ESTUDIO DE UN MODELO DE DESARROLLO EMBRIOLÓGICO

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA SUPERIOR INFORMÁTICA ESTUDIO DE UN MODELO DE DESARROLLO EMBRIOLÓGICO Realzado por JOSÉ DAVID FERNÁNDEZ RODRÍGUEZ Drgdo por FRANCISCO JOSÉ VICO VELA Departamento LENGUAJES Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN UNIVERSIDAD DE MÁLAGA MÁLAGA, JUNIO DE 007

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3 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA UNIVERSIDAD DE MÁLAGA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA SUPERIOR INFORMÁTICA Reundo el trbunal examnador en el día de la feha, onsttudo por: Presdente/a Dº/Dª. Seretaro/a Dº/Dª. Voal Dº/Dª. para juzgar el proyeto Fn de Carrera ttulado: Estudo de un modelo de desarrollo embrológo del alumno/a Dº/Dª. drgdo por Dº/Dª. Jose Davd Fernández Rodríguez Franso José Vo Vela ACORDÓ POR OTORGAR LA CALIFICACIÓN DE Y PARA QUE CONSTE, SE EXTIENDE FIRMADA POR LOS COMPARECIENTES DEL TRIBUNAL, LA PRESENTE DILIGENCIA. Málaga, a de del 007 El/La Presdente/a El/La Seretaro/a El/La Voal Fdo: Fdo: Fdo:

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5 INDICE 1. INTRODUCCIÓN PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ESTADO DEL PROBLEMA APORTACIÓN REALIZADA LA CÉLULA EN BIOLOGÍA GENOMA EL CITOESQUELETO MIGRACIÓN CELULAR TENSEGRIDAD CÉLULA TENSEGRITAL MODELO FÍSICO SISTEMA DE MUELLES DINAMIZACIÓN DEL MODELO SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS MECANISMO DISEÑADO: ARMONIZACIÓN IMPLEMENTACIÓN PRIMEROS EXPERIMENTOS INVAGINACION ELEMENTOS TENSEGRITALES PARA UN CITOESQUELETO PSEUDÓPODOS MODELO CELULAR MÁS DETALLADO MIGRACIÓN MITOSIS MITOSIS AISLADA DUPLICACION DE COMPONENTES CAMBIOS GEOMÉTRICOS FINALIZACIÓN DE LA CITOCINESIS MULTICELULARIDAD ENVOLTURA DEFORMABILIDAD CELULAR MITOSIS EN SITUACIONES DE COMPRESIÓN RESULTADOS EXPERIMENTOS SOBRE MODELOS DE EMBRIONES CONTROL GENÉTICO BIOEMERGENCES CONCLUSIONES LÍNEAS DE TRABAJO ABIERTAS BIBLIOGRAFÍA

6 FIGURAS Fgura 1.1. Célula euarota Fgura 1.. Componentes del toesqueleto Fgura 1.3. Transduón meáno-metabóla Fgura 1.4. Esquema del toesqueleto en la lamelpoda Fgura 1.5. Estrutura tensegrtal Fgura 1.6. Esquema de élula tensegrtal Fgura.1. Caraterzaón de una partíula... 3 Fgura.. Caraterzaón de un muelle... 3 Fgura.3. Fuerzas ejerdas por un muelle... 4 Fgura.4. Prevenón de superposón... 9 Fgura.5. Inserón de muelles ontra la superposón Fgura.6. Choque nelásto Fgura.7. Vetor tangente anthoraro... 3 Fgura.8. Vetor normal nteror Fgura.9. Vetor de normal de ontato Fgura.10. Ventajas de la normal de ontato Fgura.11. Vetor de posón relatva Fgura.1. Gro de los vetores Fgura.13. Penalzaón de velodades Fgura.14. Velodades y aeleraones relatvas de aproxmaón Fgura.15. Armonzaón de movmentos (1) Fgura.16. Armonzaón de movmentos () Fgura.17. Lnealzaón de la armonzaón de movmentos Fgura.18. Códgo de olores Fgura 3.1. Un proeso de nvagnaón embronaro Fgura 3.. Modelo smplfado de tejdo eptelal Fgura 3.3. Smulaones de nvagnaón Fgura 3.4. Elementos tensegrtales para un toesqueleto Fgura 3.5. Formaón de pseudópodos Fgura 3.6. Modelo elular detallado Fgura 3.7. Detalle y modelo de mrotúbulos arrollados... 5 Fgura 3.8. Comparaón de una smulaón on un espermatozode de Asars suum Fgura 3.9. Comparaón de una smulaón on un fbroblasto Fgura 4.1. Célula antes de la mtoss Fgura 4.. Célula tras duplar omponentes Fgura 4.3. Modelado de estruturas toesquelétas de la mtoss Fgura 4.4. Cambos geométros en el modelo de mtoss Fgura 4.5. Modfaón del grafo Fgura 4.6. Modelos de envoltura para embrones Fgura 4.7. Inversón del sentdo de deteón de superposón... 6 Fgura 4.8. Deformabldad elular Fgura 4.9. Desnaturalzaón del modelo elular Fgura Superposón por asmetría Fgura Desnaturalzaón por salda de entrosoma

7 Fgura 4.1. Muelles de membrana auxlares Fgura Partíulas del estrangulamento tonéto Fgura Efeto de estrangulamento tonéto Fgura Aortamento del anal tonéto Fgura Instantes de una smulaón Fgura Perfl de rendmento de la smulaón... 7 Fgura 5.1. Genoma seuenal Fgura 5.. Gen de mtoss Fgura 5.3. Smulaones on mtoss asmétra Fgura 5.4. Proesamento de mágenes Fgura 5.5. Segmentaón basada en nuestro modelo CUADROS Cuadro.1. Pseudoódgo para smulaón on establzaón del sstema... 5 Cuadro.. Euaones de gro Cuadro.3. Euaones de armonzaón Cuadro.4. Euaones de lnealzaón de la armonzaón Cuadro.5. Pseudoódgo general de la smulaón Cuadro 4.1. Euaones para el efeto de estrangulamento tonéto Cuadro 5.1. Pseudoódgo de segmentaón

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9 José Davd Fernández Rodríguez 1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1. INTRODUCCIÓN 1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA La omundad entífa está en proeso de produr modelos nformátos de sstemas bológos adeuados omo herramentas auxlares a la bología teóra, y de un modo más general a la nvestgaón del fenómeno que onsttuye la vda. Dada la extrema omplejdad de la vda desde la vsón a vsta de pájaro que onsttuye la eología, hasta los detalles onernentes a la bología moleular, los dstntos modelos nformátos usados en ada área han de onstrurse neesaramente usando un elevado nvel de abstraón que sntete las araterístas laves que se queren analzar. Así, estos modelos pueden omprender ténas tan dspares omo sstemas de euaones dferenales que desrben las nteraones químas de una red de rutas metabólas, modelos estoástos de redes de regulaón genéta o modelos físos smplfados de tejdos vvos (véase [18] y [6]). Crunsrbéndonos a un área erana al objetvo de este proyeto, uno de los muhos problemas abertos en las enas bológas es el de la multelulardad, que abara toda una sere de uestones: su evoluón a partr de organsmos euarotas unelulares, la fjaón del plan orporal (body plan) en etapas tempranas de la evoluón, el desarrollo de ndvduos a partr de zgotos o esporas (on todas las uestones asoadas: generaón de asmetrías, morfogéness, organogéness, et.), los meansmos regulatoros que oordnan élulas, tejdos y órganos Tradonalmente, la forma en que se realza la nvestgaón en bología elular ha drgdo el pensamento entífo sobre la dnáma de los seres vvos: omo los protoolos de nvestgaón suelen requerr pasos que destruyen la organzaón a nvel elular o de tejdo, las teorías bológas solían tener en uenta sólo aspetos puramente boquímos de los proesos que ntentaban desrbr [9]. Como botón de muestra, destaquemos que ertamente el desarrollo de un ndvduo a partr de un goto está determnado por su genoma, pero para omprender plenamente el proeso por el ual esto ourre, es nsufente onoer uáles genes, uándo y ómo se expresan durante el desarrollo embronaro (enfoque prmado en las prmeras déadas tras el establemento del dogma entral de la bología moleular: el ADN se transrbe en ARNm, que a su vez se tradue en proteínas), sno que hay que artular un - 9 -

10 José Davd Fernández Rodríguez 1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA modelo oherente de la nteraón del genoma on el maro físo que onsttuyen las élulas y tejdos del propo embrón [13]. Este heho se ha puesto de manfesto espealmente tras la onstataón de la asombrosamente pequeña antdad de genes (del orden de entos de mles) que poseen los organsmos multelulares avanzados, entre ellos los vertebrados. A prmera vsta puede pareer que en ml genes onsttuyen una antdad respetable de nformaón genéta, pero no s nos paramos a pensar en la tremenda omplejdad del funonamento y sobre todo del desarrollo de un organsmo multelular, en el que deben de oordnarse espaal y temporalmente una extremadamente ompleja sere de eventos. Esta paradoja se resuelve medante dos vías: -No es adeuado vsualzar el genoma omo una apa de ontrol en la que ada gen regula un aspeto espeífo del organsmo y su nvel de expresón queda regulado ndvdualmente, sno omo una ompleja red de regulaón, en la que el nvel de expresón de ada gen se determna onjuntamente medante los produtos de la expresón de otros genes (que pueden promover o nhbr dha expresón) y proesos de retroalmentaón en rutas metabólas. Así, el genoma ontrola el organsmo no exatamente medante la expresón de genes ndvduales que nfluyen en rasgos espeífos del ndvduo, sno medante patrones de expresón de múltples genes. -Como se omentó anterormente, para entender el desarrollo embronaro no se puede presndr de la meána de las élulas y tejdos del embrón. Se está aumulando evdena reente sobre el heho de que el maro físo del desarrollo embronaro es determnante en la produón de seres omplejos (por ejemplo, el heho de que en una regón las élulas prolferen más que en otras, o que un determnado subgrupo tenda a desplazarse sobre un rastro de señalzaones químas, todo ello ontrbuye a que el organsmo en desarrollo adquera formas omplejas), usando una antdad de genes bastante pequeña en omparaón on la omplejdad resultante. Dho de otro modo, el entorno físo puede modular la expresón genéta para produr desarrollos embronaros fantástamente omplados en omparaón a la antdad de nformaón genéta portada por el organsmo []

11 José Davd Fernández Rodríguez 1.. ESTADO DEL PROBLEMA El objetvo de este proyeto es onstrur un nuevo modelo bológo que srva omo maro de expermentaón en embrología y vda artfal, es der, que srva omo base para plantear smulaones en las que se pongan a prueba hpótess o pruebas de onepto sobre el desarrollo embrológo y la vda artfal. 1.. ESTADO DEL PROBLEMA Una vez ntroduda la problemáta de la multelulardad, retomemos la dsusón sobre los modelos bológos. El nvel de detalle es un fator determnante para medr lo adeuado que es un modelo: -un modelado demasado detallado desemboa rápda e nevtablemente en ntratabldad omputaonal, así omo en dfultad para extraer onomento relevante de la smulaón (por ejemplo, smulando al más bajo nvel la dnáma de las moléulas de agua, sería dfíl extraer la forma marosópa de un bloque de helo flotante, o el urso de su derva sobre el líqudo). -un modelado demasado abstrato provoa que las smulaones perdan rápdamente poder predtvo y explatvo, debdo a que para que un modelo predga de forma veraz fenómenos emergentes debe tener en uenta los proesos que nteratúan a bajo nvel para produr los omportamentos no esperados. Así, para estudar el desarrollo embronaro se pueden abstraer as todos los proesos boquímos del embrón, quedándonos solamente on una sere de oneptos lave: -El genoma del ndvduo. -Las señales boquímas (morfogenes, fatores de remento, hormonas reguladoras) que nfluyen en la red genéta de ada élula del organsmo. -El modelo físo en el que se produe el desarrollo. Atualmente exsten toda una sere de modelos propuestos tanto para la representaón del genoma omo de la señalzaón boquíma que éste lleva a abo para produr ambos morfogenétos en el embrón, pero los modelos físos subyaentes suelen ser omparatvamente tosos, y en onseuena fallan en proporonar una adeuada modulaón de la expresón genéta. Suelen basarse en rejllas (uadruladas o no) en las que ada posón de la rejlla puede estar o no oupada por una élula, que a su vez puede moverse,

12 José Davd Fernández Rodríguez 1.3. APORTACIÓN REALIZADA dvdrse o nflur en élulas venas [4]. Estos modelos, aunque váldos para expermentos básos (por ejemplo, establemento de ejes de smetría [1]), son demasado abstratos para desrbr adeuadamente omportamentos tales omo la gastrulaón, en el que las fuerzas ejerdas por élulas o eptelos elulares produen movmentos rreprodubles on esquemas físos tan abstratos APORTACIÓN REALIZADA Afnando la desrpón del proyeto dada anterormente, lo que pretendemos es, prnpalmente, desarrollar un sustrato físo lo bastante abstrato omo para ser omputaonalmente vable y adeuadamente desrptvo, pero a la vez lo bastante detallado omo para proporonar una mayor rqueza a los modelos embrológos atuales. La élula es la undad organzatva prnpal en la bología, y las araterístas de los seres multelulares son rasgos emergentes de la nteraón de sus élulas onsttuyentes, por lo que nuestro esfuerzo se entrará en obtener un modelo de élula sufentemente abstrato pero que no obstante reoja las araterístas físas esenales que permtan al modelo desrbr el sustrato físo de los proesos de desarrollo multelular LA CÉLULA EN BIOLOGÍA Daremos ahora una breve desrpón de la élula que nos servrá de punto de partda para explar on más detalle nuestro modelado. Nos entraremos en la élula euarota anmal (Fgura 1.1). Estas élulas tenen un alto nvel de estrutura vsble al mrosopo: -una membrana externa delmta su volumen y protege la atvdad metabóla del medo extraelular. El medo nterno se denomna tosol. -múltples membranas y subompartmentos elulares nternos (RE lso, RE rugoso, sus respetvos lúmenes, el aparato de Golg, los peroxsomas, los lsosomas). En general, estos orgánulos son neesaros debdo a que las élulas euarotas son enormes (en térmnos boquímos) y requeren una alta ompartmentaón para - 1 -

13 José Davd Fernández Rodríguez 1.4. LA CÉLULA EN BIOLOGÍA aumentar superfes membranosas (en las que ourren gran parte de los pasos de las rutas metabólas) y separar y lasfar los produtos del metabolsmo elular. -mtoondras que transforman la gluosa en ATP, la gasolna de los proesos metabólos. -un núleo que ontene el ADN que porta la nformaón genéta y lo protege de los metaboltos que puderan dañarlo. -un toesqueleto ompuesto de redes de tres tpos de fbras: mrotúbulos, mroflamentos y flamentos ntermedos. El toesqueleto juega un papel lave en la organzaón de las estruturas ntraelulares, regulando su dsposón, orentaón, y movmento nterno. Fgura 1.1. Célula euarota Extraído de Se puede aprear el alto grado de omplejdad en su estrutura. El toesqueleto (no vsble) juega un papel fundamental en la organzaón de los dstntos ompartmentos. En el aso de los organsmos multelulares, las araterístas meánas de los dstntos tejdos del organsmo (hueso, tejdo onjuntvo, tendones, músulos, et.) quedan determnadas tanto por la morfología y propedades de las élulas que los omponen omo por las araterístas de la matrz extraelular, que se ompone de proteínas (que pueden estar altamente modfadas, omo en el aso de las gluoproteínas) segregadas por las élulas del tejdo

