Matemáticas 4 opción A - ANAYA

Transcripción

1 Tema Geometría analítica! CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 99 )) ) Representa los vectores CD, siendo (, ), (-, ), C(6, ), D(, 6) observa que son iguales. Comprueba que CD hallando sus coordenadas. Calcula su módulo. (-, ) (, ) (-, 6) CD D C (, 6) (6, ) (-, 6) ( ) 6 CD Tenemos tres puntos de coordenadas: (, -), (, 6), C(, ) Halla las coordenadas del punto D para que lo vectores CD sean iguales. Si llamamos a D(, ), para que los dos vectores sean iguales han de tener las mismas componentes, es decir ha de cumplirse : D C, (, 6) (, -) (, ) (, ), (, ) (, ),,, el punto D(, ). CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 99 )) ) a)) Representa los vectores coordenadas. b)) Representa c)) Representa u, u v halla sus coordenadas. u, v v halla sus coordenadas. d)) Representa halla las coordenadas del vector a)) Las coordenadas son: u (, ) (, ) (, ) v C C (6, -) (, ) (, -) v C siendo (, ), (, ), C(6, -). Halla sus u v. atemáticas opción - NY

2 Tema Geometría analítica! b)) u v (, ) (, -) (, - ), por el etremos de u dibujamos v uniendo el origen del primero con el etremos del segundo tenemos el vector suma, cuas componentes obtenemos sumando algebraicamente componente a componente. c)) u (, ) (9, 6), ponemos veces u una a continuación de las otras a que un producto ni es más que sumar un factor tantas veces como indica el otro. u -(, ) (-6, -), ahora colocamos dos veces el opuesto de u. v (, -) (, ) atemáticas opción - NY

3 Tema Geometría analítica! d)) u v (, ) (, -) (9, 6) (8, - 8) (, ), colocamos veces u veces el opuesto de v después unimos el origen con el etremo. CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 99 )) ) Dibuja en tu cuaderno dos vectores u v que sean, aproimadamente, como los de la derecha, obtén gráficamente el vector u v. Empezamos poniendo veces el opuesto de u por su etremos veces v tenemos u v. u (-, 8), v (-, -), w (, 6). a) Halla las coordenadas de u v w. b) verigua el valor de e para que se cumpla que u w v. a)) u v w (,8) (, ) (,6) (,) (8,) (,6) (9,) atemáticas opción - NY

4 Tema Geometría analítica! 6 8 b)) 8 6 u w v (,8) (,6) (, ) /8, luego CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 99 )) ) Halla las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos: a)) (-, ), (, ) b)) P(, -), Q(-, ) c)) R(, ), S(, ) d)) (-, ), (, ) Las coordenadas del punto medio de un segmento se hallan haciendo la semisuma de las coordenadas de los etremos: a)) (, ). b)) P P Q (, ) Q c)) R R S S (, ) d)) (, ) Halla las coordenadas del punto simétrico de respecto de P en los siguientes casos: a)) (, -), P(-, ) b)) (, ), P(, -) Si (, ) es el punto simétrico buscado, se cumplirá que P será el punto medio del segmento : ' P 8 a)) '( 8, ) ' P ' P 8 b)) '(8, 6) ' P 6 atemáticas opción - NY

5 Tema Geometría analítica! CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 99 )) ) Comprueba si R(, ), S(, -) T(, -) están alineados. Si están alineados proporcionales: RS ST han de tener la misma dirección, es decir las componentes RS S R (, ) (,) (, 8) ST T S (, ) (, ) (, ) 8 los puntos R, S T no están alineados verigua el valor de a para que los puntos R(, ), S(, -) Q(a, -) estén alineados. Si están alineados proporcionales: RS SQ han de tener la misma dirección, es decir las componentes RS S R (, ) (,) (, 8) a SQ Q S (a, ) (, ) (a, ) 8 8a a 8 Para que R, S Q estén alineados a. Dados los puntos (, ), (, ), P(, ), averigua qué relación deben cumplir e para que P esté alineado con. (,) (,) (,) P P (,) (,) (, ) 8 Para que, P estén alineados se debe cumplir que, por ejemplo, si,, si,, etc. verigua el valor de t para que (, ), (, -) C(t, t) estén alineados. (,) (, ) ( 6,) C C (t,t) (, ) (t,t ) luego t 6 t t 66 t 9 t t atemáticas opción - NY

