TAREA # 1 y 2 OPTICA UNA BREVE HISTORIA - MOVIMIENTO ONDULATORIO Prof. Terenzio Soldovieri C.

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1 La tarea y el examen son inseparables, es decir, de faltar uno de los dos, la calificación total será cero. Establezca, en los casos que sea necesario, los sistemas de referencia y los diagramas de cuerpo libre. La ausencia de éstos tendrá como consecuencia la anulación de la solución del problema correspondiente. FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE FISICA TAREA # 1 y 2 OPTICA UNA BREVE HISTORIA - MOVIMIENTO ONDULATORIO Prof. Terenzio Soldovieri C. URL: s: tsoldovieriluz.edu.ve; tsoldovierifec.luz.edu.ve; tsoldovierihotmail.com (contacto messenger); tsoldovieridigitel.blackberry.com Skype: Búscame como tsoldovi. Twitter: tsoldovieri Facebook: Búscame como Terenzio Soldovieri. BBpin: 293DBBC9 Texto guía: Hecht E. Optica. 3era ed. Pearson, Addison Wesley, Ultima actualización: lunes 03/10/2014. Indicaciones: Resuelva cada uno de los siguientes planteamientos marcados con F plasmando en su hoja todos y cada uno de los cálculos realizados, es decir, NO REALICE CALCULOS DIREC- TOS. El resto de los problemas queda como ejercitación y no deben ser anexados en la tarea a entregar. Puede usar tablas de integrales, pero especificando en cada caso la integral utilizada. La tarea debe ser entregada en hojas tipo examen, a lápiz y sin carpeta. No tiene que anexar la presente hoja ni reescribirla en su tarea. Todos los sistemas de coordenadas a usar deben tener el eje +x apuntando hacia el Este y el +y hacia el Norte. Puntuación: 10 puntos, los cuales serán sumados al evaluativo de los capítulos 1 y 2. Entrega: El día fijado para el examen de los capítulos 1 y 2. Sin prórroga. 1. F Mostrar que f (x vt) es una onda progresiva que se mueve en el sentido +x con un perfil que no cambia. 2. F Mostrar que (x; t) = f (x vt) es solución de la ecuación de onda unidimensional. 3. F Si 1 (x; t) y 2 (x; t) son ambas soluciones de la ecuación diferencial de onda, mostrar que 1 (x; t) + 2 (x; t) es también una solución. 4. Dado el perfil, (y; 0) = 3 2y (a) Escriba una expresión para la onda progresiva correspondiente moviéndose con una rapidez de 2 m=s en la dirección +y, (b) Dibuje el perfil en t = 0 y en t = 1 s. Resp.: (a) (y; t) = 3 2(y 2t) F (a) Mostrar que la expresión (z; t) = Ae (2z+3t)2 es una onda progresiva y (b) verificar que es solución de la ecuación de onda. 6. F Mostrar que la naturaleza repetitiva en el espacio de una onda armónica, es decir (x; t) = (x ; t), requiere que k = 2. Use (x; t) = Sen [k (x vt)]. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 1 / 7