14 José Davd Fernández Rodríguez 1.4. LA CÉLULA EN BIOLOGÍA GENOMA El genoma de los euarotas presenta asmsmo una organzaón dstntva que los araterza. La metáfora un gen odfa para una proteína es demasado burda y no se ajusta a los hehos uando ntentamos omprender el funonamento elular. Los genes pueden tener omo produto fnal proteínas o rbozmas (moléulas de ARN on atvdad metabóla). Además, se omponen de regones odfantes (exones) separadas por otras no odfantes (ntrones), de modo que al ortar y pegar las seuenas odfantes (alternatve splng) se pueden produr gran antdad de proteínas dstntas a partr de un msmo gen. Además, las tasas de transrpón (esto es, el número de vees que se expresa un gen) apareen reguladas por los fatores promotores e nhbdores, sustanas (generalmente proteínas) que regulan los nveles de expresón de dstntos genes. Dhas sustanas son produdas por rutas metabólas y por otros genes, de forma que la metáfora más adeuada al hablar del genoma en aón es la de una red de regulaón genéta, en la que ada nodo es un gen y ada arsta defne la forma en que el nvel de expresón de un gen afeta a otros genes. Este onepto de red de regulaón nos permte modelar múltples aspetos de la élula euarota: -la homeostass (es der, tendena a mantener establdad nterna ante un medo exteror ambante), omo resultado de proesos de retroalmentaón en que exesos o arenas de metaboltos provoan un ambo en los nveles de expresón de dstntos genes uyos produtos tenden a restaurar el equlbro. -el lo de dvsón elular [30]: el proeso de dvsón de la élula euarota está altamente regulado. En el aso de los organsmos multelulares, la red de regulaón genéta asegura que las élulas se reproduzan ordenadamente (lo ontraro sería el áner). -la dferenaón elular: para los organsmos multelulares, se postula que uando una élula madre se dferena en una élula madura, el proeso es el resultado de que el estado de la red de regulaón genéta evoluone, atvando genes que produen las estruturas de la élula madura e natvando los neesaros en la élula madre (por ejemplo, uando un neuroblasto se dferena en una neurona, debe desatvar la maqunara de dvsón y atvar los genes que regulan la onstruón de dendrtas y axones). -en general, el omportamento elular ante estímulos externos. Esto es espealmente ríto durante el desarrollo embronaro: élulas de dstntas apas embronaras

15 José Davd Fernández Rodríguez 1.4. LA CÉLULA EN BIOLOGÍA produen señales morfogenétas (gradentes químos) a los que otras determnadas élulas deben responder varando sus propedades meánas, segregando matrz extraelular que ambe las propedades meánas del tejdo, o mgrando estmuladas por del gradente. Todos estos omportamentos son los que produen el alto grado de organzaón espaal que el embrón onstruye y que srve omo maro para desarrollar el ndvduo multelular EL CITOESQUELETO El toesqueleto (Fgura 1.) es vtal en múltples proesos elulares: -los mroflamentos son el andamaje meáno en los proesos de formaón y absorón de vesíulas ntraelulares, de endotoss y de exotoss. Son polímeros orgános que toman la forma de fbras poo rígdas organzadas en una red. Tambén onsttuyen el prnpal omponente del órtex, la regón del toesqueleto que proporona soporte y resstena a la membrana elular. -los mrotúbulos son de naturaleza pareda a los mroflamentos, pero más gruesos, hueos y más rígdos. La red de mrotúbulos es organzada por un orgánulo adyaente al núleo, el entrosoma. Los dstntos orgánulos se organzan espaalmente movéndose entre los mrotúbulos, que determnan su dsposón dentro de la élula. Muhas rutas metabólas se organzan medante los mrotúbulos, y además exsten proteínas que atúan omo motores que desplazan los orgánulos y orgnan fuerzas en el seno del toesqueleto. El alto nvel de organzaón de la élula euarota es deudor por tanto de su toesqueleto. -los flamentos ntermedos son, por el momento, poo omprenddos, aunque se ree que ayudan a fjar y dar onsstena a la morfología elular. En general, el toesqueleto es responsable de los ambos atvos de forma de las élulas euarotas: los axones neuronales tenen omo andamaje un haz de mrotúbulos, de forma smlar a los mrovellos (mrovll) de las élulas de la pared ntestnal, los pseudópodos se forman por remento oordnado de mrotúbulos y redes de mroflamentos, et

16 José Davd Fernández Rodríguez 1.4. LA CÉLULA EN BIOLOGÍA Fgura 1.. Componentes del toesqueleto Extraído de Se puede aprear la dsposón de las dstntas fbras onsttuyentes del toesqueleto: mroflamentos, mrotúbulos y flamentos ntermedos. Cada una tene una sere de funones espeífas y presenta patrones espaales araterístos. Otra funón mportante del toesqueleto es la de servr de sensor de fuerzas meánas para la élula. Así, por ejemplo, en una élula sometda a un fuerte estramento, la geometría de las redes de flamentos del toesqueleto amban, y proteínas aopladas a las fbras pueden detetar dho ambo y modfar fatores que afeten a la red de regulaón genéta, reaonando así la élula a la fuerza mpuesta [10] [11]. Esto es espealmente mportante durante el desarrollo embronaro, uando las élulas deben reaonar a ambos meános en su entorno de modo preso para ontnuar on el desarrollo. Fgura 1.3. Transduón meáno-metabóla Extraído de [10]. Al aplarse una fuerza que deforma la élula, el ambo meáno en el toesqueleto puede modular las reaones metabólas medadas por enzmas lgadas al msmo

17 José Davd Fernández Rodríguez 1.4. LA CÉLULA EN BIOLOGÍA MIGRACIÓN CELULAR Otro omportamento elular mportante es la mgraón por lamelpoda [15], que son un tpo espeal de pseudópodo muy anho y aplanado. En este tpo de pseudópodo, se forman redes de mroflamentos en forma de malla que reen protusonando el órtex elular. Esta red de mroflamentos se araterza por su modo de remento: ontnuamente se polmerza en el borde de avane y se despolmerza en el otro extremo. Fgura 1.4. Esquema del toesqueleto en la lamelpoda Extraído de La lamelpoda es una estrutura plana y anha formada por una malla de mroflamentos, que ree y hae avanzar la élula. Las adhesones foales son puntos en los que haes de mroflamentos se anlan a través de omplejos proteínos al sustrato por el que se mueve la élula. Los mrotúbulos proporonan puntos de apoyo que se mueven de forma relatvamente lbre por la élula Es mportante notar que, aunque el meansmo bológo subyaente es smlar en la mayoría de las élulas, la forma de loomoón medante lamelpoda varía enormemente, según -la adhesvdad de la élula al sustrato, o más apropadamente a ertas regones del sustrato. La élula desarrolla adhesones foales (omplejos proteínos que anlan partes del toesqueleto al sustrato en el que se mueve la élula), que permaneen anladas al sustrato mentras la élula se mueve y eventualmente quedan desplazadas a la parte trasera de la élula, retardando el movmento hasta que las lamelpoda desarrollan sufente fuerza meána omo para que se desensamblen. Las adhesones foales son mportantes prnpalmente en esta últma fase. -el nvel de organzaón de la red de mroflamentos. Redes altamente polarzadas y organzadas son típas de las élulas on alta nvel de motldad (a la vez que en éstas

18 José Davd Fernández Rodríguez 1.5. TENSEGRIDAD son raras las adhesones foales), mentras que redes altamente aleatoras son más propas de élulas de tejdo onjuntvo, omo los fbroblastos (en los que se forman muhas pequeñas protusones on un amplo rango de dreones, la mayoría de las uales fallan en fjarse y haer avanzar a la élula) TENSEGRIDAD El onepto de tensegrdad es dfíl de defnr de modo exato. En un prnpo lo auñó el arquteto Fuller para desrbr algunos trabajos de su alumno Snelson [7], en los que una red ompuesta de barras onetadas por ables es apaz de soportar argas estruturales a pesar de que los elementos apaes de resstr fuerzas ompresvas (las barras) no están onetados entre sí dretamente sno a través de ables. Es mportante que los ables estén tensados, de lo ontraro la estrutura es napaz de umplr lo anteror. Fgura 1.5. Estrutura tensegrtal Extraído de [7]. Una de las propedades más llamatvas de las estruturas tensegrtales es la maxmzaón de la rgdez on un mínmo de la masa, y arena de una estrutura sólda ontnua. Adeuadamente adaptado a dstntas áreas, el onepto de tensegrdad se ha revelado frutífero para modelar múltples sstemas. La lave está en que, aún en estado de reposo, la tensegrdad posee una erta energía nterna dervada de la tensón de los ables (y la onseuente ompresón de las barras). Este heho amba la respuesta meána del sstema de formas nsospehadas (emergentes). Así, por ejemplo, la olumna vertebral humana se ha onsderado tradonalmente omo una estrutura que soporta fuerzas puramente ompresvas (una suerte de andamaje), pero renterpretándola omo una estrutura tensegrtal en la que músulos y tejdo onjuntvo (elementos en tensón) onetan las vértebras

19 José Davd Fernández Rodríguez 1.5. TENSEGRIDAD (omponentes en ompresón) se desrbe de forma más apropada y exata su dnáma [9], que de heho es más flexble y soporta mayores argas que las que podría soportar un elemento puramente ompresvo omo antes se pensaba. Por otra parte, el msmo heho de almaenar energía hae valosas las estruturas tensegrtales omo modelos de sstemas bológos, ya que la alteraón de la onetvdad de la red (por ejemplo, que un able se suelte) o en las longtudes de ables o barras provoa un ambo de geometría en el que se lbera energía néta CÉLULA TENSEGRITAL El trabajo desarrollado por Ingber aumula evdena que permte vsualzar la élula omo una estrutura tensegrtal. En ella, los mrotúbulos atúan omo elementos ompresvos, mentras que los mroflamentos atúan omo elementos de tensón. Sobre el paradgma tensegrtal se ha modelado la respuesta meána de élulas asladas [8], de tejdos [13] y del sstema loomotor [9]. Así, por ejemplo, se ha demostrado que los mrotúbulos del toesqueleto deben buena parte de su resstena a la ompresón al refuerzo ausado por mroflamentos tensados y atados a su estrutura. Fgura 1.6. Esquema de élula tensegrtal Extraído de [7]. Los mroflamentos, relatvamente menos rígdos que los mrotúbulos, atúan omo tensores, mentras que los últmos quedan omprmdos, dando al onjunto del toesqueleto araterístas tensegrtales. Es por tanto deseable que un sstema que pretenda modelar el desarrollo embronaro sea lo sufentemente ro omo para nlur o por lo menos permtr que se formen estruturas tensegrtales

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21 José Davd Fernández Rodríguez.1. SISTEMA DE MUELLES. MODELO FÍSICO Una vez ntroduda la problemáta, pasaremos a desrbr el modelo físo utlzado. Nuestro objetvo es mtar dentro de ertos límtes el omportamento meáno elular, abrendo smultáneamente la posbldad de usar o generar estruturas tensegrtales. Las estruturas tensegrtales lásas se modelan a partr de ables y barras uya modelzaón y smulaón requere resolver la dnáma del sóldo rígdo. S ben en un prmer momento se exploró la posbldad de usar un modelo de este tpo, se desartó por varas razones: -la omplejdad nherente de la nemáta del sóldo rígdo es elevada -alto oste omputaonal -nadeuaón para modelar los aspetos vsoelástos de la élula..1. SISTEMA DE MUELLES Una smplfaón natural y muy frutífera, omo hemos poddo omprobar durante el desarrollo del proyeto, es la de onsderar no estruturas tensegrtales de ables y barras, sno de muelles en tensón y ompresón, respetvamente. Esto permte que el planteamento del problema sea más senllo, y la soluón numéra menos ostosa en térmnos omputaonales (salvo que los muelles sean muy rígdos). Así, en una prmera aproxmaón, nuestro modelo orresponderá a una smulaón de la físa newtonana de un onjunto de partíulas onetadas entre sí por medo de muelles deales. De este modo, en esta prmera aproxmaón nuestro modelo será un grafo G={N,A}, donde: -N es el onjunto de nodos o vértes. Los nodos se araterzan omo partíulas puntuales, y omo tales se les atrbuye un vetor de posón y otro de velodad. Asmsmo, todos poseen masa untara, on lo que la aeleraón que sufra ada uno será dénta a la fuerza aplada. Esta smplfaón tomada en prmera nstana no restrnge en prnpo las posbldades del modelo, pero de todas formas sería fál modfar el modelo para espefar la masa, s esto fuera neesaro posterormente. -A es el onjunto de arstas. Cada arsta es un muelle deal que obedee la ley de Hooke - 1 -

22 José Davd Fernández Rodríguez.1. SISTEMA DE MUELLES r r F = k X de modo que se araterza por su longtud real, que es la dstana entre las posones de los dos nodos que defnen la arsta, su longtud en reposo (aquella en que la energía potenal es 0), y su rgdez, que se defne medante la onstante k de la euaón de Hooke. La arsta es drgda, de modo que el par de nodos extremos es ordenado. (.1) Así pues, en nuestras smulaones los muelles ejererán en ada momento fuerzas sobre las partíulas stuadas en sus extremos, que a su vez se tradurán en aeleraón que modfará la velodad de las partíulas, que a su vez varará su posón, lo que fnalmente afetará a las longtudes de los muelles, alterando el juego de fuerzas que atúa sobre ada partíula. De este modo nuestro sstema es dnámo. No obstante, s la energía nal del sstema (ya sea debda a velodades nales no nulas, o a longtudes reales nales dstntas a las longtudes en reposo de los muelles) no se dspa por algún meansmo, el sstema nuna alanzará un estado de reposo. Dotando a las partíulas de una frón o vsosdad, manfestada omo una fuerza sobre ada partíula opuesta a su velodad r r F = V onseguremos dha dspaón de energía, y de heho podremos vsualzar nuestro grafo omo un sstema que evoluona en el tempo mnmzando su energía. En una prmera aproxmaón la amortguaón será onstante para todas las partíulas, pero s es neesaro podremos haerla espeífa para ada partíula, o para dferentes regones del espao, por ejemplo. (.) Los modelos desarrollados durante el proyeto son D, on el fn de ahorrar osto omputaonal y omplejdad en algunos de los problemas que habremos de resolver más adelante. No obstante, no hay problema en mgrar a 3D en el futuro uando así se estme neesaro, sendo trval la nlusón de la terera dmensón en el modelo en as todos sus aspetos. Formulándolo matemátamente, tendremos un modelo defndo por una sere de onstantes, varables (en el tempo) y restrones: - -

23 José Davd Fernández Rodríguez.1. SISTEMA DE MUELLES m p r y m v r y p r m m v r m v r x nodo m r m m [ p p ] m P = x, r y m m [ v v ] m V = x, y m p r x Fgura.1. Caraterzaón de una partíula Una partíula m se araterza por tener masa untara, y una posón m P r m y velodad V r defndas. -varables de la partíula m: vetores de posón -onstante de amortguamento de los muelles:. m P r m y velodad V r nodo m u r D d arsta D r nodo n r D = x y x x, d = D r = ( d x ) + ( d r r D ud = d x = r d y n m n m [ d, d ] = [ p p p p ] y ) y y Fgura.. Caraterzaón de un muelle Un muelle se araterza por areer de masa y poseer una longtud en reposo r y una rgdez partíulas m y n en los extremos nal y fnal, respetvamente, y un vetor de dreón las posones de dhas partíulas k, dos D r defndo por -onstantes del muelle : longtud en reposo -vetor r, rgdez k. D r de dreón del muelle, uyas partíulas son (m,n), en los extremos nal y fnal respetvamente. A partr de éste, defnmos el vetor untaro de msma dreón u r D -longtud real del muelle -dferena d para el muelle, uyos extremos son las partíulas m y n. x entre la longtud en reposo y la longtud real del muelle. -fuerzas r m m [ F F ] m F u D k x = x, r = r y n n [ F F ] n F u D k x = x, = r m F r y y (.3) (.4) n F r (Fgura.3) ejerdas por el muelle en las partíulas (m, n) de sus extremos nal y fnal respetvamente. Para la fuerza en la partíula del extremo - 3 -

