Ejercicios Resueltos Capítulo 2: Números Reales. Dado que la concentración del agua es nula se considera al 0 %. Así:

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1 Ejercicios Resueltos Capítulo 2: Números Reales. 1) Dado que la concentración del agua es nula se considera al 0 %. Así: V V 20 = donde V 1 es una solución, y V 2 es el agua. De esto se tiene que V 1 = 14, y dado que V 1 + V 2 = 7 tenemos que V 2 = 7. Por lo tanto se debe utilizar una cantidad aproxima de 4, 6ml de una solución al 0 % de glucosa y una cantidad de 2, ml de agua para lograr lo deseado. ) Dado que el acido se desea en estado puro, consideramos su concentración al 100 %. Así: V 2 = (10 + V 2 ) 1 2, y de esto se tiene que V 2 = 4ml es la cantidad necesario de acido puro. 4) 11 % 5) Si tenemos que en gas seco, P O2 = 760 0, , 6 y en gas húmedo, P O2 = (760 47) 0, , 7. Entonces la presión parcial en gas seco es ligeramente mayor a la presión parcial en gas húmedo. 6) Volumen al final de la diástole: 140, Volumen final de la sístole: 70, Frecuencia Cardiaca: 75, Volumen latido=70, Gasto Cardiaco: 5250, Fracción de expulsión: 1/2. 7) Dado que [RV ] P AH = [P AH] en vena renal, se sigue que [P AH] = (F P R) (RA) P AH U P AH V F P R

2 10) Si C V < 12 Obtenemos que x 2 11x < 0,luego x (0, 11). Si V C < 12 se tiene que x 2 +11x 24 < 0, cuyo conjunto solución es (, ) (8, ). Finalmente la solución general es el conjunto {(, ) (8, )} (0, 11) = (0, ) (8, 11). que representa los rango de edad de mayor riesgo para contraer esta enfermedad. 11) Fijamos a. Deseamos que 2 25 ta < t a, que es equivalente a que t < 1, Esto es, para una edad aproximada de un año la dosis según Regla de Friend es menor que la dosis según Regla de Cowling. 12) Para P tenemos que t , así, t 2000/ luego después de 7 años y 8 meses la población será de al menos 20 mil personas. 1) Si h = 1600 entonces d = 64/15, y si h = 200 se tiene que d = 92/15, siendo estos el mínimo y máximo retardo para un fruto que florece entre los 1600 y 200 metros sobre el nivel del mar. 14) Tenemos que 70 em donde em representa la edad mental, luego 14 e y 20 e 24, esto es, [14, 24] es el intervalo de variacion de la edad mental del grupo. 15) Establecemos la siguiente inecuación 4 < 74x < 8 donde x representa los mg por 8x + dósis, esto es, x es una variable positiva. Así se tiene que 4(8x + ) < 74x y 74x < 8(8x + ) Esto es, la cantidad de dósis que se debe administrar se encuentra entre 4/7 y 12/5 mg para que el fármaco tenga efecto más de 4 horas y menos de 8 horas.

3 16) De la relación dada, obtenemos que 20 9 F 2, y que F 2 0 9, de esto se 6 5 obtiene que [68, 86] es el intervalo en la escala Fahrenheit buscado. 17) Usando 16) tenemos que F = C 9 + 2, y de esto se tiene que 50 C y C así 10 C 5 es el rango buscado. 5 18) Para N < 4000 tenemos que 1000 t < 4000, así, 4 < t2 luego t (2, ), esto es, para un tiempo mayor a 2 minutos el número de bacterias está por debajo de ) Para C > tenemos que 20t t 2 +4 > 4, así, 0 > t t luego t (1, 4), esto es, entre 1 y 4 horas se ha excedido el nivel. 20) Necesitamos que P 6. Entonces 6 2t 2 + 8t cuyo conjunto solución es [1, ]. Así entre las 12 y 15 hrs es posible realizar el examen. 21) Si ya ha consumidoo 80gr de proteinas, a consumido 20 cal. Luego, Si C representa la cantidad de Carbohidratos en cal, establecemos que C Esto es, C 25, y dado que 1gr de carbohidrato equivale a 9 cal tenemos que 25/9 6, 1 es la cantidad de carbohidratos, en gramos, que se debe consumir. 22) Para P > 62 se tiene que 18t t > 62, cuyo intervalo solución es (4, 14), esto es, el paciente se encuentra en riesgo vital entre 4 y 14 horas posteriores al ingerir el medicamente vencido.

