II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA PARTÍCULA

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1 II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA PARTÍCULA En este capítulo el siguiente estudiaremos eclusivamente sistemas de fuerzas en el plano, es decir, en dos dimensiones. Una vez comprendido cabalmente será mu fácil entender los sistemas de fuerzas en tres dimensiones, llamadas también fuerzas en el espacio. Seguiremos la división que señalamos en el capítulo anterior: fuerzas colineales fuerzas concurrentes en este capítulo, fuerzas paralelas fuerzas no concu-rrentes ni paralelas, en el siguiente Resultantes de los sistemas de fuerzas colineales Consideremos dos fuerzas concurrentes en el punto A. Por la le del paralelogramo sabemos que su resultante se encuentra en la diagonal del paralelogramo formado por ellas. Si el ángulo que forman dichas acciones es mu pequeño, la magnitud F 2 R de la diagonal se aproima a la suma F de los lados. Podemos deducir que si 1 dos fuerzas son colineales, la resultante es otra fuerza colineal cua mag-

2 nitud es igual a la suma de las magnitudes R de las dos fuerzas. En el caso en que las dos fuerzas colineales tengan sentidos contrarios, el razonamiento anterior nos lleva a concluir que entonces la resultante tiene el sentido de la fuerza más F 1 R F 2 F 2 grande su magnitud es la diferencia F 1 entre las magnitudes de las dos fuerzas. Si un sistema, en vez de ser de dos fuerzas, está formado por mil, el procedimiento se podría repetir mil veces para obtener la magnitud el sentido de la resultante. O sea, que podemos generalizar afirmar que la obtención de la resultante de un sistema de fuerzas colineales se logra mediante la siguiente ecuación: R = F es decir, que la magnitud es la resultante es igual a la suma algebraica de las fuerzas del sistema, su sentido queda determinado por el signo de esa suma, su línea de acción es la misma que la de las fuerzas del sistema. Ejemplo. Determine la magnitud la dirección de la resultante de las cuatro fuerzas que actúan sobre la argolla de la figura. 10 kg 24 kg kg 16 kg Elegimos un sistema de referencia así 15 20

3 R = F R = = 10 El signo negativo significa que la fuerza resultante tiene sentido contrario del eje de las equis R = 10 kg 15 Resultantes de los sistemas de fuerzas concurrentes Dividiremos nuestro estudio en dos casos: resultante de sólo dos fuerzas concurrentes, resultantes de más de dos fuerzas concurrentes. A) Dos fuerzas concurrentes La le del paralelogramo establece claramente como hallar gráficamente la magnitud la dirección de la resultante de dos fuerzas que concurren en un punto. Ejemplo. Determine gráficamente la resultante de las dos tensiones que jalan la argolla de la figura. 40 kg kg Dibujamos un paralelogramo cuos lados sean proporcionales a las magnitudes de las fuerzas. Por cada 10 kg daremos a los lados una longitud de 1 cm con el transportador medimos los ángulos que los lados forman con la horizontal. Una vez dibujado el cuadrilátero, trazamos la diagonal que pasa por el punto de concurrencia de las fuerzas medimos tanto su θ 50 R 21

4 longitud como el ángulo que forma con la horizontal. Como a cada cm correspondieron 10 kg, la resultante de estas dos fuerzas es R = 71 kg 12 Puesto que el método gráfico es poco preciso e impráctico, intentaremos deducir un método analítico o trigonométrico. Observemos que el paralelogramo del ejemplo está contiene dos triángulos, dos de cuos lados son las fuerzas el tercero, la resultante. Por tanto, en vez de construir un paralelogramo, dibujaremos una fuerza a continuación de la otra; la resultante unirá el origen de la primera con la punta de la segunda. Del triángulo conocemos, por tanto, dos lados el ángulo que forman entre sí. Y mediante cualquier le del triángulo podemos hallar la magnitud de R su dirección. Ejemplo. Halle analíticamente, mediante la le del triángulo, la magnitud la dirección de la resultante de las dos fuerzas que actúan sobre la argolla de la figura. 40 kg kg Dibujamos esquemáticamente una fuerza a continuación de la otra unimos el origen de la primera con la punta de la segunda: este lado corresponde a la resultante. Tenemos, pues, un triángulo del que conocemos dos lados el ángulo que forman entre sí. Conforme la le de cosenos, R 2 = F F 1 2 2F 1 F 2 cos Θ θ R R 2 = (40)50 cos 105 =