24 José Davd Fernández Rodríguez.1. SISTEMA DE MUELLES fnal nvertmos el sgno debdo a que los álulos se haen on un sstema de referena onvenonal para la partíula del extremo nal, de modo que para la partíula del extremo fnal la fuerza está nvertda. d d x > 0 r x < 0 tensado r omprmdo m u r D n m u r D n m F r n F r m F r n F r Fgura.3. Fuerzas ejerdas por un muelle Las fuerzas ejerdas por el muelle sobre las partíulas m y n de sus extremos son proporonales a la perturbaón x de la longtud en reposo, y de sgno ontraro a ésta. -fuerza r F m = r F m r V m (.5) m F r sufrda por la partíula m, donde la fuerza que ejere un muelle sobre una partíula que no es nnguno de sus extremos es nula, donde tenemos en uenta tanto las fuerzas ejerdas por los muelles omo las de amortguamento. r m m m m -aeleraón A F = [ a, a ] = r x y sufrda por la partíula m, habda uenta que las partíulas tenen masa untara. Una vez araterzado matemátamente el modelo, y tenendo en uenta que para toda &r r m m &r r m m partíula m P = V y que V = A son el onjunto de euaones dferenales que desrben la dnáma del sstema, podemos smular la evoluón temporal de un sstema de muelles on ualquer método de ntegraón numéra de euaones dferenales de prmer orden. Una uestón mportante es la duraón de la smulaón: Las smulaones físas nos nteresan en uanto se produzan ambos geométros en el sstema, esto es, en las posones de las partíulas (en otras palabras, que se estable el sstema). Es deseable - 4 -

25 José Davd Fernández Rodríguez.. DINAMIZACIÓN DEL MODELO defnr una ondón de parada para las smulaones que nos permta avanzar la smulaón hasta que se estable. Una forma senlla de plantear dha ondón es medante la energía del sstema: E = partíula m r V m + muelle k ( x ) defnda omo la suma de las energías néta de las partíulas y potenales de los muelles (nótese que la defnmos de forma aproxmada, sn usar los oefentes de multplaón exatos). La energía se va dspando debdo al amortguamento del sstema, por lo que deree onforme avanza la smulaón, hasta que el sstema alanza una onfguraón geométra estable y deja de dsparse (o lo hae a un rtmo muy lento). Así podemos estmar que el sstema se ha establzado uando la varaón de energía sea 0, o al menos lo sufentemente pequeña. Un algortmo que smule el sstema hasta que se estable medante este rtero se defne usando dos parámetros ambo de energía por paso de smulaón): T δ (paso de smulaón) y (.6) E MAX (máxmo Cuadro.1. Pseudoódgo para smulaón on establzaón del sstema Este algortmo permte prolongar el tempo de smulaón hasta que el sstema se estable E nal = E(t) E T = E MAX MIENTRAS E E T MAX Smular la evoluón del sstema durante un lapso T δ E fnal = E(t) (nrementamos t en una antdad T δ ) E T = E fnal Enal =.. DINAMIZACIÓN DEL MODELO Con el modelo de muelles desrto hasta ahora podemos defnr una onfguraón nal y smular su evoluón temporal hasta que se estable. Esto se tradue en expermentos puramente pasvos, en el sentdo de que lo úno que se smula es la meána de un sstema uya onfguraón está totalmente predetermnada. Como muho, se puede segur un proeso dsreto teratvo en el que se smulan ortos ntervalos de tempo, varando los parámetros de smulaón de forma nstantánea entre dhos ntervalos. Esto es ndeseable debdo a que este - 5 -

26 José Davd Fernández Rodríguez.. DINAMIZACIÓN DEL MODELO tpo de varaones nstantáneas produen nestabldades en el sstema que pueden ondur a omportamentos no deseados. Esto se debe a que se puede ntrodur en el sstema de manera nstantánea la antdad de energía sufente para que se produza un ambo geométro ndeseable. No obstante, nuestro modelo físo debe servr omo sustrato para dseñar agentes (modelos de omportamento elular) que nteraonen on su entorno físo, no que se lmten a segur una onfguraón predetermnada. La dea es que se puedan realzar varaones en los parámetros del grafo de muelles que engendren ambos geométros en el msmo. A grandes rasgos, se onsderaron las sguentes opones: 1. ambo y perturbaones de las longtudes en reposo r de los muelles.. ambo y perturbaones de las onstantes de rgdez k de los muelles. 3. ambos y perturbaones en las posones, velodades y aeleraones de las partíulas. 4. ambos en el grafo de muelles (ambo de onetvdad, adón o elmnaón de partíulas y/o muelles). La opón se desartó eventualmente debdo a que ya se obtenían buenos resultados on la opón 1 y a que omplaba nneesaramente el dseño de los modelos. Las opones 1 y 3 se pueden desrbr omo proesos de perturbaón, de modo que de forma gradual o nstantánea se modfan algunos parámetros del modelo. Se ontemplaron en dos modaldades de ambo: -ambos dsretos: presentan los problemas de nestabldad desrtos anterormente. -ambos ontnuos: Dsmnuyen (aunque no elmnan) los resgos de nestabldades que presentan los ambos dsretos. Para los ambos en las partíulas, se ntroduen parámetros en la smulaón on los sguentes efetos: - 6 -

27 José Davd Fernández Rodríguez.. DINAMIZACIÓN DEL MODELO r &r m P( t) V ( t) = r m VF s s t VF m t VF m (.7) r A m &r V ( t) ( t) = 0 s s t VF m t VF m -aplar a las partíulas velodades forzadas unformes (que pueden ser nulas, para nmovlzar la partíula) durante perodos aotados de tempo. Es der, aplar a las partíulas una nemáta unforme sn tener en uenta las leyes newtonanas del movmento. Esto se mplementa modfando la ntegraón numéra en el ntervalo forzado VF m, durante el ual se asgna dretamente la velodad forzada apla aeleraón alguna. (.8) m V r F y no se r A m &r V ( t) ( t) = &r V ( t) + A m F s s t AP m t AP m -aplar a las partíulas perturbaones en su aeleraón durante perodos aotados de tempo, sumadas a las aeleraones newtonanas del sstema. Esto se mplementa modfando la ntegraón numéra en el ntervalo perturbado se suma una perturbaón m A r F a la aeleraón. (.9) AP m, durante el ual Para los ambos en las longtudes en reposo de los muelles, hae falta ntrodur en el modelo un nuevo onjunto de euaones dferenales, una por ada muelle, que desrban la evoluón temporal de sus longtudes en reposo: r& = f ( t, sstema). Así podemos mplementar toda una varedad de efetos físos, que ntroduremos más adelante uando sea neesaro. Mentras tanto, asumremos que salvo perturbaón explíta las euaones desrben r estátas, esto es, que por defeto 0 r& =. Las modfaones en las r se mplementan entones medante el senllo expedente de aplar perturbaones en sus respetvas dervadas r& (es der, sumarles determnados oefentes) durante perodos aotados de tempo. Naturalmente, esta flexbldad añadda tene un oste: la smulaón será omputaonalmente más ostosa debdo a las varables extra que tendrá que manejar el ntegrador numéro, nluso aunque no se varíen las r

28 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS En uanto a la opón 4, es de naturaleza puramente dsreta, y además sólo abe mplementarla medante ambos dsretos, debdo a que modfar el grafo de muelles omporta modfar los parámetros de la smulaón así omo la antdad de varables smuladas, lo ual no podemos realzar on las herramentas estándar de ntegraón que nos proporona MATLAB..3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS El modelo desrto hasta ahora permte representar estruturas deales, de modo que un objeto puede desrbrse medante un onjunto de partíulas onetadas medante muelles. Pero no nos hemos oupado de un aspeto muy mportante en la nteraón entre objetos: tal y omo se ha desrto hasta ahora, el sstema no mpde que varos objetos oupen el msmo espao smultáneamente, superponéndose entre sí. Claramente esto no es realsta, hemos de nlur algún medo para que no sueda, de forma que uando dos objetos se aerquen entre sí hoquen en vez de segur avanzando. Éste fue uno de los aspetos más omplados del modelado, por uanto no hemos enontrado en la bblografía modelos de hoque totalmente satsfatoros para las araterístas de nuestro modelo de muelles y por el ontraro hemos debdo desarrollar uno a la medda. Certamente la dnáma del hoque entre sóldos está amplamente desarrollada y hay buena bblografía sobre la msma [5] [], pero en su nmensa mayoría está pensada para otro tpo de smulaones muho más mnuosas y pesadas, además de no usar abstraones smlares a las nuestras (y por añaddura buena parte de la bblografía está enfoada haa sóldos rígdos, no haa deformables basados en mallas de partíulas). Dado nuestro modelo de smulaón, nuestras soluones deben estar enfoadas al nvel del hoque entre las partíulas onsttuyentes del objeto, mezlando en erta medda enfoques dsretos y ontnuos. La estratega bása para mpedr la superposón de objetos en nuestro modelo es mpedr que las partíulas de ada objeto nvadan el espao nteror del otro. A nvel de meána newtonana, esto debe tradur en un meansmo que guale las velodades de dhas partíulas eranas entre sí uando estén a punto de o hayan penetrado ya el otro objeto

29 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS Partíulas uyas velodades relatvas deben ontrolarse Fgura.4. Prevenón de superposón Dado que los objetos son entdades ompuestas, los rteros de superposón deben ser defndos al nvel de sus onsttuyentes. Por senllez, sólo se onsderan las partíulas, no los muelles a la hora de defnr los algortmos de prevenón de superposón. Esto se debe tradur en un ontrol estrto de las velodades relatvas de las partíulas de objetos en resgo de superposón. El problema de la superposón presenta varas dfultades a resolver relatvas a la efena, ndependentemente del meansmo onreto mplementado: -La ondón de on respeto a qué se determna s una partíula de un objeto ha penetrado en el espao de otro objeto. Lo más senllo es medr las dstanas entre los puntos de objetos eranos, mentras que lo más exato pero tambén más omplado y ostoso es medar las dstanas no sólo entre puntos eranos, sno entre puntos de un objeto y muelles más exterores del otro. Aunque la prmera opón tene desventajas evdentes en uanto a exattud y resgo de errores s los puntos están demasado espaados entre sí, fue la esogda desde el prnpo por senllez. -La determnaón de uándo dos partíulas perteneentes a dstntos objetos están lo sufentemente era omo para que los meansmos ontra la superposón entren en efeto. El problema tene una omplejdad asntóta O(n ), lo que hae reomendable que no se montore en ada paso de smulaón físa, sno que se use el habtual esquema de troear la smulaón en segmentos, al prnpo de ada ual se omprueba s dos partíulas perteneentes a dstntos objetos están lo sufentemente era omo para que durante todo el sguente segmento de smulaón se aplquen meddas de prevenón ontra la superposón. Esto tene la nevtable desventaja de que la superposón puede ourrr s dos objetos eranos adqueren la sufente energía omo para que las partíulas de sus bordes se aerquen y se penetren en un perodo de tempo menor a un segmento de smulaón. -Evtar la superposón de dos objetos es una aón de naturaleza esenalmente no lneal, ya que no debe atuar a larga o meda dstana, mentras que se debe onvertr en el efeto domnante a orta dstana, reendo de forma arbtrara según reza la - 9 -

30 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS fuerza de otros efetos, para ontrarrestarlos (aquí resde la prnpal falta de lnealdad). Esto presenta un mportante problema en osto omputaonal, debdo a que a menos que el meansmo ontra la superposón se dseñe udadosamente, la no lnealdad del sstema provoará fuertes varaones en las varables smuladas que oblgarán al algortmo de ntegraón numéra a usar pasos exesvamente pequeños, arrunando la efena. -No sólo se debe atuar para mpedr la superposón, estorbando que ésta se produza, sno nfluyendo atvamente el movmento de las partíulas para que éstas se alejen s están demasado era. Esto es deseable debdo a que la ntegraón numéra puede ntrodur errores sstemátos que onduzan a la superposón, s no se orrgen atvamente. Muelles nsertados ante la eranía de estas dos partíulas Fgura.5. Inserón de muelles ontra la superposón Un prmer enfoque ontra la superposón onsste en nterponer muelles muy rígdos entre las partíulas lo bastante eranas omo para estar en resgo de superposón, y entre éstas y sus respetvas venas, para dar resstena ontra las fuerzas de zalladura que puedan forzar una superposón. En un prnpo se pensó omo meansmo ontra la superposón en la nserón de muelles entre partíulas próxmas de objetos dstntos. Se trata de una eleón habtual en smulaones de sóldo rígdo. Estos muelles deben ser onsderablemente más rígdos que los de los objetos en olsón, y para evtar fuerzas de zalladura en ondones de gran ompresón, deben nsertarse entre las partíulas en pelgro de superposón y entre éstas y las venas nmedatas. Esta soluón tene varos problemas que nos llevaron a deseharla: -Se trata de un meansmo estrtamente lneal (a no ser que varáramos dnámamente la rgdez de los muelles nsertados), que en stuaones de alta ompresón falla para evtar fuerzas de zalladura que eventualmente onduen a la superposón de los objetos

31 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS -Cuando se produe una pequeña superposón los muelles nsertados, al tender a separar las partíulas que onetan, tenden a agrandarla, empeorando el problema. -Los muelles estorban no sólo la superposón de objetos, sno ualquer tpo de movmento relatvo entre los objetos: desplazamento lateral, alejamento.3.1. MECANISMO DISEÑADO: ARMONIZACIÓN Después se probaron suesvamente varos esquemas ontra la superposón, que se fueron refnando suesvamente desde soluones medores y físamente extrañas hasta onsegur un ompromso entre un razonable osto omputaonal, efaa ontra la superposón y fundamentos físos sóldos. Componentes tangentes nalteradas Velodades antes del hoque Componentes normales promedadas Velodades después del hoque Fgura.6. Choque nelásto En el hoque nelásto, los objetos omparten sus movmento en la normal de la superfe de hoque. Podemos extrapolar este omportamento de los sóldos rígdos a nuestro modelo de partíulas, defnendo la superfe de hoque entre dos partíulas según las superfes de los objetos de los que forman parte. Fnalmente se llegó a dseñar un meansmo que modela en erta medda el hoque nelásto entre dos partíulas. Los detalles son sumamente proljos, por lo que antes desrbremos brevemente el hoque nelásto para mostrar la dea general. Cuando dos objetos sufren este tpo de hoque, sus velodades amban de tal modo que las omponentes quedan nalteradas en la dreón tangente a la superfe de ontato y promedadas en la dreón normal. Partmos de un enfoque dsretzado, en el que se troea la smulaón físa en ntervalos unformes. Al omenzo de ada ntervalo se determnan las partíulas de objetos dstntos que

