5. Movimiento Browniano y caminatas al azar.

Transcripción

1 Física ByG do cuatrimestre 1 5. Movimiento Browniano y caminatas al azar. Material de lectura sugerido: Capítulo 4 de Física Biológica. Energía, información y vida, Philip Nelson. Random Walks in Biology, Howard C. Berg. El propósito de esta guía es el de introducirnos a uno de los modelos mas simples de caminata aleatoria: una caminata aleatoria en una dimensión. Aunque este modelo es simple, nos permite entender muchas de las propiedades de caminatas aleatorias mas complejas. Nuevamente, no hace falta hacer muchas cuentas, pero tómense el tiempo para pensar cada uno de los problemas; las preguntas mas obvias pueden esconder ideas importantes. Introducción: Qué son la difusión y el movimiento browniano? Las fuerzas que agitan a las moléculas causan la difusión. A escala microscópica, la difusión es una forma de movimiento aleatorio caracterizado por cambios abruptos y frecuentes de dirección. Esta aleatoriedad es el resultado de la colisión con moléculas presentes en el entorno, las cuales a su vez también se están moviendo aleatoriamente. Esta forma de movimiento también se llama movimiento Browniano *. Extracto del libro Mechanics of Motor Proteins and the cytoskeleton, J. Howard. Sinauer Assoc. 1. Nos acercaremos a estos procesos a través de la formalización matemática de la caminata al azar o random walk. Este modelo describe la trayectoria de un sistema que evoluciona dando sucesivos pasos de forma aleatoria. El modelo de caminata aleatoria no sólo se usa para modelar el movimiento de moléculas o partículas sino que también describe fenómenos tan diversos como la toma de decisiones, la evolución de un ecosistema o las fluctuaciones de la bolsa de valores. Algunas caminatas aleatorias ocurren sobre una línea, otras en un plano y otras en muchas dimensiones; inclusive una caminata aleatoria puede realizarse entre grupos (de neuronas, de personas, etc). Un ejemplo de caminata aleatoria es el de la migración de las células T del sistema inmunológico. Las células T viajan una distancia de aproximadamente µm en línea recta a una velocidad de µm/seg. Luego, las células cambian de dirección con una alta probabilidad. Por eso, las trayectorias tienen patrones de random walks cuando se registran durante tiempos largos. La figura de la izquierda muestra algunas de estas trayectorias (normalizadas al origen) registradas con la técnica de microscopía de fotones. Para más información: A stochastic view of lymphocyte motility and trafficking within the lymph node. Wei SH, Parker I, Miller MJ, Cahalan MD. Immunological Reviews 3, Vol. 195: * En honor del botanista Robert Brown, quien en 187 observo el movimiento aleatorio de granos de polen bajo el microscopio. Brown se sorprendió de esta observación y pensó que este movimiento podía ser producido por el polen. Para sacarse las dudas, observo también partículas de polvo y vio que se movían de la misma manera. Brown concluyó (sin mucha alegría) que este movimiento no era una propiedad exclusiva de un sistema vivo. 1

2 Física ByG do cuatrimestre 1 El mundo micro y macroscópico. Una pregunta para tener en cuenta mientras pensamos los problemas de esta guía y la siguiente: Si el comportamiento microscópico de un sistema está regido por reglas de evolución aleatorias, podemos predecir algo sobre su comportamiento macroscópico (observable)? Problemas. 1) Caminata aleatoria en una dimensión. Una partícula realiza una caminata aleatoria (random walk) según las siguientes reglas (ilustradas en el esquema que sigue): a) la posición inicial de la partícula a t = es x o=. b) la partícula se mueve sobre una línea recta en pasos discretos de longitud L=1. c) en cada movimiento la partícula tiene igual probabilidad de ir hacia la derecha o hacia la izquierda. Es decir p(der)=p(izq)=.5. p=.5 p= En la siguiente figura se muestran las trayectorias (posición en función del número de pasos) de 6 partículas que hicieron un random walk de pasos con las reglas previamente citadas. Ahora vamos a experimentar con caminatas más cortas y pensar qué tipo de resultados podríamos obtener. 3 P o s i c i ó n N ú m e r o d e p a s o s La siguiente tabla muestra todas las posibles secuencias de movimiento de la partícula en una caminata de 4 pasos (cada paréntesis representa un paso; movimiento a la derecha es denotado como + y hacia la izquierda como - ). Complete la tabla con la posición final en la que se encuentra la partícula de realizar cada una de las secuencias posibles.

