MECANICA CLASICA Tarea 1: Introducción a la Notación Indicial - Matrices, Vectores y Cálculo Vectorial FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE FISICA

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1 FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE FISICA TAREA # 1 MECANICA CLASICA INTRODUCCION A LA NOTACION INDICIAL - MATRICES, VECTORES Y CALCULO VECTORIAL Prof. Terenzio Soldovieri C. BBPin: 568EEB0F - Whatsapp: URL: s: tsoldovieri@fec.luz.edu.ve (institucional); terenzio@cantv.net; tsoldovieri@hotmail.com Texto guía: Soldovieri C., T. INTRODUCCION A LA MECANICA CLASICA. 1era ed (preprint), Avances del texto disponibles (en redacción y revisión) en la web Ultima actualización de esta tarea: 21/06/2017. Indicaciones: Resuelva cada uno de los siguientes planteamientos marcados con plasmando en su hoja todos y cada uno de los cálculos realizados, es decir, NO REALICE CALCU- LOS DIRECTOS. El resto de los problemas queda como ejercitación y no deben ser anexados en la tarea a entregar. La tarea debe ser entregada en hojas tipo examen o en hojas blancas tipo carta u oficio (nuevas o recicladas), a lápiz, sin carpeta y debidamente engrapadas. No tiene que anexar la presente hoja ni reescribirla en su tarea, sólo debe colocar el número correspondiente al problema a resolver. La tarea y el examen son inseparables, es decir, de faltar uno de los dos, la calificación total será cero. MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 1/ 163

2 Puntuación: 10 puntos, los cuales serán sumados al evaluativo del capítulo 1 si es aprobado. Entrega: el día fijado para el examen del capítulo 1. Sin prórroga. 1. La figura 1 muestra un segmento de recta ubicado en un sistema de coordenadas.este sistema es rotado un ángulo cualquera alrededor de un eje Figura (1): Problema 1. arbitrario que pasa por su origen, obteniéndose así el sistema. Mostrar que, partiendo de que la longitud del segmento es la misma en ambos sistemas, indicando que la transformación la mantiene invariante. 2. Considérese el producto, donde y son dos vectores conocidos. Es claro que esta ecuación no define de manera única, puesto que alguna componente de a lo largo de podría no contribuir al producto vectorial. Sin embargo, considérese adicionalmente que se cumple simultáneamente el producto, donde es un escalar conocido. Mostrar que es posible resolver para el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores de forma que ( ), MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 2/ 163

3 sin hacer uso de alguna identidad vectorial conocida. Ayuda: parta expresando el producto en notación indicial. 3. Mostrar, mediante consideraciones trigonométricas, que los cosenos directores,, de una semirrecta en el espacio, como la mostrada en la figura 2, satisfacen la identidad trigonométrica, Figura (2): Problema A un sistema de coordenadas se le efectúa una rotación alrededor de su eje un ángulo de en sentido antihorario. La anterior rotación también se puede efectuar mediante dos rotaciones sucesivas de ángulos y alrededor del eje en sentido antihorario. Comparando la matriz de transformación del primer caso con la del segundo, mostrar que se cumplen las relaciones trigonométricas: 5. Mostrar, mediante consideraciones trigonométricas, que el coseno del ángulo que forman entre sí dos semirrectas A y B en el espacio (ver figura 3) viene dado por, A B A B A B donde A, A, A son los cosenos directores de la semirrecta A y B, B, B los de la semirrecta B.Mostrar, además, que la expresión, MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 3/ 163

4 Figura (3): Problema 5. del problema 3 es su consecuencia directa, teniéndola como válida para la solución del presente problema. 6. La figura 4 muestra un sistema de coordenadas que fue rotado un ángulo alrededor de su origen en sentido antihorario, para obtener así el sistema de coordenadas. Muestre que las coordenadas no primadas del punto en función de sus correspondientes primadas vienen dadas por, usando simple geometría y trigonometría, sin hallar primeramente las coordenadas primadas en función de las no primadas. Figura (4): Problema 6. MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 4/ 163

