6 Modelo de mediciones repetidas

Transcripción

1 6 Modelo de mediciones repetidas Parámetros de una suma de variables aleatorias Dadas dos variables aleatorias X e Y, la esperanza y varianza de la suma son: E(aX + by ) = ae(x) + be(y ) var(ax + by ) = a 2 var(x) + b 2 var(y ) + 2abcov(X; Y ) donde cov(x; Y ) es un parámetro que depende de la distribución conjunta de las varibles aleatorias. Cuando las variables aleatorias son independientes, cov(x; Y ) = 0, y en ese caso: si X e Y son independientes, var(x+y ) = var(x Y ) = var(x)+var(y ) Modelo de mediciones repetidas Cuando se realizan mediciones repetidas (con error aleatorio) de una magnitud, los resultados de cada medición pueden ser representados por las variables aleatorias X 1 ; X 2 ; ::; X n ; que se suponen independientes, con la misma distribución, y por consiguiente con la misma media y la misma desviación típica : En ese caso la media es la verdadera magnitud que deseamos medir y la desviación, depende de la precisión del método de medición. Cuando se eligen al azar n individuos de una población, y se mide determinada característica de esos individuos -por ejemplo hemoglobina-, los resultados de esas mediciones, también son variables aleatorias X 1 ; X 2 ; ::; X n ; independientes, con la misma distribución. En este caso y son la media y la desviación típica de la distribución de esa característica en la población. En ambos casos ese conjunto de variables aleatorias independientes y con la misma distribución se llama muestra aleatoria de esa distribución. Dada una muestra aleatoria, se de ne la media muestral como: X = 1 nx X i : n Entonces, la media muestral es una variable aleatoria, que cumple EX = ; var(x) = 2 n ; dt(x) = p n : (18) 40

2 En efecto, aplicando las propiedades de la esperanza:! EX = 1 nx n E X i = 1 nx EX i = 1 nx = n n también aplicando las propiedades de la varianza:! var(x) = 1 nx n var X 2 i y por ser variables independientes var! nx X i = nx var(x i ) = nx 2 = n 2 : A partir de (18) también se deduce que promediar varias mediciones aumenta la precisión. Si se tienen por ejemplo n = 10 mediciones y se desea duplicar la precisión o sea, reducir dt(x) a la mitad hace falta tomar n = 40 (y no n = 20). Ejemplo 6.1 En un experimento con = 0:5; se desea determinar cuántas mediciones hacen falta para que dt(x) 0:2: Partiendo de dt(x) = 0:5 p n 0:2; se deduce que p n 0:5=0:2 = 2:5; lo que implica n 2:5 2 = 6:25; y por lo tanto se necesitan por lo menos 7 mediciones. 6.1 Distribución de X Como ya se mencionó, X es una variable aleatoria y su distribución depende de la distribución de las X 1 ; X 2 ; ::; X n. En muchos casos conocer la forma de esta distribución no es simple, lo único que sabemos es que la media de X es la misma que la de las X i y la desviación típica de X es la misma de las X i dividida por p n. 41

3 Hay una situación particular en que la distribución de X es sencilla, cuando la muestra aleatoria X 1 ; X 2 ; ::; X n tiene distribución normal. Se puede demostrar que, si X e Y son independientes y tienen distribución normal, entonces también Z = ax + by tiene distribución normal. Más precisamente, si las distribuciones de X e Y son respectivamente N( 1 ; 2 1) y N( 2 ; 2 2); la de Z es N(a 1 + b 2 ; a b 2 2 2): Por lo tanto, dada una muestra aleatoria X 1 ; X 2 ; ::; X n,donde cada X i es N(; 2 ); entonces P n X i es N(n; n 2 ) y X es N(; 2 =n): Este resultado, sumamente importante, de la familia de distribuciones normales, no vale en general para cualquier distribución. Realice los ejercicios de 1 a 7 Ahora bien, si la distribución de las X 1 ; X 2 ; ::; X n no es normal, en general es di cil determinar la distribución de X. Pero el siguiente resultado es de gran ayuda cuando podemos contar con una muestra su cientemente grande. Teorema del límite central: Sean X 1 ; X 2 ; ::; X n variables aleatorias independientes y con la misma distribución, con media y desviación típica (es decir que X 1 ; X 2 ; ::; X n es una muestra aleatoria de esa distribución). Entonces si n es grande, X tiene aproximadamente una distribución normal con media y desviación típica = p n; del mismo modo P n X i también tiene p distribución aproximadamente normal con media n y desviación típica n: y Formalmente P X a X = P = p n a = p a = n = p n P! nx P n X i a = P X i n p a n p a n = p n n n Este teorema nos dice que cualquiera sea la distribución de las X 1 ; X 2 ; ::; X n, podemos calcular (al menos en forma aproximada) probabilidades de eventos relacionados con P n X i, o con X, siempre que n sea su cientemente grande. Como regla práctica podemos decir que con n > 30, se consigue una aproximación aceptable. 42