32 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS están exesvamente eranas entre sí, obtenéndose una lsta de pares de índes de partíulas: N 1 N que luego será usada durante la smulaón físa para omprobar s las partíulas de dhos pares están en resgo de superposón. A ontnuaón desrbremos el proedmento ontra la superposón realzado en ada paso de ntegraón del sstema: Vérte veno sguente( j ) Vérte onsderado j Tangente anthorara: T r j Vérte veno anteror( j ) Fgura.7. Vetor tangente anthoraro Defnmos un vetor tangente a la superfe del objeto en la posón de la partíula en uestón, realzando una aproxmaón dsreta de la urvatura loal. r r r j sg j ) ant( j ) T = P P = ( t x ( j j -determnamos el vetor tangente, t y ) j T r (Fgura.7) de ada partíula ( j ) onsderada respeto a la superfe exteror del objeto al que pertenee. Dado que el objeto es de naturaleza dsreta, la tangente se aproxma omo el vetor entre las partíulas venas de la partíula onsderada, tomando la onvenón (salvo exepones que desrbremos posterormente) de que tenga sentdo anthoraro. r N j = ( t y j, t x j ) -gramos dho vetor 90º en sentdo anthoraro (Fgura.8), dando lugar a un vetor normal j N r que apunta al nteror del objeto

33 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS Normal nteror N r j Tangente anthorara j T r Fgura.8. Vetor normal nteror Grando la tangente en sentdo anthoraro, obtenemos una aproxmaón al vetor normal de la superfe del objeto en la posón de la partíula. Al ontraro de la onvenón usual, este vetor apunta al nteror del objeto. r r r, ) 1 N = N N = ( n, n ( 1 ( 1, ) ( 1, ) x y -para ada par de partíulas suseptbles de superposón, obtenemos un vetor ) N r ( 1, ) (Fgura.9) que desrbe la normal entre las superfes en pelgro de superposón, es der, un vetor que marque la dreón normal de la superfe de ontato entre ambos objetos. Este vetor lo obtenemos restando el vetor normal de la prmera partíula del par al vetor normal de la segunda, y está orentado haa el exteror del objeto de la prmera partíula. Esta operaón proporona una normal promedo entre ambas normales, que nos proporona la orentaón en la ual las partíulas no deben aerarse. En un prnpo puede pareer una omplaón nútl respeto al vetor dferena de posón de ambas partíulas. Partíula 1 1 Partíula Vetor tangente 1 1 T r Vetor tangente T r Vetor de normal de ontato N r ( 1, ) Fgura.9. Vetor de normal de ontato Tomamos una normal de ontato o hoque entre ambas partíulas restando entre sí las normales de ada partíula. Esta operaón tene el efeto de promedar las dreones de ambas normales. Pero omo se puede aprear en la Fgura.10, onsderar las dferenas relatvas en posón, velodad y aeleraón entre ambas partíulas es más exato a lo largo de la normal de ontato que a lo largo de la dferena en posón de las partíulas, ya que la prmera

34 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS aerta en más asos en desrbr la dreón en la que las partíulas no pueden avanzar para que no se produza la superposón. Normal de ontato Dreón de la dferena de posones entre ambas partíulas Fgura.10. Ventajas de la normal de ontato S la urvatura de la superfe del objeto es lo bastante suave omo para se dsretzada sn exesvo error por las tangentes defndas en la Fgura 1.1, el vetor de normal de ontato proporona nformaón más exata sobre el resgo de superposón que el vetor de dferena de posones entre ambas partíulas. Esto se debe a que uando una partíula de un objeto se halla aproxmadamente entre otras dos de otro objeto, el vetor dferena no permte dsernr sobre una posble penetraón en el nteror del objeto, mentras que el vetor normal sí. Partíula 1 1 Partíula Vetor de posón relatva P r R ( 1, ) Fgura.11. Vetor de posón relatva Al ontraro de lo que pueda pareer en el dbujo, el vetor de posón relatva de un par de partíulas no tene por qué ser exatamente antparalelo a la normal de ontato, aunque sí aproxmadamente antparalelo. r P R r = P ( 1, ) 1 r P -para ada par de partíulas obtenemos la posón relatva P r. ( 1, ) R -gramos el vetor de posón relatva (Fgura 1.1 y Cuadro.), y las velodades y (, ) aeleraones de ada partíula de ada par según el negatvo del ángulo 1 α del vetor normal de ontato de ada par. Medante esta manobra onsegumos desomponer fálmente dhos vetores en omponentes paralelas y perpendulares (tradudas tras el gro en sus omponentes X e Y) a la normal de ontato de ada par, ya que el gro tene el efeto de haer ondr la dreón de dho vetor on la del eje X. Por lo tanto, para evtar la superposón de los objetos vamos a atuar sobre las omponentes X de estos vetores

35 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS α normal de ontato ( 1, ) N r ( 1, ) Vetor antes del gro α ( 1, ) Vetor después del gro La nueva omponente X yae paralela a la normal de ontato Fgura.1. Gro de los vetores Rotamos nuestro sstema de oordenadas según la orentaón de la normal de ontato. Esto nos permte sabe fálmente, en funón de la magntud y el sgno de las omponentes X de los dstntos vetores rotados, s las partíulas ya se han aproxmado demasado (posones), se están aproxmando (velodades), o tenden a aproxmarse (aeleraones). Por ejemplo, al ser aproxmadamente antparalelos los vetores normal de ontato y posón relatva (Fgura.11), la omponente X de este últmo debe ser negatva en ondones normales, o postva s hay resgo grave o ya se ha produdo superposón. N r Cuadro.. Euaones de gro En este uadro presentamos las euaones que usamos para grar el sstema de oordenadas. El vetor ( 1, ) α ( 1, ) tene un ángulo. Defnmos GIRO, un operador que gra vetores, y lo usamos para grar (, ) los vetores de posón, velodad y aeleraón según - 1 α. sen α ( 1, ) = n r N ( 1, ) y ( 1, ) os α ( 1, ) = n r N ( 1, ) x ( 1, ) osα senα vetorx GIRO ( Vetor, α ) = senα osα vetory r r, ) ( 1, ) ( 1, ) ( 1, ) P = GIRO( P, α ) = ( p, p ( 1 ( 1, ) R G R R G x R G y j j (, ) V G = GIRO( V, α ) = ( v G x, v G y 1 j j j j (, ) A G = GIRO( A, α ) = ( a G x, a G y 1 j j ) ) ) v 1 P x 0 = 0.1 ( 1, ) ( p + L ) R G x mn s s p p ( 1, ) R G x ( 1, ) R G x + L + L mn mn 0 > 0 (.10) v P x = 0.1 ( 1, ) 0 s ( pr G x + Lmn 0) ( VF) ( 1, ) ( 1, ) ( p + L ) s ( p + L > 0) ( VF) R G x mn R G x mn (.11) -en el aso de las posones relatvas P ( 1, ) R, éstas deben tener una omponente X negatva (ya que el vetor está orentado aproxmadamente de la segunda partíula a la prmera, al

36 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS revés que la orentaón de la normal de ontato, de la prmera partíula a la segunda). S los valores negatvos son nferores en valor absoluto a una dstana mínma L mn o son postvos es que hay resgo de superposón o ésta se ha produdo ya. En tales asos, añadmos a las velodades de ada partíula una pequeña perturbaón en la omponente X que tendan a separarlos, v j P x (Fgura.13). Dha omponente tendrá un valor proporonal a la dstana entre ambas partíulas (es der, a su dstana en la normal de ontato). Además, en el aso de que la segunda partíula tenga velodades forzadas (perteneza al onjunto VF), no le aplamos velodad de penalzaón para no varar la nemáta programada (más adelante explaremos que la prmera partíula de ada par nuna tene velodades forzadas). Partíula 1 1 Partíula Sgno de la omponente X del vetor ( 1, ) P R G : Normal de ontato N Posón relatva P ( 1, ) ( 1, ) R G x p ( 1, ) R G x < Partíula 1 Partíula 0 Velodades 1 V G y V G p ( 1, ) R G x > 0 S la posón relatva nda que las partíulas están muy era o ya ha habdo superposón: Penalzaones a las velodades 1 v P x y v P x Partíula Partíula 1 Fgura.13. Penalzaón de velodades Aón de orreón para un par de partíulas uya posón relatva en la dreón de la normal de ontato (omponente X tras el gro de la Fgura.1) ndque que están muy próxmas o que puede que ya haya ourrdo nterpenetraón (valores negatvos pequeños o postvos, respetvamente). En tal aso, nlumos una orreón manpulando dretamente la velodad de las partíulas, de modo que tendan a alejarse. Esta orreón se realza en velodad en lugar de en aeleraón para ontrolarla de modo más exato. v a ( 1, ) 1 R x = v G x v G x ( 1, ) 1 R x = a G x a G x -obtenemos ( 1, ) v R x y ( 1, ) a R x (Fgura.14), las velodades y aeleraones relatvas en la nueva omponente X (dreón de la normal de ontato) entre ada par de partíulas

37 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS restando ada valor de la segunda partíula a la prmera, de modo que estos valores ndan las velodades y aeleraones on las que la prmera partíula tende o no a aerarse a la segunda. Cuando dhos valores sean postvos es que tenden a la superposón (ya que s son postvos en la normal de ontato, es que se están aproxmando), y por lo tanto habrá que atuar sobre ellos, para haerlos nulos, armonzando los movmentos de ambas partíulas. Partíula 1 1 Partíula Normal de ontato N ( 1, ) Velodades/Aeleraones 1 A G, 1 V G, V G / A G Velodades/Aeleraones relatvas en la omponente X ( 1, ) ( 1, ) v R x / a R x Fgura.14. Velodades y aeleraones relatvas de aproxmaón Tras grar el sstema de oordenadas, la velodad y aeleraón relatvas en la omponente X nda s las partíulas se están aproxmando (velodad) o tenden a aproxmarse (aeleraón). Por el onveno esogdo para alularlas, valores postvos ndan pelgro de aproxmaón, ya que en aso de ser postvos, tendrán el msmo sentdo que la normal de ontato. En este momento hay que dstngur varos asos posbles (sntetzados en el Cuadro.3) según las velodades de las partíulas sean forzadas o no: -ambas partíulas del par tenen velodades forzadas: 1, VF. Este aso nuna lo ontemplaremos, pues en prnpo no será neesaro, n tampoo está laro ómo debería tratarse. -la segunda partíula tene velodad forzada y la prmera no (Fgura.15), nvertmos s es neesaro los papeles para que no se dé la stuaón smétra: 1 VF, VF. En este aso, la partíula forzada debe ejerer una perturbaón rresstble sobre la no forzada, de modo que no se produza superposón. Esto se tradue en que para la prmera partíula, en la omponente paralela a la normal de ontato, elmnamos la

38 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS aeleraón y asgnamos a su velodad el msmo valor que la de la forzada. De este modo nos aseguramos de que ambas partíulas no se puedan segur aerando. -ambas partíulas areen de velodades forzadas (Fgura.16). En tal aso, para que no haya resgo de superposón, hemos de armonzar el movmento de ambas partíulas en la dreón de la normal de ontato, lo que se tradue en promedar sus velodades y aeleraones sobre el eje X. Cuadro.3. Euaones de armonzaón En este uadro presentamos las euaones de armonzaón de velodades y aeleraones para los pares de partíulas ( 1, ), de manera que reemplazando las omponentes j G x v y j G x a por j A x v y j A x a, armonzamos los movmentos de las partíulas en el eje X grado (es der, en la dreón de la normal de ontato), on lo que elmnamos o por lo menos mnmzamos el resgo de superposón. > > + = ) ( 0) ( ) ( 0) ( 0 ), ( ), ( ), ( VF v s VF v s v s v v v v v x R x R x R G x G x G x G x A x > > + = ) ( 0) ( ) ( 0) ( 0 0 ), ( ), ( ), ( VF a s VF a s a s a a a a x R x R x R G x G x G x A x > + = ) ( 0) ( ) ( 0) ( ), ( ), ( VF v s v v VF v s v v x R G x G x x R G x A x > + = ) ( 0) ( ) ( 0) ( ), ( ), ( VF a s a a VF a s a a x R G x G x x R G x A x

39 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS Partíula 1, no forzada: VF 1 Partíula, forzada: VF Partíula 1 Partíula Partíula 1 Velodades antes de modfar la 1ª Aeleraón antes de modfar la 1ª Velodad después de modfar la 1ª Aeleraón después de modfar la 1ª v 1 A x v A x a 1 A x = 0 Velodades y aeleraones armonzadas Fgura.15. Armonzaón de movmentos (1) Una partíula on velodad forzada y otra lbre están aproxmándose on resgo de superposón según ndan sus velodades o aeleraones relatvas. Reordemos que a las partíulas forzadas se les espefa una nemáta exata e namovble sn tener en uenta las fuerzas y efetos físos ejerdos sobre ellas. Por tanto, s exste resgo de superposón, la partíula no forzada debe adoptar la nemáta de la forzada en la dreón de la normal de ontato (omponente X tras el gro), que es la que on más exattud nda la dreón en la que puede ourrr la superposón. Esto mpla asgnarle en la omponente X la velodad y aeleraón (nula) de la partíula forzada. Partíula 1, no forzada: VF 1 Partíula, no forzada: VF Partíula 1 Partíula Velodades/Aeleraones antes de modfarlas Velodades/Aeleraones después de modfarlas v, a 1 A x 1 A x v, A x a A x Fgura.16. Armonzaón de movmentos () Dos partíulas, ambas no forzadas, están aproxmándose on resgo de superposón según ndan sus velodades o aeleraones relatvas. Tratamos por separado velodades y aeleraones, de modo que s la velodad de aproxmaón relatva es postva, promedamos la velodad en la omponente X, y haemos lo msmo en el aso de las aeleraones. S no lo es, no se modfan

40 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS En prnpo, s susttumos los valores v j G x y a j G x por sus homólogos armonzados v j A x y a j A x, y después deshaemos la rotaón del sstema de oordenadas, deberíamos de onsegur vetores de velodad y aeleraón tales que mpderan la superposón sn problemas. No obstante, este enfoque tene el problema de ser altamente no lneal: en un ntervalo de smulaón físa dos objetos pueden estar era pero no tanto que se deba prevenr su superposón, y al sguente estar ya muy era y por lo tanto ver drástamente alterado su movmento. Esta no lnealdad provoa efetos ndeseables: -a vees el ambo es tan bruso que el ntegrador numéro debe dsmnur el paso de smulaón físa demasado, arrunando la efena. -dos objetos pueden oslar durante varos ntervalos de smulaón entre estar o no lo sufentemente era omo para que se les aplque la armonzaón, dando lugar a ambos de movmento espuros. Para mnmzar este problema lnealzamos la aplaón de la armonzaón, de forma gradual ( 1, ) (Fgura.17 y Cuadro.4, nótese que en runstanas normales p < 0, por lo que las ondones pueden a prmera vsta pareer nvertdas). Usamos una ombnaón lneal entre R G x j G x las velodades/aeleraones nales ( v, j G x j A x a ) y las armonzadas ( v, a j A x ) de modo que uando las partíulas están relatvamente lejos el efeto de armonzaón atúa muy levemente, y onforme se aeran las partíulas va ganando mportana, hasta que es el efeto domnante s la dstana es muy pequeña o nluso ya se ha produdo superposón. Además, nlumos las velodades de penalzaón omo meansmo de ontrol de superposón ante errores en el ntegrador numéro. Es mportante destaar que en este maro, uando nos refermos a eranía o lejanía nos estamos refrendo a la medda sobre la normal de ontato, que omo ya explamos anterormente es una medda más fable que la dstana real entre ambas partíulas