2 7. F Mostrar que la naturaleza repetitiva en el tiempo de una onda armónica, es decir (x; t) = (x; t ), requiere que = v. Use, (x; t) = Sen [k (x vt)] 8. F Muestre, partiendo de (x; t) = A Sen [k (x vt)], que una onda armónica progresiva puede ser descrita alternativamente mediante, a) = A Sen 2 x t. b) = A Sen 2# x v t. c) = A Sen [2 (x #t)], donde = 1 (no la confunda con k = 2 ). 9. Dada la función de onda (en unidades SI) para una onda de luz, (x; t) = 10 3 Sen x t Determine: (a) la velocidad, (b) la longitud de onda, (c) la frecuencia, (d) el periodo y (e) la amplitud. Resp.: (a) m s ; (b) 666 nm; (c) 4; Hz; (d) 2; s; (e) 10 3 V m. 10. Escriba una expresión para el perfil (t = 0) de una onda armónica moviéndose en la dirección +x tal que en x = 0, = 10; en x = 6, = 20 y en x = 5 12, = 0 ( parta de (x; t) = A Sen (kx + vt + ") ). Resp.: (x; 0) = 20 Sen kx F Para la onda de perfil constante que se propaga en el sentido +x con una velocidad v, podemos esperar que (x; t) = (x + vt; t + t) (esto significa que un punto sobre la onda que tiene una fase dada se moverá una distancia vt en un tiempo t). Mostrar que la función de onda, (x; t) = f (x vt) que la pertubación resultante sea, (y; t) = A Cos (ky +!t) + A Cos (ky!t + ) Usando exponenciales complejos, mostrar que, (y; t) = 2A Sen (ky) Sen (!t) que es conocida como onda estacionaria. 14. Imaginemos que tenemos una fotografía de una onda en t = 0 mostrando que tiene la forma matemática (x; 0) = 5 Sen 25 x. Si la onda se está moviendo en el sentido x con una velocidad de 2 m s, escriba una expresión para la perturbación en t = 4 s. Resp.: (x; 4) = 5 Sen 25 (x + 8). 15. F Mostrar que (z; t) = A Sen 2 [4 (t + z)] es una solución de la ecuación de onda unidimensional. 16. (a) Cuántas ondas de luz amarilla ( = 580 mm) caben n una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel ( 0; 003 pulgadas )?. (b) Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas ( = Hz, 10 GHz y v = m=s)?. Resp.: (a) 131, (b) Ondas extendidas 3; 9m. 17. F La velocidad de la luz en el vacío es aproximadamente de m=s. Calcule la longitud de onda de luz roja con una frecuencia de Hz. Compárela con la longitud de onda de una onda electromanética de 60Hz. Resp.: 0; 6 m; Km. 18. Es posible generar ondas ultrasónicas en cristales con longitudes de ondas similares a la luz ( cm) pero con frecuencias más bajas ( Hz). Calcule la velocidad correspondiente de dicha onda. Resp.: 300 m s. satisface esta condición. 12. F Si escribimos la función de onda como = e i', mostrar que no cambia couando su fase es aumentada o disminuida en F Imagínese que tenemos dos ondas de igual amplitud, velocidad y frecuencia superponiéndose en alguna región del espacio de forma tal 19. F Un joven en un barco sobre un lago está mirando las ondas que parecen una sucesión infinita de crestas idénticas, produciéndose con un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda 1; 5s en cubrir la extensión del barco de 4; 5m, cuál es la frecuencia, el período y la longitud de onda de las olas?. Resp.: 2; 0Hz; 1=2s; 1; 5m. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 2 / 7

3 20. Con un martillo vibrante de golpea el extremo de na barra de metal larga de manera que una onda de compresión periódica con una longitud de onda de 4; 3m recorra todo el largo de la barra con una velocidad de 3; 5Km=s. Cuál era la frecuencia de la vibración?. Resp.: 0; 81KHz. 21. Durante la boda de dos buceadores, se sumerge un violín en la piscina. Dado que la velocidad de las ondas de compresión en el agua pura es de 1498m=s, cuál es la longitud de onda de una nota la, de 440Hz que se toca en dicho instrumento?. Resp.: 3; 40m. 22. Un pulso de onda tarda 2; 0s en recorrer 10m a lo largo de una cuerda generando una perturbación armónica con una longitud de onda de 0; 50m en la cuerda. Cuál es su frecuencia?. Resp.: 10Hz. 23. Demuestre que para una onda periódica,! = Defina una tabla con columnas para valores de que van desde =2 hasta 2 con intervalos de =4. En cada columna, coloque el valor correspondiente de Sen, colocando debajo los valores de Cos y luego los de Sen ( =4), y haga lo mismo con las funciones Sen ( =2), Sen ( =4) y Sen ( + =2). Trace cada función, tomando nota del efecto del cambio de fase. El Sen precede al Sen ( =2) o va detrás?; dicho de otra forma, una de las funciones alcanza una magnitud particular con un valor más pequeño de que la otra y, por lo tanto, la precederá (como Cos precede al Sen )?. 25. Defina una tabla con columnas para valores de!t que van desde t = =2 hasta t = con intervalos de t de =4. Naturalmente,! = 2=. En cada columna, coloque el valor correspondiente de Sen (!t =4) y debajo los valores Sen (=4!t). Luego, trace las dos funciones. 26. Defina una tabla con columnas para valores de kx que van desde x = =2 hasta x = con intervalos de x de =4. Naturalmente, k = 2=. En cada columna, coloque el valor correspondiente de Cos (kx =4) y debajo los valores Cos (kx + 3=4). Luego, trace las funciones 15 Cos (kx =4) y 25 Cos (kx + 3=4). 27. El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1; 2m=s en una cuerda está dado por, y = 0; 02m Sen 157m 1 x Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su período. Resp.: 0; 02m; 0; 0400m; 30Hz; 0; 033s. 28. Usando las funciones de onda, 1 = 4 Sen [2 (0; 2x 3t)] 2 = Sen (7x + 3; 5t) 2; 5 determine, en cada caso, los valores de (a) frecuencia, (b) longitud de onda, (c) período, (d) amplitud, (e) velocidad de fase y (f) dirección del movimiento. El tiempo t se expresa en segundos y x en metros. Resp.: (a) 3Hz; 7 4 Hz, (b) 5m; 2 7 m; (c) 1 3 s; 4 7 s, (d) 4m; 0; 4m, (e) 15m=s; 0; 5m=s; (f) +x; x. 29. Demuestre que, (x; t) = A Sen [k (x vt)] es una solución de la ecuación de onda. 30. Demuestre que si el desplazamiento de la cuerda de la figura 1 está dado por, y (x; t) = A Sen (kx!t + ") entonces la mano que genera la onda se debe mover verticalmente con movimiento armónico simple. Resp.: Como v y =!A Cos (kx!t + ") ) a y =! 2 y, entonces la mano se mueve con un movimiento armónico simple puesto que a y / y. 31. Escriba la expresión para una onda armónica de amplitud 10 3 V=m, período 2; s y velocidad m=s. La onda se propaga en la dirección negativa de x y tiene un valor de 10 3 V=m en (x; t) = (0; 0). Resp.: (x; t) = 10 3 V m Cos 9; m 1 x m s t. Es Cos debido a que Cos 0 = 1. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 3 / 7