6 Tema Geometría analítica! 6 En la figura de la derecha cómo es posible que el rectángulo, que tiene 6 cuadritos, se pueda descomponer en los mismos cuatro fragmentos que el cuadrado, que tiene cuadritos? El secreto está en que los puntos OC no están alineados. Compruébalo tomando O(, ), (, ), (8, ), C(, ) probando que el vector O no es paralelo al vector. O O (,) (,) (,) (8,) (,) (,) los puntos O, no están alineados OC C O (,) (,) (,) (8,) (,) (,) los puntos O,, C no están alineados CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 9966 )) ) Halla la ecuación de la recta que pasa por: b)) a)) (, ), (, ) b)) (, 6), (8, -) a)) " Hallamos el vector director v (,) (,) (,) la pendiente m " Escribimos la ecuación de la recta, tomando como punto uno de los dos, el, por ejemplo: r m( ) ( ) " Hallamos el vector director v (8, ) (,6) (, 8) la pendiente m 8 " Escribimos la ecuación de la recta, tomando como punto uno de los dos, el, por ejemplo: 8 8 r m( ) 6 ( ) atemáticas opción - NY

7 Tema Geometría analítica! Halla la ecuación de la recta que pasa por (, -) tiene por vector dirección (, -). Si el vector de dirección es (, -), la pendiente de la recta m la ecuación de la recta pedida: r ( ) Halla la recta paralela a - 6 que pasa por (, -). La recta paralela a la dada tendrá de ecuación 6 k, en donde desconocemos el término independiente k, lo calculamos sustituendo el punto por el que pasa, cumple la ecuación de la recta, despejando k: 6 (-) k ; 8 k ; k -8, luego la ecuación de la recta pedida es 6 8,Halla la recta paralela a - que pasa por (, ). La recta paralela a la dada tendrá de ecuación k, en donde desconocemos el término independiente k, lo calculamos sustituendo el punto por el que pasa (, ), cumple la ecuación de la recta, despejando k: k ; k ; k -, luego la ecuación de la recta pedida es, o su equivalente CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 99 )) ) Da tres vectores perpendiculares a (-6, ). Un vector perpendicular a otro dado u(a,b) es de la forma (-kb, ka), o (kb, -ka) luego los vectores pedidos son: v (, 6), v (-, - 6) v (, ) atemáticas opción - NY

8 Tema Geometría analítica! 8 6 Halla la ecuación de la recta que pasa por P (, -) es perpendicular al vector v (, ). Si el vector perpendicular es (, ), un vector director es (, -) la pendiente de la recta buscada m la ecuación de la recta ( ) La recta r pasa por (, ) la recta s, por (-, ). mbas son perpendiculares a -. Halla sus ecuaciones. De la recta, luego la pendiente es m - la pendiente de cualquier recta perpendicular será: m por lo tanto las ecuaciones de las rectas pedidas será: r ( ) s ( ) CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 9988 )) ) Representa r s da tres vectores paralelos tres perpendiculares a ellas: r:- s: u " Como r :, es vertical, vectores paralelos son (,), u (,) u (, ) v vectores perpendiculares (,), v (,) v (, ). s " Como s :, es horizontal, vectores paralelos son (,), s (,) s (, ) w vectores perpendiculares (,), w (,) w (, ). atemáticas opción - NY

