Herramientas de los Sistemas de Información Geográfica (SIG) Análisis de Fronteras

Transcripción

1 Herramientas de los Sistemas de Información Geográfica SIG Análisis de Fronteras

2 Definiciones de autocorrelación espacial 1. Propiedad de un conjunto de datos situados en un mapa geográfico que muestran un patrón de organización.. Aplicando la PRIMERA LEY GEOGRÁFICA DE TOBLER 1970 que afirma: La autocorrelación espacial se basa en uno de los fundamentos geográficos más conocidos: En el espacio todo está relacionado con todo, pero los territorios más cercanos están más relacionados entre sí que los más alejados. Se puede definir la autocorrelación espacial como el grado de concentración o dispersión de los valores de una variable en un mapa, es decir, que se puede determinar el grado en que los objetos de una unidad geográfica son similares a otros objetos de unidades geográficas vecinas.

3 Análisis de fronteras y Test de Moran Las técnicas que se presentan a continuación sirven para obtener una medida cuantitativa del grado de correlación espacial entre áreas o zonas contiguas. La primera de ellas, el análisis de fronteras, es especialmente indicada cuando se trata de mapas de coropletas binarios, es decir, del tipo ausencia o presencia de un fenómeno.

4 Análisis de fronteras y Test de Moran En el análisis de frontera se adopta una hipótesis nula. Esta señala la existencia de una disposición de los datos al azar aleatorios, en cuyo caso se aplica un test de dos colas Área = 0.05 Área = 0.05 Rango de aceptacion de la hipótesis nula H z Rechazar H 0 Rechazar H 0

5 Análisis de fronteras y Test de Moran Como en todo test, previamente a su realización es necesario establecer el nivel de significación de éste. Generalmente de un 0.05 o un 0.01 %. Para ello, se tienen que normalizar las tres distribuciones que corresponden a los tres tipos de uniones, resta comparar estos números Z obtenidos con la distribución de una curva normal asumiendo previamente un nivel de significación.

6 Análisis de fronteras y Test de Moran La hipótesis nula consiste en la inexistencia de ningún tipo de autocorrelación espacial, se adopta un test de dos colas. Región de aceptación Acepte H0 si el valor de la muestra se encuentra en esta región. Rechazar H0 si Z / Z0 Z / Z / Z0.1/ Z0.05. De tablas de la normal, por simetría Z Valor crítico Z = Valor crítico Z = 1.64 Z

7 Análisis de fronteras y Test de Moran El análisis de fronteras es apropiado para aquellos datos que se presentan en una escala nominal constituidos por dos categorías. Se trata de variables del tipo población católica/no católica, de individuos de raza blanca/no blanca, etc. Si bien este hecho parece suponer una limitación importante, en la práctica también aquellos datos que se presenten en una escala de intervalos pueden ser transformados a una escala nominal municipios o delegaciones políticas con proporción de ancianos superior a la media, con una proporción inferior, etc..

8 Análisis de fronteras y Test de Moran La segunda técnica, el llamado test de Moran, cubre la misma finalidad para el caso de variables ya no binarias, sino medidas en escala cuantitativa. Ambas pruebas tienen por finalidad apreciar si la disposición de los valores ha sido debido al azar o no. En definitiva, su procedimiento es similar al de la técnica del vecino más cercano.

9 Tipos de autocorrelación espacial ANÁLISIS DE FRONTERAS BB: Positiva NN: Positiva BN: Negativa De esta combinación de cuadrículas negras y blancas, podemos inferir una autocorrelación espacial positiva entre las cuadrículas negras, es decir, una tendencia de éstas a agruparse, así como entre las blancas. Tan siginificativo como ambos hechos es la existencia de una autocorrelación espacial, pero esta vez de signo negativo, entre las cuadrículas blancas y las negras; o expresado en otros términos: una tendencia a separarse ambos tipos de tramas