5 7. La figura 5a muestra un sistema de coordenadas respecto del cual se ubica el punto y que fue rotado un ángulo alrededor de su origen en sentido antihorario, obteniéndose así el sistema de coordenadas (a este tipo de rotación se le llama Rotación Pasiva). La situación equivalente es mostrada en la figura 5b, en la cual se ha mantenido fijo el sistema y se ha rotado el punto alrededor del origen un ángulo, pero en sentido opuesto a la rotación realizada en la figura 5a y de tal manera que su distancia a permanezca constante, obteniéndose así el punto (a este tipo de rotación se le llama Rotación Activa). Muestre, a partir de la figura 5b y usando simple geometría y trigonometría, que las cordenadas de en función de las coordenadas de vienen dadas por, Figura (5): Problema Si es un vector arbitrario y un vector unitario en alguna dirección fija mostrar, usando notación indicial, que se cumple la expresión, Cuál es el significado geométrico de los dos términos del miembro derecho de esta expresión?. 9. Se rota un sistema de coordenadas un ángulo de en sentido antihorario, alrededor de un eje que forma ángulos iguales con sus tres ejes coordenados y que pasa por su origen. Luego, el sistema resultante es rotado un ángulo de en sentido antihorario alrededor del eje, obteniéndose así un sistema. Determinar: MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 5/ 163

6 a) La matriz de transformación que permite pasar de a. Resp.: b) La matriz de transformación que permite pasar de a. Resp.: 10. Un sistema de coordenadas se rota un ángulo de en sentido antihorario alrededor del eje, obteniéndose así el sistema. Luego, el sistema resultante se rota un ángulo de en sentido antihorario alrededor de un eje contenido en su plano, que forma ángulos iguales con sus ejes y, obteniéndose así el sistema. a) Encontrar la matriz de transformación que permite pasar de a. Resp.:. b) Dado el vector de posición, mostrar que. 11. Se rota un sistema de coordenadas un ángulo de en sentido antihorario alrededor de un eje que pasa por su origen y que forma ángulos iguales con sus tres ejes coordenados, obteniéndose de esta forma el sistema. Luego, el sistema resultante es rotado en sentido antihorario alrededor de su eje, obteniéndose el sistema. Determinar: a) La matriz de transformación que permite pasar de a. Resp.: b) La matriz de transformación que permite pasar de a. Resp.: 12. Se rota un ángulo (en sentido antihorario) un sistema alrededor de un eje que forma ángulos iguales con sus tres ejes coordenados. a) Muestre que la matriz de transformación que permite pasar del sistema al nuevo sistema viene dada por, MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 6/

7 b) Usando esta matriz, verifique la matriz de transformación que permite pasar del sistema al sistema en el problema Rotación de un sistema de coordenadas Cartesianas, un ángulo alrededor de un eje que pasa por su origen y el punto. La figura 6 muestra la rotación en un ángulo (en sentido antihorario) de un sistema de coordenadas alrededor de un eje que pasa por su origen y el punto de coordenadas, cuya dirección viene dada por el vector unitario de componentes, respecto a dicho sistema, obteniéndose así el sistema. Figura (6): Problema 13. a) Considérese el cambio del eje al eje, como se muestra en la figura 7. El vector unitario puede ser descompuesto en dos componentes: una paralela al eje y otra perpendicular al mismo, Mostrar que, MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 7/ 163

8 Figura (7): Problema 13. b) De forma análoga, el vector unitario puede ser descompuesto como, Si en el plano de rotación que contiene a los vectores y se crea una base de dos dimensiones, de vectores base y, mostrar que es posible escribir, c) Mostrar que, que es la expresión que relaciona los viejos vectores unitarios con los nuevos vectores unitarios. d) Los elementos de la matriz de transformación vienen dados por las proyecciones (componentes) de los vectores unitarios sobre las direcciones de los viejos ejes, y (dadas por los vectores unitarios, y respectivamente), es decir, por la expresión, Mostrar que, e) Mostrar que la matriz de transformación que permite pasar del viejo sistema al nuevo sistema viene dada por, MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 8/ 163