4 Capítulo 2 ( pag 45 ) 2 1) Si f(t) =, tenemos que en t = 0 f(0) = 1/2, esto es, 500 personas 1 + e ( 0,8t) son infectadas al cabo de 0 semanas, es decir, al comienzo del brote. Por otro lado para un número grande de semanas, calculamos lím f(t) = 2. Así un total de 2000 personas t estarn infectadas al cabo de muchas semanas. 2) Si f(x) = x 46,5 donde x representa el tiempo en horas y f(x) es la cantidad en miligramos. Tenemos que en f(24) 70, esto es, al cabo de 24 hrs quedaran 70 [mg]. Ahora si y = f(x), se sigue que x = ln(100/y) 46,5 ln 2. Así f 1 (x) = ln(100/y) 46, 5 ln 2, por lo tanto para x = 25 se tiene que f 1 (25) 92, 4. Lo que quiere decir que al transcurrir 92 horas quedaran 25[mg]. )Si al transcurrir 2 horas la concentración interior es 0,8 % de la concentración exterior tenemos que f(2) = 2 C, esto es, 250 C(1 e k2 ) = C y así k = 1/2 ln( 496 ) 0, 00401, luego k representa una constante de degenaración ) Dado que t = 0 representa el primer día, t = 6 representa una semana, así f(6) = 4 + 6e k6 = 4600, luego k = 1/6 ln(4596/6) 1, 106. Además tras 15 días f(15) 74, 25 representa el número de parásitos. 5) La concentración al cabo de un minuto es de x(1) 0, 116[gr/cm ]. Ahora bien para determinar el tiempo t, pedido hacemos 9 50 = e 0,02t, que es buscar el valor f 1 (9/50), despejando t, se obtiene que t = 1 0,02 ln(5/6), que aproximadamente es un tiempo de 9, 116 segundos.

5 6) Para una conversación normal tenemos que 60 = 10 log 10 (x 1 /10 12 ), mientras para un concierto de rock tenemos que 110 = 10 log 10 (x 2 /10 12 ). Despenjando x 1, x 2 se obtiene que x 1 = = 10 6, x 2 = = 10 1, ambos medidos en vatios/[cm ]., luego haciendo la diferencia entre x 1 y x 2 se obtiene que un concierto de rock es 0, 09 veces más intenso que una conversación normal. Ahora para obtener el umbral de dolor, tenemos que este se acalza cuando el nivel de sonido es 10 veces más intenso que en un concierto, esto es, = 1, luego D(1) = 120 decibeles. 8) Hacemos A = B, y B = Be n/10, despejando n, obtenemos que n = 10 ln(1/), esto es, en un lapso de aproximadamente 11 días se obtiene lo deseado. 9) El valor original se obtiene haciendo V (0) 750,000, para 5 aos, se tiene que el valor es de V (5) 584,100. Para calcular el número de aos para que alcance un valor de 250,000 hacemos V(t)= y al despejar t se obtiene t = 1/0,05 ln(1/), que aproximadamente resulta en 22 años. 11) Si entonces Finalmente f(x) = 1 eb+mx = 1 + e (b+mx) e b+mx + 1 ( ) ( ) f(x) e b+mx ln = ln 1 f(x) e b+mx + 1 (ebm+x + 1) = ln(e b+mx ). ( ) f(x) ln = bm + x. 1 f(x) 12) Para k = 1, donde L(x) = 9/10A, se tiene que 9/10A = 1 e x y de esto x = ln(1/10) así para lo desado el pez debe tener aproximadamente dos aos. En lo que respecto si es posible que L(x) = A esto sucede si yo solo si 1 = 1 e kx que equivalente a decir que 0 = e kx y para ello tendría que ocurrir que el pez viviera indefinidamente ( x ), y dado que el pez muere algún día nunca podrá alcanzar la longitu A. Capítulo 2 ( pag 27 ) ) La ecuación lineal la deducimos ocupando los puntos (x 1, y 1 ) = (210, 0,16), (x 2, y 2 ) = (21, 0,192), de esto se obtiene la pendiente m = 4/2625, así (y 0,16) = 4 (x 210). 2625

