Palabras claves: Sistemas dinámicos. Difusión de publicidad. Bifurcaciones.

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1 Estudio del comportamiento cualitativo de un sistema dinámico discreto de publicidad de marcas. Continuación de los equilibrios y estudio de sus bifurcaciones. Purificación Nadal Morales pnadal@us.es a. Francisco Velasco Morente velaco@us.es a a Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Sevilla.. Resumen En este trabajo, presentamos un modelo dinámico en tiempo discreto sobre publicidad de marcas y obtenemos sus puntos de equilibrio en función de los parámetros de ajuste. Realizamos la continuación de los puntos de equilibrio, encontrando la curva de puntos de equilibrios para cada parámetro del modelo. Calculamos los valores críticos de los parámetros alrededor de los cuales el sistema muestra comportamientos cualitativos distintos y describimos en cada caso, cual es dicho comportamiento. Por último, analizamos el sistema cuando sobre el interactuan dos de los parámetros del mismo, obteniéndose, así, comportamientos cualitativos más complejos. Palabras claves: Sistemas dinámicos. Difusión de publicidad. Bifurcaciones. 1. Introducción. En la actualidad, el entorno que nos rodea se ha vuelto más difícil de analizar y de comprender. De ahí, que la toma de cualquier tipo de decisión empresarial requiera, cada vez con mayor intensidad, una información más completa y por tanto más compleja de analizar. Por otra parte, es complicado para cualquier investigador encontrar un modelo que refleje, claramente, las relaciones con el entorno. Lo que resulta evidente es que cualquier relación llevará implícita su unión al tiempo, por lo tanto un modelo que pretenda reflejar la realidad, a través del tiempo, ha de ser de tipo dinámico. Por otro lado, se puede pensar que para que un modelo matemático sea capaz de captar toda la complejidad de la realidad, deber estar formado por un gran número de ecuaciones lineales, lo que implica trabajar con un gran número de variables explicativas y de parámetros de ajuste. La dinámica actual nos indica que por muy compleja que sea la realidad, la mayoría de las veces puede venir explicada a través de un modelo dinámico de estructura simple, que tiene la única particularidad de que las relaciones entre las variables son de tipo no lineal. En los últimos años han aparecido diversos trabajos sobre estudios cualitativos aplicados a los modelos económicos no lineales (Velasco 2002). En

2 ellos, se estudian no sólo la estabilidad de las soluciones de equilibrio de un sistema, sino además se analiza para qué valores de los parámetros el sistema presenta un cambio cualitativo en su comportamiento. Siguiendo la línea expuesta, el trabajo que desarrollamos a continuación está conformado de la forma siguiente: Comenzamos la segunda sección con el planteamiento económico del modelo, analizamos sus componentes y posteriormente razonamos una variante del mismo. En la sección tercera realizamos el estudio del modelo empezando por obtener los puntos de equilibrio del mismo. Después, hacemos la continuación del punto de equilibrio obtenido respecto a los parámetros del modelo, es decir, vamos obteniendo la curva de puntos de equilibrio en función de cada uno de los parámetros. A medida que se va realizando la continuación, se van encontrando los puntos de bifurcación de codimensión 1 (ver Guckenheimer; Govaerts). Una bifurcación es un cambio cualitativo en el comportamiento del sistema cuando el parámetro en estudio pasa a través del un valor crítico. La codimensión de una bifurcación es el número de condiciones independientes que necesitamos para determinar la bifurcación. Posteriormente, en la sección cuarta, ampliamos nuestro análisis haciendo que interactuen dos parámetros simultáneamente, es decir, encontrando los puntos de bifurcación de codimensión 2 (ver Kuznetsov). Durante todo el trabajo vamos comentando los significados de los conceptos obtenidos. Finalizamos con la sección quinta donde redactamos nuestras conclusiones y nuestros trabajos futuros. A la hora de obtener los valores numéricos obtenidos a lo largo de este trabajo, se ha utilizado el programa CONTENT (ver Kuznetsov). 2.- El modelo El modelo de publicidad por contacto (Feitchinger, 1992) entre usuarios de una marca y compradores potenciales viene dado por las ecuaciones:. xt () = k atxt () () yt () + β yt (). yt () = atxt () () yt () δ yt () (2.1)

