Ing. Willians Medina. Maturín, septiembre de 2017.

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1 PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA. CAPÍTULO 1: ESTÁTICA DE PARTÍCULAS. FUERZAS EN EL PLANO. Ing. Willians Medina. Maturín, septiembre de 2017.

2 CONTENIDO. CONTENIDO PRESENTACIÓN ACERCA DEL AUTOR FUERZAS EN UN PLANO Adición o suma de vectores. Solución gráfica Ejemplo 1.1. Ejemplo 2.1 del Hibbeler. Décima Edición. Página 22. Ejemplo 2.1 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejercicios propuestos Trigonometría (Teorema del seno y teorema del coseno) Ejemplo 1.2. Problema resuelto 2.1 del Beer Johnston. Estática. Novena Edición. Página 22. Problema resuelto 2.1 del Beer. Johnston. Décima Edición. Página Ejemplo 1.3. Problema resuelto 2.2 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 23. Problema resuelto 2.2 del Beer Johnston. Décima Edición. Página Ejemplo 1.4. Ejemplo 2.3 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejemplo 1.5. Guía de Ejercicios Prof. Jacqueline Balza. UDOA Ejercicios propuestos Ejemplo 1.6. Ejemplo 2.4 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejercicios propuestos Ejemplo 1.7. Problema 2.30 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejercicios propuestos Componentes de una fuerza a lo largo de dos ejes Ejemplo 1.8. Problema 2.9 del Hibbeler. Séptima Edición Ejemplo 1.9. Ejemplo 2.2 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejemplo Problema 2.15 del Hibbeler. Décima Edición. Página 28. Problema 2.14 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejemplo Problema 2.14 del Hibbeler. Séptima Edición Ejemplo Problema 2.26 del Beer Johnston. Novena Edición. Página Ejercicios propuestos Componentes rectangulares de una fuerza Teorema Ejemplo Ejemplo 1 del Beer Johnston. Novena Edición. Página Ejercicios propuestos Ejemplo Ejemplo 2 del Beer Johnston. Novena Edición. Página Ejemplo Ejemplo 2.5 del Hibbeler. Décima Edición. Página 35. Ejemplo 2.5 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejemplo Problema 2.36 del Hibbeler. Séptima Edición Ejemplo Problema del Beer Johnston. Novena Edición. Página Ejercicios propuestos Vectores unitarios Notación vectorial cartesiana Ejemplo Ejemplo 3 del Beer Johnston. Novena Edición. Página Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 2

3 Operaciones con vectores Resultante de fuerzas coplanares Ejemplo Ejemplo 2.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página Ejemplo Problema 2.41 del Hibbeler. Séptima Edición Ejercicios propuestos Suma de un sistema de fuerzas coplanares Ejemplo Problema resuelto 2.3 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 31. Problema resuelto 2.3 del Beer Johnston. Décima Edición. Página Ejemplo Guía de Ejercicios Prof. Jacqueline Balza. UDOA Ejemplo Ejemplo 2.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página 37. Ejemplo 2.7 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejemplo Problema 2.42 del Hibbeler. Décima Edición. Página Ejemplo Problema 2.38 del Hibbeler. Décima Edición. Página Ejemplo Problema 2.38 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejemplo Problema 2.10 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejemplo Problema 2.52 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejemplo Problema 2.35 del Hibbeler. Décima Edición. Página Ejemplo Problema 2.56 del Hibbeler. Séptima Edición Ejemplo Problema 2.37 del Beer Johnston. Novena Edición. Página Ejercicios propuestos EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO Cuerpos sometidos a tres fuerzas Ejemplo Problema 3.66 del Hibbeler. Décima Edición. Página Ejemplo Ejemplo 5.4 del Serway. Séptima Edición. Página Ejemplo Problema resuelto 2.4 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 39. Problema resuelto 2.4 del Beer Johnston. Décima Edición. Página Ejemplo Problema 2.47 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 42. Problema 2.45 del Beer Johnston. Décima Edición. Página Ejemplo Problema 2.58 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 42. Problema 2.59 del Beer Johnston. Décima Edición. Página Ejemplo Problema 3.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página Ejercicios propuestos Cuerpos sometidos a más de tres fuerzas Ejemplo Problema resuelto 2.6 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 39. Problema resuelto 2.6 del Beer Johnston. Décima Edición. Página Ejemplo Problema 2.55 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 43. Problema 2.53 del Beer Johnston. Décima Edición. Página Ejemplo Problema 2.56 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 43. Problema 2.54 del Beer Johnston. Décima Edición. Página Ejercicios propuestos Sistemas que involucran resortes Ejemplo Ejemplo 3.4 del Hibbeler. Décima Edición. Página 89. Ejemplo 3.4 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 3

4 Ejemplo Problema 3.14 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92. Problema 3.15 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejemplo Problema 3.13 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92. Problema 3.14 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejemplo Problema 2.57 del Beer Johnston. Octava Edición. Página Ejemplo Problema 3.31 del Hibbeler. Décima Edición. Página 95. Problema 3.22 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página Ejercicios propuestos BIBLIOGRAFÍA TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA) OBRAS DEL MISMO AUTOR Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 4

5 PRESENTACIÓN. El presente es un manual de Ejercicios de Mecánica Vectorial para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica y de Petróleo de reconocidas Universidades en Venezuela. El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de algunos ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del estudiante así como la inclusión de las respuestas a algunos ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos. Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura. Este manual, cuyo contenido se limita al estudio de las fuerzas en el plano, contiene los fundamentos teóricos, 30 ejercicios resueltos paso a paso y 144 ejercicios propuestos para su resolución, y es ideal para ser utilizada por estudiantes autodidactas y/o de libre escolaridad (Universidad Abierta) y por estudiantes que están tomando un curso universitario de Mecánica Vectorial, así como por profesores que estén impartiendo clases en el área de enseñanza de la Mecánica Vectorial y Física I para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología. El concepto de vector fuerza es fundamental en el estudio de la Mecánica Vectorial, pues es la base de la mayoría de las definiciones involucradas en el estudio de esta materia (momento de una fuerza, reducción de un sistema de fuerzas, equilibrio de cuerpos rígidos, cargas distribuidas en vigas y análisis de estructuras.), y en este manual el autor presenta de manera clara y rigurosa el espectro de situaciones involucradas en el manejo de vectores fuerza en el plano y las diferentes formas de obtener las componentes rectangulares de un vector fuerza así como las operaciones que se pueden realizar con dichos vectores. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 5

6 Adicionalmente se presentan la condición requerida para el equilibrio de cuerpos en el plano. Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante puede abordar sin mayor dificultad el tema correspondiente a fuerzas en el espacio. Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Mecánica Vectorial, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: , correo electrónico: medinawj@udo.edu.ve ó medinawj@gmail.com, ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas, Maturín, Estado Monagas, Venezuela. Ing. Willians Medina. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 6

7 ACERCA DEL AUTOR. Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 7

8 Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Es autor de video tutoriales para la enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a través del portal y también es autor de compendios de ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica. En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda, siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017) ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con privilegios limitados) en la página en la cual cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa) mediante la corporación y su página académica Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 8