9 donde, y son las componentes del vector unitario en el sistema. f ) Por último, mostrar que la anterior matriz se reduce a la obtenida en el problema 12 cuando se considera un eje de rotación que forma ángulos iguales con los ejes coordenados del sistema original. 14. Un sistema de coordenadas se obtiene rotando un sistema de coordenadas un ángulo de en sentido antihorario alrededor de un eje que pasa por su origen y por el punto de coordenadas. a) Usar el resultado 13d del problema 13 para encontrar la matriz de transformación que permite pasar de a. Resp.: b) Un vector tiene componentes en, cuáles son sus componentes en?. Resp.: Probar que las siguientes transformaciones son ortogonales, a) b) c) 16. Posición, Velocidad y Aceleración en coordenadas cilíndricas, a partir de la rotación de un sistema de coordenadas. Dado el sistema de coordenadas y vectores unitarios, rotarlo alrededor del eje un ángulo en sentido antihorario (que genera la coordenada cilíndrica ) para así obtener el sistema de coordenadas y vectores unitarios. a) Mostrar que la matriz de transformación que permite pasar del sistema al viene dada por, (1) que es la matriz de transformación que permite pasar de las coordenadas cartesianas a las cilíndricas. MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 9/ 163

10 b) Se sabe que los vectores unitarios, y se transforman mediante. Usando esta transformación y la matriz (1) mostrar que, (2) donde, con la ayuda de las figuras 8a y b, se puede identificar, (3) que son los vectores unitarios base de las coordenadas cilíndricas. Se ha usado una en la coordenada cilíndrica radial para distinguirla del módulo del vector de posición.con (3) se indentifica que en las transformaciones, de aquí en Figura (8): Problema 16. (a) Coordenadas cilíndricas. (b) descomposición de los vectores unitarios, y en función de los vectores unitarios cartesianos, y. adelante, la componente en se refiere a la componente en la dirección de,la en la dirección de yla en la dirección de. c) Se sabe que la relación entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas es, (4) MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 10 / 163

11 y que en coordenadas cartesianas el vector de posición es, (5) por lo tanto, este vector se puede escribir como, (6) que no es el vector de posición escrito en coordenadas cilíndricas, pues aún aparecen los vectores unitarios cartesianos, y. Este vector expresado en función de sus componentes cilíndricas tiene que tener la forma, (7) Como se sabe, las componentes de un vector cualquiera se transforman mediante, (8) Usando esta transformación y la matriz (1) mostrar que, donde, en concordancia con (3), (9) (10) son las componentes del vector de posición en coordenadas cilíndricas. Por lo tanto, a partir de (7) y (9), finalmente es posible escribir, (11) que es la posición en coordenadas cilíndricas. d) A partir de (6), mostrar que la velocidad se puede escribir como, (12) que no es la velocidad escrita en coordenadas cilíndricas, pues aún aparecen los vectores unitarios cartesianos, y. MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 11 / 163

12 e) La velocidad expresada en función de sus componentes en coordenadas cilíndricas es, (13) Usando la transformación (8) y la matriz (1) mostrar que, (14) donde, en concordancia con (3), (15) son las componentes de la velocidad en coordenadas cilíndricas. Por lo tanto, a partir de (13) y (14), finalmente es posible escribir, (16) que es la velocidad en coordenadas cilíndricas. f ) A partir de (6) o a partir de (12), mostrar que la aceleración se puede escribir como, (17) que no es la aceleración escrita en coordenadas cilíndricas, pues aún aparecen los vectores unitarios cartesianos, y. Por qué no se usó (16) para obtener la aceleración?. g) La aceleración expresada en función de sus componentes en coordenadas cilíndricas es, (18) Usando la transformación (8) y la matriz (1) mostrar que, (19) MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 12 / 163