3 donde xt () es el número de compradores potenciales de una marca específica en un momento t, y yt () el número de usuarios de la marca en ese momento. Se supone que el número de compradores potenciales que compran y además se hacen clientes en algún intervalo de tiempo corto es proporcional al número actual de compradores potenciales y al número de usuarios. A la constante de proporcionalidad at () se le llama la tasa de contacto entre clientes actuales y potenciales con lo que se tiene el término atxt () () yt (). Además se asume que dicha tasa se puede incrementar por un aumento en los gastos de publicidad y que esa tasa de publicidad es proporcional al número de compradores, con lo cual at () = α x() t. Se supone, además, que los clientes actuales cambian a una marca 2 rival en una proporción β. La subida de ventas de artículos semejantes de otras marcas o firmas afines influyen sobre el valor del parámetro. Como los individuos pueden volver a la marca original, entonces permanecen en el grupo de clientes potenciales. Además se asume que algunos clientes dejan el mercado para siempre (por ejemplo, por muerte o emigración) a una tasa constanteε. A la suma de ambos parámetros se le denota por δ ; δ = β + ε. Se supone que nuevos clientes potenciales entran en el mercado desde alguna fuente, tal como por un aumento de los ingresos, alguna otra forma de publicidad o cambios demográficos. De este modo, los individuos fluyen dentro del mercado de firmas con una tasa constante de input k. Consideramos que el modelo se mejora si se tiene en cuenta el esfuerzo que se realiza sobre la publicidad en el mercado cx() t de forma independiente, y que no aparece en el anterior sistema de ecuaciones. De tal forma, que a la ecuación que define el cambio del número de compradores potenciales, debe restarse esa respuesta, ya que el esfuerzo de publicidad irá encaminado a atraer clientes. En el caso de la ecuación que define el cambio del número de usuarios actuales del producto, el efecto atractor del esfuerzo de publicidad cx() t debe considerarse en sentido positivo, esto es que incrementará el número de personas que constituyen ese mercado actual. Ahora bien, los datos reales vienen dados en forma discreta, es decir, en unidades de tiempo mensuales, trimestrales, etc; es por ello por lo que tratamos conn un modelo dinámico en tiempo discreto. En definitiva, el modelo que planteamos, para su estudio, queda de la siguiente forma:

4 x = x + k ax y + β y cx 2 k+ 1 k k k k k y = y + ax y δ y + cx 2 k+ 1 k k k k k Donde k, αβ,, c son constantes positivas y δ = β + ε Puntos fijos del modelo. Continuación y bifurcaciones de codimensión 1. Vamos a representar nuestro modelo de una forma reducida de la siguiente forma: x f( x, α) donde x representa las variables del modelo y α los parámetros del mismo y f la relación matemática que se establece entre ellas (ver Kuznetsov). Los puntos de equilibrios o puntos fijos del modelo son soluciones del sistema dinámico, y se obtienen resolviendo las ecuaciones: x= f( x, α) Para la resolución de estas ecuaciones, al ser polinomiales, las hemos resuelto utilizando las bases de Gröebner, obteniendo un único punto fijo del sistema, que viene dado por la expresión: kε( β + ε) k ( x0, α0) =, 2 2 k α + cε ε Hemos considerado unos valores de los parámetros acorde con el modelo de difusión y que podemos poner como k = 0.01, ε = 0.01, β = 0.01, α = 0.05, c = 0.01, con los que se obtiene el punto fijo 1 (x,y)=(,1). 3 En general, la obtención de estos valores para los parámetros se realiza haciendo una calibración del modelo a datos reales, como pueden ser el número de clientes de una determinada marca respecto al resto de las marcas. Iniciamos nuestro análisis del modelo viendo como se comporta el sistema respecto a las variaciones de la acción directa sobre los compradores potenciales,