3 Física ByG do cuatrimestre 1 SECUENCIA (+)(+)(+)(+) (+)(+)(+)(-) (+)(+)(-)(+) (+)(+)(-)(-) (+)(-)(+)(+) (+)(-)(+)(-) (+)(-)(-)(+) (+)(-)(-)(-) (-)(-)(-)(-) (-)(-)(-)(+) (-)(-)(+)(-) (-)(-)(+)(+) (-)(+)(-)(-) (-)(+)(-)(+) (-)(+)(+)(-) (-)(+)(+)(+) POSICION FINAL a) Con qué probabilidad ocurre cada una de estas secuencias? b) Con qué probabilidad termina la partícula en cada posición? c) Cuál es el valor medio de la posición final, <x>? d) Un sistema de medición detecta si la partícula se aleja del origen una distancia, en módulo, mayor o igual a dos unidades de longitud (es decir, si L o L -). Cuál es la probabilidad de que el sistema de medición detecte un cambio de posición? (Ayuda: calcule p( x ). e) Qué ocurre con <x> y p( x ) a medida que la partícula da más pasos? ) Tiempos de llegada A continuación mostramos el resultado que se obtendría al medir el tiempo que le lleva a una partícula recorrer una cierta distancia. Las partículas parten de x= y al llegar a la meta se midió el tiempo empleado. Se hizo el experimento con partículas que hacen un random walk, con partículas que viajan a velocidad constante y con partículas que se trasladan con aceleración constante (positiva). Puede decir qué conjunto de puntos pertenece a cada tipo de movimiento? t i e m p o ( u. a. ) d i s t a n c i a ( u. a. ) 3) Caminata aleatoria en una dimensión II. Consideremos nuevamente la caminata aleatoria en una dimensión. Esta vez analizaremos con más detalle el movimiento para extraer una ley general a partir de las reglas de movimiento de la partícula en la escala microscópica. Supongamos que tenemos muchas partículas haciendo una caminada aleatoria, que todas parten de x = a t = y luego se mueven de acuerdo a las siguientes reglas: 3

4 Física ByG do cuatrimestre 1 1. Se mueven con una velocidad constante v durante un tiempo t, es decir que recorren una distancia x= v t. Luego de este tiempo, chocan con otra partícula y toman una dirección aleatoria (hacia la derecha o hacia la izquierda) recorriendo nuevamente la misma distancia x=v t a la misma velocidad v.. La probabilidad de ir hacia la derecha después de cada paso es ½ al igual que la probabilidad de ir hacia la izquierda. Es decir que cada partícula, al interactuar con otras partículas del medio pierde memoria de la dirección que traía (los pasos son estadísticamente independientes). 3. Cada partícula se mueve de forma independiente de las demás. No interactúan entre sí. Esto quiere decir que la posición de una partícula después de n pasos es x( n) = x( n 1) ± El desplazamiento medio de las partículas es cero (en promedio no van a ninguna parte). Sin embargo, las partículas se desparraman alrededor del origen. Una medida conveniente del tamaño del desparramo es la raíz cuadrada de la desviación cuadrática media <x > ½. 1. Para calcular <x > primero eleve al cuadrado x(n) y luego promedie entre todas las partículas. Fíjese que hay un término que al promediar se hace cero.. Si todo salió bien, ahora tiene una expresión para x(n) en función de x(n-1) y de una constante. Esta ecuación tiene una forma recursiva pero se puede resolver planteando la solución sucesivamente para x(), x(1), x(), x(3) y viendo que se pueden escribir todas en función de x(). 3. Muestre que la desviación cuadrática media es: < x > = n x. 4. Rescriba la ecuación anterior usando D = x / t (1) como definición del coeficiente de difusión y encuentre una relación entre <x > y el tiempo. Compare con el resultado obtenido en la figura de abajo. Por qué no da una recta? Qué diferencia hay entre el razonamiento que nos llevó a la expresión que acaban de deducir y la simulación? 5. En el gráfico de la derecha mostramos la probabilidad inicial de encontrar a la partícula en la recta. Grafique cualitativamente la probabilidad de encontrar partículas a lo largo del eje x para tiempos posteriores T 3 > T > T 1 >. x 1 1 P(t=) 8 < x > n -x +x 4

