Grafico Cusum (Mascara-V)

Transcripción

1 Grafico Cusum (Mascara-V) Resumen Los gráficos de sumas acumulativas monitorean datos por variables graficando las sumas acumulativas de las desviaciones al valor objetivo. Esto lo hace, incorporando la historia pasada del proceso dentro de los puntos graficados, alcanzando mayor sensibilidad y longitud de corridas cortas para que los gráficos X o X-Barra detecten cambios pequeños en la media del proceso. STATGRAPHICS ofrece dos procedimientos para la creación de los gráficos cusum: 1. El procedimiento Gráfico Cusum (Tabular), descrito en este documento, grafica dos sumas acumulativas unilaterales con límites de control horizontales. 2. El procedimiento Gráfico Cusum (Mascara-V), grafica una sola suma acumulativa bilateral con una Mascara-V para determinar cuando el proceso esta fuera-de-control. Este procedimiento también crea gráficos MR(2), R o S para monitorear la variabilidad del proceso. Ejemplo StatFolio: cusumvmask.sgp Datos del Ejemplo: El archivo processshift.sf3 contiene una muestra de números aleatorios descritos por Montgomery (2005). Los datos consisten de m = 30 observaciones, que serán tratadas como individuos. Una lista parcial de los datos en el archive se muestra abajo: Simple X (Muestra) Las primeras 20 observaciones fueron generadas aleatoriamente de una distribución normal con μ = 10 y σ = 1. Las últimas 10 observaciones fueron generadas con una distribución normal con μ = 11 y σ = 1, representando un cambio de 1 sigma en la media del proceso. Montgomery utiliza este ejemplo para ilustrar las propiedades de varios tipos de grafico de tiempo ponderado por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 1

2 Entrada de Datos Existen dos menús de selección para crear gráficos cusum tabular, uno para datos individuales y otro para datos agrupados. En el caso de datos agrupados, las observaciones originales son ingresadas, o las estadísticas de subgrupos pueden ingresarte también. Caso #1: Individuos Los datos a ser analizados consisten de una sola columna numérica de n observaciones. Se asume que los datos son tomados una sola vez sobre el tiempo. Observaciones: Columna numérica que contiene los datos a ser analizados. Etiquetas: Etiquetas opcionales para cada observación. Selección: Selección de un subconjunto de los datos. Caso #2: Datos Agrupados Observaciones Originales Los datos a ser analizados consisten de una o más columnas numéricas. Se asumen que los datos fueron tomados en subgrupos, en un orden secuencial por filas por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 2

3 Observaciones: Una o más columnas numéricas. Si más de una columna es ingresada, cada fila del archivo es asumida para representar un subgrupo con tamaño de subgrupo m igual al número de columnas ingresadas. Si solamente una columna es ingresada, entonces el campo Número o Tamaño de Subgrupo será utilizado para formar los grupos. Número o Tamaño de Subgrupo: Si cada conjunto de m filas representa un grupo, ingrese un solo valor para m. Por ejemplo, ingresar un 5 en el ejemplo anterior implica que los datos de la fila 1-5 formaran el primer grupo, fila 6-10 formaran el segundo grupo, y así sucesivamente. Si los tamaños de subgrupos no son iguales, ingrese el nombre de una columna numérica adicional o una columna de texto conteniendo identificadores por grupo. El programa puede escanear esta columna y colocar filas secuenciales con códigos identificadores dentro del mismo grupo. Etiqueta de Subgrupo: Etiquetas opcionales para cada subgrupo. Selección: Selección de un subconjunto de los datos por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 3

4 Caso #3: Datos Agrupados Estadísticas por Subgrupo En este caso, las estadísticas para cada subgrupo se calcularan por separado y se ingresan en la base de datos, como se muestra en la tabla de abajo: Sample (Muestra) Means (Medias) Ranges (Rangos) Sizes (Tamaños) Estadísticas por Subgrupo: Los nombres de las columnas que contienen las medias y rangos de los subgrupos. Número o Tamaño de Subgrupo: Si todos los subgrupos contienen el mismo número de observaciones entonces ingrese un solo valor para n. De lo contrario, ingrese el nombre de una columna numérica que contenga los tamaños de los subgrupos por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 4