5 es decir vamos a realizar la continuación del equilibrio activando el parámetro c. En la Figura 1 se puede observar la proyección de los puntos fijos al plano (, cx, ) donde se aprecia la variación de la variable x a medida que el parámetro c va creciendo, llegándose a obtener una bifurcación Flip o de Periodo Doble (PD) para el punto ( xy, ) = ( ,1) cuando el parámetro c alcanza el valor crítico Una bifurcación Flip o de periodo doble tiene las características siguientes: Cuando nos movemos en un entorno del punto relevante y para valores del parámetro menores que el valor crítico obtenido, el punto de equilibrio es estable y va acompañado de un ciclo de periodo dos que es inestable. Mientras el parámetro tiende hacia el valor crítico de bifurcación, el ciclo de periodo dos se va reduciendo hasta desaparecer, y el equilibrio se vuelve inestable. Para valores del parámetro mayores que el valor crítico, el punto de equilibrio es inestable. Si observemos de nuevo la Figura 1. Al ir creciendo x se llega a otro punto de bifurcación ( xy, ) = ( ,1) cuando el parámetro alcanza el valor crítico c = (ver Tabla1), en este caso se trata de una bifurcación Neimark- Sacker (NS). Una bifurcación Neimark-Sacker presenta las siguientes características: En un entorno del punto relevante y para valores del parámetro menores que el valor crítico obtenido, el sistema presenta un punto de equilibrio que es estable. Mientras el parámetro tiende al valor crítico de bifurcación, el punto sigue manteniendo su estabilidad, pero al pasar por dicho valor, el punto de equilibrio se vuelve inestable y aparece una curva cerrada invariante y estable que lo rodea, es decir, el comportamiento acaba siendo cíclico, repitiéndose cada cierto tiempo. En la tabla 1 hemos resumido los datos obtenidos Tabla 1 Par. Activ. Tipo punto Valor par. x Y Valor ángulo C PD C NS

6 Fig. 1 Nos preguntamos si es posible que existan nuevas duplicaciones de periodo partiendo de la que hemos encontrado inicialmente, es decir, si es posible que exista periodo 4, periodo 6, periodo 8., esto es, vamos buscando si se produce un fenómeno que es conocido como una cascada de duplicación de periodo. Para ello, seguimos manteniendo activo el parámetro c y obtenemos dos nuevos puntos de Neimark-Sacker (Ver Figura 2) que no aportan nada nuevo a nuestro estudio. Sus valores quedan reflejados en la Tabla 2. Tabla 2 Par. Activ. Tipo punto Valor par. x Y Valor c NS(silla) λ = c NS(silla) λ = ángulo

7 Fig. 2 Reiniciamos, de nuevo, el estudio del sistema, fijando nuestra atención en la variación de la tasa con la cual los clientes dejan el mercado, es decir activamos el parámetro ε. Si observamos la gráfica de la Figura 3, en ella aparecen dos puntos de duplicación del periodo, que hemos representado por PD(1) y PD(2). Estudiemos el primero de ellos cuyas coordenadas son ( xy, ) = ( , ) cuando el parámetro alcanza el valor crítico ε = (ver Tabla 3). Hemos buscado la posibilidad de que el periodo se siguiera duplicando, para ello hemos realizado la continuación del equilibrio del punto PD(1), obteniendo dos nuevos puntos Neimark-Sacker silla para los valores del parámetro y de las coordenadas que refleja la Tabla 4. Tabla 3 Par. Activ. Tipo punto Valor par. X Y Valor ε PD (1) ε PD (2) ángulo