4 Ejemplo 6.2 Suponga que el consumo diario de calorías de una pesrsona es una variable aleatoria con media = 3000 y desviación típica = 350. Cuál es la probabilidad de que el consumo promedio de calorías diarias en el próximo año esté entre 2950 y 3050? Los consumos diarios de cada uno de los días del próximo año, los podemos representar conm las variables aleatorias X 1 ; X 2 ; ::; X 365, que podemos suponer independietes y todas tienen la misma distribución desconocida con media 3000, y desviación típica 350. Nos interesa calcular la probabilidad de que el promedio de esas 365 v. a. esté entre 2950 y 3050, esto es: P (2950 X 3050) = P ' 350= p = p 365 X = p = p = p ' 365 = (2:73) ( 2:73) = = 2(2:73) 1 = 2 0: = 0:9936 Realice los ejercicios de 8 a 10 Aplicaciones particulares del Teorema del límite central La distribución binomial, cuando n grande, se puede aproximar con una normal con media np y varianza np(1 p): Entonces si X s B(n; p) se cumple: P (X x) ' ((x np)= p np(1 p)) Esta aproximación es aceptable cuando np(1 p) > 5 La distribución de Poisson, cuando es grande, se puede aproximar a una normal con media y varianza : Entonces si X s P () se cumple: P (X x) ' ((x )= p ) Esta aproximación es acptable cuando > 30 Realice el resto de los ejercicios 43

5 Práctica 4 1. El error de medición de un aparato es aleatorio con desviación típica 10. Cuántas veces como mínimo hay que repetir la medición para que la desviación típica del promedio de las mediciones sea menor que 4?. 2. Suponga que el tiempo de espera de un autobús en la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en [0,5], en tanto que el tiempo de espera por la tarde es uniforme en [0,10] independiente del tiempo de espera en la mañana. Si una persona toma el autobús todas las mañanas y tardes de lunes a viernes. (a) Cuál es la media y la varianzadel tiempo total de espera en un día dado? (b) Cuál es la media y la varianza del tiempo total de espera en una semana? (c) Cuál es la media y la varianza de la diferencia entre el tiempo de espera a la mañana y el tiempo de espera a la tarde en un día dado? 3. Se eligen al azar 5 mujeres de la población del ejercicio 14 de la práctica anterior. Calcular la probabilidad de que el promedio de las presiones arteriales esté entre 60 y Suponga que la densidad del sedimento (g/cm) de un espécimen seleccionado al azar de cierta región está normalmente distribuida con media 2; 65 y desviación estándar 0; 85 (a) Se selecciona una muestra aleatoria de 15 especímenes cuál es la probabilidad de que la densidad promedio de la muestra sea a lo sumo 3; 00?, y entre 2; 65 y 3; 00? (b) Qué tan grande debe ser el tamaño muestral para que la primera probabilidad calculada en la parte (a) sea por lo menos 0; 99? 5. Suponga que cuando el ph de cierto compuesto químico es 5; 00, el ph medido por un estudiante es una variable aleatoria con con distribución normal con media 5; 00 y desviación estándar 0; 3. Un lote grande del compuesto se subdivide y se da una muestra a cada estudiante 44