9 1.1.- FUERZAS EN UN PLANO. Adición o suma de vectores. Solución gráfica. Ejemplo 1.1. Ejemplo 2.1 del Hibbeler. Décima Edición. Página 22. Ejemplo 2.1 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 23. La armella roscada de la figura está sometida a dos fuerzas F 1 y F 2. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. VER SOLUCIÓN. Ejercicios propuestos. 1. [BJ] Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si se sabe que P = 75 N y Q = 125 N, determine en forma gráfica la magnitud y la dirección de su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 9

10 Figura Problemas 1 y 2. Respuesta: 179 N, [BJ] Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si se sabe que P = 60 lb y Q = 25 lb, determine gráficamente la magnitud y la dirección de su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo. Respuesta: 77.1 lb, [BJ] Se aplican dos fuerzas en el punto B de la viga. Determine gráficamente la magnitud y la dirección de su resultante con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo. Respuesta: R = 3.30 kn, [BJ] Dos fuerzas se aplican a una armella sujeta a una viga. Determine gráficamente la magnitud y la dirección de su resultante usando a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 10

11 Respuesta: 8.40 kn, Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas sujetas a las dos fuerzas que se muestran en la figura. Determine en forma gráfica la magnitud y la dirección de su resultante usando a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo. Respuesta: 5.4 kn, [BJ] Los tirantes de cable AB y AD ayudan a sostener el poste AC. Si se sabe que la tensión es de 120 lb en AB y 40 lb en AD, determine gráficamente la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en A con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 11

12 Respuesta: R =139.1 lb, Dos elementos estructurales B y C están sujetos con pernos a la ménsula A. Figura Problemas 7 y [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en tensión, y que P 10 kn y Q 15 kn, determine gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante ejercida sobre la ménsula con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo. 8. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en tensión, y que P 6 kips (1 kip = 1000 lb) y Q 4 kips, determine gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante ejercida sobre la ménsula con a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo. Respuesta: R = 8.03 kips, Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 12

13 Trigonometría (Teorema del seno y teorema del coseno). Ejemplo 1.2. Problema resuelto 2.1 del Beer Johnston. Estática. Novena Edición. Página 22. Problema resuelto 2.1 del Beer. Johnston. Décima Edición. Página 18. Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determínese su resultante. VER SOLUCIÓN. Ejemplo 1.3. Problema resuelto 2.2 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 23. Problema resuelto 2.2 del Beer Johnston. Décima Edición. Página 19. Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de 5000 lb dirigida a lo largo del eje del lanchón, determine: a) la tensión en cada una de las cuerdas, sabiendo que 45º la tensión en la cuerda 2 sea mínima., y b) el valor de tal que VER SOLUCIÓN. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 13

14 Ejemplo 1.4. Ejemplo 2.3 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 25. Determine la magnitud de la fuerza componente F en la figura y la magnitud de la fuerza resultante F R si F R está dirigida a lo largo del eje positivo y. VER SOLUCIÓN. Ejemplo 1.5. Guía de Ejercicios Prof. Jacqueline Balza. UDOA. La ménsula mostrada soporta dos fuerzas. Determine el ángulo de manera tal que la línea de acción de la resultante quede a lo largo del eje x. Cuál es la magnitud de la resultante? y 500 N 30º x 650 N VER SOLUCIÓN. Ejercicios propuestos. 9. [BJ] Resuelva el problema 2 mediante trigonometría. Respuesta: 77.1 lb, [BJ] Resuelva el problema 3 mediante trigonometría. Respuesta: 3.30 kn, Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 14

15 11. [BJ] Resuelva el problema 4 mediante trigonometría. Respuesta: 8.38 kn, [BJ] Resuelva el problema 6 mediante trigonometría. Respuesta: R =139.1 lb, [BJ] Resuelva el problema 8 mediante trigonometría. Respuesta: R = 8.03 kips, 3.8. Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura. Figura Problemas 14 y [BJ] Sabiendo que la magnitud de P es de 600 N, determine por trigonometría a) el ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho es vertical, y b) la magnitud correspondiente de R. Respuesta: 72.2, kn. 15. [BJ] Determine, por trigonometría, la magnitud y la dirección de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho, si se sabe que P = 500 N y 60. Respuesta: kn, Un carrito que se desplaza a lo largo de una viga horizontal está sometido a dos fuerzas, como se muestran en la figura. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 15

16 16. [BJ] a) Si se sabe que 25º Figura Problemas 16 y 17., determine por trigonometría la magnitud de la fuerza P tal que la fuerza resultante ejercida sobre el carrito sea vertical. b) Cuál es la magnitud correspondiente de la resultante? Respuesta: a) 3660 N. b) 3730 N. 17. [BJ] Determine por trigonometría la magnitud y dirección de la fuerza P tal que la resultante sea una fuerza vertical de 2500 N. Respuesta: N, Dos varillas de control están unidas en A a la palanca AB. Figura Problemas 18 y [BJ] Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuerza en la varilla de la izquierda es F 1 = 30 lb, determine a) la fuerza F 2 requerida en la varilla derecha si la resultante R de las Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 16

17 fuerzas ejercidas por las varillas sobre la palanca es vertical, b) la magnitud correspondiente de R. Respuesta: a) 26.9 lb; b) lb. 19. [BJ] Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuerza en la varilla derecha es F 2 = 20 lb, determine a) la fuerza F 1 requerida en la varilla izquierda si la resultante R de las fuerzas ejercidas por las varillas sobre la palanca es vertical, b) la magnitud correspondiente de R. 20. [JB] Dos remolcadores A y C arrastran un barco B. La tensión en el cable AB es 4000 lb y la resultante de las dos fuerzas aplicadas en B está dirigida a lo largo del eje del barco. Determinar: a) La tensión en el cable BC. b) La magnitud de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en B. y A B 30º 40º x C Respuesta: T BC = ( i 2000 j) lb, R lb. 21. [JB] Para mover una mula atravesada en medio de la vía se aplican dos tensiones T 1 y T 2. Determinar la magnitud de cada una de ellas sabiendo que la fuerza resultante tendrá una magnitud de 6 N y estará dirigida a lo largo del eje x. y T 1 20º A 25º x T 2 Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 17

18 Respuesta: T 1 = N, T 2 = N. 22. [JB] Se arrastra un automóvil por medio de dos cables como se aprecia en la figura. Si la resultante de las dos fuerzas ejercidas por los cables es una fuerza de 300 lb, paralela al eje del automóvil, calcule la tensión en cada cable sabiendo que 30º y 20º. y T 1 30º 20º T 2 x Respuesta: T 1 = lb, T 2 = lb. 23. [JB] Para el esquema mostrado, determinar la magnitud de F y su dirección de manera tal que la resultante tenga una magnitud de 1.5 N y esté dirigida a lo largo del eje x. F y 70º x Respuesta: º, F N F N Dos elementos estructurales A y B están remachados al apoyo que se muestra en la figura Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 18

19 Figura Problemas 24 y [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el elemento A es de 15 kn y en el elemento B es de 10 kn, determine por trigonometría la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos A y B. 25. [BJ] Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el elemento A es de 10 kn y en el elemento B es de 15 kn, determine por trigonometría la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos A y B. Respuesta: 21.8 kn, Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 19