8 Tabla 4 Par. Activ. Tipo punto Valor par. X Y Valor ε NS(silla) λ = ε NS(silla) λ = ángulo Tomamos, entonces, el otro punto de duplicación de periodo PD(2) que si consultamos la Tabla 3 se sitúa en las coordenadas ( xy, ) = ( , ) para el valor crítico ε = Al realizar la continuación del equilibrio de este punto se obtienen dos nuevos puntos de duplicación del periodo PD(3) y PD(4) cuyos valores efectivos pueden comprobarse en la Tabla 5. Tabla 5 ar. Activ. Tipo punto Valor par. x Y Valor ε PD (3) ε PD (4) ángulo Si realizamos la continuación del equilibrio para los puntos de duplicación del periodo que vamos obteniendo sucesivamente, aparece la cascada de duplicación de periodos que puede observarse claramente en la Figura 4 que henos obtenido al ampliar la Figura 3. Los datos concretos pueden observarse en las tablas 6,7,8, que exponemos a continuación. Tabla 6: continuación del punto PD (3) Par. Activ. Tipo punto Valor par. x Y Valor ε PD (5) ε PD (6) ángulo Tabla 7: continuación del punto PD (4) Par. Activ. Tipo punto Valor par. x Y Valor ε PD (7) ε PD (8) ángulo Tabla 8: continuación del punto PD (7) Par. Activ. Tipo punto Valor par. x Y Valor ε PD ε LP ε PD ángulo

9 Fig 3 Fig 4

10 Veamos como se ve afectado el modelo cuando se varía la proporcionalidad con la cual los clientes actuales cambian a una marca rival, es decir, vamos a realizar la continuación del punto fijo pero activando el parámetro β. La proyección al plano ( β, x) puede observarse en la Figura 5, donde aparece un solo punto de bifurcación de codimensión 1, en este caso una bifurcación de Neimark-Sacker. Hemos obtenido las coordenadas de dicho punto que son x = e y = 1 en el valor crítico del parámetro β = La diferencia de esta bifurcación con la anterior es que al tener el coeficiente de la forma normal negativo se trata de una bifurcación Neimar-Secker subcrítica lo que significa que la curva invariante cerrada aparece, en este caso, antes de que se produzca la bifurcación. Hemos recogido los datos en la Tabla 9 y en la Figura 5. Tabla 9 Par. Activ. Tipo punto Valor par. x y Valor ángulo β NS Fig. 5

11 Si variamos, ahora, la tasa de proporcionalidad que mide la eficacia de la publicidad, volvemos a encontrarnos con una cascada de duplicaciones del periodo como se puede observar en la Figura 6, que refleja las ramas que se han ido obteniendo en el plano ( α, x). Hemos recogido algunos datos específicos en la tabla 10. Tabla 10 Par. Activ. Tipo punto Valor par. x y Valor α PD α PD α PD α PD α PD Fig. 6

12 Algo similar ocurre cuando queremos ver como se comporta el modelo respecto a la variación con la cual los individuos fluyen dentro del mercado. Si se observa la Figura 7, se aprecia como ocurre, de nuevo, una cascada de duplicaciones del periodo, partiendo del punto fijo de coordenadas x = e y = en el valor crítico del parámetro k = Los datos están recogidos en la Tabla 11. Tabla 11 Par. Activ. Tipo punto Valor par. x y Valor k PD k PD k PD k PD k PD Fig.7