5 Física ByG do cuatrimestre 1 4) Caminata aleatoria en una, dos y tres dimensiones. El resultado del ejercicio anterior puede extenderse a dos y tres dimensiones para obtener las siguientes expresiones: < r > = < x > = D t en 1 dimensión < r > = < x + y > = 4 D t en dimensiones () < r > = < x + y + z > = 6 D t en 3 dimensiones De dónde salen los coeficientes, 4 y 6? Discuta por qué esto hace más lenta la difusión en 3D que en menos dimensiones. 5) Tiempos de viaje de difusión vs. velocidad constante. De acuerdo a lo visto hasta ahora, una partícula que hace una caminata aleatoria viaja durante un tiempo breve t a una velocidad v= x/ t que podemos llamar velocidad instantánea de la partícula. Cuánto tardaría una molécula en recorrer una distancia L=N* x (es decir, L es igual a N veces la distancia elemental x) si viajara a esa velocidad constante sin interrupciones? Puede calcular cuánto tardaría en promedio en un proceso difusivo donde luego de cada desplazamiento x hay un choque? (Ayuda: calcule el tiempo para una trayectoria a velocidad constante y compare con el tiempo promedio para el proceso difusivo obtenido antes. Qué puede concluir? 6) Hasta ahora analizamos cómo el modelo de caminata al azar nos permite deducir el comportamiento difusivo de partículas en solución. Si sometemos a estas mismas partículas en un fluido a una fuerza constante (por ejemplo, al fuerza de gravedad o la fuerza centrípeta de una ultracentrífuga) vemos que las mismas experimentan una fuerza que se opone a su movimiento y es proporcional a la velocidad relativa entre el objeto y el fluido: F arrastre = γ v El coeficiente de proporcionalidad γ es una función del tamaño y de la forma del objeto así como de la viscosidad del medio. Para un objeto esférico, este coeficiente se puede calcular de la siguiente forma: donde η es la viscosidad del fluido y R el radio del objeto. γ = 6π η R Fórmula de Stokes (3) En 195, Einstein mostró que independientemente de su tamaño, la energía cinética de una partícula asociada al movimiento en una dirección es K BT/ (incluso para partículas haciendo movimiento Browniano), es decir que m <v > = K BT. Si la partícula se mueve en tres dimensiones se obtiene: 1 m v 3 = kbt (4) Por otra parte, en el mismo año encontró una relación general entre el coeficiente de difusión y el de fricción: γ D = kbt Relación de Einstein (5) Este resultado indica que la difusión y la fricción son dos caras de un mismo fenómeno: la agitación térmica de las moléculas. Esta relación implica que moléculas más grandes sentirán 5

6 Física ByG do cuatrimestre 1 mayor fricción pero difundirán más lento que moléculas más pequeñas de modo que el producto de ambos coeficientes sea siempre constante a una misma temperatura. A partir de esta relación, también es posible calcular el valor de la constante de Boltzman, K B. Qué magnitudes mediría (y cómo lo haría) para determinar K B usando la relación de Einstein? 7) Tiempos característicos de difusión intracelular. La siguiente tabla muestra el radio de varios tipos de partículas: un ión, una proteína y una organela. Suponiendo que el interior celular tiene una viscosidad similar a la del agua, y a partir de los radios, usando la ley de Stokes se puede calcular γ como se muestra en la tabla. En base a estos datos, responda: Molécula Radio [nm=1-9 m] γ [pn s m -1 ] D [µm s -1 ] Ion (Na,Cl,K).1 Proteína 1 KDa 3 6 Vesícula sináptica Datos: K BT= J [Joule=Newton*m]; recuerde: 1 µm =1-1 m a) Calcule los coeficientes de difusión de cada uno de estos componentes celulares. b) Cuánto tardarán en promedio las tres moléculas en explorar el interior de una célula bacteriana* (r = µm)? Y en el caso de una célula de mamífero (r=1 µm)? c) Cuál será el tiempo promedio que tardará cada componente en ser transportado por medio de la difusión a través de un axón de 1 cm de largo* (exprese los tiempos en horas o días)? Molécula X = µm X = 1 µm X = 1 cm Ion Proteína 1 KDa Vesícula sináptica * Por simplicidad, considere en todos los casos difusión en una dimensión. En base a sus respuestas, analice la utilidad del proceso de difusión como mecanismo de localización de componentes considerando el tipo de célula, la distancia recorrida y el tipo de componente (moléculas chicas, proteínas y vesículas). 8) Proteína de 1 KDa vs Michael Phelps. La masa de la proteína de 1 KDa es m= Kg. Usando este dato y la ecuación (4) estime la velocidad de la proteína y compárela con la velocidad de Michael Phelps que (según el registro de los Juegos Olímpicos de Beijing 8) es de aproximadamente m/seg. 9) En base a todo lo analizado en esta guía, discutir las siguiente preguntas. En qué situaciones (tipo de celula, distancia de transporte) cree que la difusión es un mecanismo útil para localizar componentes celulares? El mecanismo de difusión es 'gratis' para la célula, es decir no implica un gasto energético (dicho de otro modo, es un mecanismo pasivo); en el caso de vesiculas sinápticas, Cómo cree que se puede solucionar el problema? 6