4 32. Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en t = 0 por, y (x; t)j t=0 = C 2 + x 2 donde C es una constante. (a) Dibuje el perfil de la onda, (b) escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad v en la dirección negativa de x, como función del tiempo t y (c) si v = 1m=s, hdibuje el perfil en t = 2s. Resp.: (b) y (x; t) = C= 2 + (x + vt) 2i. 33. Determine la magnitud de la función de onda (z; t) = A Cos [k (z + vt) + ] en el punto z = 0, cuando t = 1 2 y cuando t = 3 4. Resp.: 0; 1 2 = A; 0; 3 4 = La siguiente función en la que A es una constante, (y; t) = (y vt) A representa una onda?. Explique su razonamiento. 35. F Utilice la ecuación, x =! t k = v ' para calcular la velocidad de la onda cuya representación en unidades SI es, (x; t) = 10 3 A Cos y t Resp.: m=s. 36. Empezando por el siguiente teorema: Si z = f (x; y) donde x = g (t) y y = h (t) entonces, derive la ecuación, dz dt = z dx x dt + z dy y dt v = t x x t Figura (1): Problema Utilizando los resultados del problema anterior, demuestre que para una onda armónica con una fase ' (x; t) = k (x vt) podemos calcular la velocidad estableciendo d'=dt = 0. Aplique la técnica al problema 35 a fin de calcular la velocidad de dicha onda. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 4 / 7

5 38. F Una onda gaussiana tiene la forma, (x; t) = Ae a(bx+ct)2 Utilice el que (x; t) = f (x vt) para calcular su velocidad, comprobando luego su respuesta con la ecuación, v = t x Resp.: v = c=b (en módulo) en la dirección x. 39. Encuentre una expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de z cuya magnitud en z = =12 es 0; 866, en z = =6 es 1=2 y en z = =4 es 0. Resp.: (z; 0) = Sen (kz + =2). 40. (a) Cuáles de las siguientes expresiones corresponden a ondas viajeras?, (i) (z; t) = (az bt) 2 (ii) (x; t) = (ax + bt + c) 2 (iii) (x; t) = 1 ax 2 +b (b) Cuál es la velocidad de cada una?. Las cantidades a, b y c son constantes positivas. Resp.: (a) Ambas (i) y (ii) son ondas puesto que son dos veces funciones diferenciables de z vt y x + vt, respectivamente. (iii) no representa una onda. (b) (i) b=a en la dirección +z; (ii) b=a en la dirección x. 41. F Establezca cuáles de las expresiones siguientes describen ondas viajeras: (a) (y; t) = e (a2 y 2 +b 2 t 2 2abty) (b) (z; t) = A Sen h az 2 bt 2 i 2 (c) (x; t) = A Sen 2 x t x a + t b (d) (x; t) = A Cos 2 [2 (t x)] Donde sea necesario, dibuje el perfil calculando la velocidad y la dirección del movimiento. Resp.: (a) Onda viajera en la dirección +y, con velocidad v = b=a; (b) no es una onda viajera; (c) onda viajera en la dirección x, con velocidad v = a=b; (d) onda viajera en la dirección +x, con velocidad v = 1; 42. Dada la onda viajera, (x; t) = 5; 0e (ax2 +bt 2 +2 p abxt) calcule su dirección de propagación. Calcule algunos valores de y haga un bosquejo de la onda en t = 0, tomando a = 25m 2 y b = 9; 0s 2. Cuál es la velocidad de la onda?. Resp.: Se propaga en la dirección x; 0; 6m=s. 43. F Imagine una onda sonora con una frecuencia de 1; 10KHz y que se propaga a una velocidad de 330m=s. Calcule la diferencia de fase en radianes entre dos puntos cualesquiera en la onda, separados por 10; 0cm. Resp.: 2; 09 rad. 44. Considere una onda luminosa que tiene una velocidad de fase de m=s y una frecuencia de Hz. (a) Cuál es la distancia más corta a lo largo de la onda entre dos puntos cualesquiera que tienen una diferencia de fase de 30 o?, (b) qué cambio de fase ocurre en un punto dado en 10 6 s? y (c) cuántas ondas han pasado por allí en ese tiempo?. 45. Escriba una expresión para la onda mostrada en la figura 2. Calcule su (a) longitud de onda, (b) velocidad, h (c) frecuencia y (d) período. x t Resp.: = 60 Sen ;3310 i; (a) nm, (b) v = m=s, (c) = 7; Hz, (d) = 1; s. 46. Trabajando directamentamente con exponenciales, desmuestre que la magnitud de, = Ae i!t es A. A continuación, vuelva a calcular el mismo resultado utilizando la ecuación de Euler. Demuestre que e i e i = e i(+). 47. F Demuestre que la parte imaginaria de un número complejo z está dada por, Re (z) = 1 2i (ez ez ) 48. Empezando por la ecuación, (x; y; z; t) = Ae i(kx+ky+kz!t) Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 5 / 7