41 José Davd Fernández Rodríguez.3. SUPERPOSICIÓN DE OBJETOS p ( 1, ) R G x < 0 p ( 1, ) < L R G x max no se apla armonzaón p ( 1, ) R G x < 0 L max p ( 1, ) < L R G x mn se apla armonzaón gradualmente p ( 1, ) R G x < 0 L mn ( 1, ) p R G x se apla armonzaón totalmente L max L mn FACTOR F ( 1, ) 1 p (ntensdad de la armonzaón) ( 1, ) R G x L max L mn Fgura.17. Lnealzaón de la armonzaón de movmentos El efeto de armonzaón tene un aráter maradamente no lneal, que en nuestra mplementaón puede manfestarse omo mportantes ambos en las restrones nemátas de las partíulas de un ntervalo de smulaón al sguente, lo que mpla un aspeto vsual poo estéto e nestabldad en los álulos. Para mnmzar este problema, lnealzamos el efeto de armonzaón, aplándolo de forma progresvamente más ntensa onforme las partíulas se aeran, hasta que uando estén lo sufentemente era se apla por ompleto e mpde que ontnúe el proeso de superposón. Cuadro.4. Euaones de lnealzaón de la armonzaón j j En este uadro presentamos las euaones medante las uales obtenemos v y a A x L G j L G L G x L G x a partr de j j y a. Fnalmente obtenemos los vetores V r y A r, que desrben las velodades y aeleraones orregdas de las partíulas (aunque están expresados en el sstema de oordenadas grado). v j A x F (, ) 1 0 ( p = L 1 1, ) R G x max + L L mn max s s s p ( 1, ) R G x L p max ( 1, ) R G x < L < p ( 1, R G x > L max mn ) < L mn j ( 1, ) j ( 1, ) v L x = F va x + (1 F ) j ( 1, ) j ( 1, ) a L x = F aa x + (1 F ) r j j V = ( v + v L G r j A = ( a L G P x j L x, a j L x j G y ), v j G y ) v j G x a j G x

42 José Davd Fernández Rodríguez.4. IMPLEMENTACIÓN V j L r = GIRO( V j L G, α ( 1, ) ) (.1) j j A L = GIRO(A L G, α ( 1, ) ) (.13) Y fnalmente obtenemos los vetores orregdos para la velodad ( V ) y aeleraón ( A ) tras deshaer la rotaón que nos permtó tratar a las omponentes X de los vetores omo los valores que había que armonzar para mpedr superposones. Estos vetores determnan para las partíulas una nemáta tal que no se produza superposón, al menos en térmnos estrtamente loales. j L j L Así termnamos de desrbr el meansmo de armonzaón de velodades y aeleraones, que omo ya omentamos al prnpo está nsprado en el hoque nelásto. En prnpo, la físa del hoque nelásto no se refere a la manpulaón de aeleraones sno sólo de velodades, pero en nuestro modelo sí que las armonzamos para ejerer el ontrol de superposón más efazmente (al nlur dervadas de mayor orden) y prevenr los errores numéros en que pueda nurrr el ntegrador al ntegrar las velodades respeto a las aeleraones. Aún exsten otros meansmos físos por explar, pero dado lo espealzado de su neesdad y uso los explaremos más adelante, uando sea neesaro..4. IMPLEMENTACIÓN Usamos MATLAB R006b (versón ) omo entorno de desarrollo. Este lenguaje tene un nvel de abstraón relatvamente bajo además de areer de meansmos de tpado apropados, pero aporta omo ventajas la rapdez de prototpado y la vetorzaón mplíta de los álulos. MATLAB trae ntegradas una sere de funones de ntegraón de sstemas de euaones dferenales ordnaras (ODE) uya nterfaz guará nuestra mplementaón del sstema. La eleón de la funón de ntegraón dependerá del sstema a smular. S no neestamos muha presón podemos usar ode3, para un nvel de presón normal ode45, y s nuestro modelo es numéramente rígdo (stff), lo ual puede ourrr ante muelles muy rígdos, - 4 -

43 José Davd Fernández Rodríguez.4. IMPLEMENTACIÓN smulaones en las que la longtud real de un muelle se aproxma a 0, o se ntrodue gran antdad de energía en el sstema, ode15s. Las funones odexxx ntegran sstemas de euaones dferenales ordnaras de prmer orden defndos medante funones que deben ser de la forma salda = sstema(t, entrada, otros_parámetros) donde t es la varable de ntegraón (en nuestro aso el tempo), entrada es un vetor olumna que ontene las varables que se están ntegrando (en nuestro aso, posones y velodades de partíulas y longtudes en reposo de muelles), salda es otro vetor olumna que ontene las dervadas respeto al tempo de entrada, defndas por el sstema de euaones, y otros_parametros son parámetros que podemos onfgurar para que odexxx los pase a nuestra funón (no se pueden modfar durante la ejeuón de la odexxx). La efena es uno de nuestros objetvos prortaros. Para ello, hemos de vetorzar el ódgo al máxmo, esto es, formular los álulos omo operaones entre matres evtando los bules, las sentenas ondonales y los tpos de datos no smples (estruturas, matres elulares) en la medda de lo posble. No obstante, hemos nludo en nuestro modelo multtud de araterístas, ada una de las uales requere desde unos poos parámetros generales hasta un parámetro por ada partíula o muelle. Por ello, hemos de llegar a un ompromso entre efena y la neesdad de mantener una mínma estrutura en la organzaón de los tpos de datos y en los algortmos. Estamos nteresados en smular sstemas bajo las sguentes ondones: -perodos de tempo dretamente aotados o hasta que el sstema se estable. -obtener sólo el resultado fnal, o ben todos los pasos de ntegraón usados por la funón odexxx, o ben pasos de ntegraón on ntervalos temporales fjos. -vsualzar gráfamente los resultados de la smulaón ofreendo la máxma antdad de nformaón vsual relevante. A ontnuaón desrbremos brevemente y a grandes rasgos la mplementaón del sstema de smulaón, medante un pseudoódgo:

44 José Davd Fernández Rodríguez.4. IMPLEMENTACIÓN Cuadro.5. Pseudoódgo general de la smulaón 1. Inalzar smulaón 1.1. Confgurar modo de almaenamento de resultados ntermedos (para smulaones largas) 1.. Confgurar opones de salda de la smulaón Opones de vsualzaón gráfa 1... Opones de grabaón de vídeo Número de resultados ntermedos por undad de tempo 1.3. Crear grafo de muelles Conexones entre partíulas m Parámetros del grafo de muelles ( r, P r y 1.4. Confgurar parámetros generales adonales Armonzaón (ontra la superposón de objetos) Velodades forzadas Perturbaones en aeleraón r m V r nales, Perturbaones en las Otros. Asgnar los parámetrost δ y E MAX 3. MIENTRAS ontnuar_smulaón 3.1. Aplar dnamzaón (s proede) Modfar (s proede) el grafo (nº de partíulas, nº de muelles, onetvdad) Introdur/elmnar (s proede) velodades forzadas, perturbaones en aeleraón, perturbaones en las r, et Modfar (s proede) otros parámetros generales 3.. Detetar posbles superposones o stuaones on resgo de superposón, y onfeonar la lsta de pares de partíulas a los que se les aplará armonzaón de movmentos Smulaón físa E T = EMAX E E MIENTRAS T MAX E nal = E(t) Durante un lapso t ntegrar el sstema on una funón odexxx que llamará repetdas vees a una funón de evaluaón del sstema. La evaluaón del sstema onsste en: m Aplar dnáma de muelles para obtener P &r m y V &r m a partr de P r y Asgnar por defeto r& = Modfar los resultados según las velodades forzadas y perturbaones programadas Modfar los resultados según otros efetos físos Modfar los resultados según la armonzaón de movmentos para prevenr la superposón de objetos E fnal = E(t) E = E E T fnal nal k ) E nal = E fnal 3.4. Almaenar los resultados ntermedos 3.5. Reoleón de estadístas de smulaón (s proede) para proflng 3.6. Determnar s ontnuamos on la smulaón 4. Vsualzar (s proede) los resultados ntermedos (evoluón temporal del sstema) m V r Se han mplementado dversas funones para llevar a abo algunas de las tareas y subtareas enunadas, de las que menonaremos sólo algunas de las más relevantes:

45 José Davd Fernández Rodríguez.4. IMPLEMENTACIÓN -setplottngoptons para el paso 1., debe usarse antes de ada smulaón y de ada vsualzaón de resultados para onfgurar los parámetros de vsualzaón entre otras osas. -busarvertesmembranaceranos para el paso 3., es uno de los puntos donde la efena es ríta, debdo a que omprobar la dstana entre partíulas es un problema de omplejdad uadráta. -busadorestadoestable para el paso 3.3, tene entre otros ometdos preparar los parámetros usados por las funones odexxx, realzar algunas tareas auxlares prevas a la smulaón físa, y onfgurar adeuadamente la smulaón para obtener los resultados ntermedos deseados. -evaluadorpasosstema para el paso 3.3.., enargándose de alular la físa. Dada la gran antdad de efetos físos ntrodudos, se usan varas funones auxlares para aplar los efetos físos seundaros tras el prnpal (la dnáma del sstema de muelles). -plotear se enarga de vsualzar el estado del sstema para un nstante de tempo determnado, usando los parámetros de vsualzaón defndos medante setplottngoptons. Es usada mentras el ntegrador odexxx alula la evoluón del sstema (s se ha onfgurado para vsualzarlo al vuelo) o posterormente. -Para el paso 4., se usa vewsmulatonresults para smulaones senllas, u otras funones más espeífas en aso de smulaones más omplejas. Las vsualzaones pueden grabarse omo vídeo. Fgura.18. Códgo de olores Representamos el estado de ompresón/relajaón/tensón de los muelles medante los olores rojo, verde y azul, respetvamente. Se gradúa una esala de olores rojos y azules, de forma que uanto mayor energía potenal almaene el muelle, más osuro será el olor. Para faltar la omprensón vsual de la smulaón usamos un ódgo de olores para representar los dstntos estados de los muelles: rojo para muelles omprmdos, verde para muelles relajados, y azul para muelles en tensón. A mayor ompresón o tensón, más osuro será el rojo o el azul, respetvamente. Esta representaón nos permte vsualzar muho más fálmente los juegos de fuerzas que atúan en un modelo

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47 José Davd Fernández Rodríguez 3.1. INVAGINACION 3. PRIMEROS EXPERIMENTOS Pasaremos ahora a desrbr algunos expermentos de smulaón hehos on nuestro modelo. Hay que destaar que la evoluón de los efetos físos desrtos anterormente ha sdo gradual, por lo que estos prmeros expermentos no usan algunos de dhos efetos, y de heho han presado ambos en el ódgo fuente para adaptarlos a las onvenones y protoolos de mplementaón mplementadas posterormente INVAGINACION En este expermento nos propusmos explorar el meansmo de nvagnaón (foldng), que es un proeso embronaro ben onodo y reurrente [3], en el que un tejdo eptelal plega una seón sobre sí msma para formar un tubo o seón errada. Se ha propuesto omo meansmo de nvagnaón una ontraón en las paredes elulares exterores de una seón del eptelo. Fgura 3.1. Un proeso de nvagnaón embronaro Extraído de [13]. En los proesos de nvagnaón, un eptelo elular se urva formando un plegue. Se ha propuesto omo prnpal meansmo de atuaón una ontraón del toesqueleto en la zona exteror de las élulas mpladas en el proeso. Usamos un modelo de élula altamente smplfado, en el que ada élula es un smple retángulo on dos dagonales. Los muelles que modelan el perímetro de los retángulos representan el órtex, mentras que los que onforman las dagonales representan la estrutura nterna toesqueléta. Las élulas no son ndependentes, sno que omparten las paredes laterales, y el eptelo se urva para formar un írulo (en D, en 3D sería un lndro). El expermento no hae uso de araterístas avanzadas del modelo físo, no hay prevenón de superposón n otras sutlezas

48 José Davd Fernández Rodríguez 3.1. INVAGINACION Modelo on tensón ntraelular antes de la nvagnaón Modelo no estresado antes de la nvagnaón Modelo on ompresón ntraelular antes de la nvagnaón Fgura 3.. Modelo smplfado de tejdo eptelal Modelamos una onfguraón típa de un tejdo eptelal durante las etapas tempranas del desarrollo embronaro, en la que un eptelo tene forma elpsodal o líndra. Cada élula se representa por un retángulo on sus dagonales, donde el perímetro del retángulo orresponde al órtex elular, y las dagonales al toesqueleto nterno. Presentamos tres varantes, en las que el toesqueleto nterno está respetvamente tensado, relajado o omprmdo. Los modelos prmero y terero presentan araterístas tensegrtales. Ahora ben, es nteresante omprobar que s los elementos del eptelo están relajados, no se produen nvagnaones smlares a las observadas en embrones reales. Para ello es neesaro añadr energía a la estrutura (tensando unos elementos y omprmendo otros), onvrténdola en tensegrtal. Más espeífamente, los elementos dagonales que representan el toesqueleto nterno deben estar tensados, mentras que los externos que representan el órtex deben estar omprmdos. S nvertmos la stuaón (ompresón dentro y tensón fuera) tampoo obtenemos los resultados esperados. Modelo on tensón ntraelular después de la nvagnaón Modelo no estresado después de la nvagnaón Modelo on ompresón ntraelular después de la nvagnaón Fgura 3.3. Smulaones de nvagnaón Redumos las longtudes en reposo r de los muelles que representan la parte exteror del órtex de las élulas en un rango de unas 5 élulas. Los resultados son espetaularmente dstntos en funón del estado de estrés de los muelles del modelo. Se obtenen resultados smlares a la nvagnaón real on el prmer modelo, lo que sugere que las partes del toesqueleto nterno que transmten tensón entre las élulas juegan un papel determnante en este proeso. Asmsmo, es un ejemplo deal de meansmo morfogenéto: un ambo loalzado en las propedades del toesqueleto, gobernado metabólamente, puede produr nuevas formas uando nteraona on el estado físo general

49 José Davd Fernández Rodríguez 3.. ELEMENTOS TENSEGRITALES PARA UN CITOESQUELETO Este expermento es paradgmáto sobre la forma en que funona la morfogéness: los genes no odfan dretamente la forma que va a tener la zona nvagnada del eptelo, sno que la red regulatora genéta de las élulas de un segmento del eptelo modfa el equlbro de una seón de los toesqueletos elulares, y los movmentos morfogenétos se entenden así omo la búsqueda de una onfguraón de energía mínma por parte del sstema físo que onsttuyen los toesqueletos de las élulas eptelales, en respuesta a un estímulo tan smple omo tensar el órtex elular. 3.. ELEMENTOS TENSEGRITALES PARA UN CITOESQUELETO El sguente paso fue enontrar estruturas (tensegrtales o apaes de serlo) para modelar los elementos prnpales del toesqueleto on un mayor grado de detalle que en el expermento anteror. Se pensó en reprodur a grandes rasgos el órtex elular, el entrosoma y los mrotúbulos que emanan del entrosoma y se anlan en el órtex. Un método senllo para onstrur estruturas tensegrtales onsste en dsponer de una seuena de partíulas o vértes (1..N), onetados entre sí por dos tpos de muelles: de un salto (n,n+1) y de dos saltos (n,n+). S la seuena es lneal, obtenemos una espee de varlla, mentras que s es rular, el resultado es una espee de membrana. Tambén son mportantes las relaones entre las longtudes en reposo de los muelles. S los muelles de un salto están tensados y los de dos omprmdos, la estrutura será altamente estable, mentras que s es al revés, la estrutura será sólo metaestable (ambando de onfguraón s le añadmos energía en forma de mayor estrés en los muelles, o agtaón néta en las partíulas) o nluso nestable. La aplaón de las membranas tensegrtales para modelar el órtex y de las varllas para los mrotúbulos es dreta. Para el entrosoma usamos un objeto smlar a la membrana pero on muelles nterores omprmdos que refuerzan la estrutura y faltan la transmsón de fuerzas de un lado al otro de la élula