9 Tema Geometría analítica! 9 Las rectas r s pasan por el punto (, -). r es paralela a, s es perpendicular a ella. Representa r s da sus ecuaciones. La recta paralela tendrá de ecuación k, que como pasa por (, - ) cumplirá k, luego k -, la ecuación, es decir. La recta perpendicular será vertical pasa por el punto (, -), su ecuación es, o. CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 9999 )) ) s: - 6 -, P(, ). Halla las ecuaciones de r r sabiendo que: r pasa por P es paralela a s. r pasa por P es perpendicular a s. # La recta r, al ser paralela a s, tiene la ecuación 6 k. Hallamos k sustituendo las coordenadas del punto P(, ), 6 k, k, k -8, la ecuación es pues r : 6 8, o simplificando r :. # La recta r, al ser perpendicular a s, tiene la ecuación 6 k. Hallamos k sustituendo las coordenadas del punto P(, ), 6 k, 8 k, k -8, la ecuación es pues r : 6 8, o simplificando r : 9. atemáticas opción - NY

10 Tema Geometría analítica! Halla el punto donde se cortan las rectas r s, represéntalas: r: - 6 s: - Para hallar el punto de corte, resolvemos el sistema formado por sus ecuaciones: : 6 CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa )) ) Calcula, en cada caso, la distancia entre : a)) (-, ), (, ) b)) (, ), (, ) c)) (-, ), (, ) d)) (-, ), (, -) a)) d(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) 69 b)) d(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 c)) d(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) 88 d)) d(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) 69 atemáticas opción - NY

11 Tema Geometría analítica! Halla las longitudes de los lados del triángulo cuos vértices son (, - 6),(, 9) C(, ). d(, ) ( ) ( ) ( ) (9 6) 6 C C C d(, C) C ( ) ( ) ( ) (9 ) C C C d(, C) C ( ) ( ) ( ) ( 6) 6 6 Calcula para que la distancia de (, ) a (-, ) sea igual a. d(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )., si elevamos al cuadrado ambos miembros: ( ) ; ( ) 69 ;, es decir - la otra solución -con lo que 6. EJERCICIOS DE L UNIDD PRCTIC! Vectores puntos Dados los puntos (-, ), (, ), C(, ) D(, -) halla las condenadas de los vectores, C, CD, D, C D. (, ) (-, ) (, ) C C (, ) (, ) (, -). CD D C (, -) (, ) (-, -6). D D (-, ) (, ) (-, -). C C (, ) (-, ) (, ) D D (, -) (, ) (, -8)... atemáticas opción - NY

12 Tema Geometría analítica! Las coordenadas del vector son (-, ). Cuáles serán las coordenadas de si las de son (, -)? (-, ) (, ) (, -) 6 luego (-6, ) a)) Cuáles son las coordenadas de los vectores u v?, b)) Dibuja el vector u v di cuáles son sus coordenadas. a)) Las coordenadas (componentes) de un vector son las longitudes recorridas desde el punto origen al etremo en horizontal vertical, como para llegar desde el punto origen al etremos del vector hemos de recorrer hacia la derecha hacia abajo las componentes de u son(, -) las de v (, -). b)) u v (, ) (, ) (, 6) Dados los vectores u (, -) v (-, -): a)) Representa los vectores u v; u v; u v halla sus coordenadas. b)) Cuáles son las coordenadas del vector a)) w u v? atemáticas opción - NY

13 Tema Geometría analítica! u v (, -) (-, -) (, -), u v (, -) - (-, -) (6, -), u (, ) (, ) v (, ) (6,) b)) w u v (, ) (, ) (, ). z (,- ). a)) Representa los vectores u z v z siendo (, ), (, ) b)) Halla las coordenadas de u v comprueba si son iguales. a)) u z (, ) (, ) (, -) (, ) (, ) (, -) (8, ). b)) Luego v z -(, ) (, ) (, -) (-, -) (, ) (-, ) (8, ). u (8,) v 6 a)) Halla los puntos medios de los segmentos C D. b)) Halla las coordenadas de los vectores DC comprueba que son iguales. atemáticas opción - NY

