Método de Karnaugh. Fundamentos de los Computadores Grado en Ingeniería Informática

Transcripción

1 2. Simplificación de funciones booleanas: as Método de Karnaugh aug Método de Karnaugh Fundamentos de los Computadores Grado en Ingeniería Informática

2 Introducción La efectividad de la simplificación booleana no debe depender de nuestra habilidad usando leyes y reglas Es necesaria la utilización de una metodología sistemática para simplificar las funciones booleanas Los objetivos de este tema son: Describir el método de Karnaugh para la simplificación de funciones lógicas en forma de suma de productos y de producto de sumas Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 2

3 Estructura del tema Introducción Método de simplificación de Karnaugh Simplificación de una suma de productos Simplificación de un producto de sumas Resumen y bibliografía Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 3

4 Método de Karnaugh El método de Karnaugh proporciona una forma sistemática para simplificar funciones booleanas La clave para realizar este proceso consiste en representar la función que se desea simplificar usando lo que se conoce como mapa de Karnaugh Si se aplica adecuadamente, este método genera las expresiones más simples posibles, tanto en forma de suma de productos como de producto de sumas Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 4

5 Mapas de Karnaugh Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de la salida para cada combinación posible de las entradas En lugar de organizarse en filas y columnas, un mapa de Karnaugh es un conjunto de celdas en el que cada celda representa un valor binario de las entradas Las celdas se distribuyen de manera que simplificar una determinada expresión consiste en agrupar adecuadamente algunas de las de celdas Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 5

6 Mapas de Karnaugh El número de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al número total de posibles combinaciones de los valores de las variables de entrada Por ejemplo, un mapa de Karnaugh hde 3 variables tendría un total de 2 3 = 8 celdas y uno de 4 variables tendría 2 4 = 16 celdas AB C 0 1 AB CD Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 6

7 Adyacencia de celdas Las celdas de un mapa de Karnaugh se disponen de manera que entre dos celdas adyacentes sólo cambie el valor de una única variable (sólo cambia 1 bit) Físicamente, cada celda es adyacente a las que están situadas inmediatamente junto a cualquiera de sus cuatro lados Una celda no es adyacente a aquellas que tocan diagonalmente alguna de sus esquinas Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 7

8 Adyacencia de celdas Además existe adyacencia cíclica Las celdas de la fila inferior son adyacentes a la superior Las celdas de la columna izquierda son adyacentes a la derecha Podemos pensar que el mapa de Karnaugh se dobla como si fuera un cilindro, de manera que se toquen los extremos inferior-superior i i o izquierda-derecha i d Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 8

9 Estructura del tema Introducción Método de simplificación de Karnaugh Simplificación de una suma de productos Simplificación de un producto de sumas Resumen y bibliografía Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 9

10 Minimización de la suma de productos Una expresión suma de productos minimizada por el método de Karnaugh estará formada por el mínimo número de términos producto posible Además, cada término producto de una expresión minimizada estará compuesto por el mínimo número posible de variables Esta simplificación dará lugar a una expresión que, en general, podrá ser implementada usando menos puertas lógicas de las que necesitaría su forma canónica Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 10

11 Generación del mapa de la suma de productos Lo más conveniente para generar el mapa de Karnaugh de una expresión suma de productos es que la expresión esté en forma canónica El primer paso de este proceso es colocar un 1 en la celda correspondiente a cada combinación de valores de las variables que hagan valer 1 a algún término producto Cuando se haya terminado, el mapa tendrá tantas celdas con un 1 como términos producto haya en la expresión Las celdas vacías son aquellas para las que la expresión vale 0, aunque no es necesario escribirlos Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 11

12 Generación del mapa de la suma de productos Ejemplo: AB C ABC + ABC + ABC + ABC Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 12

13 Generación del mapa de la suma de productos Ejemplo: AB C ABC + ABC + ABC + ABC Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 13

14 Generación del mapa de la suma de productos Ejemplo: ABCD + ABCD + ABCD + ABCD CD AB Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 14

15 Simplificación de la suma de productos La minimización de una suma de productos comienza agrupando los 1 que estén situados en celdas adyacentes del mapa Un grupo debe contener el mayor número posible de celdas Toda celda del grupo debe ser adyacente a otra celda del grupo El número de celdas de cada grupo debe ser potencia de dos Cada 1 del mapa debe estar incluido en al menos un grupo, aunque un 1 puede estar incluido en varios grupos solapados Puede haber varias agrupaciones válidas posibles, pero siempre teniendo en cuenta que el objetivo final lde este proceso es maximizar el tamaño de los grupos al mismo tiempo que se trata t de minimizar i i el número de grupos Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 15

16 Simplificación de la suma de productos Ejemplos: AB C 0 1 AB C Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 16

17 Simplificación de la suma de productos Cada grupo de celdas da lugar a un término producto compuesto por todas las variables que aparecen en el grupo con un único valor Las variables que aparecen con dos valores distintos en un grupo no se tienen en cuenta La expresión mínima en forma de suma de productos se obtiene sumando todos los términos producto obtenidos a partir de los grupos del mapa Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 17

18 Simplificación de la suma de productos Ejemplo: AB C ABC 01 1 BC AB + BC + ABC AB 10 Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 18

19 Simplificación de la suma de productos Ejemplo: AB C B 01 1 AC B + AC + AC 11 1 AC Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 19