50 José Davd Fernández Rodríguez 3.3. PSEUDÓPODOS órtex mrotúbulo entrosoma Fgura 3.4. Elementos tensegrtales para un toesqueleto Estos modelos de elementos toesquelétos omparten la apadad para presentar araterístas tensegrtales PSEUDÓPODOS Para smular la aparón de pseudópodos hemos prmero de estudar los meansmos por los que se rean en las élulas reales. Exsten varos meansmos asoados a dstntos tpos de pseudópodos, pero en todos los asos nvoluran un sobreremento de dstntos tpos de flamentos del toesqueleto justo debajo de la seón de órtex que forma el pseudópodo. Nuestras smulaones, al ser esquemátas, modelan esto on unos poos muelles pero se obtenen resultados satsfatoros. Fgura 3.5. Formaón de pseudópodos Se muestran dos lases de pseudópodo, en las que el denomnador omún es un sobreremento entral del toesqueleto nterno justo debajo de la porón del órtex en la que se forma el pseudópodo

51 José Davd Fernández Rodríguez 3.4. MODELO CELULAR MÁS DETALLADO 3.4. MODELO CELULAR MÁS DETALLADO Para obtener mayor detalle, nlumos la red de mroflamentos, modelándola omo una red de muelles pretensados dspuestos aleatoramente, que unen entre sí los mrotúbulos. Esto nos permte smular de forma más realsta la forma en que se enrollan los mrotúbulos, tal y omo se puede aprear en [17]. Fgura 3.6. Modelo elular detallado Modelamos el entrosoma en el entro de la élula, los mrotúbulos que salen del msmo hasta el órtex, y una red de mroflamentos aleatora que oneta entre sí dstntas seones de los mrotúbulos. Los mroflamentos están tensados, dando lugar a una ompresón en los mrotúbulos, vsble en el leve arrollamento que sufren. En las élulas reales este arrollamento puede ser más severo, y proporona a los mrotúbulos apadad para soportar mayores argas que s no estuveran nmersos en la red de mroflamentos. Este enrollamento se debe a un juego de fuerzas entre los mroflamentos y los mrotúbulos, en el que los prmeros están tensados y omprmen a los últmos, dando al toesqueleto araterístas tensegrtales que le permten soportar esfuerzos meános mayores de los que sería apaz una smple estrutura de andamaje. No obstante, este modelo tene el nonvenente de que es omputaonalmente bastante más ostoso, por lo que eventualmente optamos por modelos más smplfados

52 José Davd Fernández Rodríguez 3.5. MIGRACIÓN Fgura 3.7. Detalle y modelo de mrotúbulos arrollados Extraído de [17]. En las élulas reales los mrotúbulos apareen ondulados bajo ertas runstanas. Expermentos uanttatvos señalan a que este arrollamento se debe a que están nmersos en una red de mroflamentos tensados MIGRACIÓN Reordemos que las lamelpoda se forman por la protusón de una espesa malla de mroflamentos en una seón del órtex. Smular este proeso medante el modelo desrto en el apartado anteror sería en extremo omplado, por lo que abstraemos el uso de la red de mroflamentos y sólo nlumos sus efetos: determnadas porones del órtex, en la dreón prnpal o aproxmada del movmento, sufren una perturbaón que podemos representar omo una velodad o aeleraón radal (que las aleja del entro elular). Asmsmo, las adhesones foales se modelan omo seones del órtex stuadas en la parte trasera de la élula que quedan fjadas al sustrato (se les asgnan velodades forzadas nulas). El modelo de élula usado se smplfa respeto a los expermentos anterores: el entrosoma pasa a ser una smple partíula, los mrotúbulos smples muelles, y el órtex a tener menor antdad de partíulas. Así, una vez abstraído el meansmo de protusón, nuestro modelo es apaz de reprodur dstntas dnámas de mgraón: -de élulas de alta motldad (Fgura 3.8), en las no hay adhesones foales y la lamelpoda es una estrutura grande y ben defnda, que mpulsa rápdamente haa delante a la élula. Esto lo onsegumos dando una velodad o aeleraón onstante a una regón del órtex más o menos ampla

53 José Davd Fernández Rodríguez 3.5. MIGRACIÓN -de élulas onjuntvas (Fgura 3.9), omo los fbroblastos, en los que la funón loomotora es mportante prnpalmente omo ontrol de prolferaón. En éstas élulas se desarrollan numerosas adhesones foales y lamelpoda en dreones aleatoras aunque orentadas en una dreón general del movmento. Esto lo onsegumos defnendo una dreón general de movmento, y seleonando al azar porones del órtex en la parte trasera que quedan fjas durante perodos aleatoros prolongados (adhesones foales) y de la parte delantera que sufren una velodad o aeleraón altas durante un perodo relatvamente pequeño en dreón radal respeto el entro elular. Fgura 3.8. Comparaón de una smulaón on un espermatozode de Asars suum Extraído de [3]. Los espermatozodes de este tpo de nematodos son un modelo de estudo de las lamelpoda debdo entre otras osas a que presentan una extraordnaramente desarrollada. Nuestras smulaones abstraen el meansmo que mpulsa el avane de la lamelpoda, modelando sólo el avane meáno ben ordenado de una porón del órtex, que a su vez arrastra haa delante al resto de la élula. Fgura 3.9. Comparaón de una smulaón on un fbroblasto Extraído de Las lamelpoda de élulas de tejdo onjuntvos se dferenan notablemente de las de las élulas de alta motldad. Estas élulas desarrollan adhesones foales fuertemente adherdas al sustrato, que quedan fjas y estorban meánamente el movmento uando el avane elular las deja en la parte trasera. Las lamelpoda no están tan altamente organzadas omo en las élulas de alta motldad, produéndose protusones en dreones aleatoras pero on una orentaón general en la dreón de avane

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55 José Davd Fernández Rodríguez 4.1. MITOSIS AISLADA 4. MITOSIS Dado el objetvo de este proyeto, la smulaón de la mtoss o dvsón elular ha sdo uno de nuestros objetvos entrales, ya que los prmeros momentos del desarrollo embronaro se araterzan por una sere de dvsones elulares ben reguladas. Usaremos el msmo modelo elular que para las smulaones de élulas mgratoras, que podemos ver en la Fgura 4.1: entrosoma muelle de membrana orto muelle de membrana largo muelle de mrotúbulo órtex (membrana) mrotúbulos Fgura 4.1. Célula antes de la mtoss Usamos un modelo elular smplfado: el entrosoma es un smple punto en el entro de la élula, los mrotúbulos se modelan ada uno medante un úno muelle, y el órtex tene una antdad de partíulas relatvamente pequeña, onetadas formando una estrutura tensegrtal. Para faltar la mplementaón, es onvenente etquetar ada partíula y regstro on -el índe de la élula a la que pertenee (ndando además s no pertenee a nnguna élula) -el tpo (funón que desempeña en el grafo): núleo (partíula del entrosoma) o partíula del órtex para las partíulas; muelle de tpo mrotúbulo (rado elular), membrana orta o membrana larga para los muelles. Y además, para ada élula, regstramos: -el índe de partíula de su entrosoma -suponendo una forma perfetamente rular (en 3D, esféra), las longtudes en reposo r anónas para ada uno de los tpos de muelle (rado/mrotúbulo, membrana orta, membrana larga) de los que se ompone MITOSIS AISLADA Desrbremos en prmer lugar ómo hemos mplementado la mtoss de élulas asladas. Bológamente, la dvsón elular onsta de una sere de fases ben araterzadas, en las que

56 José Davd Fernández Rodríguez 4.1. MITOSIS AISLADA se repla y reparte el ADN. Nos nteresa modelarla físamente, por lo que sólo nos ouparemos de las últmas fases: redstrbuón del toesqueleto entre las dos élulas hjas y toness (estrehamento de la membrana en la mtad del eje de dvsón). El plan báso para onsegur un modelo de mtoss omprende los sguentes pasos: -duplar los omponentes del toesqueleto, para repartrlos entre las élulas hjas. -modfar la geometría de la élula para que se formen dos élulas espaalmente dferenadas. -elmnar las onexones entre las élulas hjas para ompletar su separaón DUPLICACION DE COMPONENTES Tras la mtoss, las élulas hjas deben presentar aproxmadamente una morfología smlar a la élula madre. Por ello, se deben duplar los omponentes, modfando profundamente el modelo elular, omo se aprea en la Fgura 4.: La dstana entre los entrosomas se ha exagerado; en realdad sería muy pequeña o nexstente Plano de dvsón Fgura 4.. Célula tras duplar omponentes Se dupla la antdad de mrotúbulos y de partíulas del órtex. Una vez esogdo el plano de dvsón, se dupla el entrosoma, repartendo los mrotúbulos entre ambos entrosomas. La élula está lsta para dvdrse. -duplamos el número de omponentes del órtex. Es der, nsertamos nuevas partíulas entre ada par de partíulas adyaentes del órtex, y reorganzamos y aumentamos la malla de muelles que las nteroneta. Las longtudes en reposo de dhos muelles deben redurse a la mtad. -duplamos el número de mrotúbulos, nsertando los extremos fnales de los nuevos en las partíulas reén añaddas al órtex

57 José Davd Fernández Rodríguez 4.1. MITOSIS AISLADA -esogemos un plano de dvsón y reamos un nuevo entrosoma (nalmente en la msma posón que el nal), repartendo los mrotúbulos entre ambos entrosomas según la orentaón del plano de dvsón. En los prmeros expermentos se nluyeron tambén dos estruturas típas de las élulas reales en las últmas fases de la mtoss, que son las prnpales responsables de los ambos morfológos de dhas fases. Podemos verlas en la Fgura 4.3: Eje mtóto Cnturón toqunéto Fgura 4.3. Modelado de estruturas toesquelétas de la mtoss El eje mtóto es una estrutura que tende a separar las dos mtades de la élula en dvsón: se modela medante un muelle rígdo y omprmdo nterpuesto entre los dos entrosomas. El nturón tonéto estrangula la élula en dvsón por la mtad: se modela medante un sstema de muelles rígdos y tensados, nsertados en la zona del órtex que debe sufrr el estrangulamento. -el eje mtóto, una onfguraón de mrotúbulos que tende a separar en partular los romosomas de ada élula hja, y en general a desplazar meánamente los omponentes elulares. Lo modelamos omo un muelle altamente omprmdo nsertado entre los dos entrosomas. -el nturón tonéto, una estrutura de mroflamentos adherda al órtex a lo largo del plano de dvsón que va estrehándose para rear la separaón entre las dos élulas hjas, e r estrangulándola progresvamente. Lo modelamos medante varos muelles fuertemente tensados, nsertados entre las partíulas eranas al plano de dvsón. No obstante, pronto se omprobó que no eran neesaros para que se produjeran los ambos geométros en nuestro modelo de mtoss, por lo que dejaron de nlurse

58 José Davd Fernández Rodríguez 4.1. MITOSIS AISLADA CAMBIOS GEOMÉTRICOS Una vez hemos realzado las modfaones desrtas en el apartado anteror, estamos en dsposón de varar los parámetros del grafo para reprodur el araterísto plegamento de la mtoss. En un prnpo, omo se señalaba en el apartado anteror, dho ambo era gobernado por el eje mtóto y el nturón tonéto. No obstante, hae falta además aomodar las longtudes en reposo r de los muelles que modelan los mrotúbulos y el órtex a la nueva geometría, y omo ya hemos dho se omprobó que el propo proeso de aomodar las Fgura 4.4: r produía los ambos geométros deseados, omo se puede aprear en la Inal Comenzo Desarrollo medo Fnal Fgura 4.4. Cambos geométros en el modelo de mtoss La mtoss progresa según se van adaptando progresvamente las longtudes en reposo de los muelles que modelan las dstntas partes del toesqueleto. Los de los mrotúbulos se aortan y los del órtex se alargan. S la transón ourre de una manera lo sufentemente gradual, los ambos geométros del modelo reproduen los de las élulas reales en su últma fase de mtoss. Estas varaones de las r deben ser graduales y estar ben orquestadas, o de lo ontraro se ntrodue en demasado poo tempo una gran antdad de energía en el modelo físo de élula, lo que puede dstorsonar gravemente su forma. Asmsmo, la duraón del ambo debe ser aproxmadamente el doble para los muelles del órtex que para los de los mrotúbulos, de forma que el ambo ndudo en los segundos guíe el plegamento del prmero. S llamamos m o, m a, m b, o, a, b a las longtudes en reposo r de los muelles de los mrotúbulos y el órtex para las élulas orgnal, hja A e hja B respetvamente, y n o, n a, n b al número de mrotúbulos de ada una (evdentemente n o= n a + n b ), entones podemos defnr uatro senllas euaones que desrben ómo deben varas las mtoss: r para que se produza la

59 José Davd Fernández Rodríguez 4.1. MITOSIS AISLADA m = m a b o m = m o = a o = b o n n n n o o a b n n n n a b o o Estas euaones se dervan de las sguentes restrones: -la suma de las áreas (en 3D, volúmenes) de las élulas hjas debe ser gual al área de la élula orgnal. -admtendo la posbldad de dvsones asmétras (lo ual es un meansmo morfogenéto regstrado en una ampla varedad de proesos embronaros, por ejemplo [3]), tomamos la proporón de mrotúbulos heredada por ada hja omo una medda de la repartón del materal elular. En aso de que la repartón de mrotúbulos sea equtatva, los oefentes son ( ) 1 para los muelles de los mrotúbulos y para los muelles del órtex FINALIZACIÓN DE LA CITOCINESIS Podemos dar por termnada la toness uando el estrangulamento es as ompleto, esto es, uando detetamos que los vértes opuestos de ada élula hja están lo sufentemente era entre sí. En dha stuaón hemos de modfar el grafo para termnar la mtoss. Se nvestgaron varas formas de haerlo, deantándonos fnalmente por la que desrbremos a ontnuaón, por su senllez y smetría sobre las otras alternatvas. Para ompletar la mtoss hemos de alterar el grafo, en onreto, la zona de unón que se va estrehando, tal y omo se aprea en la Fgura 4.5:

60 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD Fgura 4.5. Modfaón del grafo Para termnar la toness, se modfa el grafo de muelles, separando totalmente las dos élulas hjas del proeso de mtoss. Esta transformaón ourre uando las partíulas de la zona estrangulada (en toness) están lo sufentemente era entre sí. Hay que destaar que haendo uso de las etquetas de muelles y partíulas (élula a la que perteneen y tpo) es posble defnr reglas basadas en la onetvdad loal que mplementen la modfaón del grafo, formulándola omo los ambos neesaros para que se preserve el patrón de onetvdad entre los dstntos tpos muelles del modelo elular. 4.. MULTICELULARIDAD Una vez onseguda la smulaón de la mtoss de forma aslada y sn nfluenas exterores, nuestro objetvo es smularla en las ondones del embrón temprano (mórula) ENVOLTURA En muhos tpos de embrones el goto está uberto por una apa de matrz extraelular densa y relatvamente rígda, que proporona soporte meáno para algunos de los movmentos morfogenétos tempranos. Por ejemplo, en los mamíferos, esta envoltura se denomna zona pelluda [3]. La mtoss que hemos desrto en el apartado anteror modela relatvamente ben la mtoss real de élulas asladas en plaas de ultvo, pero para que se pareza más a la observada en los estados tempranos del embrón hemos de ntrodur de alguna manera nfluenas que