14 Tema Geometría analítica! atemáticas opción - NY a)) C, C C D, D D, es el mismo punto pues es el punto en donde se cortan las diagonales del cuadrilátero CD punto medio. b)) (, ) (-, ) (, ). DC C D (, ) (, ) (, ). El punto medio de un segmento es (, -) uno de sus etremos es (, ). Cuál es el otro etremo? 8), ( 8 6 8Halla, en cada caso, el punto simétrico de (-, -) respecto de: a)) P(-, ) b)) Q(, -) c)) O(, ) a)) ), '( ' P ' P b)) ) '(, 6 ' Q ' Q c)) ) '(, ' O ' O

15 Tema Geometría analítica! atemáticas opción - NY 9 a) Determina las coordenadas de los puntos, N P que son los puntos medios de los lados del triángulo C b) Halla las coordenadas de los vectores N, P PN comprueba prueba que : C PN P C; N a)), ) ( ( ) N, ) ( C N C N, P ) ( C P C P b)) ( ) ( ) ( ),, ), ( ) (, C C,, (,) N N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 6,,) ( ) (, C C,,, P P ( ) ( ) ( ),, ), (,) (,, (,) P N PN verigua el valor de k para que se cumpla: ), k(, 6 k k k k 6,) k(, 6

16 Tema Geometría analítica! 6 Dados los vectores u (, ), v (, ) ' w (8,Y), calcula e para que se verifique: u v w 6 8 u v w (,) (,) (8,) (6, ) (8,) Comprueba, en cada caso, si los puntos dados están alineados: a)) (-, ), (, ), C(-, -) b)) (, ), (-, -), C(, ) Para que, C estén alineados k C, (,), a)) C (, ), C C (, ) (,) (, ) alineados. Sí están C C (,) (,) (,) b)) (, ) (,) (, ), C están alineados. Calcula m para que los puntos R(, -), S(-, ) T(, m) estén alineados. Para que los tres puntos estén alineados, las componentes de los vectores RS RT han de ser proporcionales: RS S R (,) (, ) ( 6,) 6 m m m RT T R (,m) (, ) (,m )! Rectas Escribe la ecuación de las siguientes rectas: a)) Pasa por (-, ) su pendiente es /. b)) Pasa por (, ) su pendiente es -. c)) Pasa por (, -) su pendiente es.6 Utilizamos la ecuación de la recta en forma punto( o, )-pendiente(m): m( ) atemáticas opción - NY

17 Tema Geometría analítica! a)) (/)( ); ;, 8. b)) -( ); - ; - ;. c)) ( ); ; - ;. Da un vector dirección la pendiente de la recta que pasa por en los siguientes casos: a)) (-, ) (, ) b)) (, -) (, -) c)) (-, ) (, -) Un vector director de la recta que pasa por dos puntos es v k. a)) v (,) (,) (, ), cualquier vector de la forma( k, k), con k nº real, será un vector director de la recta que pasa por por supuesto el (, ) que se obtiene para k. b)) v (, -) (, -) (, ), recta horizontal. c)) v (, -) (-, ) (6, -). 6 Halla la ecuación de cada una de las rectas del ejercicio anterior. Escríbela en forma general. Dado un vector director v(v,v ) un punto (, ), hallamos la ecuación de la recta mediante la ecuación punto-pendiente : m( ), en donde la pendiente m v /v v a)) ( ) ( ) v v b)) ( ) v v c)) ( ) ( ) ( ) v 6 Escribe la ecuación de las siguientes rectas: a)) Pasa por (, ) tiene por vector dirección d (, -). b)) Pasa por (-, ) tiene por vector dirección d (-, -). c)) Pasa por (, -) tiene por vector dirección d (, ). atemáticas opción - NY