10 Tipos de autocorrelación espacial ANÁLISIS DE FRONTERAS BB: Negativa NN:Negativa BN: Positiva En esta combinación de cuadrículas negras y blancas se muestra una situación simétrica, es decir, una autocorrelación espacial negativa entre las cuadrículas negras, otra idéntica entre las blancas, y una autocorrelación espacial positiva entre las blancas y las negras

11 Tipos de autocorrelación espacial ANÁLISIS DE FRONTERAS En esta combinación de cuadrículas negras y blancas se presenta una disposición al azar en la que no existe ninguna autocorrelación espacial. BB: Aleatoria NN: Aleatoria BN: Aleatoria

12 Tipos de autocorrelación espacial ANÁLISIS DE FRONTERAS La autocorrelación espacial es especialmente indicada en los fenómenos de propagación, es decir, que se adapten al modelo de difusión epidémica y en aspectos con un fuerte componente social, puesto que la población suele residir de un modo segregado.

13 Tipos de autocorrelación espacial ANÁLISIS DE FRONTERAS Consideraciones 1. Esta técnica exige una cuidada interpretación de los datos de los valores Z. Un resultado negativo no significa la inexistencia de autocorrelación espacial sino la presencia de una autocorrelación espacial de signo negativo. La autocorrelación espacial puede presentarse con valores negativos o positivos; existe autocorrelación positiva cuando valores similares de una variable aleatoria tienden a aglomerarse en el espacio, habiendo dependencia espacial entre ellos, por otra parte la autocorrelación negativa se presenta cuando las unidades geográficas de observación tienden a estar rodeadas de valores opuestos estadísticamente significativos.

14 Tipos de autocorrelación espacial ANÁLISIS DE FRONTERAS. Existen dos modos de contar las fronteras, siendo éste una consideración a tener en cuenta en el caso de mapas de coropletas conformados por cuadrículas o rectángulos. El procedimiento aquí expuesto se asocia a los movimientos de las damas en tablero de ajedrez, es decir, se consideran no sólo las fronteras laterales sino también las esquinas. Cabe realizar, dependiendo de las situaciones, un ánalisis de fronteras utilizando el símil de los movimientos de la torre en el ajedrez y, por lo tanto, despreciando las conexiones puntuales entre esquinas. Tanto los resultados como su inter pretación serán diferentes en un caso respecto al otro.

15 Tipos de autocorrelación espacial ANÁLISIS DE FRONTERAS Movimiento tipo torre Movimiento tipo dama

16 Tipos de autocorrelación espacial ANÁLISIS DE FRONTERAS AUTOCORRELACIÓN ESPACIAL Movimientos tipotorre BB = NN = BN = 3.6 BB = 1.81 NN = 1.81 BN = BB = 0.30 NN = 0.60 BN = + 1. BB = NN = BN =.45 Movimientos tipo Dama BB = NN = BN = 3.39 BB = 0.6 NN = 0.6 BN = BB = 0.09 NN = 0.43 BN = BB = NN = +1.1 BN =.47

17 Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Torre Considere la siguiente configuración: Obtenga los valores de ZBB, ZNN y ZNB. El procedimiento para medir la autocorrelación espacial se fundamenta en el conteo de uniones o fronteras entre las cuadrículas. Se siguen estos pasos:

18 Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Torre Paso 1. Se calcula la probabilidad de que existan cuadrículas blancas p o negras q en la configuración anterior. p = Número de cuadrículas blancas/total de cuadrículas. q = Número de cuadrículas negras/total de cuadrículas. La suma de probabilidades ha de ser 1. En el ejemplo:

19 Paso. Se cuentan las uniones observadas OBB blanco-blanco, ONN negro-negro y ONB negro-blanco. En este caso: Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Torre ONN= 10 OBB= 10 ONB= 4 Total de fronteras k OBB + ONN + OBN = = 4.