13 4.- Análisis de las bifurcaciones de codimensión 2. Nuestro próximo objetivo es analizar los diferentes comportamientos que va mostrando el modelo cuando hacemos que interactuen dos de los parámetros que lo conforman. Teóricamente, lo que vamos a hacer es estudiar las posibles bifurcaciones de codimensión 2 que puede mostrar el modelo. Una bifurcación de codimensión 2, es aquella bifurcación que viene explicitada por dos condiciones independientes. Si partimos de un punto de bifurcación de codimensión 1 y activamos otro parámetro, obtendremos los posibles puntos de bifurcación de codimensión 2. Para realizar el estudio, tomamos como punto de partida la acción directa sobre compradores potenciales, y veremos como se interrelaciona con el resto de los parámetros del sistema. Analizamos primero la interrelación con la tasa de clientes que abandonan el mercado. Para ello, partimos inicialmente del punto de bifurcación de Neimark Sacker que está recogido en la Tabla 1 y activamos el parámetro ε. Al proyectar sobre el plano (, cx, ) ver Figura 8, obtenemos el punto de coordenadas ( , ) en el que se verifica una bifurcación de Chenciner para los valores críticos de los parámetros c= e 3 y ε = e 2 (ver Tabla 12). Una bifurcación de Chenciner, que representaremos por DN, es una bifurcación de Neimark- Sacker degenerada, llamada así porque cumple las condiciones de una bifurcación de Neimar-Secker, pero el coeficiente de la forma normal asociada se anula en el punto crítico. Esta bifurcación da lugar a tipos de comportamientos muy diferentes dependiendo de la región del plano paramétrico (, c ε ) en la que nos estemos moviendo. Tabla 12 Par. Activ. Par. Activ. Tipo punto x y cos( θ ) c= e-3 ε = e-2 DN

14 Fig. 8 Veamos, ahora, como se comporta el modelo cuando el efecto sobre el marketing se interrelaciona con la proporcionalidad en la que los usuarios pasan a una marca rival. Partimos, del mismo punto inicial del caso anterior, ver Tabla 1, y activamos el parámetro β. Al proyectar, nuevamente, en el plano (, cx ) se puede observar la Figura 9, en la que se destacan dos nuevos puntos de bifurcaciones de codimensión 2, cuyos datos los hemos recogido en la Tabla 13. Uno de ellos presenta una bifurcación de Chenciner y el otro presenta un nuevo tipo de bifurcación que es conocida como Resonancia 1:1. Este último tipo de bifurcación se suele representar por R1, es una bifurcación de codimensión 2 que se verifica cuando la jacobiana del sistema en el punto crítico tiene dos multiplicadores que toman el valor uno. Análogamente a lo que ocurre con la bifurcación Chenciner, el comportamiento del modelo depende de

15 la región paramétrica, en este caso del plano (, c β ), que estemos considerando. Tabla 13 Par. Activ. Par. Activ. Tipo punto x y cos( θ ) c= e-3 β = e-2 DN c=-0.05 ε =-0.01 R e-6 1 a=1.376e-6 b= Fig 9 Seguimos con nuestro estudio, con la tasa de proporcionalidad que mide la eficacia de la publicidad. Partimos, nuevamente de nuestro punto inicial y si observamos la Figura 10, encontramos una bifurcación de Neimark-Sacker degenerada en el punto ( ,1) para los valores críticos de los parámetros c y α que hemos recogido en la Tabla 14. Tabla 14 Par. Activ. Par. Activ. Tipo punto x y cos( θ ) c= e-3 α = DN

16 Fig. 10 Hacemos que entre ahora en juego, la tasa con la que los individuos fluyen dentro del mercado. Procediendo como ha sido habitual hasta este momento, obtenemos la gráfica que muestra la Figura 11. En ella se puede apreciar la existencia de diversas bifurcaciones de codimensión 2. Si ampliamos la zona que corresponde a nuestro punto inicial de partida, vemos que aparecen diversas bifurcaciones Neimark-Sacker degeneradas en un entorno muy reducido de ese punto. Puede verse más claramente si se observa la Figura 12 que es una ampliación de la zona en cuestión. Entre todos los valores encontrados, hemos resaltado uno de ellos en la Tabla 15. Tabla 15 Par. Activ. Par. Activ. Tipo punto x y cos( θ ) c= e-3 k = e-3 DN