5 , por la le de senos, sen Θ 40 = sen por tanto = Y el ángulo que R forma con la horizontal es = Por fin R = 71.7 kg 12.4 Resolución de fuerzas Una vez que sabemos cómo hallar la resultante de dos fuerzas concurrentes, trataremos de realizar el proceso contrario, es decir, resolver o descomponer una fuerza dada en dos componentes que constituan un sistema equivalente. Ilustraremos el procedimiento de los tres casos principales mediante cuatro ejemplos. El primer caso consiste en resolver una fuerza en dos componentes que tengan ciertas direcciones; el segundo, descomponer la fuerza en dos componentes de cierta magnitud; el último, en resolver la fuerza en una componente en cierta dirección otra de cierta magnitud. Ejemplo. Resuelva la tensión horizontal de 120 kg en dos componentes: C1 en la dirección de las barra AB, C2, en la dirección de la barra BC. A B 120 kg Comenzamos dibujando la fuerza que ha de descomponerse, en cada uno de sus etremos líneas paralelas a las direcciones de las componentes 23

6 Le de senos: sen 135 = C 1 sen 30 = C 2 sen 15 C 1 = 120 (sen 30 ) sen 135 C C 1 15 C 2 = 120 (sen 15 ) sen 135 C 1 = 84.9 kg C 2 = 43.9 kg Ejemplo. Diga cuáles deben ser las direcciones 1 2 de modo que la resultante de las dos tensiones ejercidas sobre la argolla sea una fuerza vertical de 750 lb. A θ 1 θ 2 600# 500# B Dibujamos la fuerza que deseamos descomponer, con centro en sus etremos, trazamos dos arcos de circunferencia correspondientes a las fuerzas de lb. β 500 Le de cosenos = (750)600 cos α 750 α 600 cos α = (750) α = 41.6

7 β α θ 1 θ 2 Le de senos sen β 600 sen β = = sen sen β = 52.9 Puesto que α β son los ángulos complementarios de θ2 θ 1, respectivamente, Θ 1 = 37.1 Θ 2 = 48.4 Ejemplo. Descomponga el peso de 2000 N en dos componentes: C1 que forme un ángulo de 30 con la vertical, C2 cua magnitud sea de 1100 N. C 2=1100 N θ 30 C N Dibujamos la fuerza vertical que vamos a descomponer. En un etremo, una línea a 30, con centro en el otro, trazamos un arco de circunferencia que corresponde a la fuerza de 110 N C C α θ α θ

8 Como se pueden formar dos triángulos, ha dos soluciones. Primera solución Le de senos sen α sen 30 = sen α = α = sen = Θ = = 84.6 C 1 sen 84.6 = 1100 sen 30 C 1 = 1100 sen 84.6 sen 30 = 2190 Las primeras respuestas son C 1 = 2190 N Θ = 84.6 C 1 sen 35.4 = 1100 sen 30 C 1 = 1100 sen 35.4 sen 30 Y las segundas respuestas son C 1 = 1274 N Θ = 35.4 A Ejemplo. Descomponga el peso de 240 lb en dos componentes: C1 en dirección de la barra BC, C2, cua magnitud sea la menor posible. B 58 C 240 # 26

9 Dibujamos la fuerza vertical de 240 lb, una línea a 58. El lado menor con que se puede formar un triángulo es uno perpendicular a la línea de C 2 C 1 = 240 cos 58 C 2 = 240 cos C 1 C 1 = lb C 2 = 204 lb Componentes cartesianas Un caso importante frecuente de resolución de fuerzas es el que se efectúa en dos direcciones perpendiculares entre sí para obtener componentes ortogonales. Más frecuente aún es la descomposición en las direcciones de los ejes cartesianos: se trata de obtener las componentes ortogonales en el sentido de los ejes equis e. Consideremos una fuerza F el sistema cartesiano que se muestra en la figura. Siguiendo el procedimiento ilustrado con el primer ejemplo, F trazamos paralelas a las direcciones deseadas en cada uno de los etremos de la fuerza. Como el θ cos Θ es igual a la razón de F a F, sen Θ, la razón de F a F, entonces, F = F cos Θ F = F F F sen Θ; con tales epresiones quedan determinadas las magnitudes los sentídos de las θ F componentes cartesianas ( 1 ). ( 1 ) Aquí podría comenzarse a definir los vectores emplear un lenguaje vectorial, haciendo F = F i + F j; sin embargo, nos parece que no resulta útil, sino hasta abordar el estudio de las fuerzas en el espacio, es decir, en tres dimensiones. 27