20 Ejemplo 1.6. Ejemplo 2.4 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 26. Se requiere que la fuerza resultante que actúa sobre la arnella roscada de la figura esté dirigida a lo largo del eje positivo x y que F 2 tenga una magnitud mínima. Determine esta magnitud, el ángulo y la fuerza resultante correspondiente. VER SOLUCIÓN. Ejercicios propuestos. 26. [RH] El camión se va a remolcar con dos cuerdas. Determine las magnitudes de las fuerzas F A y F B que actúan en cada cuerda para desarrollar una fuerza resultante de 950 N dirigida a lo largo del eje x positivo. Considere que 50. Respuesta: F A = 774 N, F B = 346 N. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 20

21 Figura Problemas 26 y [RH] El camión se va a remolcar con dos cuerdas. Si la fuerza resultante debe ser de 950 N, dirigida a lo largo del eje x positivo, determine las magnitudes de las fuerzas F A y F B que actúan en cada cuerda y el ángulo de F B de manera que la magnitud de F B sea un mínimo. F A actúa a 20 medidos desde el eje x, como se muestra en la figura. Respuesta: F A = 893 N, F B = 325 N, [RH] En tronco de un árbol es remolcado por dos tractores A y B. Determine la magnitud de las dos fuerzas de remolque F A y F B si se requiere que la fuerza resultante tenga una magnitud F R = 10 kn y esté dirigida a lo largo del eje x. Considere que 5. Respuesta: F A = 3.66 kn, F B = 7.07 kn. Figura Problemas 28 y [RH] Si la resultante F R de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco debe estar dirigida a lo largo del eje x positivo y tener una magnitud de 10 kn, determine el ángulo del cable unido a B de modo que la fuerza F B en este cable sea mínima. Cuál es la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación? Respuesta: F A = 8.66 kn, F B = 5.00 kn, [RH] Se va a levantar una viga mediante dos cadenas. Determine las magnitudes de las fuerzas F A y F B que actúan sobre cada cadena para que desarrollen una fuerza resultante de 600 N dirigida a lo largo del eje y positivo. Considere que 45. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 21

22 Figura Problemas 30 y [RH] La viga se va a levantar con dos cadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600 N dirigida a lo largo del eje y positivo, determine las magnitudes de las fuerzas F A y F B sobre cada cadena y el ángulo de F B de manera que la magnitud de F B sea mínima. F A actúa a 30 desde el eje y, como se muestra en la figura. Respuesta: F A = 520 N, F B = 300 N. Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura. Figura Problemas 32, 33 y [BJ] Si se sabe que la magnitud de P es 35 N, determine por trigonometría a) el ángulo, requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicada en el gancho debe ser horizontal y b) la magnitud correspondiente de R. Respuesta: a) b) 73.2 N. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 22

23 33. [BJ] Determine por trigonometría a) la magnitud y la dirección de la fuerza P más pequeña para la cual la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho sea horizontal y b) la magnitud correspondiente de R. Respuesta: a) 21.1 N. b) 45.3 N. 34. [BJ] Si se sabe que P = 75 N y 50º, determine por trigonometría la magnitud y dirección de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en el gancho. Un recipiente de acero debe colocarse dentro de una excavación. Figura Problemas 35, 36 y [BJ] Si se sabe que 20º, determine por trigonometría a) la magnitud requerida de la fuerza P si la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical y b) la magnitud correspondiente de R. Respuesta: a) 392 lb; b) 346 lb. 36. [BJ] Si se sabe que la magnitud de P es 500 lb, determine por trigonometría a) el ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical y b) la magnitud correspondiente de R. 37. [BJ] Determine por trigonometría a) la magnitud y la dirección de la fuerza P más pequeña para la cual la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A sea vertical y b) la magnitud correspondiente de R. Respuesta: a) 368 lb; b) 213 lb. Dos cables sujetan un anuncio en el punto A para mantenerlo estable mientras es bajado a su posición definitiva. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 23

24 Figura Problemas 38, 39 y [BJ] Sabiendo que 25º, determine por trigonometría, a) la magnitud requerida de la fuerza P si la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R. Respuesta: a) lb; b) lb. 39. [BJ] Sabiendo que la magnitud de P es de 70 lb, determine, por trigonometría, a) el ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerza aplicadas en A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R. 40. [BJ] Determine, por trigonometría, a) la magnitud y la dirección de la fuerza mínima P cuya resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R. Respuesta: 45.9 lb; 65.5 lb. Una banda elástica para hacer ejercicio está sujeta y se estira como indica la figura. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 24

25 Figura Problemas 41 y [BJ] Si la tensión en las porciones BC y DE es igual a 80 y 60 N, respectivamente, determine, por trigonometría, a) el ángulo requerido si la resultante R de las dos fuerzas ejercidas en la mano en el punto A es vertical, b) la magnitud correspondiente de R. Respuesta: a) 7.48 ; b) N. 42. [BJ] Si la tensión en la porción DE de la banda es igual a 70 N, determine, por trigonometría, a) la magnitud y la dirección de la fuerza mínima en la porción BC para que la resultante de las dos fuerzas ejercidas sobre la mano en el punto A se dirige a lo largo de una línea que une los puntos A y H, b) la magnitud correspondiente de R. Respuesta: a) 4.88 N, 6.00 ; b) 59.8 N. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 25

26 Ejemplo 1.7. Problema 2.30 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 31. Tres cadenas actúan sobre la ménsula de forma que generan una fuerza resultante con una magnitud de 500 lb. Si dos de las cadenas están sometidas a fuerzas conocidas, como se muestra en la figura, determine el ángulo de la tercera cadena, medido en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de manera que la magnitud de la fuerza F en esta cadena sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x y. Cuál es la magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas. La fuerza F actúa en esta dirección. VER SOLUCIÓN. Ejercicios propuestos. 43. [RH] Tres cables jalan un tubo de forma que generan una fuerza resultante con magnitud de 900 lb. Si dos de los cables están sometidos a fuerzas conocidas, como se muestra en la figura, determine el ángulo del tercer cable de modo que la magnitud de la fuerza F en este cable sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x y. Cuál es la magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 26

27 Respuesta: F min = 97.4 lb, Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 27

28 Componentes de una fuerza a lo largo de dos ejes. Ejemplo 1.8. Problema 2.9 del Hibbeler. Séptima Edición. La rueda acanalada en V se utiliza para que corra a lo largo de un riel. Si el riel ejerce una fuerza vertical de 200 libras sobre la rueda, determine las componentes de esta fuerza que actúa a lo largo de los ejes a y b, que son perpendiculares a los lados del riel. VER SOLUCIÓN. Ejemplo 1.9. Ejemplo 2.2 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 24. Descomponga la fuerza horizontal de 600 lb que se muestra en la figura en componentes que actúan a lo largo de los ejes u y v, y determine la magnitud de estas componentes. VER SOLUCIÓN. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 28

29 Ejemplo Problema 2.15 del Hibbeler. Décima Edición. Página 28. Problema 2.14 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 29. Determine el ángulo de diseño ( 0 90 ) para la barra AB de manera que la fuerza horizontal de 400 lb tenga una componente de 500 lb dirigida de A hacia C. Cuál es la componente de la fuerza que actúa a lo largo del elemento AB?. Considere 40. VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.14 del Hibbeler. Séptima Edición. Una fuerza vertical de F = 60 libras actúa hacia abajo en el punto A de una estructura de dos partes. Determine el ángulo ( 0 90 ) del miembro AB de tal forma que la componente de F que actúa a lo largo del eje AB sea de 80 libras. Cuál es la magnitud de la componente de la fuerza que actúa a lo largo del eje del miembro AC? Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 29