61 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD tendan a mantener juntas las élulas hjas durante el proeso de dvsón. Esto se onsgue adeuadamente medante el uso de una envoltura en torno al goto. Una vez estableda la onvenena de ntrodur en el modelo una envoltura, se barajaron dos posbldades de mplementaón: Envoltura rígda Envoltura deformable Fgura 4.6. Modelos de envoltura para embrones Los embrones suelen estar rodeados de una envoltura relatvamente rígda en su fase temprana, que ondona la dsposón de sus élulas en las etapas nales. En esta fgura mostramos dos alternatvas para modelar esta estrutura: una dsposón rular de partíulas namovbles (velodades forzadas nulas) y una estrutura rular tensegrtal on alta onetvdad para darle rgdez y onsstena frente a las deformaones. La senllez y efena omputaonal de la prmera opón son las razones determnantes para preferrla sobre la segunda. -usar un onjunto de partíulas equespaadas en una runferena, nmóvles (es der, on sus velodades forzadas a 0 durante toda la smulaón). De esta forma onforman una pared rígda e namovble ontra la que se apoyan las élulas del nteror. -usar una estrutura smlar a la del órtex elular, pero on muhas más partíulas, y gran antdad de muelles nsertos entre partíulas de zonas relatvamente alejadas para darle mayor onsstena, usando onstantes de rgdez k muy altas. La segunda opón es ndudablemente más realsta, pero en realdad no dfere en sus resultados muho de la prmera opón, y omo ésta es muho más efente, fue la esogda. Una uestón mportante es ómo mpden las envolturas que las élulas salgan fuera. El efeto de armonzaón de movmentos para prevenr la superposón de objetos es obvamente la soluón, pero este meansmo está en prnpo dseñado para que las partíulas de un objeto no puedan penetrar dentro de otro objeto, no para que no puedan

62 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD esapar de dentro (de heho, se ntenta que esapen de dentro para mnmzar la superposón). Vérte veno sguente( j ) Vérte veno anteror( j ) Vérte onsderado j Vérte onsderado j Tangente anthorara: T r j Tangente horara: T r j Vérte veno anteror( j ) Vérte veno sguente( j ) CÉLULA ENVOLTURA Fgura 4.7. Inversón del sentdo de deteón de superposón El efeto de prevenón de superposón está orentado a mpedr que dos objetos se solapen. Por el ontraro, la envoltura rodea ompletamente a las élulas y nuestro objetvo es que éstas no se salgan de la envoltura. Medante el senllo proedmento de nvertr las noones de partíula anteror y sguente en la envoltura respeto a las élulas, ambamos la forma en que funona el efeto físo (véase el apartado.3.1), de forma que evta que las élulas esapen del nteror de la envoltura. Este dlema se resuelve fálmente nvrtendo en las envolturas el onepto de partíulas venas anteror y sguente: mentras que en los objetos que no deben superponerse (las élulas) la vena anteror está en sentdo horaro y la sguente en sentdo anthoraro, en los objetos que deben atuar omo envolturas debe ser al revés. De esta forma, la normal de ontato está nvertda respeto a la stuaón usual, y el meansmo de armonzaón mpde que las élulas salgan de la envoltura DEFORMABILIDAD CELULAR El modelo de élula que hemos presentado hasta ahora para smular la mtoss tene el nonvenente de que adquere demasada energía s lo deformamos desvándolo de la rulardad (por ejemplo, para tomar una forma ovalada). Esta elevada energía potenal se tradue en una fuerte nestabldad en ondones de deformaón, on lo que los modelos elulares fálmente pueden quedar desnaturalzados (es der, on su geometría alterada hasta el punto de que ya no representen adeuadamente una élula real). La manera más dreta de redur ese resgo es dsmnur la energía potenal adqurda por la élula en la deformaón, medante la adaptaón de las longtudes en reposo r de los muelles de los mrotúbulos a sus longtudes reales d. Pensando en lave bológa, en las élulas - 6 -

63 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD reales ertamente los mrotúbulos se adaptan, dentro de ertos límtes, a la morfología de la élula [3]. mrotúbulo sguente de mrotúbulo mrotúbulo anteror de Fgura 4.8. Deformabldad elular El modelo elular debe ser apaz de deformarse sn ganar una exesva antdad de energía, que se tradue en nestabldad de la forma del modelo. Los efetos que hemos mplementado para mpedrlo haen uso de la noón de venos anteror y sguente aplada a los mrotúbulos. j j t. r ( t) = t. r& ( t) = 0 j k Pero antes de desrbr los efetos físos, presentamos una restrón que deben umplr: la suma de las longtudes en reposo de todos los mrotúbulos de la élula debe permaneer nvarante en el tempo. Esto es neesaro porque de lo ontraro la élula podrá varar de área (en 3D, volumen) sn ontrol, mentras que en una smulaón razonable esperamos que la antdad de espao oupado por una élula no varíe demasado. Una forma de asegurarnos de que se umple la restrón es ontrolar que en ada élula la suma de las r& (dervadas de las longtudes en reposo) es sempre 0. Una vez desrta esta restrón, podemos presentar los efetos mplementados. σ (4.1) j k r& D = x λ k D λ k D j k k M x j Para un mrotúbulo perteneente a una élula k se expresa una perturbaón (4.) r& D de su longtud en reposo preservando la restrón (4.1). r. Esta perturbaón tende a aproxmar la efeto para la élula k, de modo que a mayor mrotúbulos. r a la longtud real d, pero k λd es la onstante de aoplo (oefente de ntensdad) del k λ D más rápdo varían las r de los k M es el número de mrotúbulos de la élula k. Este efeto dsmnuye la

64 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD energía potenal de los mrotúbulos fuertemente estresados, a la vez que proporona al modelo un omportamento físamente plausble: s la élula es omprmda en una regón, tende a expandrse en el resto de su perímetro. k r & C = λc j k k M r j r No obstante, el efeto de deformaón defndo arrba sólo permte que la élula sea plásta, lo ual es solamente la mtad del omportamento deseado: uando se dsmnuye el estrés es neesaro que la élula tenda de nuevo a la rulardad. Este es el omportamento esperado para una élula que no modfque atvamente su morfología, lo ual es una aproxmaón nal bastante buena para las élulas del embrón temprano. Para ello defnmos otra (4.3) perturbaón a las r& que tende a gualar las r de todos los mrotúbulos de una msma élula, o sea, tende a darle una forma rular. Esta perturbaón, r& C, se defne para ada rado omo proporonal a la dsrepana entre su r y la meda de las r de todos los k mrotúbulos de la élula. Debe usarse una onstante de aoplo λ C pequeña para que r& C no predomne sobre el efeto r& D. r& N µ = λ k N k N ant r ant ( ) µ k N ant + µ r k N + µ + µ k N + µ k N sg k N sg r sg ( ) Pero aún debe nlurse un terer efeto, debdo a que en oasones un mrotúbulo puede sufrr una varaón mportante de su r por el efeto de (4.4) r& D, mentras que los mrotúbulos venos no sufren dho estrés o nluso sufren uno nverso, que hae que loalmente haya gran varabldad en las r. Esta varabldad ntrodue nestabldad en el modelo, es der, que falta la desnaturalzaón del modelo elular on la onseuente pérdda de valdez para la smulaón. Para dsmnur esta varabldad, se ntrodue un efeto de nvelaón r& N que tende a gualar las r de ada mrotúbulo on las de sus venos anteror y sguente. r& N onsste en una perturbaón proporonal al promedo ponderado de las mrotúbulos del entorno loal, donde la onstante r de los k λ N modula la ntensdad del efeto, y donde µ, y son las onstantes de ponderaón. k k k N ant µ N µ N sg

65 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD r & r& D + r& C + = r& (4.5) N Así, ombnando los tres efetos, obtenemos una r varable para los mrotúbulos, on una dnáma que mnmza la nestabldad asoada a las deformaones, y que dotan a nuestro modelo elular de un omportamento físo oherente. Hay que destaar que ada uno de los tres efetos umple la restrón (4.1) ndependentemente de los demás, lo que falta el ajuste de los parámetros MITOSIS EN SITUACIONES DE COMPRESIÓN El modelo de mtoss aslada desrto anterormente es nadeuado en el maro del desarrollo embronaro, pues en tal stuaón es fál que la élula en dvsón se halle omprmda leve o fuertemente, lo que falta que durante la mtoss se adopten onfguraones erróneas, algunas de las uales se pueden ver en la Fgura 4.9: Fgura 4.9. Desnaturalzaón del modelo elular La desnaturalzaón es la alteraón de la geometría del modelo hasta el punto de que deja de representar adeuadamente una abstraón de las élulas reales. Puede ourrr por múltples ausas, asoadas a una ompresón que añade demasada energía a los muelles, o por efeto de la dsretzaón espaal y temporal de la smulaón. -tras la duplaón de los omponentes elulares, el órtex elular se onverte en una estrutura más dútl. La energía sumnstrada medante la varaón de las r se puede nvertr en la aparón de arrugas en el órtex en vez de en el plegado y estrangulamento tonéto. -otra posble onseuena es la formaón de rzos en la estrutura espaal del órtex elular, on lo que ésta deja de ser el modelo de una élula real

66 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD -s el grado de ompresón es muy alto, el estrangulamento tonéto puede no ourrr debdo a que energétamente sea más favorable para el órtex adoptar una forma alargada o snuosa en la zona de toness. Fgura Superposón por asmetría La fuerte ompresón a la que se somete el modelo durante la mtoss puede generar asmetrías y pares de fuerzas que desnaturalzan el proeso de dvsón, y que en el mejor de los asos desemboan en superposones mposbles de detetar que arrunan la smulaón. Nuestra soluón para prevenr estos problemas onsste en ntrodur efetos físos adonales durante la mtoss. -freuentemente la stuaón es asmétra, de modo que una de las élulas hjas se plega más fálmente que la otra, lo que puede desemboar en superposones severas que no pueden arreglarse. Fgura Desnaturalzaón por salda de entrosoma Otra forma en que se puede desnaturalzar una élula es por una fuerte asmetría durante la dvsón, debda a que una de las élulas hjas gana anhura muho más rápdamente que la otra. El juego de fuerzas resultante puede empujar el entrosoma fuera del órtex. Este efeto se prevene ntroduendo efetos físos adonales durante la mtoss -tambén bajo ompresones muy altas es posble que durante la toness las fuerzas que soporta el entrosoma de una de las élulas hjas sean más altas en el polo opuesto que en la zona de la toness, on lo que en algunos asos el entrosoma sale fuera del órtex, quedando el modelo elular ompletamente desnaturalzado (ya no puede representar de nnguna manera a una élula)

67 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD Estos problemas se pueden presentar en el modelo s se dan stuaones de ompresón lo bastante altas. Lo que se presa es modfar la smulaón para que el límte de ompresón a partr del ual empezan los problemas sea mayor. Esto lo onsegumos a través de una sere de modfaones, de las uales sólo desrbremos las que no hemos do desartando durante el desarrollo del modelo: -en la aplaón de la armonzaón de movmentos para prevenr la superposón, varamos las dstanas de atuaón L MIN y L MAX proporonalmente al rado de las élulas en pelgro de superposón. De esta manera se haen más pequeños onforme se dvden las élulas, aumentando el espao dsponble para ada una y dsmnuyendo la ompresón a la que están sometdas. Esto puede nterpretarse en lave bológa omo una dsmnuón del grosor de la matrz extraelular onforme las élulas dsmnuyen de tamaño. -s la mtoss es muy asmétra se nrementa el resgo de desnaturalzaón del modelo, por lo que ntentamos repartr los mrotúbulos a partes guales entre las dos élulas hjas. Por otra parte, la eleón del plano de dvsón debe haerse udadosamente s la élula es alargada: la desnaturalzaón se hae más probable s se esogen planos de dvsón alargados. Por ello, en estas smulaones, usaremos el sguente rtero de eleón del plano de dvsón: esoger aquel en el que se mnme la elongaón de la forma elular. Fgura 4.1. Muelles de membrana auxlares La desnaturalzaón por arrugamento del órtex ourre uando hay gran antdad de partíulas en el órtex (típamente justo al omenzo de la mtoss), lo que mpla una baja barrera de energía para la formaón de arrugas. Este problema se resuelve nsertando muelles en el órtex, entre pares de partíulas más dstantes: (n,n+4). El efeto de estos muelles es dfultar la aparón de fuertes urvaturas loales. -en lo que se refere a arrugas y rzos, el problema es que onforme aumenta el número de partíulas del órtex, dsmnuye la barrera energéta que los hae desfavorables. Para mantenerlos desfavorables, nsertamos muelles adonales (denomnados auxlares) entre ada par (n,n+4) de partíulas del órtex mentras dura el ambo geométro de la mtoss. De este modo le damos onsstena al órtex. Cuando se modfa el grafo para termnar la toness, dhos muelles son elmnados

68 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD CT 11 CT 1 Partíulas en la msma élula CT 1 CT Partíulas en el msmo extremo toqunéto Fgura Partíulas del estrangulamento tonéto Se detalla la nomenlatura seguda para las partíulas de la zona del órtex en la que se produe el estrangulamento tonéto, para faltar la desrpón de los efetos físos representados en las fguras sguentes. -muhos de los fallos ourren debdo a las asmetrías de plegamento entre ambas élulas hjas. Estas asmetrías provoan que los extremos del estrangulamento tonéto no se aerquen entre sí en posón paralela, o nluso que no se puedan aerar. Para remedar esto, ntrodumos tres efetos físos aplados de forma suesva que afetan a las partíulas del estrangulamento tonéto, y ombnados ontrbuyen a un proeso de mtoss muho más robusto: -añadmos una fuerza de atraón (que se manfestará omo una aeleraón adonal, Fgura 4.14 y Cuadro 4.1) entre las partíulas CT 1k y CT k de una msma élula hja k. En prnpo dha fuerza de atraón podría ser un smple muelle tensado, pero esta soluón no es práta, pues el muelle ejerería mayor fuerza al prnpo que al fnal, justo al ontraro de lo que queremos. Resulta más senllo aplar dretamente la fuerza deseada sobre las partíulas, expresada omo sendas r r k aeleraones y A. Esta fuerza es proporonal a la mtad del rado elular CT A k Q 1 CT Q k R pero está modulada por un fator temporal F t, de forma que nalmente es nula, y sólo alanza su pleno rendmento uando los muelles de los mrotúbulos termnan de enogerse. Este efeto ayuda a que se produza la toness la ompresón lo mpdera en un prnpo

