Espacio Cartesiano R 3

Transcripción

1 Espacio Cartesiano R 3 El espacio Euclidiano Vayamos ahora al espacio euclidiano. Para introducir en el coordenadas cartesianas, basta tomar tres planos concurrentes y perpendiculares dos a dos Este espacio se denomina espacio cartesiano y se denota por R 3. Los planos XY, YZ y ZX se denominan planos coordenados y dividen al espacio en octantes. Coordenadas en el espacio Para determinar las coordenadas cartesianas de un punto P en el espacio procedemos así: 1. Trazamos por P una perpendicular al plano XY y otra perpendicular al eje Z. 2. Por el pie H de la perpendicular al plano XY trazamos perpendiculares a los ejes X y Y para repetir la construcción realizada en el caso del plano, la cual nos permitió determinar las coordenadas de cualquier punto en el plano. 3. Entonces las coordenadas del punto P se determinan así: la primera coordenada es el número x asociado al pie R de la perpendicular de H al eje X, la segunda coordenada es el número y asociado al pie S de la perpendicular de H al eje Y, y la tercera coordenada es el número z correspondiente al pie T de la perpendicular desde P al eje Z. La terna ordenada (x, y, z) está formada por las coordenadas cartesianas del punto P. 1

2 Recíprocamente, dada una terna ordenada de números reales (a, b, c), el punto Q con esas coordenadas se localiza mediante los puntos A en el eje X, B en el eje Y y C en el eje Z de coordenadas a, b y c, respectivamente, haciendo la construcción siguiente: primero localizamos en el plano XY el punto D de coordenadas (a, b, 0) y, luego, sobre la perpendicular al plano XY por D subimos o bajamos según lo indique el signo de c. Cada uno de los planos coordenados puede caracterizarse por el hecho de que la coordenada faltante se anula; así, para los puntos del plano XY la tercera coordenada es cero y por tanto z = 0 es la ecuación del plano XY ; para los puntos del plano YZ la primera coordenada es cero y en consecuencia x = 0 es la ecuación del plano YZ; nalmente, para los puntos del plano XZ ocurre que la segunda coordenada es cero, por lo cual y = 0 es la ecuación del plano XZ. Distancia entre dos puntos en el espacio Según la gura 2

3 Se cumple el teorema de Pitágoras ( ) 2 (d(p 1, P 2 )) 2 = (x2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + ( (z2 z 1 ) ) 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 Por lo tanto d(p 1, P 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 División de un segmento en una razón dada en el espacio Teorema 1. Si P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) y P 2 = (x 2, y 2, z 2 ) son los extremos de un segmento P 1 P 2, las coordenadas (x, y, z) de un punto P que divide a este segmento en la razón r son x = rx 2 + x 1 y y = ry 2 + y 1 y z = rz 2 + z 1 Demostración. Se trazan paralelas a los ejes desde los puntos y se forman triángulo semejantes 3

4 En los triángulos semejantes se cumple P 1 P z z 1 = P P 2 z 2 z P 1P P P 2 = z z 1 z 2 z para una razón dada r se tiene También z z 1 z 2 z = r z = rz 2 + z 1 P 1P = P P 2 x x 1 x 2 x P 1P P P 2 = x x 1 x 2 x para una razón dada r se tiene x x 1 x 2 x = r x = rx 2 + x 1 En los triángulos semejantes se cumple P 1P = P P 2 y y 1 y 2 y P 1P P P 2 = y y 1 y 2 y para una razón dada r se tiene y y 1 y 2 y = r y = ry 2 + y 1 Ecuación del plano De acuerdo a las proyecciones En el plano XY la ecuación de la recta es En el plano XZ la ecuación de la recta es En el plano YZ la ecuación de la recta es ax + by + d = 0 ax + cz + d = 0 by + cz + d = 0 4

5 De manera provisional denimos la ecuación del plano en el espacio XYZ como ax + by + cz + d = 0 Distancia de un punto a un plano De acuerdo a las proyecciones En el plano XY la distancia de un punto a la recta es ax + by + d a2 + b 2 En el plano XZ la ecuación de la recta es ax + cz + d a2 + c 2 En el plano YZ la ecuación de la recta es by + cz + d b2 + c 2 5

6 De manera provisional denimos la ecuación del plano en el espacio XYZ como d(p, P lano) = ax + by + cz + d a2 + b 2 + c 2 6