13 donde, en concordancia con (3), (20) son las componentes de la aceleración en coordenadas cilíndricas. Por lo tanto, a partir de (18) y (19), finalmente es posible escribir, (21) que es la aceleración en coordenadas cilíndricas. 17. Posición, Velocidad y Aceleración en coordenadas esféricas, a partir de la rotación de un sistema de coordenadas. Dado el sistema de coordenadas y vectores unitarios, rotarlo alrededor de su eje un ángulo en sentido antihorario para así obtener el sistema de coordenadas y vectores unitarios, lo que genera la coordenada esférica (azimut). Ahora, al sistema rotarlo alrededor de su eje un ángulo en sentido antihorario para así obtener el sistema de coordenadas y vectores unitarios, generándose así la coordenada esférica (colatitud). a) Mostrar que la matriz de transformación que permite pasar del sistema al viene dada por, (1) que es la matriz de transformación que permite pasar de las coordenadas cartesianas a las esféricas. b) Se sabe que los vectores unitarios, y se transforman mediante. Usando esta transformación y la matriz (1) mostrar que, (2) donde, con la ayuda de la figura 9 y una descomposición vectorial del estilo de la mostrada en la figura 8b del problema 16, se puede identificar, (3) MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 13 / 163

14 Figura (9): Problema 17. que son los vectores unitarios base de las coordenadas cilíndricas.con (3) se indentifica que en las transformaciones, de aquí en adelante, la componente en se refiere a la componente en la dirección de,la en la dirección de yla en la dirección de. c) Se sabe que la relación entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas es, (4) y que en coordenadas cartesianas el vector de posición es, (5) por lo tanto, este vector se puede escribir como, (6) que no es el vector de posición escrito en coordenadas esféricas, pues aún aparecen los vectores unitarios cartesianos, y. Este vector expresado en función de sus componentes esféricas tiene que tener la forma, (7) Como se sabe, las componentes de un vector cualquiera se transforman mediante, (8) MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 14 / 163

15 Usando esta transformación y la matriz (1) mostrar que, (9) donde, en concordancia con (3), (10) son las componentes del vector de posición en coordenadas esféricas. Por lo tanto, a partir de (7) y (9), finalmente es posible escribir, que es la posición en coordenadas esféricas. (11) d) A partir de (6), mostrar que la velocidad se puede escribir como, (12) que no es la velocidad escrita en coordenadas esféricas, pues aún aparecen los vectores unitarios cartesianos, y. e) La velocidad expresada en función de sus componentes en coordenadas esféricas es, (13) Usando la transformación (8) y la matriz (1) mostrar que, (14) donde, en concordancia con (3), (15) MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 15 / 163

16 son las componentes de la velocidad en coordenadas esféricas. Por lo tanto, a partir de (13) y (14), finalmente es posible escribir, (16) que es la velocidad en coordenadas esféricas. f ) A partir de (6) o a partir de (12), mostrar que la aceleración se puede escribir como, (17) que no es la aceleración escrita en coordenadas esféricas, pues aún aparecen los vectores unitarios cartesianos, y. Por qué no se usó (16) para obtener (17)?. g) La aceleración expresada en función de sus componentes en coordenadas esféricas es, (18) Usando la transformación (8) y la matriz (1) mostrar que, (19) donde, en concordancia con (3), (20) son las componentes de la aceleración en coordenadas esféricas. Por lo tanto, MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 16 / 163