10 Ejemplo. Obtenga las componentes cartesianas de cada una de las siguientes fuerzas. 56 kg F = 56 sen 42 F = 37.5 kg 42 F = 56 cos 42 F = 41.6 kg 80# F = 80 ( 3 2) F = 69.3 lb 30 F = 80 (1 2) F = 40 lb 20 F = 2400 ( 2 2) F = 1697 N N F = 240( 2 2) F = 1697 N 2 m kg F = 150 sen 68 F = kg F = 150 cos 68 F = 56.2 kg 28

11 Es frecuente que la información acerca de las fuerzas esté relacionada con las dimensiones de los cuerpos no con sus ángulos. Pensemos por ejemplo, en el cable que sostiene un poste de la figura. Si se sabe que la tensión del cable es de 260 kg, podríamos establecer la siguiente comparación de dos triángulos semejantes. Por el teorema de Pitágoras se puede calcular la longitud de la hipotenusa del primer triángulo entonces establecer las siguientes proporciones: A F B = F 5 = F 12 5 F por tanto F = 260 ( 5 13 ), F = 260 ( ), es decir, F = 100 kg F = 240 kg Ejemplo. Diga cuáles son las componentes cartesianas de las fuerzas que se muestran a continuación kg F = 75 (4 5) F = 60 kg F = 75 (3 5) F = 45 lb 85 # F = 85 (15 17) F = 75 lb F = 85 (8 17) F = 40 lb 29

12 B) Más de dos fuerzas concurrentes Consideremos un cuerpo sujeto a la acción de mil fuerzas concurrentes. Elijamos un sistema de referencia cartesiano, con un eje de las equis horizontal con sentido hacia la derecha, un eje de las es vertical cuo sentido sea hacia arriba. Cada una de las fuerzas puede descomponerse en sus componentes cartesianas en esas direcciones, sin que se alteren los efectos eternos; o sea, que tenemos ahora un sistema equivalente de dos mil fuerzas, mil horizontales mil verticales. Cada uno de esos conjunto s de mil fuerzas constitue un sistema de fuerzas colineales, cuas resultantes son, respectivamente, una fuerza horizontal una fuerza vertical, que podemos representar como R R cuos sentidos magnitudes pueden determinarse mediante las ecuaciones R = F R = F Con este procedimiento hemos obtenido un nuevo sistema de fuerzas equivalente al original formado por dos fuerzas concurrentes. Estas dos se pueden componer en una sola mediante la le del paralelogramo. Esta última es la resultante del sistema su línea de acción contiene el punto de concurrencia de las fuerzas del sistema ( 2 ). ( 2 ) Si empleáramos un lenguaje vectorial, diríamos que la resultante es R = R i + R j (pues R R son las componentes cartesianas de la resultante); que la resultante es la suma vectorial de las fuerzas del sistema, es decir, R = F. Pero, insistimos, no tiene ninguna ventaja en este momento, pues lo que interesa es conocer la magnitud la dirección de la fuerza buscada 30

13 Ejemplo. La argolla de la figura está sujeta a las tres fuerzas que se muestran. Determine la resultante de esas fuerzas. Elegimos un sistema de referencia cartesiano 40 kg kg 120 kg R = F R = 40 cos cos 45 R = R = = θ R R = F R = 40 sen sen 45 R = 40(1 2) 120( 2 2) R = = 64.9 R = tan Θ = R = kg 19.9 Ejemplo. La figura representa un poste soportado por tres cables coplanares. Las tensiones en los cables AB, AC CD son, respectivamente, 150, lb. Sustitua las tres tensiones que actúan en el etremo A por una sola que produzca los mismos efectos eternos sobre el poste. B 18 A 10 C 35 D 24 31

14 Además de escoger un sistema de referencia, trabajamos con las pendientes de las fuerzas R = F R = 150(3 5) + 260(5 13) + 170(15 17) R = = R = F R = 150(4 5) 260(12 13) + 170(8 17) R = = θ R R = tan Θ = R = 468 lb 70 Ejemplo. Tres remolcadores empujan una embarcación durante sus maniobras en un puerto. Cada remolcador ejerce una fuerza de 2 kn. Diga cuál debe ser el valor del ángulo, de modo que la resultante de los tres empujes tenga la dirección del eje longitudinal del buque. Diga también cuál es la magnitud de la resultante θ Dibujemos las fuerzas en su sistema de referencia 32