69 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD Célula k CT 1k r CT A k Q 1 r k A CT Q CT k u r d ( CT1 k, CT k ) 1 Tempo de omenzo de mtoss FACTOR T 0 T 1 F t Tempo (modulaón temporal) Duraón del ambo de los r en los muelles de los mrotúbulos Fgura Efeto de estrangulamento tonéto Se ntrodue una fuerza de atraón entre partíulas tonétas de una msma élula hja. Esto tene el efeto de favoreer el estrangulamento tonéto. La fuerza es proporonal al tamaño elular y se ntensfa desde ser nula al omenzo de la mtoss hasta un valor máxmo al fnalzar la adaptaón de los mrotúbulos. Cuadro 4.1. Euaones para el efeto de estrangulamento tonéto Las magntudes defndas se orresponden on las de la Fgura r r CT k CT1 k r ( CT k CT P P 1, k ) ud = r r CT k CT1 k P P t T0 s T0 < t < T1 F t = T1 T0 1 s t > T1 r r ( CT1 k, CT k ) k CT u 1 d Ft R k AQ = r r ( CT1 k, CT k ) k CT u d Ft R k AQ = r r r r CTe1 CTe 1 CT V e PREVIA + V V = V = r r r r CTe 1 CTe 1 CT A e PREVIA + A A = A = CTe PREVIA CTe PREVIA (4.6) (4.7) -promedamos el movmento (velodades y aeleraones) de las partíulas CT e1 y CT e de un msmo extremo tonéto (ada una pertenee a una élula dstnta). Medante este efeto (Fgura 4.15) se nrementa la omunaón de fuerzas entre ambas élulas hjas, lo que ayuda a dsmnur las asmetrías que produen alteraones en el paralelsmo y movmento unísono de ambos extremos tonétos. Además, se estorba que el órtex de una de las élulas nvada el nteror de la otra. Esto vuelve

70 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD nefetvo el muelle que se stúa entre ambas partíulas (puede nlurse o no en la smulaón, a dsreón). r CT V e1 δ CT e1 CT e r CT V e δ r D r = P r P ( CTe1, CTe ) CTe CTe1 Fgura Aortamento del anal tonéto Se ntrodue un efeto que aorta el anal tonéto, lo que redunda en una mayor establdad del proeso de mtoss. Se mplementa medante perturbaones sumadas a la velodad, que tenden a aerar las partíulas. r V r V CT δ CT δ r = D ( CTe1, CT ) ek1 e r = D r CT 1 -aplamos V e δ ( CTe1, CT ) e e r CT y V e δ (4.8) (4.9) omo sendas perturbaones en velodad muy pequeñas a las partíulas CT e1 y CT e de un msmo extremo tonéto (es der, sumamos a sus velodades dhas perturbaones), uyos movmentos prevamente hemos promedado. Estas perturbaones son proporonales a la dstana que separa a las partíulas y tenden a aerarlas. Esto mejora los resultados del efeto de promedado, y deja más espao dsponble para que ada élula hja se plegue. Aplando estos efetos físos (de forma onseutva) y ambos en el modelo onsegumos que la mtoss pueda tener lugar a pesar de la alta ompresón a la que se someten las élulas RESULTADOS Así, aplando estas modfaones al modelo orgnal de mtoss, se puderon obtener smulaones senllas en las que las nstruones elulares se reduían a dvdrse una y otra vez. Partendo de un úno goto orgnal, se ban onsguendo ada vez mayor número de élulas. De este modo, obtenemos un maro a partr del ual poder modelar embrones en sus prmeros estados. En la Fgura 4.16 podemos ver dstntos nstantes de una smulaón en la que se produen sete rondas de dvsón (18 élulas):

71 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD Fgura Instantes de una smulaón En esta smulaón, ada élula smplemente sufre una mtoss tan pronto omo ha fnalzado la anteror, onduendo a un remento exponenal del número de élulas smuladas. El límte práto de smulaón se stúa alrededor de las 100 élulas. No obstante, el osto omputaonal mpone límtes prátos al número de élulas que se pueden smular smultáneamente, tanto en térmnos de tempo omo de memora, más allá de los uales no es onvenente la smulaón. Esto pone el límte práto en la smulaón smultánea de alrededor de unas 100 élulas. En el perfl de rendmento de la Fgura 4.17 podemos ver ómo los tempos de ómputo por paso de smulaón se aumentan onforme se nrementa la antdad de élulas smuladas, desde aproxmadamente 0.1 segundos uando sólo está el goto hasta 7 u 8 segundos uando el embrón llega a la etapa de 18 élulas

72 José Davd Fernández Rodríguez 4.. MULTICELULARIDAD Fgura Perfl de rendmento de la smulaón Gráfas de rendmento para la smulaón de la Fgura En los ejes horzontales se representa el tempo de smulaón (500 undades de tempo), y en los vertales tempos desglosados, número de partíulas/muelles y de élulas, respetvamente. En la prmera gráfa se desglosa el tempo total de ada paso de smulaón (azul): smulaón de la físa (verde), esrtura a dso de resultados (rojo), deteón de superposón (eleste) y modfaón del grafo (rosa)

73 José Davd Fernández Rodríguez 5.1. CONTROL GENÉTICO 5. EXPERIMENTOS SOBRE MODELOS DE EMBRIONES Desrbremos ahora algunas experenas realzadas tomando omo base el modelo báso de proeso embronaro desarrollado en el apartado anteror CONTROL GENÉTICO Una vez que hemos onsegudo desarrollar smulaones de ndvduos multelulares, el sguente paso natural es ntrodur un meansmo que ontrole la forma en que se desarrolla, es der, un genoma. En las élulas reales, el genoma onforma redes de regulaón genéta, omo hemos explado anterormente en el apartado La dnáma temporal de dhas redes de regulaón nteraona on el estado meáno-químo de la élula, provoando dversos ambos, omo la mgraón o la mtoss (por menonar sólo algunos de los que hemos modelado desde una perspetva puramente físa). Así pues, s queremos mejorar la utldad de nuestro modelo de embrón multelular para la exploraón de las maneras en que las araterístas bofísas del embrón ooperan a determnar su patrón de desarrollo, es muy onvenente ntrodur un genoma omo meansmo de ontrol del desarrollo, de forma que dealmente podríamos plantear expermentos en los que explorar ómo determnados efetos ndudos por el genoma afetan al patrón de desarrollo embronaro. Aunque sería deseable mplementar dretamente un modelo de genoma que permta usar redes de ontrol genéto, omo prmera aproxmaón resulta tener una omplejdad exesva. Mentras no se neeste modelar un omportamento muy omplado y/o que esté basado paralmente en nformaón exteror (sensores meános o químos), se puede abstraer el genoma omo una sere de omandos aplados seuenalmente a la élula

74 José Davd Fernández Rodríguez 5.1. CONTROL GENÉTICO GEN 1 GEN GEN 3 GEN 4 GEN 5 GEN GEN 3 GEN 4 GEN 5 Se nterpreta GEN 1 Tempo de expresón de GEN 1 Se nterpreta GEN MIT GEN GEN 3 GEN 4 GEN 5 GEN GEN 3 GEN 4 GEN 5 Se nterpreta gen de mtoss Duraón de la mtoss La hja nº 1 nterpreta GEN La hja nº 1 nterpreta GEN 4 Fgura 5.1. Genoma seuenal En este modelo de genoma, los genes odfan ambos en el omportamento elular, expresados de forma seuenal. Ante la mtoss, la seuena de genes de la élula madre se dvde entre las hjas. Denomnaremos esta smplfaón omo genoma seuenal. Básamente, la dea de este tpo de genoma onsste en que la élula es un autómata que ejeuta los omandos de su genoma uno a uno. Denomnaremos a ada uno de estos omandos genes, y al ato de ejeutarlos omo expresarlos. Los genes pueden tener parámetros. Cuando la élula se enuentra on un gen que la mpulsa a desarrollar una mtoss, reparte la lsta de genes que quedan por expresar entre las dos élulas hjas. Un mportante meansmo morfogenéto en una ampla varedad de organsmos es la dvsón asmétra en los estados nales del embrón [3]. Por tanto, antes de nlur otros efetos más sofstados omo ambos de tamaño, de forma o mgraones elulares, se mplementó un gen de mtoss que permtera dvsones asmétras, de modo que los genomas en un prnpo onstan smplemente de una seuena de genes de mtoss, posblemente ada uno on dstntos parámetros. Los parámetros son (Fgura 5.): - REP [ 0..1], que dede qué tanto por ento de genoma se reparte a ada élula hja tras la mtoss. - s δ, que regula la ntensdad de la asmetría. Cada élula k tene un fator de asmetría s k, uyo valor es regulado dentro de ertos límtes por s δ. En ausena de este meansmo la mtoss produría dos élulas de rados (suponéndolas lbres de presones externas) R 1 y R. Este meansmo de asmetría perturba dhos rados de forma que se onserve la suma de las áreas de ambas élulas, onvrténdolos en R 1 y R. El valor de s k tene que estar regulado dentro de un margen relatvamente

75 José Davd Fernández Rodríguez 5.1. CONTROL GENÉTICO estreho debdo a que nuestro modelo de mtoss funona mal uando exsten fuertes asmetrías. - d δ, que regula la duraón de la mtoss. La mtoss tene una duraón estándar y ada élula k tene una fator efetva de la mtoss d k perturbado por M T k varía entre la mtad y el uádruplo de M T 0, d δ de tal manera que la duraón M T 0. MITOSIS(REP, s δ, d δ ) GEN GEN 3 GEN n-1 GEN n n REP n (1-REP) Mtoss asmétra nfluenada por s δ s PREVIA [ 0.95, max[ 1.05 s ] k = mn, k + s δ GEN GEN 3 GEN n-1 GEN n A la hja nº 1 A la hja nº Célula k R 1 R ' 1 R' 1 = R 1 s k R 0 R R R' R ( 1 s ) 1 1 = R + k R Duraón de la mtoss nfluenada por d δ d PREVIA [ 0.5, max[ 4 d ] k = mn, k + d δ M M T k = T0 d k Fgura 5.. Gen de mtoss El gen de mtoss toma tres parámetros, que regulan ómo se repartrán las dos élulas hjas el resto de la seuena de genes, ómo de asmétra será la dvsón y uánto durará el proeso de mtoss. La forma en que se espefa el funonamento de los parámetros para la asmetría y la duraón se denomna, en la termnología del ontrol de sstemas, ontrol en velodad. Tene la ventaja de que se puede onsderar omo abstraón de un modelo más omplejo, en el que dstntas subredes de regulaón genéta determnan la asmetría y duraón de la mtoss, de manera que podemos ver los parámetros del gen de mtoss omo perturbaones en el funonamento de dhas redes regulatoras. Por senllez, en la mplementaón se usa un formato de adena de arateres para espefar el genoma. El gen de mtoss se espefa medante una M seguda de tres números termnados en punto y oma que son ada uno de los tres parámetros del gen de mtoss. Así, por ejemplo, M0.5;0.01;-0.3;M0.75;-0.0;1.1; sería un genoma váldo

76 José Davd Fernández Rodríguez 5.. BIOEMERGENCES Asmsmo, se ntrodujeron modfaones en el sstema de vsualzaón para mejorar las mágenes obtendas y obtener nformaón adonal por vía vsual: -posbldad de dbujar las sluetas de las élulas y la envoltura en vez de todas las partíulas y muelles. -posbldad de vsualzar el estado de ada élula (expresando un gen, oosa, et) -posbldad de vsualzar el lnaje de las élulas. Fgura 5.3. Smulaones on mtoss asmétra Se pueden ver los resultados fnales de dos smulaones dstntas, que en los que representamos las sluetas de las élulas en vez de todos los muelles del modelo, para aprear mejor sus formas. Los resultados son prometedores, se aprean estruturas que pueden ser preursoras del establemento de ejes de remento y patrones de desarrollo (el nematodo C. elegans proporona un ejemplo en este sentdo, véase [3]). En la Fgura 5.3, la smulaón de la zquerda se orresponde a un genoma smple, en el que el gen M0.5;0.05;-0.5 se repte 17 vees, de modo que el efeto es el de 7 dvsones en ada élula, ada vez on una pequeña asmetría. La smulaón de la dereha se orresponde a un genoma aleatoro en el que se produen tambén 17 dvsones, pero on amplas varaones en el reparto del genoma, las asmetrías y las temporzaones. 5.. BIOEMERGENCES BoEmergenes es un proyeto de nvestgaón a nvel nternaonal nludo en el VI programa MARCO de la Unón Europea (nº ontrato NEST-0889). Se elebró un workshop nludo en dho proyeto en Torremolnos, entre el 7 y el 0 de mayo de 007. Tuve la

77 José Davd Fernández Rodríguez 5.. BIOEMERGENCES oportundad de asstr al msmo, aplando una modfaón del modelo embronaro desrto en el apartado 4. omo prueba de onepto a uno de los problemas tratados en el workshop. A grandes rasgos, Boemergenes pretende salvar toda una sere de desafíos entífoténos, desarrollando un método automatzado para obtener nformaón detallada del desarrollo embronaro (a nvel elular, regstrando la posón de ada élula ndvdual on una resoluón temporal del orden del mnuto). Como organsmo modelo se ha esogdo el pez ebra. Fgura 5.4. Proesamento de mágenes Se muestra una magen de una seón de embrón de pez ebra, y el omenzo del proeso de obtenón de bordes. Éste presenta mportantes dfultades ténas en el desarrollo del proyeto BoEmergenes. El problema en onreto al que se le ha aplado la prueba de onepto es la segmentaón de mágenes a rodajas (sles) del embrón temprano. Las mágenes de embrones de pez ebra al mrosopo proporonan nformaón sobre las membranas y los núleos de las élulas, y deben segmentarse de forma automatzada usando ténas de proesamento de mágenes, lo ual presenta problemas ténos mportantes. Puesto que durante la fase de embrón temprano las élulas no varían atvamente su forma, se pensó que podría usarse nuestro modelo elular de modo que aproxmara las formas elulares. El algortmo sería senllo (Cuadro 5.1). La dea es que las fronteras entre las élulas obtendas de esta forma se asemejarán a las reales, suponendo que nuestro modelo elular abstraga adeuadamente la físa real de las élulas embronaras

78 José Davd Fernández Rodríguez 5.. BIOEMERGENCES Cuadro 5.1. Pseudoódgo de segmentaón 1. Se determnan posones aproxmadas para los entros elulares.. Se mplementa una smulaón en la que en ada una de las posones defndas en el paso anteror se stúan élulas nalmente muy pequeñas. 3. Las élulas se haen reer lentamente, nrementando las r de sus muelles. 4. Cuando la ompresón general de una élula (medda omo la suma de las ompresones de ada uno de los muelles de sus mrotúbulos) supera erto umbral, la élula deja de reer. 5. Cuando todas las élulas aaban de reer o llegan a un tamaño máxmo se termna la smulaón. Fgura 5.5. Segmentaón basada en nuestro modelo En este expermento se asgnan manualmente las posones aproxmadas de los entros elulares y la forma de la envoltura. Haendo reer las élulas desde un tamaño nal pequeño hasta que están omprmdas entre sí, se onsguen notables ondenas entre los límtes reales de las élulas y los alulados por la smulaón. En una prmera aproxmaón se asgnaron manualmente las posones aproxmadas de los entros elulares, obtenendo una segmentaón aproxmada de mejor aldad que proesos equvalentes usados por los partpantes del workshop, basados únamente en proesamento de mágenes (en onreto, usando regones de Vorono análogamente a nuestras élulas en remento ). Aunque la prueba de onepto se había superado (dada nformaón perfeta sobre las posones elulares, la físa de nuestro modelo ofree resultados smlares a la físa real del embrón), se ntentó dseñar un algortmo que obtuvera la segmentaón automátamente, usando omo entros elulares aproxmados las posones de los núleos detetadas medante proesamento de mágenes. No obstante, dadas las lmtaones temporales y las dfultades ténas, no se llegó al msmo grado de fabldad de segmentaón que en el aso de la asgnaón manual de posones