18 Tema Geometría analítica! 8 Usamos el mismo procedimiento del ejercicio anterior que se nos da un punto un vector director: v a)) ( ) ( ) ( ) v v b)) ( ) ( ) ( ) v v c)) ( ) ( ) ( ) v 8 Halla la ecuación de las siguientes rectas: a)) Paralela a - pasa por (, ). b)) Paralela a - pasa por (, ). c)) Paralela a - 6 pasa por (, -). Si una recta es paralela a otro dada r: X C, su ecuación será de la forma K, a que al ser paralelas tienen el mismo vector director ( misma pendiente mismo ángulo con el eje horizontal). a)) - k; si sustituimos el punto (, ), podemos hallar k: - k; k la recta pedida es -, o sea. b)) k ; si sustituimos el punto (, ), podemos hallar k: k ; k -8 la recta pedida es - 8, dividiendo por la ecuación queda. c)) k ; si sustituimos el punto (, -), podemos hallar k: (-) k ; k 6 la recta pedida es 6. 9 Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto P es perpendicular al vector v, en los siguientes casos: a)) P(-, ) v (, ) b)) P(, -) v (-, ) c)) P(, ) v (-l,-) Si el vector perpendicular a una recta es v(v,v ), el vector director será (- v, v ) por tanto la ecuación de la recta pedida será de la forma v v k, en donde, para hallar el valor de k sustituimos el punto por el que pasa. a)) k ; (-) k ; k, luego la ecuación es. atemáticas opción - NY

19 Tema Geometría analítica! 9 b)) - k ; - (-) k ; k, luego la ecuación es - c)) - - k ; - - k ; k 8, luego la ecuación es Calcula la pendiente un vector dirección de una recta perpendicular a la que pasa por (, ) (-, -). Si pasa por, un vector director será v (-, -) (, ) ( -8, -) (, ) la pendiente m, luego de su perpendicular, el vector director será w (-, ) su pendiente m -. Escribe la ecuación de la recta que pasa por (-, ) es perpendicular a - 6. Si es perpendicular a 6, su ecuación será k, como sabemos que pasa por (-, ), sustituendo hallamos k: - k ; - k ; k, la ecuación es Dados los puntos (-, ) (, ) halla las ecuaciones de las rectas siguientes: r: pasa por es perpendicular a. s: pasa por es perpendicular a. El vector (, ) ( -, ) (8, ) (, -) es perpendicular a las dos rectas, luego: # r : - k ; sustituendo (-, ), (-) - k, - k ; k, por tanto r: -. # s : - h ; sustituendo (, ), - h, h ; h -, por tanto s: - -. Representa las rectas 6 - halla su punto de intersección. El punto de corte es el punto común entre amabas rectas, que se obtiene resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones de las rectas, en este caso concreto, es más sencillo pues cada recta sólo depende de una variable, la primera es vertical la segunda horizontal, despejando tenemos: 6 6 el punto es ( -, /) atemáticas opción - NY

20 Tema Geometría analítica! Escribe la ecuación de una recta perpendicular a r que pase por (, -) en los siguientes casos: a)) r: b)) s: a)) r es vertical, luego su perpendicular será horizontal, de la forma k, como tiene que pasar por (, - ), - k, k, su ecuación es. b)) s es horizontal su perpendicular vertical, de la forma h, como ha de pasar por (, -), h, h -, su ecuación será. Las rectas r s pasan por el punto (-, ); r es paralela a - s es perpendicular a ella. Representa r s halla su ecuación. Como r es a, su ecuación será de la forma k si pasa por (-, ), - k, k, luego r :. Si s ha de ser a, su ecuación será de la forma h como pasa por (-, ), h, h -, luego s :. Su representación gráfica es: 6 La recta r es paralela a -, la recta s es perpendicular a ellas. mbas pasan por el punto (, ). Escribe las ecuaciones de las rectas r s. Como r es a, su ecuación será de la forma k si pasa por (, ), - k, k, luego r :. Si s ha de ser a, su ecuación será de la forma h como pasa por (, ), h, h -9, luego s : -9. atemáticas opción - NY