15 θ Como R es horizontal, R = 0 F = 0 2 sen Θ 2 sen 15 2 sen 30 = 0 sen Θ = sen 15 sen 30 Θ = R = F R = 2(cos cos 15 + cos 30 ) R = 4.97 kn 33

16 Serie de ejercicios de Estática RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA PARTÍCULA 1 2. Halle gráficamente la magnitud la dirección de las resultantes de los dos sistemas de fuerzas de las figuras. Utilice una escala tal, que permita resolver los problemas ocupando una hoja tamaño carta Resuelva analíticamente los dos problemas anteriores. (Sol. 533 kg 10.8º; 5.69 N 6.6º) 5. El cable AB ejerce una tensión de 120 kips el AC otra de 80. Determine la magnitud la dirección de la fuerza única que es capaz de producir los mismos efectos eternos sobre la argolla. (Sol kip 9.2º) 6. Se desea sostener el cuerpo de 140 lb que se muestra en la figura. Diga qué tensión T deberá aplicarse para lograrlo cuál debe ser el ángulo. (Sol. T = 81.2 lb; θ = 29.5º) 34

17 7. Descomponga la fuerza horizontal de 500 kg en dos componentes, en las direcciones que se indican. Diga cuáles son las magnitudes de las componentes C1 C2. (Sol. C1 = 543 kg, C2 = 442 kg) 8. Los tractores A B remolcan una embarcación a lo largo de un canal. La cuerda jalada por el tractor A forma un ángulo ϴ = 25º respecto al eje del canal; la cuerda que jala B tiene una tensión de 3 kips forma un ángulo ϕ= 40º respecto al eje del canal. Cuál es la tensión en la cuerda de A? Qué magnitud tiene la resultante de las dos tensiones? (Sol. TA = 4.56 kip; R = 6.43 kip) 9. Si la embarcación del problema anterior produce una resistencia de 200 kn, la cuerda gobernada por el tractor A debe soportar la mínima tensión posible, qué ángulo ϴ deberá formar con eje del canal, si ϕ= 40º? Cuál es la tensión de cada cuerda? (Sol. θ= 50º; TA = kn; TB = kn) 10. Determine la magnitud de F del ángulo ϴ para lograr que la resultante de las compresiones ejercidas por los perfiles de la figura sea horizontal de 2.4 ton. La fuerza Q es de 1.8 ton el ángulo ϕ= 45º. ( Sol.F=2.30 ton, θ=64.5º; F =1.097 ton, θ =25.5º) 35

18 11. Si la fuerza F del elemento estructural del problema anterior es de 60 kips, Q de 75 su resultante debe ser horizontal de 90 kips, qué valores deben tener los ángulos ϴ ϕ? (Sol. θ =41.4º; ϕ=55.8º) 12. El cuerpo que sostiene la grúa de la figura es de 800 kg. Cuáles son las componentes de ese peso en las direcciones de las barras AB BC? (Sol. CAB = 1200 kg; CBC = 1600 kg) 13. El cable en el que se aplica la tensión de 750 kg tiene una pendiente de 4/3. Determine sus componentes cartesianas, conforme al sistema mostrado en la figura. (Sol. F = 628 kg; F = 410 kg) 14. Diga cuáles son la magnitud la dirección de la resultante de las tres tensiones que las cuerdas ejercen sobre la argolla de la figura. (Sol lb 38.8º) 15. Determine la magnitud la dirección de la resultante de las cuatro fuerzas que se representan en la figura. (Sol. 325 N 24.6º) 36

19 16. Por qué fuerza única habría que cambiar las tres ejercidas por los perfiles so-bre el elemento estructural mostrado, de modo que se produjeran los mismos efectos eternos sobre éste? (Sol lb 16.7º) 17. En el centro de un heágono regular están aplicadas fuerzas de 1, 3, 5, 7, 9 11 N, colocadas en ese mismo orden dirigidas hacia los vértices. Determine la magnitud de su resultante diga en la dirección de cuál de las fuerzas actúa. (Sol. 12 N en dirección de la fuerza de 9 N) 18. Además de las dos fuerzas mostradas, sobre el poste de la figura actúa la tensión del cable. Diga cuáles son las magnitudes de di-cha tensión de la resultante de las tres fuer-zas, sabiendo que es vertical. (Sol. T = 676 kg; R = 804 kg) 37