20 Autocorrelación espacial Movimiento tipo torre Paso 3. Se procede a calcular el número esperado de fronteras del tipo BB, NN y BN. Para ello, se utilizan las siguientes fórmulas: En donde J BB J NN J NB p q k k pqk J BB, J NN y J NB : Número de fronteras esperadas para cada tipo de unión. k : Número total de fronteras. p y q : Probabilidad de que una cuadrícula sea blanca o negra. La suma de las fronteras que se esperan de los dos tipos NN, BB y NB ha de ser igual al número total de fronteras, k. De tal modo que: J BB J NN J NB k

21 De donde: Autocorrelación espacial Movimiento tipo torre pqk NB J k q NN J k p BB J k NB J NN J BB J

22 Autocorrelación espacial Movimiento tipo torre Paso 4. Se calcula la desviación típica de las fronteras esperadas. En las fórmulas de la desviación típica el término m se define como: m n 0.5 j1 j j Cuadrículas TABLA 1 Cálculo del análisis de fronteras. No. de fronteras j j Fronteras j j m 0.5 n j1 j j

23 Matriz de pesos espaciales, contigüidad o conectividad, consiste en asignar un uno al elemento i, j de la matriz W cuando la región i es vecina de la j y cero en otro caso Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Torre No de fronteras

24 Autocorrelación espacial Matriz de pesos espaciales Movimiento Tipo Torre La matriz de pesos espaciales, conectividad o contigüidad es una de las formas más comunes de representar la ubicación geográfica de un conjunto de polígonos. Por convención, se le denomina W y es una matriz cuadrada. El número de filas o columnas está determinado por el de los polígonos independientes del mapa. La definición de W se basa en el concepto de contigüidad física de primer orden. A cada matriz que se construye así se le conoce como matriz de contigüidad binaria, donde w ij es 1 si las regiones i y j son físicamente adyacentes o 0 en caso contrario.

25 Desviación típica: Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Torre m k q p m k pq BN m k q mq NN J NN m k p mp BB J BB

26 Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Torre Paso 5. Una vez que se ha obtenido para los tres tipos de fronteras su valor esperado, así como la desviación típica de estas mismas fronteras esperadas, se calcula el número Z. De este modo, se normalizan las tres distribuciones BB, NN y NB y los resultados pueden compararse entre sí. Z BB O BB J BB BB Z NN O NN J NN NN Z NB O NB J NB NB

27 Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Torre En donde: Z BB, Z NN y Z NB : O BB, O NN y O NB : J BB, J NN y J NB : Número Z de las tres distribuciones. Fronteras observadas BB, NN y NB. Fronteras esperadas BB, NN y NB. BB, NN y NB : Desviación típica de las fronteras esperadas BB, NN y NB.

28 Autocorrelación espacial Movimiento tipo torre Para los tres tipos de uniones los números Z calculados son los siguientes: Z BB O BB J BB BB Z NN O NN J NN NN Z NB O NB J NB NB

29 Autocorrelación espacial Movimiento tipo torre Estos resultados apuntan a una considerable autocorrelación espacial negativa entre los cuadros blancos y negros 3.6. Igualmente se aprecia una autocorrelación espacial positiva entre los cuadros de tipo blanco +1., así como entre los cuadros de tipo negro y negro +1.. Región de aceptación Acepte H0 si el valor de la muestra se encuentra en esta región. Rechazar H0 si Z / Z0 Z / Z / Z0.1/ Z0.05. De tablas de la normal, por simetría Z Valor crítico Z = Valor crítico Z = 1.64 Z

30 Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Torre Este límite ha sido traspasado en una de las tres situaciones, la que corresponde a las uniones entre las cuadrículas blancas y negras. En consecuencia, si se considera un porcentaje de error del test del 10 %, puede afirmarse la existencia de una autocorrelación espacial negativa entre las cuadrículas de tipo B y N.