30 VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.26 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 34. El cilindro hidráulico BD ejerce una fuerza P sobre el elemento ABC, dicha fuerza está dirigida a lo largo de la línea BD. Si se sabe que P debe tener una componente de 750 N perpendicular al elemento ABC, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente paralela a ABC. VER SOLUCIÓN. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 30

31 Ejercicios propuestos. 44. [RH] Descomponga F 1 y F 2 en sus componentes a lo largo de los ejes u y v; y determine las magnitudes de estas componentes. Respuesta: F 2v = 77.6 N, F 2u = 150 N. 45. [RH] Si la fuerza F debe tener una componente a lo largo del eje u con magnitud F u = 6 kn, determine la magnitud de F y la magnitud de su componente F v a lo largo del eje v. Respuesta: F = 3.11 kn, F v = 4.39 kn. 46. [RH] Descomponga la fuerza de 30 lb en componentes a lo largo de los ejes u y v; además, determine la magnitud de cada una de estas componentes. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 31

32 Respuesta: F u = 22.0 lb; F v = 15.5 lb. La fuerza de 300 lb se debe descomponer en componentes a lo largo de las líneas a-a y b- b. Figura Problemas 47 y [BJ] a) Determine por trigonometría el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo de a-a es de 240 lb. b) Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de b- b? Respuesta: a) 76.1, b) 336 lb. 48. [BJ] a) Determine por trigonometría el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo de b-b es de 120 lb. b) Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de a- a? 49. [RH] Determine las componentes x y y de la fuerza de 700 lb. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 32

33 50. [RH] La fuerza F = 450 lb actúa sobre la estructura. Descomponga esta fuerza en componentes que actúan a lo largo de los elementos AB y AC; además, determine la magnitud de cada componente. Respuesta: F AB = 869 lb, F AC = 636 lb. Componentes rectangulares de una fuerza. Cuando una fuerza se descompone en dos componentes a lo largo de los ejes x y y, dichas componentes suelen denominarse componentes rectangulares. Para el trabajo analítico, podemos representar estos componentes en dos formas, mediante notación escalar, o por notación vectorial cartesiana. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 33

34 Notación escalar. Las componentes rectangulares de la fuerza F que se muestran en la figura se encuentran al usar la ley del paralelogramo, de manera que F = F x + F y. Como estas componentes forman un triángulo rectángulo, sus magnitudes se pueden determinar a partir de las siguientes ecuaciones: F x F cos y F y F sen. Si el ángulo es medido con respecto a la vertical, entonces por trigonometría se tiene que las magnitudes de las componentes son: F x F sen y F y F cos. Debido a la ambigüedad en las fórmulas para el cálculo de las componentes rectangulares de un vector, y la confusión que suele generar sobre si debe utilizar la función seno o la función coseno para una u otra componente, se ha enunciado un teorema, según el cual la determinación de las componentes rectangulares de un vector no está determinada por identidades trigonométricas tomadas a partir de un triángulo rectángulo, sino por la proyección del vector sobre los ejes coordenados. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 34

35 Teorema. Si un vector de módulo V en el plano forma un ángulo con respecto a uno de los semiejes coordenados, se tiene que el valor absoluto de la componente proyectada a lo largo de dicho semieje es V cos, mientras que la proyección en su semieje complementario es V sen. Otra forma útil de enunciar el teorema anterior es: El valor absoluto de la componente de un vector sobre un semieje es igual al producto del módulo del vector por el coseno del ángulo barrido en la proyección, mientras que a lo largo del semieje complementario, es igual al producto del módulo del vector por el seno del ángulo. Para la siguiente figura: Si se desea obtener la componente horizontal, la fuerza F debe proyectarse en el eje x, y para ello en su proyección pasa por encima del ángulo (hace el barrido del ángulo), por lo cual debe utilizarse la función coseno: F x F cos. Si se desea obtener la componente vertical (componente complementaria), la fuerza F debe proyectarse en el eje y, y para ello su proyección no pasa por encima del ángulo, por lo cual debe utilizarse la función seno: la componente vertical F y F sen. El signo negativo se coloca puesto que F y apunta hacia la parte negativa del eje. La dirección de F también se puede definir mediante un pequeño triángulo de pendiente, como el que se muestra en la figura Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 35

36 Como este triángulo y el triángulo sombreado más grande son semejantes, la longitud proporcional de los lados da las componentes rectangulares de la fuerza. Componente x. F x a F c a F x c F Componente y. F y b F c b F y c F Ejemplo Ejemplo 1 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 28. Una fuerza de 800 N se ejerce sobre un perno A como se muestra en la figura. Determínese las componentes horizontal y vertical de la fuerza. VER SOLUCIÓN. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 36

37 Ejercicios propuestos. 51. [JB] Una fuerza de 2.5 kn se aplica por medio de un cable al soporte como se indica en la figura. Cuáles son las componentes horizontal y vertical de esta fuerza? y F 20º x Respuesta: F x = N, F y = N. 52. [RS] Un vector fuerza en el plano x y tiene una magnitud de 50.0 kips y está dirigido en un ángulo de 120.0º en relación con el eje x positivo. Cuáles son las componentes rectangulares de este vector? Respuesta: F x = kips, F y = kips. 53. [BJ] Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la figura. 54. [BJ] Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la figura. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 37

38 55. [JB] Determinar las componentes en x y y de cada una de las fuerzas mostradas. F 1 = 50 N, F 2 = 100 N, F 3 = 20 N. y F 3 50º 20º 30º F 1 x F 2 Respuesta: F 1,x = N, F 1,y = N, F 2,x = N, F 2,y = N, F 3,x = N, F 3,y = N. 56. [JB] Un vector fuerza F, forma un ángulo con el eje x +. Halle las componentes rectangulares de F para los siguientes valores: a) F = 8 N, 60º b) F = 6 lb, 120º c) F = 12 N, 225º Respuesta: a) F x = N, F y = N; b) F x = lb, F y = lb; c) F x = N, F y = N. 57. [JB] Descomponer los vectores B, C y D en sus componentes rectangulares. B = C = 5 N. D = 10 N. D B, D C. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 38

39 B y 30º x D C Respuesta: B x = N, B y = N, C x = N, C y = N, D x = N, D y = N. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 39

40 Ejemplo Ejemplo 2 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 29. Un hombre jala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300 N, como se muestra en la figura. Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la cuerda en el punto A? VER SOLUCIÓN. Ejemplo Ejemplo 2.5 del Hibbeler. Décima Edición. Página 35. Ejemplo 2.5 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 35. Determine las componentes x y y de F 1 y F 2 que actúan sobre la barra mostrada en la figura. Exprese cada fuerza como un vector cartesiano. VER SOLUCIÓN. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 40

