. and HACKETT, R. M., (1978), Computer Methods of Strutural Analyss, Englewood Clffs, Prente-Hall. [2] JENSEN, C. N. (1997), Nonlnear systems wth dsrete and ontnuous elements. ATV Industral Ph.D. projet ATV 551. Lyngby. [3] ARNOLD, M. and SIMEON, B., (199), The smulaton of pantograph and atenary: a PDAE approah, Tehnal Report 199, (1998) TU Darmstadt, Department of Mathemats. [4] SCHAUB, M. and SIMEON, B., Pantograph-atenary dynams: an analyss of models and smulaton tehnques, Mathematal and Computer Modelng of Dynamal Systems, Vol. 7, No 2, (21), pp