5 Etiquetas del Subgrupo: Etiquetas opcionales para cada subgrupo. Selección: Selección de un subconjunto de los datos. Gráfico CuSum La Mascara-V se forma en el gráfico cusum al graficar las sumas acumulativas de las desviaciones al valor objetivo, junto con una Mascara-V para determinar si el proceso esta o no esta en un estado de control estadístico. 10 Carta CuSum para X 6 CuSum Observación Asumiendo que el proceso esta diseñado para operar en un nivel de la media μ, el procedimiento CuSum Mascara-V grafica las sumas acumulativas de las desviaciones con respecto a la media. Para datos individuales, el cusum esta definido ( ) C j = x i j i= 1 y para datos agrupados por ( ) C j = x i j i= 1 μ (1) μ (2) Si el proceso esta en un estado de control estadístico, el cusum puede variar alrededor de 0, mostrándose como una línea horizontal. Para determinar si o no el proceso esta en un estado de control estadístico en un tiempo j, una Mascara-V es colocada a una distancia d en frente de C j. La apertura de la mascara se dibuja en un ángulo de ± θ de la horizontal. Si la historia completa de la cusum miente dentro de la apertura de la mascara, el proceso es estimado en un estado de control estadístico. Si cualquier punto miente fuera de la mascara, el proceso es estimado como fuera-de-control. El gráfico anterior muestra una Mascara-V posicionada en frente de la cusum en j = 29, donde el punto j = 22 esta fuera de la mascara. Esta es la primera vez en la cual el gráfico puede indicar una 2006 por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 5

6 condición de fuera-de-control. Puesto que la pendiente de la cusum es positiva, la media del proceso parece haber cambiado hacia arriba. Los parámetros d y θ impactan en el desempeño del gráfico. Ellos están relacionados con el riesgo α de incorrectamente generar una señal fuera-de-control cuando el proceso está en control (una falsa alarma o Error Tipo I) y el riesgo β de no generar una señal fuera-de-control cuando el proceso cambia por una cantidad δσ (un error de alarma o Error Tipo II). Los parámetros son relacionados a los riesgos por: β d = σ ln (3) δ δ α / 2 δ θ = tan 1 (4) 2 El gráfico cusum es más comúnmente utilizado durante una Fase 2 para monitorear un proceso contra un estándar establecido. En el ejemplo actual, los parámetros son fijados en μ = 10 y σ = 1, correspondiente a la distribución sobre la cual las primeras 20 filas fueron generadas. Si se utiliza durante una Fase 1, los parámetros son reemplazados por las estimaciones de los datos actuales. En este caso, m n j x j j= 1 ˆμ = x = (5) m n j= 1 j mientras σ es estimada usando el método especificado en la sección Gráficos de Control de la caja de dialogo Preferencias. Gráfico MR(2)/R/S Un segundo gráfico también será incluido para monitorear la variabilidad del proceso por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 6

7 Carta MR(2) para X 4 3 LSC = 3.69 CTR = 1.13 LIC = 0.00 MR(2) Observación Para datos individuales, la carta que se despliega es un gráfico MR(2), descrita en la documentación de Gráficos de Control Individuales. Para datos agrupados, un gráfico de R (Rango) o S (Sigma) será presentado, dependiendo de la configuración en la sección Gráficos de Control de la caja de dialogo de Preferencias: Estás cartas se describen en la documentación sobre Gráfico X-Barra-R o Gráfico X Barra-S. Opciones del Panel 2006 por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 7