41 Ejemplo Problema 2.36 del Hibbeler. Séptima Edición. Exprese las fuerzas F 1, F 2 y F 3 como vectores cartesianos. VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema del Beer Johnston. Novena Edición. Página 34. El cable AC ejerce sobre la viga AB una fuerza P dirigida a lo largo de la línea AC. Si se sabe que P debe tener una componente vertical de 350 lb, determine a) la magnitud de la fuerza P y b) su componente horizontal. VER SOLUCIÓN. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 41

42 Ejercicios propuestos. El alambre atirantado BD ejerce sobre el poste telefónico AC una fuerza P dirigida a lo largo de BD. Figura Problemas 58 y [BJ] Si se sabe que P tiene una componente de 120 N perpendicular al poste AC, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente a lo largo de la línea AC. 59. [BJ] Si se sabe que P tiene una componente de 180 N a lo largo de la línea AC, determine a) la magnitud de la fuerza P, b) su componente en una dirección perpendicular a AC. 60. [BJ] El elemento CB de la prensa de banco que se muestra en la figura, ejerce sobre el bloque B una fuerza P dirigida a lo largo de la línea CB. Si se sabe que la componente horizontal de P debe tener una magnitud de N, determine a) la magnitud de la fuerza P y b) su componente vertical. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 42

43 61. [BJ] El elemento BD ejerce sobre el elemento ABC una fuerza P dirigida a lo largo de la línea BD. Si se sabe que P debe tener una componente horizontal de 300 lb, determine a) la magnitud de la fuerza P y b) su componente vertical. 62. Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la figura. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 43

44 63. Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la figura. 64. [RH] Descomponga cada fuerza que actúa sobre el pilote en sus componentes x y y. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 44

45 Respuesta: F 1x = 0, F 1y = 300 N, F 2x = 318 N, F 2y = 318 N, F 3x = 360 N, F 3y = 480 N. Vectores unitarios. Notación vectorial cartesiana. También es posible representar las componentes x y y de una fuerza en términos de vectores unitarios cartesianos i y j. Cada uno de estos vectores unitarios tiene una magnitud adimensional de uno, y por lo tanto pueden usarse para designar as direcciones de los ejes x y y, respectivamente. Como la magnitud de cada componente de F es siempre una cantidad positiva, la cual está representada por los escalares (positivos) F x y F y, entonces podemos expresar F como un vector cartesiano. F F i F x Magnitud de la fuerza. y j F 2 2 F x F y Dirección de la fuerza. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 45

46 tan 1 F F y x Ejemplo Ejemplo 3 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 29. Una fuerza F ( 700lb) i (1500lb) j se aplica a un perno A. Determínese la magnitud de la fuerza y el ángulo que forma con la horizontal. VER SOLUCIÓN. Operaciones con vectores. Resultante de fuerzas coplanares. Podemos representar en forma simbólica las componentes de la fuerza resultante de cualquier número de fuerzas coplanares mediante la suma algebraica de las componentes x y y de todas las fuerzas, esto es, F F R x R y F F x y Una vez que se determinen estas componentes, pueden bosquejarse a lo largo de los ejes x y y con un sentido de dirección adecuado, y la fuerza resultante puede determinarse con base en una suma vectorial como se muestra en la figura Después, a partir de este bosquejo, se encuentra la magnitud de de Pitágoras; es decir, F R por medio del teorema F R F 2 R x F 2 R y Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 46

47 Asimismo, el ángulo, que especifica la dirección de la fuerza resultante, se determina por trigonometría: tan 1 F F R y R x Ejemplo Ejemplo 2.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página 36. La armella que se muestra en la figura está sometida a las dos fuerzas F 1 y F 2. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.41 del Hibbeler. Séptima Edición. Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, medida en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto al eje positivo de las x. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 47

48 VER SOLUCIÓN. Ejercicios propuestos. 65. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x. Respuesta: F R = 6.80 kn, [JB] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el pasador y especifique su dirección con respecto al eje x +. Considere F = 5 N y P = 7 N. y F 45º x 30º P Respuesta: R = i j. 67. [JB] Determinar la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el apoyo mostrado. Especifique la dirección con respecto a x +. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 48

49 400 N y 300 N 40º 100º x Respuesta: R = ( i j) N, R N, º. 68. [JB] Dos personas tiran de una mula obstinada que interrumpe el tránsito y utilizan dos cuerdas como se muestra en la figura. Las magnitudes de las tensiones en las cuerdas son T AC = 400 N y T AB = 500 N. Determine la magnitud y dirección de la resultante de las dos fuerzas ejercidas por las cuerdas. y C 60º A 40º x B Respuesta: R = ( i j) N, R N, º. 69. [RH] Si la tensión en el cable es de 400 N, determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante que actúa sobre la polea. Este ángulo es el mismo ángulo que forma la línea AB sobre el bloque de escalera. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 49

50 Respuesta: F R = 400 N, 60º. 70. [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. Respuesta: F R = 721 N, [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante de las dos fuerzas dadas, a partir de la ley de coseno y aplicando métodos geométricos. F 1 = 1500 N, F 2 = 2000 N. y F 2 F 1 30º 45º x Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 50

51 Respuesta: R = ( i j) N, R N, º. 72. [RH] Dos fuerzas actúan sobre el gancho. Determine la magnitud de la fuerza resultante. Respuesta: F R = 666 N. 73. [JB] Determinar la magnitud de la fuerza resultante si: a) F R = F 1 + F 2, b) F R = F 1 F 2. y F 1 = 100 N F 2 = 80 N 60º 45º x Respuesta: a) F R = ( i j) N, F N, º. b) F R = R ( i j) N, F N, º. R 74. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método de las componentes). Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 51

52 100º 80 N y 50 N 45º x Respuesta: F R = ( i j) N, F N, º. R 75. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la fuerza resultante representada en la figura, siendo A = 50 N la primera fuerza y B = 20 N la segunda. (Método de las componentes). y B 100º A 45º x Respuesta: R = ( i j) N, R N, 67.94º. 76. [JB] Dos remolcadores A y C arrastran un barco B. En un instante la tensión AB es de 4500 lb y la tensión en el cable BC es 2000 lb. Determine la magnitud y dirección de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en B. y B A 20º 30º x C Respuesta: F R = ( i j) N, R N, 23.07º. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 52

53 77. [JB] Para el esquema mostrado determine la magnitud de F de tal manera que la fuerza resultante actúe a lo largo del eje AB. Cuál sería la magnitud de la fuerza resultante? y A 88º F x 25 N B Respuesta: F = ; R Suma de un sistema de fuerzas coplanares. Ejemplo Problema resuelto 2.3 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 31. Problema resuelto 2.3 del Beer Johnston. Décima Edición. Página 26. Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine la resultante de las fuerzas sobre el perno. VER SOLUCIÓN. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 53

54 Ejemplo Guía de Ejercicios Prof. Jacqueline Balza. UDOA. Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método de las componentes). y 300 N 100 N 45º 60º 200 N x 200 N VER SOLUCIÓN. Ejemplo Ejemplo 2.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página 37. Ejemplo 2.7 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 37. El extremo de la barra O mostrada en la figura está sometido a tres fuerzas coplanares concurrentes. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. VER SOLUCIÓN. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 54

