CONTENIDO. a) TITULO: Arquitectura arácnida

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1 CONTENIDO a) TITULO: Arquitectura arácnida Las arañas en virtud de cierta intuición geométrica, saben que un polígono es más grande que un cuadrado y que un triángulo y que tendrá mayor posibilidad de atrapar su alimento o presa en dicha superficie. Las arañas se encuentran en el primer escalafón de la ingeniería por méritos propios, siendo capaces de producir uno de los biomateriales más resistentes que se conocen, superando en resistencia materiales tales como el Kevlar, la fibra de carbono, o el acero de alta resistencia. 1 Pero su fama no es sólo debida a que son productoras de este material si no al uso que hacen de él, formando estructuras elegantes que optimizan su producción y diseño para la captura de presas frente a impactos. 2 Todo esto unido a una gran adaptabilidad al medio y a sus condiciones, que han permitido su evolución e integración en la naturaleza. 3 b) Fotografía elegida 1 Gosline, J., Guerette, P., Ortlepp, C. and Savage, K. El diseño mecánico de las sedas arañas: desde la secuencia de la fibroína hasta la función mecánica. TheJournal of Experimental Biology, Cranford, S., Tarakanova, A., Pugno, N., Buehler, M. El comportamiento no lineal del material de la seda de araña produce redes robustas. Nature, Vollrath, F., Downes, M., Krackow, S. Variabilidad del diseño en geometría web de una araña. Physiology&Behavior,

2 c) Situación problemática La arquitectura de las telas de las arañas forma una optimizada estructura capaz de absorber los impactos de las presas eficazmente. La arquitectura de las tela que ATRAPAMOS es Tangle webs o cobwebs, maraña de telarañas, estas son telas con un aparente desorden pero muy eficaces en la captura. Pero, la araña logró tejer un polígono? a. Identifica puntos, segmentos, rectas y ángulos suplementarios y opuestos por el vértice en la telaraña? b. Los ángulos interiores y lados que muestra la telaraña son iguales? Fundamentar c. Puede hallar el perímetro de la telaraña? Fundamentar d. Hace mucho tiempo, un matemático Griego llamado Pitágoras descubrió una propiedad interesante de los triángulos rectángulos. Esta propiedad, que tiene muchas aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingeniería y la arquitectura, se le conoce como Teorema de Pitágoras. Puede visualizar esta propiedad en la tela de la araña? 3

3 d) Justificar algebraicamente en Geogebra La topología o arquitectura de red definida por la telaraña se presta a una modelización. Observando la imagen se pueden identificar los elementos que la constituyen. 1. Identificamos el centro U=(0,0) y otros puntos que se evidencian en la telaraña: La coordenada de un punto está dada por el valor que toma sobre el eje X (abscisa) y el valor que toma sobre el eje Y (ordenada). Se expresa como par ordenado: P 1 = (x, y) Ejemplo: I = (2.52, 0) 4

4 2. Trazamos rectas y segmentos para determinar la forma. Al realizarlo, pudimos observar que las distancias de los segmentos miden diferentes, determinando un polígono irregular. Todas las rectas pasan por el origen, por lo tanto b=0 y su pendiente a va a variar según la inclinación de dichas rectas. f(x)=ax+b y = 0,94 x + 0 2,56 Para entender lo que significa la Ecuación de la Recta es imprescindible revisar lo referido a la Geometría analítica y al Plano cartesiano. Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto en un plano. Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, y relaciona la matemática y el álgebra con la geometría por medio de las correspondencias anteriores. Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado. Por lo expresado anteriormente, podemos aventurar una definición más sencilla para la geometría analítica: Rama de la geometría en que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. 5

5 En la práctica, eso significa que cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares (Plano cartesiano) anotando las distancias desde dicho punto a cada uno de los ejes. En general, una línea recta se puede representar siempre utilizando una ecuación lineal con dos variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0 De la misma manera, se pueden encontrar fórmulas para la circunferencia, la elipse y otras cónicas y curvas regulares. La geometría analítica se desenvuelve en el llamado Plano cartesiano, y si recordamos, como ya dijimos, que Descartes y Fermat observaron la correspondencia entre las ecuaciones algebraicas y las figuras geométricas, podemos sacar como conclusión que los dos objetivos (o problemas) fundamentales de la geometría analítica son: La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano). Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado. Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. Ecuación general de la recta Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y). Es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano. Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación: Ax + By + C = 0 Que también puede escribirse como: ax + by + c = 0 y que se conoce como la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente teorema: La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta. 6

6 Un segmento es una porción de la recta unida por un par de puntos. Distancias de los segmentos en la gráfica 3. Hallamos un triángulo rectángulo IUF y verificamos el ángulo de 90 grados. 7

7 4. Calculamos la hipotenusa de dicho triángulo a partir de la medida de los catetos que lo componen. C= C= Buscamos ángulos suplementarios y opuestos por el vértice. HUI = IUV = = 180 SUPLEMENTARIOS JUH =15.51 = WUV =15.51 OPUESTOS POR EL VERTICE La araña logró tejer un polígono? En geometría, un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. Todos los pasos antes realizados demuestran que la araña tejió un polígono de tipo irregular, pues sus lados y ángulos no son congruentes. 8

8 e) Fotografía en Geogebra 9