20 Simplificación de la suma de productos Ejemplo: AB CD D ABC + BC + D BC ABC Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 20

21 Obtención a partir de la tabla de verdad Los 1 de una tabla de verdad se pueden trasladar directamente a un mapa de Karnaugh Por ejemplo: F(A,B,C) = (0,4,6,7) A B C C 1 ABC 0) ) ) ) ) ABC 5) ) ABC 7) ABC AB C Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 21

22 Obtención a partir de la tabla de verdad El mapa generado nos permite obtener la forma minimizada de la función AB C BC 01 Forma minimizada: AB + BC AB 10 1 Forma canónica: ABC + ABC + ABC + ABC Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 22

23 Estructura del tema Introducción Método de simplificación de Karnaugh Simplificación de una suma de productos Simplificación de un producto de sumas Funciones incompletamente especificadas Circuitos con salida múltiple Resumen y bibliografía Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 23

24 Minimización del producto de sumas Una expresión producto de sumas minimizada por el método de Karnaugh estará formada por el mínimo número de términos suma posible Además, cada término suma de una expresión minimizada estará compuesto por el mínimo número posible de variables Esta simplificación dará lugar a una expresión que, en general, podrá ser implementada usando menos puertas lógicas de las que necesitaría su forma canónica Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 24

25 Generación del mapa del producto de sumas Lo más conveniente para generar el mapa de Karnaugh de una expresión producto de sumas es que la expresión esté en forma canónica El primer paso de este proceso es colocar un 0 en la celda correspondiente a cada combinación de valores de las variables que hagan valer 0 a algún término suma Cuando se haya terminado, el mapa tendrá tantas celdas con un 0 como términos suma haya en la expresión Las celdas vacías son aquellas para las que la expresión vale 1, aunque no es necesario escribirlos Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 25

26 Generación del mapa del producto de sumas Ejemplo: AB C (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 26

27 Generación del mapa del producto de sumas Ejemplo: (A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D) CD AB Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 27

28 Simplificación del producto de sumas La minimización de un producto de sumas comienza agrupando los 0 que estén situados en celdas adyacentes del mapa Un grupo debe contener el mayor número posible de celdas Toda celda del grupo debe ser adyacente a otra celda del grupo El número de celdas de cada grupo debe ser potencia de dos Cada 0 del mapa debe estar incluido en al menos un grupo, aunque un 0 puede estar incluido en varios grupos solapados Puede haber varias agrupaciones válidas posibles, pero siempre teniendo en cuenta que el objetivo final lde este proceso es maximizar el tamaño de los grupos al mismo tiempo que se trata t de minimizar i i el número de grupos Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 28

29 Simplificación del producto de sumas Ejemplos: AB C 0 1 AB C Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 29

30 Simplificación del producto de sumas Cada grupo de celdas da lugar a un término suma compuesto por todas las variables que aparecen en el grupo con un único valor Las variables que aparecen con dos valores distintos en un grupo no se tienen en cuenta La expresión mínima en forma de producto de sumas se obtiene multiplicando todos los términos suma obtenidos a partir de los grupos del mapa Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 30

31 Simplificación del producto de sumas Ejemplo: AB C A+B 01 0 A+C (A+B)(A+C)(A+C) 11 0 A+C 10 0 Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 31

32 Simplificación del producto de sumas Ejemplo: AB C A+C B+C (A+C)(B+C) Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 32

33 Simplificación del producto de sumas Ejemplo: AB CD C C(B+D) B+D Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 33

34 Obtención a partir de la tabla de verdad Los 0 de una tabla de verdad se pueden trasladar directamente a un mapa de Karnaugh Por ejemplo: F(A,B,C) = (1,2,3,5) A B C AB C 0 1 0) ) 0 0 A+B+C 2) A+B+C 3) A+B+C ) ) A+B+C 11 6) ) Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 34

35 Obtención a partir de la tabla de verdad El mapa generado nos permite obtener la forma minimizada de la función AB C B+C Forma minimizada: A+B (A+B)(B+C) Forma canónica: (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 35

36 Conversión entre formas estándar La conversión entre suma de productos y producto de sumas es sencilla utilizando un mapa de Karnaugh, ya que donde no hay un 1 hay un 0 y viceversa C 0 1 A B C AB ) ) F(A,B,C) = (0,4,6,7) 2) ) 4) 5) 6) 7) F(ABC)= (1 F(A,B,C) (1,2,3,5) 2 3 AB C Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 36

37 Estructura del tema Introducción Método de simplificación de Karnaugh Simplificación de una suma de productos Simplificación de un producto de sumas Resumen y bibliografía Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 37

38 Resumen La expresión minimizada de un circuito será aquella que requiera un menor número de puertas y, por tanto, requerirá un menor coste de implementación, sufrirá un retardo menor y consumirá menos energía El método de Karnaugh permite obtener, de forma sistemática, la función lógica mínima que representa un circuito digital Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 38

39 Bibliografía Principios de Diseño Digital Capítulo 4 Daniel D. Gajski Prentice Hall, 1997 Fundamentos de Sistemas Digitales (7ª edición) Capítulo 4 Thomas L. Floyd Prentice Hall, 2000 Sistemas Electrónicos Digitales Capítulo 3 Enrique Mandado d Marcombo, 1991 Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 39