Tema 1: Simetría y teoría de grupos. Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C 3v : sistema de referencia:
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- Francisco José Piñeiro Rivas
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1 Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C 3v : sistema de referencia:
2 Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C 3v : sistema de referencia: La rotación de 120º a través del eje z traslada un punto de coordenadas (x,y) a uno de nuevas coordenadas (x,y ): En azul se representa el nuevo sistema de coordenadas rotado un ángulo
3 Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C 3v : sistema de referencia: Podemos determinar las nuevas coordenadas (x,y ) a partir de las (x,y) expresadas en el sistema de referencia fijo (en negro):
4 Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C 3v : sistema de referencia:
5 Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C 3v : sistema de referencia:
6 Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C 3v : sistema de referencia: calculemos el pedacito
7 Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C 3v : sistema de referencia: entonces: x = x cos - y sen calculemos ahora y :
8 Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C 3v : sistema de referencia:
9 Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C 3v : sistema de referencia: entonces: y = x sen + y cos
10 Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C 3v : sistema de referencia: CONCLUSIÓN: x = x cos - y sen y = x sen + y cos CON = 2 /3 = 120º PARA AMONÍACO.
11 Ejemplo 2: amoníaco, grupo puntual C 3v : así que las matrices de transformación son: Notar que siempre el plano vertical en el NH 3 debe contener el átomo de nitrógeno y uno de los hidrógenos, dejando dos hidrógenos para el cambio tras la operación.
12 También se observa que en las matrices, z nunca esta mezclada con x o con y, esto es, z es función de z solamente. Por tanto, z constituye una representación irreducible independiente del grupo. Por otra parte x Y y forman conjuntamente una representación. Esto es equivalente a ver las matrices en forma de bloques diagonalizados.
13 con diagonales: Tema 1: Simetría y teoría de grupos.
14 Con las propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles podemos hallar la que falta!.
15 Propiedades de los caracteres de las representaciones irreducibles en los grupos puntuales (2do ejemplo: amoníaco C 3v ): Primero: el número total de operaciones de simetría en un grupo se denomina orden (h). h = 6 (6 operaciones de simetría: E, 2C 3, 3s v )
16 Segundo: las operaciones de simetría se arreglan en clases. Todas las operaciones de una misma clase tienen los mismos caracteres para sus matrices transformación.
17 Tercero: El número de representaciones irreducibles debe ser igual al número de clases. Estos significa que la tabla de caracteres debe ser cuadrada.
18 Cuarto: la suma del cuadrado de las dimensiones (caracteres debajo E) para cada una de las representaciones irreducibles debe ser igual al orden del grupo. h ( E) i i 2
19 Quinto: para una representación irreducible en particular, la suma de los cuadrados de los caracteres multiplicado por el número de operaciones de una misma clase, es igual al orden del grupo. h ( R) R i 2
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21 Sexto: las representaciones irreducibles son ortogonales entre sí. La suma de los productos de los caracteres, multiplicados por el número de clase, de cualquier par de representaciones irreducibles es igual a cero. R ( i R) ( R) 0 j para i j
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23 Séptimo: todos los grupos tienen una representación irreducible totalmente simétrica, que tiene todos los caracteres igual a 1 para todas las operaciones.
24 Ahora podemos completar el resto de los caracteres para la representación irreducible que nos faltaba:
25 Finalmente queda: Tema 1: Simetría y teoría de grupos.
26 Ahora asignemos nombres a las rep. irred. encontradas: con los siguientes significados:
27 1.- Todas las representaciones unidimensionales se designan mediante A o B. E (no me refiero a oper. ident.)es el símbolo para las representaciones bidimensionales. Los casos tridimensionales se designan por medio de T (o a veces F).
28 2.- Las representaciones unidimensionales que son simétricas con respecto a la rotación por 2 /n alrededor del eje principal C n (significa simétrico (C n ) = 1) se designan por A, mientras que aquellas antisimétricas ( (C n ) = -1) se designan por B.
29 3.- Los subíndices 1 y 2 van unidos a los A y B para designar aquellos que son, respectivamente, simétrico o antisimétrico con respecto a un eje C 2 perpendicular al eje principal, o bien si no existe ese eje, a un plano vertical de simetría.
30 4.- Las primas y dobles primas van unidas a todas las letras, cuando sea conveniente, para indicar las que sean simétricas o asimétricas, respectivamente, con respecto a s h. 5.- En los grupos con un centro de inversión, el subíndice g (del vocablo alemán gerade que significa par) se une a los símbolos de las representaciones que son simétricas con respecto a la inversión, y el subíndice u (ungerade en alemán, impar) se utiliza para aquellos asimétricos a la inversión. 6.- En uso de los subíndices numéricos para E y T, también sigue ciertas reglas, pero éstas no pueden establecerse fácilmente sin un desarrollo matemático previo. Nos bastará considerarlos como denominaciones arbitrarias.
31 Recapitulando, la tabla de caracteres para el grupo C 3v es la siguiente: zona 1 zona 2 zona 3 zona 4
32 Repaso sobre la zona 3: En la zona 3 se encuentran siempre tres símbolos: x, y, z, R x, R y, R z. Los tres primeros representan las coordenadas x, y, z. Los símbolos R establecen las rotaciones en torno a los ejes especificados con los subíndices. En las matrices de transformación se nota que x es función de x Y y. Además z es solo función de z.
33 Repaso sobre la zona 3: De modo que (x, y), Y z constituyen entre sí representaciones diferentes.
34 Repaso sobre la zona 3: Para las propiedades de transformación de las rotaciones tenemos lo siguiente: se coloca una flecha curva en torno al eje elegido para la rotación. Dicha flecha alrededor del eje z se transforma en sí misma mediante E.
35 Repaso sobre la zona 3: La flecha alrededor del eje z se transforma en sí misma mediante C 3. La flecha alrededor del eje z cambia su sentido con los planos verticales.
36 Repaso sobre la zona 3: Así se constituye la base para una representación irreducible con los caracteres: 1 1-1, que corresponde a la A 2. Esto se señala entonces como Rz en la zona 3.
37 Repaso sobre la zona 3: Ahora: que pasa con los vectores Rx y Ry????. Hasta los momentos los ejemplos escogidos han sido muy sencillos porque los vectores se transforman en si mismos por las operaciones de simetría y por ellos las representaciones contenían únicamente 1. Esta condición no se cumple porque los dos vectores dependen entre sí y son mezclas de los originales; no pueden por lo tanto discutirse por separado. Es decir, la idea de la flecha circular no me sirve; pero un punto sí
38 Repaso sobre la zona 3: Al aplicar C 3 el punto gira 120º. Las nuevas coordenadas de rotación son: y x x R R R ' y x y R R R '
39 Repaso sobre la zona 3: La expresión de transformación de los vectores es muy engorrosa. Puede simplificarse mediante las siguientes matrices: para C 3 1
40 Repaso sobre la zona 3: La expresión de transformación de los vectores es muy engorrosa. Puede simplificarse mediante las siguientes matrices: para C 3 2
41 Repaso sobre la zona 3: Las matrices de transformación para todas las demás operaciones de simetría, usando como base los vectores Rx y Ry son las siguientes: para E
42 Repaso sobre la zona 3: para el primer plano vertical
43 Repaso sobre la zona 3: para el segundo plano vertical
44 Repaso sobre la zona 3: para el tercer plano vertical
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46 que corresponde bien con la representación irreducible E. NOTA: Sí se coloca el punto magenta en (y) el razonamiento es análogo y conduce a la misma conclusión.
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