21 Tema Geometría analítica! Determina el punto de corte de las rectas: r: s: -- El punto de corte será el que provenga de la solución del sistema formado por las dos ecuaciones de las dos rectas: 8 El punto de corte es ( -, ½).! Distancias 8 Calcula la distancia entre P Q: a)) P(, ), Q(, -) b)) P(-8, ), Q(-6, ) c)) P(, -), Q(-, ) d)) P(-, ), Q(, ) 9 a)) d(p, Q) PQ ( ) ( ) ( ) ( ) Q P Q P b)) d(p, Q) PQ ( ) ( ) ( 6 8) ( ) 8 Q P Q P c)) d(p, Q) PQ ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Q P Q P d)) d(p, Q) PQ ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 Q P Q P a)) Halla el punto medio del segmento de etremos (-, ), (6, ). b)) Comprueba que la distancia del punto medio a cada uno de los etremos es la misma. a)) Si llamamos al punto medio (, ): 6 (, ) b)) d(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 d(, ) ( ) ( ) ( 6) ( ) 6 luego d(, ) d(, ). atemáticas opción - NY

22 Tema Geometría analítica! Comprueba que el triángulo de vértices (-, ), (, ), C(, ) es isósceles. Cuáles son los lados iguales? Si representamos los tres puntos tenemos la figura adjunta en la que da la impresión que los puntos, C están alineados ( no forman triángulo), pero lo están?, lo comprobamos: (,) (,) (,) luego 8 C C (,) (,) (8,) efectivamente están alineados, no forman triángulo, pero si es cierto que C a que C Comprueba, mediante el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices (-, -), (, ), C(l, 6) es rectángulo. EJERCICIOS DE L UNIDD PIENS Y RESUELVE Hallamos las longitudes de los tres lados: c d(,) ( ) ( ) 9 b d(,c) C ( ) (6 ) a d(c,) C ( ) ( 6) 9 Si es rectángulo ha de cumplir el teorema de Pitágoras: b a c ; ( 8 ) ( 9 ) ( 9 ) 8 9 9, luego sí es un triángulo rectángulo ( e isósceles además a que los dos catetos tienen la misma longitud, a c). Calcula m n para que se verifique m u n v siendo (8, ), u (-, ), v (, -). 6 6m n m n m n m m u n v (8,) m(,) n(, ) m n 8 m n 8 m atemáticas opción - NY

23 Tema Geometría analítica! Determina los puntos que dividen al segmento de etremos (-, -), (, ) en cuatro partes iguales. Para dividir el segmento en cuatro partes iguales ha que fijar tres puntos (P, Q, R) que cumplan: P P (, ) (,) (, ) (,) (, ) Q Q (, ) (,) (, ) (6,) (,) R R (, ) (,) (, ) (9,) (,) Halla las coordenadas del punto D, de modo que CD sea un paralelogramo, siendo (, -), (, ) C(6, ). Si llamamos al punto buscado D( D, D ), como CD ha de ser un paralelogramo, se cumplirá que los lados sean paralelos por tanto sus vectores iguales dos a dos: D C ( fíjate en el orden Origen- Etremo) luego D C, o sea D C, sustituendo ( D, D ) (6, ) (, ) (, -) (, ) atemáticas opción - NY

24 Tema Geometría analítica! Dado el triángulo de vértices (-, ), (, ), C(-, -) halla: a)) Las ecuaciones de los tres lados. b)) El punto medio del lado C. c)) La ecuación de la mediana del vértice. a)) Ecuación del lado El vector director es (, ) (-, ) (9, -), su pendiente m -/9 -/ un punto el (-, ), luego su ecuación es : ( ) Ecuación del lado C El vector director es C C (-,-) (, ) (-, -), su pendiente m / un punto el (, ), luego su ecuación es : ( ) Ecuación del lado C El vector director es C C (-,-) (-, ) (, -6), su pendiente m -6/-/ un punto el (-, ), luego su ecuación es : ( ) b)) Punto medio de C, (, ): C C (-, ). c)) La mediana del vértice pasa por (, ) el punto medio del lado opuesto C, (-,) que hemos hallado en el apartado anterior: El vector director es (, ) (, ) (-, ), su pendiente m /(-) ( es horizontal un punto el (, ), luego su ecuación es ;. atemáticas opción - NY