55 Ejemplo Problema 2.42 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39. Determine la magnitud y la dirección de la resultante F R = F 1 + F 2 + F 3 de las tres fuerzas sumando las componentes rectangulares o x, y de las fuerzas para obtener la fuerza resultante. VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.38 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39. Determine la magnitud y la dirección, medida ésta en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de la fuerza resultante de las tres fuerzas que actúan sobre el anillo A. Considere F 1 = 500 N y 20. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 55

56 VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.38 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 40. Si 30 y la fuerza resultante que actúa sobre la placa de refuerzo está dirigida a lo largo del eje x positivo, determine las magnitudes de F 2 y la fuerza resultante. VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.10 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 38. Si la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 750 N y estar dirigida a lo largo del eje x positivo, determine la magnitud de F y su dirección. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 56

57 VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.52 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 41. Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 450 N y está dirigida a lo largo del eje u positivo, determine la magnitud de F 1 y su dirección. VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.35 del Hibbeler. Décima Edición. Página 39. Tres fuerzas actúan sobre la ménsula. Determine la magnitud y la dirección de F 1 de manera que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje x positivo y tenga una magnitud de 1 kn. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 57

58 VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.56 del Hibbeler. Séptima Edición. Tres fuerzas actúan en la ménsula. Determine la magnitud y dirección de F 1 de tal forma que la fuerza resultante se dirija a lo largo del eje positivo de las x y que tenga una magnitud de 800 N. VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.37 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 35. a) Si se sabe que 40º, determine la resultante de las tres fuerzas que se muestran en la figura. b) determine el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas debe ser paralela al plano inclinado y la magnitud correspondiente de la resultante. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 58

59 VER SOLUCIÓN. Ejercicios propuestos. 78. [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema [JB] Determine la resultante de las tres fuerzas del problema [RS] Determine la magnitud y dirección de la resultante de tres fuerzas que tienen componentes rectangulares ( 3.00, 2.00) N, ( 5.00, 3.00) N y ( 6.00,1.00) N. Respuesta: m a 56.31º. 83. [JB] Determinar la magnitud y dirección de la resultante en la figura mostrada (Método de las componentes). 600 N y 45º 60º x 700 N 500 N Respuesta: F R = ( i j) N, F N, º. R 84. [RS] Tres vectores se orientan como se muestra en la figura, donde A 20 unidades, B 40unidades y C 30unidades. Encuentre a) las componentes x y y del vector resultante, y b) la magnitud y dirección del vector resultante. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 59

60 Respuesta: R = i j, R Unidades, 28.68º. 85. [JB] Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determinar la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas. F 1 = 150 N, F 2 = 80 N, F 3 = 110 N, F 4 = 100 N. 20º, 30º, 15º. F 2 y F 1 F 4 x F 3 Respuesta: F R = ( i j) N, F N, 4.11º. R 86. [JB] Determine la magnitud de la fuerza resultante F R = F 1 + F 2 + F 3 encontrando la resultante F* = F 1 + F 2 y formando después F R = F* + F 3. F 1 = 30 N, F 2 = 40 N, F 3 = 20 N. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 60

61 y F 1 F 2 30º 45º x F 3 Respuesta: F* = i j, F 3 = i j. 87. La fuerza resultante se compone de cuatro fuerzas cuál es la fuerzas resultante? Respuesta: R = ( i j) N, R m, º. 88. [JB] Hallar el vector resultante de los vectores mostrados en la figura sabiendo que la magnitud de los vectores son iguales A B C 4 2 unidades. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 61

62 A y 30º 45º C 45º B x Respuesta: R = i j, R , º. 89. [RH] Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. Respuesta: F R = 567 N, [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la repisa, así como su dirección medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 62

63 Respuesta: F R = 1254 lb, [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante, así como su dirección medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. Respuesta: F R = 31.2 kn, [RH] Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el pasador, así como su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 63

64 93. [JB] La fuerza A tiene una magnitud de 9 N y está dirigido según el eje x. Otra fuerza B está en el plano x y, su magnitud es de 6 N y forma un ángulo de 45º con el eje x. La fuera C se halla en el plano x y, su magnitud es 15 N y forma un ángulo de 75º con el eje x. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. Utilice métodos geométricos y analíticos. Respuesta: R = ( i j) lb, R cm, 47.57º. 94. [JB] Tres fuerzas horizontales actúan sobre un objeto. La magnitud de la fuerza A es de 25 kg f en dirección 60º al noreste. La magnitud de la fuerza B es de 70 kg f y actúa hacia el eje y. La magnitud de C es 55 kg f y actúa hacia el sudoeste 45º. Determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante utilizando el método de las componentes. Respuesta: F R = ( i j) kg f, F kg, 45.75º. R f 95. [JB] Dados las fuerzas A, B, C y D, de magnitudes y direcciones con respecto al eje x están dadas por: A = 2500 N, 290º B = 1800 N, 330º C = 3500 N, 195º D = 7000 N, 39º a) Encontrar el vector suma. b) Demostrar la propiedad asociativa de los vectores para la adición. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 64

65 c) Determinar (A C) y (C A). Se cumple la propiedad conmutativa para la sustracción de vectores? d) Comprobar la propiedad conmutativa para la adición de vectores. Respuesta: a) R = ( i j) N; c) A C = ( i j) N, C A = ( i j) N, No se cumple la propiedad conmutativa para la sustracción de vectores. 96. [BJ] Si se sabe que la tensión en el cable BC es de 725 N, determine la resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB. Figura Problemas 96 y [BJ] Determine a) la tensión requerida en el cable BC si la resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto B debe ser vertical, b) la magnitud correspondiente de la resultante. 98. [BJ] Si se sabe que 35º, determine la resultante de las tres fuerzas mostradas en la figura. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 65

66 Figura Problemas 98 y [BJ] Para el collarín del problema anterior, determine a) el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas debe ser vertical, b) la magnitud correspondiente de la resultante [BJ] Determine a) la tensión requerida en el cable AC, si se sabe que la resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto C del aguilón BC debe estar dirigida a lo largo de BC, b) la magnitud correspondiente de la resultante [BJ] Si se sabe que 75º, determine la resultante de las tres fuerzas que se muestran en la figura. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 66

67 Figura Problemas 101 y [BJ] Determine el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas debe ser paralela al plano inclinado y la magnitud correspondiente de la resultante [RH] Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula debe ser de 80 lb y estar dirigida a lo largo del eje u, determine la magnitud de F y su dirección. Respuesta: F = 62.5 lb, [RH] Determine la magnitud de F 1 y su dirección de manera que la fuerza resultante esté dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 800 N. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 67

68 Respuesta: F 1 = 275 N, [JB] Tres vectores están dados por A = 6 i, B = 9 j y B = 3 i + 4 j. Determine: a) La magnitud y dirección del vector resultante, b) Un vector que sumado a estos tres de un vector resultante igual a cero. Respuesta: R = 3 i + 13 j, R , 77.01º [RS] La pista del helicóptero en la figura muestra a dos personas que jalan una obstinada mula. Encuentre: a) la única fuerza equivalente a las dos fuerzas indicadas, y b) la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza resultante igual a cero. Respuesta: a) R = ( i j) N, b) R = ( i j) N. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 68