17 a partir de (18) y (19), finalmente es posible escribir, (21) que es la aceleración en coordenadas esféricas. 18. Dada la matriz, evaluar: a). Resp.:. b). Resp.:. c). Resp.:. d). Resp.:. e). Resp.:,,,,,,,,. 19. Determinar, justificando cada elección, cuáles de las siguientes expresiones tienen idéntico significado a la expresión? y cuáles no?: a). b). c). d). 20. Si y son dos matrices cuadradas de orden entonces: a) Mostrar que, Ayuda: parta del desarrollo del usando, por ejemplo, la regla de Sarrus. MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 17 / 163

18 b) Mostrar que, a partir de la expresión dada en 20a. Ayuda: téngase presente la relación Epsilon- Delta con todos sus índices libres, y la relación Epsilon-Delta con un índice mudo, c) Mostrar que, a partir de la expresión dada en 20b. 21. Mostrar que, atendiendo los siguientes pasos, a) Propóngase la identidad, b) Ahora multiplíquese la anterior expresión por. c) Por último, elíjase un caso particular de la expresión obtenida en el paso 21b para así encontrar el valor de. Este valor debe ser, quedando así mostrado lo pedido. Ayuda: en este paso, téngase presente que para una matriz cuadrada de orden, 22. Partiendo de, mostrar que, donde es una matriz cuadrada de orden y son sus elementos. 23. Mostrar que es un vector, donde es una función escalar. MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 18 / 163

19 24. Supóngase que las filas, y de la matriz cuadrada de orden son interpretadas como las componentes, en una base dada, de los vectores, y respectivamente. Mostrar, usando notación indicial, que el puede ser escrito como, lo cual quiere decir que es el volumen del paralelepípedo definido por los mencionados vectores. 25. Si,,, y, muestre las siguientes expresiones vectoriales usando notación indicial: a). b) (Identidad de Jacobi).. c) d). e). f ). g). h). i),si. j). k). l). m). n). ñ). o). p). MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 19 / 163

20 26. Escribir en forma desarrollada las siguientes expresiones indiciales: a). b). c). d). e). 27. Si, son dos matrices inversibles y es un escalar no nulo, mostrar que: a). b) El producto es inversible. c). d). e). 28. Determinar el valor de para que la matriz de transformación, sea ortogonal. Resp.:. El caso corresponde a una rotación de alrededor del eje y en sentido antihorario, mientras que el caso no corresponde a una rotación. 29. Si,, son vectores y un escalar, mostrar que: a). b). c). d). 30. Mostrar que: a) pseudovector pseudovector pseudovector. b) pseudovector vector vector. MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 20 / 163

21 c) vector vector pseudovector. d) pseudovector pseudovector escalar. e) pseudovector vector pseudoescalar. f ) vector vector escalar. 31. Si se tienen las funciones vectoriales, y la función escalar, donde es una variable escalar, mostrar que: a) b) c).., donde es un escalar constante. 32. Demuéstrese la relación Epsilon-Delta, realizando cada uno de los siguientes pasos: a) Siguiendo la regla de los índices, los únicos términos que tienen índices libres posibles de construir usando las son, pudiéndose escribir,, y donde, y son constantes indeterminadas. Inmediatamente, es posible darse cuenta que por qué?. b) Al multiplicar ambos miembros de la expresión obtenida en 32a por, se logra una relación entre y. Cuál es esta relación?. Resp.:. c) Por otro lado, al multiplicar nuevamente la expresión obtenida en 32a pero ahora por y después tomando un caso especial, por ejemplo,, es posible encontrar una nueva relación entre y. Cuál es esta relación?. Resp.:. d) Ahora, al resolver el sistema de ecuaciones formado por la ecuación obtenida en 32b y la obtenida en 32c, es posible encontrar el valor de yde. cuáles son estos valores?. Resp.:,. MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 21 / 163