8 Límites de Precaución Externos: Active esta caja para agregar Limites de Precaución Externos en una sigma especificada, generalmente se trabaja en 2 sigma. Límites de Precaución Internos: Active esta caja para agregar Limites de Precaución Internos en una sigma especificada, generalmente se trabaja en 1 sigma. Promedio Móvil: Activando esta caja se agrega un suavizado de Promedio Móvil en el gráfico. Adicionalmente a las medias de los subgrupos, el promedio del más reciente q puntos será presentado, donde q es el orden del Promedio Móvil. El valor por omisión es q = 9 puesto que los límites de precaución internos a 1 sigma para las medias originales de los subgrupos son equivalentes a límites de control a 3 sigma para el orden del Promedio Móvil. Promedio Móvil Exponencialmente Ponderado (EWMA): Activar esta caja para agregar un suavizado EWMA sobre el gráfico. Adicionalmente a las medias de subgrupos, un promedio móvil exponencialmente ponderado de las medias de subgrupos será presentado, cuando λ es el parámetro suavizado de la EWMA. El valor por omisión λ = 0.2 puesto que los límites de precaución interno en 1 sigma para las medias originales de los subgrupos son equivalentes a límites de control a 3 sigma en la EWMA. Lugares Decimales para los Límites: El número de decimales utilizados para presentar los límites de control. Marcar Violaciones a Reglas de Corridas: Banderas con un símbolo especial en el punto para cualquier secuencia o corrida inusual (no aleatoria). Las reglas de corridas aplican por omisión a las especificadas en la sección Pruebas de Corridas dentro de la caja de dialogo Preferencias. Color de Zona: Activar esta caja para desplegar los colores de zona, verde, amarrillo y rojo. Reporte del Gráfico CuSum Este panel tabula los valores graficados sobre el gráfico de control: Reporte Carta CuSum para Individuos Observaciones Fuera de Límites X = Excluida * = Fuera de Límites Observación CuSum MR(2) 22 * Los puntos fuera-de-control están indicados por un asterisco. Los puntos excluidos de los cálculos son indicados por una X por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 8

9 Opciones del Panel STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Desplegar: Especifica las observaciones o subgrupos a presentar en el reporte. Resumen del Análisis El Resumen del Análisis sintetiza los datos y el gráfico de control. Gráfico CuSum Individuos (Máscara-V) - X Número de observaciones = 30 0 observaciones excluidas Distribución: Normal Transformación: ninguna Carta CuSum Período #1-30 Cambio a detectar 1.0 sigma alfa 0.01 beta 0.1 Máscara-V en muestra 29 Carta MR(2) Período #1-30 LSC: +3.0 sigma Línea Central LIC: -3.0 sigma fuera de límites Estimados Período #1-30 Estándar Media de proceso Sigma de proceso MR(2) promedio Desviación media Sigma estimada a partir del rango móvil promedio Se incluyen en la tabla: Información del Subgrupo: El número de observaciones o subgrupos m y el tamaño del subgrupo n (si no son individuos). Si cualquier observación o subgrupo se ha excluido de los cálculos, ese número también se presenta por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 9

10 Distribución: La distribución asumida para los datos. Por defecto, se asume que los datos siguen una distribución normal. Sin embargo, alguna de las otras 26 distribuciones puede seleccionarse usando Opciones de Análisis. Transformación: Cualquier transformación que se haya aplicado a los datos. Usando Opciones de Análisis, se puede elegir la transformación de los datos usando una transformación común como raíz cuadrada u optimizar la transformación utilizando el método de Box-Cox. Gráfico CuSum: Un resumen de los parámetros utilizados para posicionar la Mascara-V. Los parámetros incluyen la falsa alarma probabilidad α y la probabilidad β de no detectar un cambio de magnitud δσ. Gráfico MR(2)/R/S: Un resumen de la línea central y límites de control para el gráfico de dispersión. Estimaciones: Estimaciones de la media μ y desviación estándar σ del proceso. Los métodos para estimar la sigma del proceso dependen de la configuración en la sección Gráficos de Control sobre la caja de diálogo Preferencias, accesible desde el menú Edición. Las opciones están descritas en la documentación de Gráficos de Control Individuales y Gráficos X-Barra-R. Promedio MR(2), Rango Promedio, o Promedio S: El valor del estadístico utilizado para calcular la sigma del proceso. Desviación Media: La desviación promedio de las observaciones o medias de subgrupos con respecto al valor objetivo μ. Opciones del Análisis 2006 por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 10