69 107. [JB] Dos fuerzas A y B que están en el plano x y actúan sobre un objeto pequeño colocado en el origen. La magnitud de la fuerza A es de 50 N y actúa en la dirección correspondiente a un ángulo de 30º con el eje x +. La magnitud de la fuerza B es de 80 N y actúa en la dirección que forma un ángulo de 135º con el eje x +. Qué magnitud y dirección debe tener una fuerza C que aplicada al cuerpo hará que se anule la resultante de las tres fuerzas? Respuesta: C = ( i j) N, C N, 99.24º EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO. Cuerpos sometidos a tres fuerzas. Ejemplo Problema 3.66 del Hibbeler. Décima Edición. Página 110. El tubo es mantenido en su lugar por la prensa mecánica. Si el perno ejerce una fuerza de 50 libras sobre el tubo en la dirección mostrada, determine las fuerzas F A y F B que los contactos lisos en A y B ejercen sobre el tubo. VER SOLUCIÓN. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 69

70 Ejemplo Ejemplo 5.4 del Serway. Séptima Edición. Página 111. Un semáforo que pesa 122 N cuelga de un cable unido a otros dos cables sostenidos a un soporte como en la figura. Los cables superiores forman ángulos de 37.0 y 53 con la horizontal. Estos cables superiores no son tan fuertes como el cable vertical y se romperán si la tensión en ellos supera los 100 N. El semáforo permanecerá colgado en esta situación, o alguno de los cables se romperá? VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema resuelto 2.4 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 39. Problema resuelto 2.4 del Beer Johnston. Décima Edición. Página 32. En la operación de descarga de un barco, un automóvil de 3500 lb es soportado por un cable. Se ata una cuerda al cable en A y se tira para centrar al automóvil sobre la posición deseada. El ángulo entre el cable y la vertical es de 2, mientras que el ángulo entre la cuerda y la horizontal es de 30. Cuál es la tensión en la cuerda? Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 70

71 VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.47 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 42. Problema 2.45 del Beer Johnston. Décima Edición. Página 36. Si se sabe que 20º, determine la tensión a) en el cable AC, b) en la cuerda BC. VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.58 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 42. Problema 2.59 del Beer Johnston. Décima Edición. Página 36. Para la situación descrita en la figura, determine: a) el valor de para el cual la tensión en el cable BC sea la mínima posible y b) el valor correspondiente de la tensión. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 71

72 VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 3.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92. El cajón de 500 lb va a ser levantado usando las cuerdas AB y AC. Cada cuerda puede resistir una tensión máxima de 2500 lb antes de romperse. Si AB siempre permanece horizontal, determine el ángulo más pequeño con qe el cajón puede ser levantado. VER SOLUCIÓN. Ejercicios propuestos [RS] Un saco de cemento de 325 N de peso cuelga en equilibrio de tres alambres, como se muestra en la figura. Dos de los alambres forman ángulos y con la horizontal. Si se supone que el sistema está en equilibrio, encuentre las tensiones T 1 y T 2 en los alambres [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe que 20º, determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina

73 110. [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC. En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Figura Problemas 111 y [BJ] Si se sabe que P = 500 N y 60º, determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 73

74 112. [BJ] Se sabe que la tensión permisible máxima es de 600 N en el cable AC y 750 N en el cable BC. Determine a) la máxima fuerza P que puede aplicarse en C, b) el valor correspondiente de [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC [BJ] Si se sabe que 20º, determine la tensión a) en el cable AC, b) en la cuerda BC. Figura Problemas 114 y [BJ] Para la situación descrita en el problema anterior, determine a) el valor de para el cual la tensión en el cable BC es la mínima posible y b) el valor correspondiente de la tensión [BJ] Si se sabe que 55 y que el aguilón AC ejerce sobre la articulación C una fuerza dirigida a lo largo de la línea AC, determine a) la magnitud de la fuerza y b) la tensión en el cable BC. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 74

75 117. [BJ] Para la estructura y la carga del problema anterior, determine a) el valor de para el que la tensión en el cable BC es mínima, b) el valor correspondiente de la tensión Si se sabe que las porciones AC y BC del cable ACB deben ser iguales, determine la longitud mínima que debe tener el cable para soportar la carga mostrada, si la tensión en éste no debe ser mayor que 870 N [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe que la tensión máxima permisible en cada cable es de 800 N, determine a) la magnitud de la fuerza P máxima que puede aplicarse en C, b) el valor correspondiente de. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 75

76 Figura Problemas 119 y [BJ] En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe que la tensión máxima permisible en el cable AC es de 1200 N y que en el cable BC es de 600 N, determine a) la magnitud de la fuerza P máxima que puede aplicarse en C, b) el valor correspondiente de. El collarín A puede deslizarse sin fricción sobre una barra horizontal y está conectado a una carga de 50 lb, como se muestra en la figura. Figura Problemas 121 y Determine la magnitud de la fuerza P requerida para mantener al collarín en equilibrio cuando a) x = 4.5 in., b) x = 15 in Determine la distancia x para la cual el collarín se conserva en equilibrio cuando P = 48 lb. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 76

77 Cuerpos sometidos a más de tres fuerzas. Ejemplo Problema resuelto 2.6 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 39. Problema resuelto 2.6 del Beer Johnston. Décima Edición. Página 33. Como parte del diseño de un nuevo velero, se desea determinar la fuerza de arrastre que puede esperarse a cierta velocidad. Para hacerlo, se coloca un modelo del casco propuesto en un canal de prueba y se usan tres cables para mantener su proa en el eje del centro del canal. Las lecturas de los dinamómetros indican que para una velocidad dada la tensión es de 40 lb en el cable AB y de 60 lb en el cable AE. Determine la fuerza de arrastre ejercida sobre el casco y la tensión en el cable AC. VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.55 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 43. Problema 2.53 del Beer Johnston. Décima Edición. Página 37. Se rescata a un marinero con una silla de contramaestre suspendida de una polea, la cual rueda libremente sobre el cable de apoyo ACB y se jala a una velocidad constante mediante el cable CD. Si se sabe que 30 y 10, y que el peso combinado de la silla y el individuo es de 900 N, determine la tensión a) en el cable de soporte ACB y b) en el cable de tracción CD. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 77

78 VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 2.56 del Beer Johnston. Novena Edición. Página 43. Problema 2.54 del Beer Johnston. Décima Edición. Página 37. Se rescata a un marinero con una silla de contramaestre suspendida de una polea, la cual rueda libremente sobre el cable de apoyo ACB y se jala a una velocidad constante mediante el cable CD. Si se sabe que 25 y 15, y que la tensión en el cable CD es de 80 N, determine a) el peso combinado de la silla y el individuo, y b) la tensión en el cable de soporte ACB y b) en el cable de soporte ACB. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 78

79 VER SOLUCIÓN. Ejercicios propuestos. Las fuerzas P y Q se aplican al componente de una pieza de ensamble de avión como se muestra en la figura. Figura Problemas 123 y 124. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 79

80 123. [BJ] Si se sabe que P = 500 lb y Q = 650 lb y que la pieza de ensamble se encuentra en equilibrio, determine las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las varillas A y B [BJ] Si se sabe que la pieza de ensamble se encuentra en equilibrio y que las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las barras A y B son F A = 750 lb y F B = 400 lb, determine las magnitudes de P y Q. Una conexión soldada está en equilibrio bajo la acción de las cuatro fuerzas que se muestran en la figura. Figura Problemas 125 y [BJ] Si se sabe que F A = 8 kn y que F B = 16 kn, determine las magnitudes de las dos fuerzas restantes [BJ] Si se sabe que F A = 5 kn y que F D = 6 kn, determine las magnitudes de las dos fuerzas restantes. En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 80