22 e) Por último, al sustituir los valores de y obtenidos en 32d en la expresión propuesta en 32a,después de hacer, resulta finalmente la relación Epsilon- Delta. Verifcarlo. 33. El producto de dos símbolos de Levi-Civita puede ser expresado como una función de los símbolos Delta de Kronecker mediante, Mostrar que: a) Al hacer y se obtiene. b) Al hacer, y se obtiene. 34. Desarrollando las sumatorias planteadas, mostrar que: a). b) si. c), donde los son los vectores unitarios base de las coordenadas cartesianas y es una función escalar que tiene derivadas cruzadas iguales. d), donde son funciones escalares que tienen derivadas cruzadas iguales. 35. Si, son el vector de posición y su módulo;, (a menos que se especifique otra cosa) son dos funciones escalares y es un escalar constante, usar notación indicial para mostrar que:, donde es una función escalar y un es- a) calar constante. b) c)., donde es una función escalar. d), donde es una función escalar. e). f ). g). h). MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 22 / 163

23 i) j). k) l). m)., donde es una función escalar.. n),. ñ), donde es una función escalar. o), caso especial del anterior. p),si y son dos vectores constantes. q). r). s). t), lo cual significa que las dos familias de vectores ortogonales y forman bases recíprocas. y son 36. Si, son dos matrices cuadradas de orden y un escalar, mostrar que: a). b). c). 37. Dados, mostrar que, 38. Dada la expresión, MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 23 / 163

24 en la que y son escalares constantes, y ; mostrar que al sustituirla en, resulta, donde. Aquí y son consideradas variables independientes entre sí, por lo que. Téngase presente también que y. 39. Una partícula se mueve de forma tal que su vector posición mantiene una magnitud constante. Mostrar, usando notación indicial, que la velocidad de la partícula es perpendicular a. Interprete geométricamente. 40. Si y son dos funciones vectoriales y una función escalar, todas funciones de las variables escalares, y, entonces mostrar que: a). b) c) d) Si, son dos matrices y un escalar, mostrar que: a). b). c). d) Muestre que si es una matriz antisimétrica, entonces es simétrica. 43. Sabiendo que es el vector de posición, la velocidad, la aceleración y, dos escalares constantes: a) Resolver la integral. Resp.:, donde es un escalar constante. b) Resolver la integral. Resp.:, donde es un vector constante. MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 24 / 163

25 44. Si es una matriz cuadrada de orden entonces: a) Mostrar que, a partir de, Nótese que no es la misma del problema 20. Ayuda: téngase presente la relación Epsilon-Delta con todos sus índices libres, y la relación Epsilon-Delta con un índice mudo, b) Mostrar que, a partir de la expresión dada en 44a. Nótese que no es la misma del problema Para una matriz cuadrada de orden se cumple que, Para cada una de las anteriores expresiones, mostrar que: a). b).... c). d), si y (matriz cuadrada de orden ) sólo difieren en el intercambio de dos filas o de dos columnas. e),si tiene dos filas o dos columnas idénticas. f ). g). MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 25 / 163

26 46. Se rota un sistema de coordenadas un ángulo de en sentido antihorario, alrededor de un eje que forma ángulos iguales con sus tres ejes coordenados y que pasa por su origen. Luego, el sistema resultante es rotado un ángulo de en sentido antihorario alrededor de un eje, que forma ángulos iguales con sus tres ejes coordenados y que pasa por su origen, obteniéndose así un sistema. Determinar: a) La matriz de transformación que permite pasar de a. Resp.: b) La matriz de transformación que permite pasar de a. Resp.: 47. Se rota un sistema de coordenadas un ángulo de en sentido antihorario alrededor de un eje contenido en su plano, que forma ángulos iguales con sus ejes y, obteniéndose así el sistema. Luego, el sistema resultante es rotado un ángulo de en sentido antihorario alrededor de un eje, que forma ángulos iguales con sus tres ejes coordenados y que pasa por su origen, obteniéndose así un sistema. Determinar: a) La matriz de transformación que permite pasar de a. Resp.: b) La matriz de transformación que permite pasar de a. Resp.: MECANICA CLASICA - Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 26 / 163