Unidad 2 Geometría Analítica

Transcripción

1 Unidad 2 Geometría Analítica

2 Geometría analítica Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos; las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones. Lo que debes recordar La geometría analítica es la parte de las matemáticas que establece una conexión entre el álgebra y la geometría euclidiana, y en la cual se estudian figuras referidas a un sistema de coordenadas. René Descartes es considerado el creador o inventor de la geometría analítica.

3 Distancia entre dos puntos: Figura 2 5 y 3 : ~ ~~, 2).Jj((5,2) Encontrar la distancia entre los puntos A y B 1 O X

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5 División de un segmento en una razón dada

6 Teorema Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento cuyos PP 1 extremos son P1( x1, y 1) y P2( x2, y 2) en la razón dada r = son: PP 2 x = x + rx 1+ r 1 2 y = y + ry 1+ r 1 2 Siendo r 1.

7 2 2 Corolario Las coordenadas de un punto P que es el punto medio de un segmento cuyos extremos son P1( x1, y 1) y P2( x2, y 2), son: x x + x = = y y y

8 Pendiente y ecuación de una recta Definición de la pendiente Sea l una recta que no es paralela al eje y, y sean P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) de una recta puntos distintos en l. La pendiente m de l es m y 2 y 1 x 2 x 1. Si l es paralela al eje y, entonces la pendiente de l no está definida.

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10 Ecuación de la recta.

11 Rectas perpendiculares Figura 1 R(3,4) 5(-3,1) O X Q(3)-1)\

12 Rectas perpendiculares En En la figu la figu ra ra 1, se 1, se muestran dos dos rectas rectas perpendiculares, L, L, yl yl,, 2 Sus son: 2 Sus pendientes son: m, L,: m, L,: = = = -3 = -3 = -2 = Li Li m2 m2 = = = - 3= 6 = 6 2" = 2" Luego, m m' ' 1 m 2 = -1, ya que: 1 m 2 = -1, ya que: m m-rn -rn =-2--=-1 '22 ' Si Si L L 1 : y = m 1 x + n 1 yl 2 : y = m 2 x + n 2, con m 1, m 2 E 1 : y = m 1 x + n 1 yl 2 : y = m 2 x + n 2, con m 1, m 2 E R, R, se se cumple:

13 ECUACiÓN PRNCPAL ECUACiÓN GENERAL Sean las rectas de ecuaciones: Las rectas de ecuaciones: L,: y = 5x + 1 L,: 2x + 3y + 1 = O L 2 : 15x - 1Oy - 7 = O son perpendiculares entre sí,ya que: son perpendiculares entre sí, pues: En resumen se tiene: En general, 1 m -m = = -1, m -m = = -- = -1, En general, dos rectas, de ecuaciones: dos rectas, de ecuaciones: L,: y = mx + n 1 son perpendiculares, cumple: si se son perpendiculares, cumple: si se m 1 ' m 1 =-1

14 Rectas paralelas Figura y L 2 ~~+-+-~~-r~~~~ -4-2 R(-2,-1) -1 O S(4,-4~

15 Rectas paralelas. En la figura 1, se muestran dos rectas paralelas, L, y L 2, Se observa que ambas tienen la misma inclinación, lo que implica que sus pendientes son iguales, En efecto, L'm = =-=_ t Luego, m, = m 2,

16 Ejercicios Determina en cada caso el valor de k, para que se cumpla la condición dada. 9. L,: 2y + (4k + 2)x - 5 = OY L 2 : 3y + (3-15k)x - 5 = O son paralelas, 10. L,:kx+(k-l)y-18=OyL 2 :3x-2y-ll =Oson perpendiculares, 11. L,: k 2 x + (k + 2)y - 18 = OY L 2 : 2x - 2y - 2 = O son perpendiculares. 12. L,: 7x + Sy -18 = o y L 2 : kx - 8y - 2 = O no son paralelas ni perpendiculares.

17 tj Posiciones relativas entre rectas Determina, en cada caso, lo pedido. 11. La ecuación de la recta que es paralela a L,: y = 2x + 3 Yque pasa por P(3, 4). 12. La ecuación de la recta que es perpendicular a L,: 2x + 4y = 5 Y que pasa por Q(-l, 2). 13. Elvalor de k para que L,: 2x +y = -4yL 2 : 3x + ky =-2 sean paralelas. 14. Elvalor de k para que L,: 3x +2y = 1 Y L 2 : kx+2y =-2 sean perpendiculares.

18 Distancia entre un punto y una recta Frecuentemente en geometría nos encontramos con el problema de calcular la distancia desde un punto a una recta. Distancia de un punto a una recta La fórmula para calcular la mínima distancia medida desde el punto P(x 1, y 1 ) hasta la recta ` : Ax+ By+ C = 0, es: D P` = Ax 1 + By 1 + C p A 2 + B 2 Obviamente, suponemos que el punto en cuestión no está sobre la recta, porque en ese caso, la

19 A qué distancia pasa la recta 3 x + 4 y + 15 = 0 del origen? Este problema es equivalente a la siguiente solicitud: Calcula la distancia desde la recta 3 x + 4 y + 15 = 0 hasta el punto P(0, 0). Ahora que conocemos los datos, basta sustituir en la fórmula de distancia de un punto a una recta y realizar las operaciones que quedan indicadas: D = A x 1 + B y 1 + C p A 2 + B 2 = 3 (0) 4 (0)+15 p = p 25 = 15 5 = 3

20 1 y D = 3 2 x 3 x + 4 y + 15 = 0 4 5

21 Ejercicio. Hallar la distancia del punto A(3, -2) a la recta cuya ecuación es 2x +3y -6=0. Hallar la distancia del punto M (-2, -4) a la recta cuya ecuación es 2x +6y +12=0. d =2.53

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