81 Figura Problemas 127 y [BJ] Si se sabe que Q = 60 lb determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC [BJ] Determine el rango de valores de Q para los cuales la tensión no será mayor que 60 lb en cualquiera de los cables. Una carga de 160 kg está sostenida por el arreglo de cuerdas y poleas que se muestra en la figura. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 81

82 Figura Problemas 129 y [BJ] Si se sabe que 20, determine la magnitud y la dirección de la fuerza P que debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio. (Sugerencia: La tensión es la misma en ambos las de una cuerda que pasa por una polea simple.) 130. [BJ] Si se sabe que 40, determine a) el ángulo y b) la magnitud de la fuerza P que debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio. La carga Q se aplica a la polea C, la cual puede rodar sobre el cable ACB. La polea se sostiene en la posición mostrada en la figura mediante un segundo cable CAD, el cual pasa a través de la polea A y sostiene una carga P. Figura Problemas 131 y 132. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 82

83 131. [BJ] Si se sabe que P = 750 N, determine a) la tensión en el cable ACB, b) la magnitud de la carga Q [BJ] Una carga Q de 1800 N se aplica a la polea C, determine a) la tensión en el cable ACB, b) la magnitud de la carga P. Sistemas que involucran resortes. Ejemplo Ejemplo 3.4 del Hibbeler. Décima Edición. Página 89. Ejemplo 3.4 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 93. Determine la longitud requerida para el cable de corriente alterna de la figura, de manera que la lámpara de 8 kg esté suspendida en la posición que se muestra. La longitud no AB deformada del resorte AB es l 0.4 m, y el resorte tiene una rigidez de k 300 N/m. AB VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 3.14 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92. Problema 3.15 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 96. La longitud no alargada del resorte AB es de 3 m. Si el bloque se mantiene en la posición de equilibrio mostrada, determine la masa del bloque en D. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 83

84 VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 3.13 del Hibbeler. Décima Edición. Página 92. Problema 3.14 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 96. Determine el alargamiento en los resortes AC y AB cuando el bloque de 2 kg está en equilibrio. Los resortes se muestran en la posición de equilibrio. VER SOLUCIÓN. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 84

85 Ejemplo Problema 2.57 del Beer Johnston. Octava Edición. Página 43. Una carga con peso de 400 N está suspendida de un resorte y dos cuerdas, las cuales se unen a dos bloques de pesos 3W y W como se muestra en la figura. Si la constante del resorte es de 800 N/m, determine a) el valor de W, b) la longitud sin estirar del resorte. VER SOLUCIÓN. Ejemplo Problema 3.31 del Hibbeler. Décima Edición. Página 95. Problema 3.22 del Hibbeler. Decimosegunda Edición. Página 97. Una fuerza vertical P = 10 lb se aplica a los extremos de la cuerda AB de 2 pies y del resorte AC. Si el resorte tiene una longitud no alargada de 2 pies, determine el ángulo necesario para el equilibrio. Considere k = 15 lb/pie. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 85

86 VER SOLUCIÓN. Ejercicios propuestos [RH] El resorte ABC tiene una rigidez de 500 N/m y longitud no alargada de 6 m. Determine el desplazamiento d de la cuerda con respecto a la pared cuando se aplica una fuerza F = 175N a la cuerda [RH] La lámpara de 10 lb está suspendida de dos resortes, cada uno con longitud no alargada de 4 pies y rigidez k = 5 lb/pie. Determine el ángulo por equilibrio. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 86

87 135. [RH] El resorte tiene una rigidez k = 800 N/m y una longitud no alargada de 200 mm. Determine la fuerza en los cables BC y BD cuando el resorte se mantiene en la posición mostrada [RH] Los resortes en el ensamble de cuerdas están originalmente sin estirar cuando 0. Determine la tensión en cada cuerda cuando F = 90 lb. No tome en cuenta el tamaño de las poleas localizadas en B y D. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 87

88 Respuesta: T = 53.1 lb. Figura Problemas 136 y [RH] Los resortes en el ensamble de cuerdas están originalmente estirados 1 pie cuando 0. Determine la fuerza vertical F que debe aplicarse para que 30. Respuesta: F = 39.3 lb. El peso de 10 lb se sostiene mediante la cuerda AC y el rodillo, así como por medio del resorte. Figura Problemas 139 y [RH] Si el resorte tiene una rigidez k = 10 lb/pulg y una longitud sin estirar de 12 pulg, determine la distancia d a la que se ubica el peso cuando éste se encuentra en equilibrio. Respuesta: d = 7.13 pulg. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 88

89 139. [RH] Si el resorte tiene una longitud sin estirar de 8 pulg y el peso está en equilibrio cuando d = 4 pulg, determine la rigidez k del resorte. Respuesta: k = 6.80 lb/pulg [RH] Determine la longitud no alargada del resorte AC si una fuerza P = 80 lb genera un ángulo 60 para la posición de equilibrio. La cuerda AB tiene 2 pies de longitud. Considere k = 50 lb/pie. Respuesta: l = 2.66 pies [BJ] Un bloque de peso W está suspendido de una cuerda de 25 in de largo y de dos resortes cuyas longitudes sin estirar miden 22.5 in cada una. Si las constantes de los resortes son k AB = 9 lb/in y k AD = 3 lb/in, determine a) la tensión en la cuerda, b) el peso del bloque. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 89

90 El collarín A puede deslizarse sin fricción en una barra vertical y está conectado a un resorte como indica la figura. Figura Problemas 143 y [BJ] La constante del resorte es de 4 lb/in, y éste no se encuentra estirado cuando h = 12 in. Si el sistema está en equilibrio cuando h = 16 in determine el peso del collarín [BJ] El peso del collarín A es 9 lb y el resorte no está estirado cuando h = 12 in. Si la constante del resorte es de 3 lb/in, determine el valor de h para el cual el sistema está en equilibrio. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 90

91 BIBLIOGRAFÍA. Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 8a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 9a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, Beer, F., E. R. Johnston y D. F. Mazurek, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 10a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, Hibbeler, R. C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 10 ed., Pearson Education de México, S.A de C.V. México, Hibbeler, R.C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 11 ed., Pearson Education de México, S.A de C.V. México, Meriam, J. L y L. G. Kraige. Statics. Seventh Edition. John Wiley & Sons, Inc. Estados Unidos Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 91

92 TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 92

93 OBRAS DEL MISMO AUTOR. Serie Problemas Resueltos y Propuestos de: - Electricidad (Física II). - Química. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 93

94 - Cálculo Diferencial. - Cálculo Integral. - Cálculo Vectorial. - Ecuaciones Diferenciales. - Métodos Numéricos. - Estadística. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 94

95 - Termodinámica Básica. - Termodinámica Aplicada. - Fenómenos de Transporte. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 95

96 Videotutoriales. Cálculo diferencial: Límites de funciones. Cálculo diferencial: Derivadas de funciones. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. 96