25 Tema Geometría analítica! 6 Los puntos (-, ), (, -) C(, ) son tres vértices de un paralelogramo. Halla: a)) El vértice D opuesto a. b)) El punto donde se cortan las diagonales. c)) Comprueba que es el punto medio de las dos diagonales. a)) Para que DC sea un paralelogramo ha de ser CD, es decir D C, de donde despejando D C (-, ) (, - ) (, ) (, ). b)) Hallamos las ecuaciones de las dos diagonales: Diagonal C El vector director es C C (, ) (-, ) (, ), su pendiente m / un punto el (-, ), luego su ecuación es : Diagonal D ( ) El vector director es D D (, ) (, -) (-, ), su pendiente m - un punto el D(, ), luego su ecuación es : Si resolvemos el sistema tenemos el punto de corte de ambas diagonales: sumando El punto es (/, ). c)) El punto (, ) ha de ser punto medio de C o de D: C C, D D, atemáticas opción - NY

26 Tema Geometría analítica! 6 Dados los puntos (, ) (-, ), halla el punto simétrico de respecto de el simétrico de respecto de. Si llamamos al punto simétrico de (, ) respecto de (, ), (, ), se debe cumplir que sea el punto medio del segmento : ( ) '(, ) Si llamamos al punto simétrico de (, ) respecto de (, ), (, ), se debe cumplir que sea el punto medio del segmento : ( ) '(,8) 8 8 Dados los puntos (-, ) (, ), halla: a)) La ecuación de una recta r que pase por sea perpendicular a. b)) La ecuación de una recta s que pase por sea paralela aleje X. c)) El punto de corte de r s. a)) Si ha de ser perpendicular a (, ), su vector director v es el (-, ) su pendiente m - /, como pasa por (-, ) la ecuación de la recta r será: ( ) b)) Si ha de ser paralela al eje X ( horizontal) su ecuación será de la forma k ( pendiente m ) como tiene que pasar por el (, ), será o sea -. c)) El punto de corte es el punto común a ambas rectas es decir que cumple las dos ecuaciones a la vez por tanto es la solución del sistema formado por ambas ecuaciones: ) r ) s Punto de corte ( -/, ). atemáticas opción - NY

27 Tema Geometría analítica! 6 En el triángulo de vértices (-, ), (, ), C(, ), halla: a)) La ecuación de la mediatriz de C b)) La ecuación de la mediatriz de C. c)) El punto de intersección de las mediatrices (el circuncentro del triángulo). ediatriz de un segmento: Recta perpendicular en el punto medio del segmento. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los etremos. Las de un triángulo se cortan en el circuncentro (G). aa) ) La mediatriz de C que llamaremos m será una recta que pasa por el punto medio de C ( que llamamos D) es perpendicular a C: " Vector director: el perpendicular a C C (,) (, ) (, - ), cuas componentes son (, ) es decir es una recta horizontal. C D " Pasa por el punto medio de C (que llamamos D): D(, ). C D La ecuación de m es (-) ; es decir. bb) ) La mediatriz de C que llamaremos m será una recta que pasa por el punto medio de C (que llamamos E) es perpendicular a C: " Vector director: el perpendicular a C C (,) (-, ) (, - ), cuas componentes son (, ), por tanto su pendiente m. C E " Pasa por el punto medio de C (que llamamos E): E(, /). C E La ecuación de m es / ( - ) /; es decir 8 -. cc) ) El circuncentro(g) es el punto solución de las dos mediatrices halladas ( la tercera, que no hemos calculado también pasará por G): m m ; G, 8 8 atemáticas opción - NY

28 Tema Geometría analítica! 8 atemáticas opción - NY PROLES DE ESTRTEGI. Sabías que...? Ha una curiosa forma de calcular el área de un polígono cuos vértices coinciden con los de una cuadrícula:! Cuentas el número de puntos que ha dentro del polígono ().! Cuentas el número de puntos que ha sobre el borde (). Entonces, el área (), medida en unidades de la cuadrícula, es: (teorema de Pick) Comprueba la relación anterior con estos polígonos: Polígono ) Perímetro Dentro Polígono ) 6 Perímetro Dentro Polígono ), Perímetro Dentro Polígono ) Perímetro 6 Dentro Polígono ) Perímetro Dentro