17 Fig. 11 Fig. 12

18 La siguiente etapa de nuestro análisis es estudiar la interrelación de la acción directa de los compradores potenciales con el resto de parámetros, pero tomando como punto de partida el punto singular donde se produce la bifurcación de ciclo de periodo dos, (ver Tabla 1 y Figura 1). Pero al realizar la continuación del equilibrio partiendo de ese punto, no hemos encontrado puntos significativos de interés, por lo cual damos por finalizado, aquí, el estudio sobre este parámetro. 5. Conclusiones y trabajos futuros El modelo de publicidad alcanza un punto de equilibrio entre los usuarios de la marca y los compradores potenciales. Ahora bien, como este equilibrio depende de los parámetros del modelo, su estabilidad o inestabilidad vendrá dada en función de ellos. Hemos estudiado el comportamiento del modelo cuando se varían, uno a uno, los parámetros del sistema. Es decir, se ha realizado la continuación del equilibrio activando, en cada caso, el parámetro indicado y se han encontrado puntos críticos donde el comportamiento del modelo, en un entorno de dichos puntos, podía ser muy diferente al variar ligeramente el valor del parámetro, esto es, puntos de bifurcación de codimensión 1 y cascadas de duplicaciones del periodo. Hemos analizado, posteriormente, como evoluciona el sistema cuando sobre él interactúan dos de los parámetros del mismo. Para ello, se han tomado como punto de partida alguno de los puntos críticos encontrados y se ha activado un segundo parámetro, con lo cual se han localizados puntos donde el modelo presentaba bifurcaciones de codimensión 2. En todos los casos, se ha explicado, someramente, el comportamiento que se espera que tenga el modelo en un entorno de esos puntos relevantes. Como trabajo a desarrollar en un futuro, nos hemos planteado analizar con más profundidad las cascadas de duplicación del periodo encontradas. Otra cuestión a desarrollar es el ajuste de los parámetros del modelo a datos reales. En este aspecto estamos aplicando, en colaboración con el Departamento de Construcciones Arquitectónicas I de la Universidad de

19 Sevilla, el modelo al área de la construcción, realizando un estudio regional sobre las ventas de tejas cerámicas y de hormigón en diversas regiones españolas. También existe el proyecto de aplicar el modelo al estudio de una marca de cerveza dominante respecto a otras en Andalucía y a nivel nacional. Realizado el ajuste y una vez encontrado los parámetros que mejor ajustan el modelo, estudiamos si el comportamiento real se ajusta a uno de los comportamientos posibles que se obtienen en este estudio, y lo más importante que es, encontrar el conjunto paramétrico en el que el comportamiento es el mismo, con lo cual realizamos una clasificación del comportamiento de nuestro sistema dependiendo de en que parte del espacio paramétrioco se encuentre el sistema. Referencias [1] G. Feichtinger. Hopf bifurcation in an advertising diffusion model. Journal of Ecnomic Behavoir and Organization, 17: , [2] Govaerts, W.J. Numerical Methods for bifurcations of Dynamical Equilibria. SIAM, Philadelphia, [3] Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and bifurcations of Vector field. Fourth ed. Springer-Verlag, New York, [4] Kuznetsov, Y. A. Elements of Applied Bifurcations Theory. Second ed. Mathematical Sciences. Springer, New York, [5] Kuznetsov, Y. A, Levitin, V.V. Content: A multipaltform environment for analyzing dynamical systems. Tech. Rep. Dynamical Systems Laboratory, CWI. Amsterdam, [6] Velasco F y otros Continuaciones de los Equilibrios de un Sistema Dinámico Económico con Bifurcaciones de Codimensión 1 y 2. Computación y Sistemas. 5: Centro de Investigaciones y Computación de IPN. México, [7] Landa F.J, Velasco F. Función de demanda y caos. Esic-Market. Cuarto trimestre, Madrid(1997)