6 Por lo tanto f(x) = 4 x 4. De esta manera el nivel de riesgo para un colesterol de es de f(260) = 0,26. 4) La ecuación lineal la deducimos ocupando los puntos (x 1, y 1 ) = (4, 17), (x 2, y 2 ) = (7, ), de esto se obtiene la pendiente m = 16/, así (y 17) = 16 (x 4). Por lo tanto f(x) = 16x 1. Ahora bien, para pronosticar lo deseado encontramos la funciø n inversa de f, que viene dada por f 1 (x) = 16 ( x + 1 ). Así f 1 (50) 10, 1 por lo tanto al cabo de 10 años se tiene que la mitad de los pacientes tendrá Sida. 5) Primeramente note que desde 2002 a 1990 han transcurrido 12 años y que P (12) = 14, además consideramos que t = 0 para 1990, así la ecuación lineal la deducimos ocupando los puntos (x 1, y 1 ) = (0, 10), (x 2, y 2 ) = (12, 14), de esto se obtiene la pendiente m = 1/, así (y 10) = 1 (x 0). Por lo tanto p(x) = 1 x ) La ecuación lineal la deducimos ocupando los puntos (x 1, y 1 ) = (1, 0), (x 2, y 2 ) = (10, 4,5), de esto se obtiene la pendiente m = 1/2, así (y 0) = 1 (x 1). 2 Por lo tanto f(x) = 1x 1. La cantidad de tejido transcurridos 0 días es de f(0) ,5[mm 2 ]. Por último hacemos f(x) = 100 y al despejar x obtenemos x = 201 días para obtener lo deseado. 7) La función D es lineal en t que se reescribe como D(t) = a 24 t + a 24 cuya gráfica es una recta de pendiente m = a/24 y coeficiente de posición b = a/24, luego dado que a/24 = tg(θ) si a ± entoces θ 0 y si a ± entonces θ π/2. De igual manera para valores de a < 0 el intercepto con el eje y será negativo, y para a > 0

7 será positivo. Por otro lado si a = 500 y D(t) = 125[mg] entonces t = 5, esto es, en 5 aos es la edad del infante para administrar dicha dosis. 8) Reescribimos T como T (x) = x 2 + 4x, al hacer T (x) = 0 obtenemos que x 1 =, x 2 = 1 son las raices de la ecuación y dado que a := 1 < 0 se tiene que (1, ) es el intervalo de valores positivos para T (x), mientras que la temperatura máxima se alcanza en x = b/2a = 4/(2 1) = 2 segundos. 9) Para G(t) = 100 % tenemos que G(t) 100 = 0, que es una ecuación con raíces t 1 = 8, t 2 = 8, así el grado máximo se alcanza a los 8 minutos, luego para G(t) = 0, se obtiene las raíz t = 16, esto es, a los 16 minutos ya no hay efecto. 10)Los ceros de la función A(t) son t 1 = 5, 2, t 2 = 7, 2, y dado que t es el tiempo, y a := 0, 1 se tiene que el intervalo de tiempo para el problema es [0, 7,2], además el el valor máximo de A se alcanza en t = 1, con A(1) = 4, pues la parábola alcanza su punto máximo en x = 1. 11) Para C(t) = 8 tenemos que c(t) 8 = 0, que es una ecuación con raíces t 1 = 4, t 2 = 2, así se obtiene una concentraciń de 8[mg] a las 2 y 4 horas. 12) Supongamos que C = 1, y R = 1, [cm]. Para calcular S(r) en el eje central hacemos S(0) = C R 2 = 1, (1, 2) = 25, 44[cm/s]. Para calcular S(r) tal que d(r, P a) = d(r, ejec) hacemos S(R/2) = C(R 2 R 2 /4) = 19, 008[cm/s]. 1) Para la función f, se tiene que su dominio es R {100} y su recorrido es R { 1}