11 Tipo de Estudio: Determina cómo se fijan los límites de control. Para un gráfico en un Estudio Inicial (Fase 1), los límites se estiman de los datos actuales. Para un gráfico del Control de un Estándar (Fase 2), los límites de control se determinan sobre la información en la caja de diálogo de la sección de Control de un Estándar. Cambio Sigma a Detectar: Un múltiplo de sigma en el cual el Error Tipo II β (el riesgo de no generar una señal) será fijado. Colocar la Mascara en: El valor de j en le cual se posicionara la Mascara-V. Gráfico CuSum: La falsa alarma probabilidad α y el error de alarma riesgo β. Límites de Control MR(2)/R/S: Un múltiplo de sigma en los cuales los límites de control serán posicionados sobre el gráfico de dispersión. Ingrese 0 para suprimir un límite. Control de un Estándar: Para desarrollar un análisis de Fase 2, seleccionando Control de un Estándar para el Tipo de Estudio y entonces ingrese un estándar establecido para la media y sigma del proceso (o otros parámetros si no se asume una distribución normal). Botón Excluir: Utilice este botón para excluir subgrupos específicos de los cálculos. Botón Transformar: Utilice este botón para especificar una transformación o Distribución No Normal. Para una discusión de las características de Excluir y Transformar, vea la documentación para Gráficos de Control Individuales. Curva ARL La curva ARL presenta el desempeño de un gráfico en una Fase Curva ARL para Cusum Longitud promedio de corrida Media de proceso La curva ARL grafica la Longitud Promedio de Corrida (número promedio de los valores trazados hasta que se incluye el primer punto más allá de los limites de control) como una 2006 por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 11

12 función de la verdadera media del proceso. Asumiendo que la media del proceso cambia de lugar a un nuevo valor, el gráfico demuestra cuánto tiempo en promedio se adquiere hasta que se genera una señal de fuera-de-control. Para cambios muy pequeños, nos puede tomar en exceso hasta 400 puntos en promedio para detectar el cambio. Con un cambio para μ = 11, el ARL es aproximadamente Grabar Resultados Los siguientes resultados pueden grabarse en la base de datos, dependiendo si los datos son individuales o subgrupos: 1. Sumas Acumulada Las sumas acumulativas en cada periodo de tiempo. 2. Rangos, sigmas, o rangos móviles Los valores dibujados sobre el gráfico de dispersión. 3. Tamaños El tamaño de los subgrupos. 4. Etiquetas Las etiquetas de los subgrupos. 5. Media de Proceso La estimación de la media del proceso. 6. Sigma de Proceso La estimación de la desviación estándar del proceso. 7. Observaciones incluidas Una columna de ceros (0) y unos (1) para excluir o incluir observaciones, respectivamente. Esta columna puede utilizarse en el campo Selección o para otra entrada de una caja de dialogo. Cálculos Equivalencia al Gráfico Cusum Tabular El gráfico cusum con forma de Mascara-V es equivalente al gráfico cusum tabular con los siguientes parámetros: k = tan θ h = d k (6) (7) ARL El ARL de un gráfico cusum de dos-colas es calculado de los ARL s de los dos cusum unilaterales de acuerdo a = + ARL ARL ARL + (8) donde para Δ 0 ARL ARL + = = exp( 2Δb) + 2Δb 1, Δ = δ - k (9) 2 Δ 2 exp( 2Δb) + 2Δb 1, Δ = -δ - k (10) 2 Δ por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 12

13 y b = h Si Δ = 0, entonces ARL + o ARL - = b 2. STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Datos Agrupados Las formulas en este documento asume que los datos que serán analizados son mediciones individuales. Si se analizan datos agrupados, sustituya x en lugar de x j y σ / n en lugar de σ. j 2006 por StatPoint, Inc. Gráfico Cusum (Mascara-V) - 13