6 de la comisión de la mañana y cada estudiante de la comisión de la tarde. Sea X el ph promedio medido por los alumnos de la mañana e Y el ph promeidio medido por los alumnos de la tarde. Si hay 15 estudiantes en el laboratorio de la mañana y 12 en el de la tarde, calcule P ( 0; 1 X Y 0; 1) 6. Cierto individuo valora como factor decisivo para la compra de un coche el consumo de gasolina. Debe decidir entre dos modelos A y B. El fabricante del modelo A a rma que su consumo sigue una distribución N(8; 5) (en litros/100 Km.), mientras que el de B dice que es N(8; 3). (a) Hallar la probabilidad de que el coche A consuma más de 9 litros/100 Km y la probabilidad de que B consuma entre 7 y 8; 5 litros/100 Km. (b) Si decide comprar el modelo B, calcular la probabilidad de que ahorre más de 2 litros=100 Km. 7. El peso (en Kg) de los hombres de una población sigue una distribución N(74; 10 2 ) y el peso de las mujeres una distriución N(62; 11 2 ) (a) Cuatro hombres entran en un ascensor cuya carga máxima es de 350 Kg. Cuál es la probabilidad de que entre los cuatro superen esa carga máxima? (b) Si entran dos hombres y dos mujeres, Cuál es la probabilidad de que entre los cuatro superen esa carga máxima? (c) Cuál es la probabilidad de que dos hombres, elegidos al azar en esa población, puedan jugar en un balancín, si sólo pueden hacerlo cuando sus pesos diferen en menos de 5 kg.? 8. El contenido de nicotina de un cigarrillo de una marca en particular es una variable aleatoria con media 0; 8 mg y desviación estándar 0; 1 mg. Si un individuo fuma 5 paquetes de 20 de estos cigarrillos por semana, cuál es la probabilidad de que la cantidad total de nicotina consumida en una semana sea por lo menos de 82 mg? 9. Se conectan 35 focos de luz infrarroja en un invernadero, de manera que si falla un foco se enciende otro inmediatamente. (Se enciende solamente un foco a la vez). Los focos funcionan independientemente y 45

7 cada uno tiene una vida media de 50 horas y una desviación estándar de 4 horas. Si no se inspecciona el invernadeo durante 1800 horas después de encendido el primer foco, cuál es la probabilidad de que al nal de ese período aún esté encendido un foco? 10. Un antropólogo quiere estimar la estatura promedio de los hombres de cierta raza. Si se supone que la desviación típica de la población es de 6; 35 cm, y se seleccionan al azar 100 hombres: (a) encuentre la probabilidad de que la diferencia entre la media muestral y la media verdadera de la población no exceda a 1; 25 cm. (b) si desea que la diferencia entre las medias muestral y poblacional sea menor que 1 cm, con probabilidad de 0; 95. Cuántos hombres debería seleccionar? 11. Si se selecciona una muestra de 95 individuos de una población donde la prevalencia de diabetes es de 0; 125. Calcule la probabilidad de que haya más de 10 diabéticos en la muestra. 12. Una línea aerea sabe que, en general, el 5% de las personas que hacen sus reservaciones para cierto vuelo no se presentan. Si la aerolínea vende 160 boletos para un vuelo que tiene 155 lugares disponibles, cuál es la probabilidad de que haya lugar disponible para todos los pasajeros que se presentan en el momento del vuelo? 13. Como parte del control de la contaminación, un experimentador pretende cuanti car el número de bacterias en un pequeño volumen de agua. Sea X el número de bacterias por cm 3 de agua y suponga que X tiene una distribución de Poisson con = 50. Si la contaminación permitida en el abastecimiento de agua es de 60 bacterias por cm 3, cuál es la probabilidad de que al examinar una muestra de un cm 3, se considere que cumple con la norma establecida? 14. Suponga que los aviones llegan a un aeorpuerto según un proceso de Poison con tasa 20 aviones por hora. Cuál es la probabilidad de que en un período de 3 horas lleguen menos de 52 aviones? 15. Se compran 100 bolsas de fertilizante de 5 kg cada una. Pero el veradero peso de cada bolsa es una variable aleatoria. 46

8 (a) Si el peso medio de cada bolsa es 50 kg y la desviación típica es 1 kg, cuál es la probabilidad de que la cantidad total de fertilizante comprado sea menor de 490 kg? (b) Si el peso medio es 49,8 kg y la desviación típica es 1 kg, calcular la probabilidad de que la cantidad total de fertilizante comprado sea menor de 490 kg? 47