31 Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Dama Considere la siguiente configuración: Obtenga los valores de ZBB, ZNN y ZNB. El procedimiento para medir la autocorrelación espacial se fundamenta en el conteo de uniones o fronteras entre las cuadrículas. Se siguen estos pasos:

32 Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Dama Paso 1. Se calcula la probabilidad de que existan cuadrículas blancas p o negras q en la configuración anterior. p = Número de cuadrículas blancas/total de cuadrículas. q = Número de cuadrículas negras/total de cuadrículas. La suma de probabilidades ha de ser 1. En el ejemplo:

33 Paso. Se cuentan las uniones observadas OBB blanco-blanco, ONN negro-negro y ONB negro-blanco. En este caso: Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Dama ONN= 16 OBB= 16 ONB= 10 Doble frontera Total de fronteras k OBB + ONN + OBN = = 4

34 Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Dama Paso 3. Se procede a calcular el número esperado de fronteras del tipo BB, NN y BN. Para ello, se utilizan las siguientes fórmulas: En donde J BB J NN J NB p q k k pqk J BB, J NN y J NB : Número de fronteras esperadas para cada tipo de unión. k : Número total de fronteras. p y q : Probabilidad de que una cuadrícula sea blanca o negra. La suma de las fronteras que se esperan de los dos tipos NN, BB y NB ha de ser igual al número total de fronteras, k. De tal modo que: J BB J NN J NB k

35 De donde: Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Dama pqk NB J k q NN J k p BB J k NB J NN J BB J

36 j j 1 n j j 1 m 0.5 j1 j j Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Dama Paso 4. Se calcula la desviación típica de las fronteras esperadas. En las fórmulas de la desviación típica el término m se define como: m n 0.5 j1 j j TABLA 1 Cálculo del análisis de fronteras. No. de fronteras Cuadrículas j 1 1 j j j Fronteras m 0.5 n j1 j j

37 Matriz de pesos espaciales, contigüidad o conectividad, consiste en asignar un uno al elemento i, j de la matriz W cuando la región i es vecina de la j y cero en otro caso Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Dama No de fronteras

38 Autocorrelación espacial Matriz de pesos espaciales Movimiento Tipo Dama La matriz de pesos espaciales, conectividad o contigüidad es una de las formas más comunes de representar la ubicación geográfica de un conjunto de polígonos. Por convención, se le denomina W y es una matriz cuadrada. El número de filas o columnas está determinado por el de los polígonos independientes del mapa. La definición de W se basa en el concepto de contigüidad física de primer orden. A cada matriz que se construye así se le conoce como matriz de contigüidad binaria, donde w ij es 1 si las regiones i y j son físicamente adyacentes o 0 en caso contrario.

39 Desviación típica: Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Dama m k q p m k pq BN m k q mq NN J NN m k p mp BB J BB

40 Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Dama Paso 5. Una vez que se ha obtenido para los tres tipos de fronteras su valor esperado, así como la desviación típica de estas mismas fronteras esperadas, se calcula el número Z. De este modo, se normalizan las tres distribuciones BB, NN y NB y los resultados pueden compararse entre sí. Z BB O BB J BB BB Z NN O NN J NN NN Z NB O NB J NB NB

41 Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Dama En donde: Z BB, Z NN y Z NB : O BB, O NN y O NB : J BB, J NN y J NB : Número Z de las tres distribuciones. Fronteras observadas BB, NN y NB. Fronteras esperadas BB, NN y NB. BB, NN y NB : Desviación típica de las fronteras esperadas BB, NN y NB.

42 Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Dama Estos resultados apuntan a una considerable autocorrelación espacial negativa entre los cuadros blancos y negros Igualmente se aprecia una autocorrelación espacial positiva entre los cuadros de tipo blanco +0.95, así como entre los cuadros de tipo negro y negro Región de aceptación Acepte H0 si el valor de la muestra se encuentra en esta región. Rechazar H0 si Z / Z0 Z / Z / Z0.1/ Z0.05. De tablas de la normal, por simetría Z Valor crítico Z = Valor crítico Z = 1.64 Z

43 Autocorrelación espacial Movimiento Tipo Dama Este límite ha sido traspasado en una de las tres situaciones, la que corresponde a las uniones entre las cuadrículas blancas y negras. En consecuencia, si se considera un porcentaje de error del test del 10 %, puede afirmarse la existencia de una autocorrelación espacial negativa entre las cuadrículas de tipo B y N.

44 Preguntas? Comentarios? José Antonio Rivera Colmenero Teléfono Oficina Facultad de Ingenieria, UNAM Ext. 117