Problemas de límites en situaciones de carácter económico, administrativo, natural y social. Tema II: Límites laterales

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1 UNIDAD II Problemas de límites en situaciones de carácter económico, administrativo, natural y social. Tema II: Límites laterales

2 Límites laterales Las aproximaciones realizadas, en la sección anterior, para determinar el límite de una función se relacionan con el concepto de límite lateral. Existe una simbología especial para representar los acercamientos de x a a por la izquierda y por la derecha. Así, x a L Se lee límite cuandoxtiende aa por la izquierda def x es L. x a + LSe lee límite cuandoxtiende aa por la derecha def x es L. Para hallar los límites por la derecha o por la izquierda de una función, se pueden usar las mismas técnicas utilizadas para obtener los límites comunes. Así, en estos casos se examina el comportamiento de la función a medida que x se aproxime por la derecha o por la izquierda a a. Por ejemplo, la función f x 1 x, representada en la siguiente gráfica, muestra que si x tiende a 1 por la izquierda, entonces f(x), tiende a 0. Ejemplo Trazar la gráfica de la función f(x) 1 si x < 0 0 si x = 0 1 si x > 0 Y hallar los límites laterales cuando x tiende a tiende a0.

3 Solución. x 0 f x = 1 Ya que si x < 0, entonces, f x = 1 x 0 + f x = 1 Ya que si x > 0, entonces, f x = 1 En la siguiente gráfica se muestra la función f(x) y sus límites laterales respectivos. El concepto de la existencia o no existencia de un límite de una función depende de los límites laterales. Si los límites laterales son iguales, entonces el límite de la función existe. Si los límites laterales son diferentes, entonces, el límite de la función no existe. x a f x = L si y solo si x a f x = L y x a + f x = L Ejemplo Trazar la gráfica de la función f x = x si 0 x < 4 1 si x > 4 Y hallar: a. x 4 f(x) b. x 4 + f(x) c. x 4 f(x) Solución El resultado de la siguiente gráfica se muestra a continuación.

4 a. x 4 f(x) = x 4 x = 2, pues al acercarse a 4 por la izquierda, la función f(x) tiende 2. b. x 4 + f(x) = x 4 + x 1 = 1, pues al acercarse a 4 por la derecha, la función f(x) tiende 1. c. x 4 f(x) no existe pues los límites laterales son diferentes. En símbolos, como x 4 f(x) = 2 y x 4 + f(x) = 1; entonces x 4 f(x) no existe. El cálculo de límites en funciones algebraicas y trascendentes CÁLCULO DE LÍMITES APLICANDO PROPIEDADES A continuación se utilizarán las propiedades de los límites, para proponer un método preciso para calcularlos. Propiedades de los límites: Si c es una constante y los límites x a f(x) y x a g(x) existen, entonces: A. x a c = c. En palabras, el límite de una constante es igual a la constante. B. x a x = a. En palabras, el límite de una variable que tiende a a es a. C. x a f x + g(x) = x a f(x) + x a g(x). En palabras, el límite de una suma es igual a la suma de los límites. D. x a f x g(x) = x a f(x) x a g(x). En palabras, el límite de una resta es igual a la resta de los límites.

5 E. x a cf x = c x a f(x). En palabras, el límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función. F. x a f x g(x) = x a f(x) x a g(x). En palabras, el límite de un producto es igual al producto de los límites. G. x a f(x) g(x) = x a f(x) x a g(x), si x a g x 0. En palabras, el límite de un cociente es igual al cociente de los límites. H. x a x n = a n, n z +. En palabras, el límite de la potencia de una función es igual a la potencia del límite de la función. n I. x a x n = a, n z + si n es, par entonces, a > 0. En palabras, el límite de una raíz es igual a la raíz calculada en a. n J. x a f(x) n = n f(x), n z + si n es, par entonces, n f(x) > 0. En palabras, el límite de la raíz enésima de una función es igual a la raíz enésima del límite de la función. Principio de sustitución Se sabe que el límite def x cuando x tiende a a no depende def. Para algunas funciones este límite es precisamente f(a). Esta afirmación permite concluir que x a f x = f(a) Para algunas funciones. Este método para calcular el límite de una función es llamado método de sustitución directa. Ejemplos 1. Calcular los siguientes límites aplicando propiedades. a. x 1 (2x 5) b. 1 x (5x 2 + 2x + 9) 3 c. x 3 (4x 2 3x + 2) d. x 1 x 2 5x 3 Solución Usando las propiedades de los límites y el principio de sustitución, se pueden calcular los límites propuestos. Así, a. x 1 (2x 5) =

6 2x 5 x 1 x = 2 5 = 3 b. x 1 3 5x 2 + 2x + 9 = x 1 3 5x 2 + x 1 3 2x + 9 = x = Luego: c. x 3 (4x 2 3x + 2) = x 3 (4x2 3x + 2) = 29 x 3 4x2 3x + 2) = x 3 x 3 4(3) 2 3(3) +2 = = Luego x 3 (4x2 3x + 2) = 29 d. x 1 x 2 5x 3 = x 1 x2 5x 3 = x 1 x2 5x 3 = x 1 x 1 (1) 2 5(1) 3

7 Luego x 1 x 2 5x 3 = 3 2. Si f x = 3 2 2x + 7, probar que: a. x 2 f x = 15 b. x 2 f x = 3a 2 + 2a + 7 Solución: a. x 2 f x = x 2 (3a 2 2a + 7) = x 2 3a2 2a + 7 = x 2 x 2 Luego = f x = 15 x 2 b. x 2 f x = 3a 2 + 2a + 7 = x 2 3a2 2a + 7 = x 2 x 2 3a 2 2a + 7 = 3. Usar el principio de sustitución directa para calcular los siguientes límites. a. x 0 x 2 1 x 1 b. x 1 x 3 1 x 2 +1 c. x 2 x 2 x+3 d. x 1 2 x 3 +1 x 2 +2x+1 2x+1

8 Solución: a. x 0 x 2 1 x 1 = (0) = 1 1 = 1 b. x 1 x 3 1 x 2 +1 = (1)3 1 (1) 2 +1 = = 0 2 = 0 c. x 2 x 2 x+3 x 3 +1 = (2)2 2+3 (2) 3 +1 = x d. 2 +2x+1 1 x = (1 2 )2 +2( 1 2 )+1 2 2x+1 2( 1 = 2 ) = = 4 = También se puede calcular el límite de la potencia de una función, cuando la potencia es otra función, por el principio de sustitución. Así, Ejemplo: Calcular el límite de la función f(x)dada: a. (3x + 1) x x 2 b. (5x 4) x x 1 Solución: x a [f(x)]g(x) = [ f(x)] x a g(x) x a a. x 2 3x + 1 x = x 2 3x + 1 x 2 x = = (6 + 1) 2 = 7 2 = 49 b. x 1 (5x 4) x = (5x 4) x 1 x x 1 [5 1 4] ( 1) = [ 5 4] 1 = ( 9) 1 = 9