6 dirección del vector! k que, a su vez, se encuentra en una línea que va desde el origen hasta el punto (4; 2; 1). Ayuda: Primero calcule! k y luego haga el producto escalar con! r. Resp.: 4k (x; y; z; t) = A Sen p 21 x + p 2k 21 y + p k 21 z!t. compruebe que, y que, Figura (2): Problema 45. (x; y; z; t) = Ae i[k(x+y+z)!t] = 1 Trace un pequeño boceto para demostrar todas las cantidades oportunas. 49. F Demuestre que las ecuaciones, (x; y; z; t) = f (x + y + z vt) (x; y; z; t) = g (x + y + z + vt) que son ondas planas de forma arbitraria, cumplen la ecuación de onda tridimensional. 50. F La hipótesis de De Broglie afirma que cada partícula tiene asociada a ella una longitud de onda dada por la constante de Planck (h = 6; J s) dividida por el momento de la partícula. Compare la longitud de onda de una piedra de 6; 0Kg, moviéndose a una velocidad de 1; 0m=s con la de la luz. Resp.: 1; m. 51. Escriba una expresión en coordenadas cartesianas para una onda plana armónica de amplitud A y frecuencia!, que se propaga en la 52. Escriba una expresión en coordenadas cartesianas para una onda plana armónica de amplitud A y frecuencia! que se propaga en la dirección positiva de x. Resp.: = A Sen!k! r!t + ") = A Sen (kx!t + ") con k = 2= (se pudo haber escogido Cos en vez de Sen).!k 53. Demuestre que! r ; t puede representar una onda plana, donde! k es normal al frente de onda. Ayuda: Sean! r 1 y! r 2 vectores de posición llevados a dos puntos cualesquiera en el plano y demuestre que (! r 1 ; t) = (! r 2 ; t). 54. Defina una tabla con columnas para valores de que van desde =2 hasta 2 con intervalos de =4. En cada columna, coloque el valor correspondiente de Sen y debajo los valores de 2 Sen. Luego súmelos, columna por columna, para calcular los valores correspondientes de la función Sen + 2 Sen. Trace cada una de estas tres funciones, tomando nota de sus amplitudes y fases relativas. 55. Defina una tabla con columnas para valores de que van desde =2 hasta 2 con intervalos de =4. En cada columna, coloque el valor correspondiente de Sen y debajo los valores de Sen ( =2). Luego súmelos, columna por columna, para calcular los valores correspondientes de la función Sen +2 Sen ( =2). Trace cada una de estas tres funciones, tomando nota de sus amplitudes y fases relativas. 56. Teniendo en cuenta los problemas 54 y 55, haga un boceto de las tres funciones (a) Sen, (b) Sen ( 3=4) y (c) Sen + Sen ( 3=4). Compare la amplitud de la función combinada (c) de este caso con la del problema Defina una tabla con columnas para los valores de kx que van desde x = =2 hasta x = con intervalos de x de =4. En cada columna, Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 6 / 7

7 coloque el valor correspondiente de Cos (kx) y debajo los valores de Cos (kx + ). Luego trace las tres funciones Cos (kx), Cos (kx + ) y Cos (kx)+ Cos (kx + ). Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 7 / 7