Paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos. Tienen las siguientes propiedades:

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1 Tema 8 Geometría analítica! Te coniene recordar LGUNS PROPIEDDES DE LOS PRLELOGROS Paralelogramos son cuadriláteros cuos lados opuestos son paralelos. Tienen las siguientes propiedades: " Sus lados opuestos son iguales: CD C D " Sus ángulos opuestos son iguales: C D " Sus ángulos contiguos son suplementarios: 8º C D 8 " Las diagonales se cortan en sus puntos medios: C D. Cada una de estas propiedades caracteriza a los paralelogramos. Es decir si un cuadrilátero cumple una de ellas entonces es un paralelogramo. Construe un paralelogramo cuos lados midan cm 6 cm una de sus diagonales cm. Comprueba que se cumplen todas las propiedades anteriores. En el dibujo se han puesto las medidas que permiten comprobar las propiedades enunciadas. atemáticas opción - NY

2 Tema 8 Geometría analítica! Dibuja dos segmentos iguales paralelos. Completa con ellos un cuadrilátero. Comprueba que es un paralelogramo. (Esta es también una caracterización de los paralelogramos: cuadriláteros que tienen un par de lados iguales paralelos). QUÉ SON LS EDINS Y EL RICENTRO DE UN TRIÁNGULO Se llama mediana de un triángulo a un segmento que une un értice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro. El baricentro diide a cada mediana en dos segmentos uno doble del otro: G G' G G' GC GC' Dibuja con regla compás un triángulo de lados 6 cm 9 cm cm. Traza sus medianas señala su baricentro. Comprueba midiendo que el baricentro diide a cada mediana en dos segmentos uno doble del otro. atemáticas opción - NY

3 Tema 8 Geometría analítica! CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 66 )) ) Representa los ectores CD siendo ( ) (- ) C(6 ) D( 6) obsera que son iguales. Comprueba que CD hallando sus coordenadas. Calcula su módulo. (- ) ( ) (- 6) CD D C ( 6) (6 ) (- 6) ( ) 6 CD Tenemos tres puntos de coordenadas: ( -) ( 6) C( ) Halla las coordenadas del punto D para que lo ectores CD sean iguales. Si llamamos a D( ) para que los dos ectores sean iguales han de tener las mismas componentes es decir ha de cumplirse : D C ( 6) ( -) ( ) ( ) ( ) ( ) el punto D( ). CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa )) ) a)) Representa los ectores coordenadas. b)) Representa c)) Representa u u halla sus coordenadas. u halla sus coordenadas. d)) Representa halla las coordenadas del ector a)) Las coordenadas son: u ( ) ( ) ( ) C C (6 -) ( ) ( -) C siendo ( ) ( ) C(6 -). Halla sus u. atemáticas opción - NY

4 Tema 8 Geometría analítica! b)) u ( ) ( -) ( - ) por el etremos de u dibujamos uniendo el origen del primero con el etremos del segundo tenemos el ector suma cuas componentes obtenemos sumando algebraicamente componente a componente. c)) u ( ) (9 6) ponemos eces u una a continuación de las otras a que un producto ni es más que sumar un factor tantas eces como indica el otro. u -( ) (-6 -) ahora colocamos dos eces el opuesto de u. ( -) ( ) atemáticas opción - NY

5 Tema 8 Geometría analítica! d)) u ( ) ( -) (9 6) (8-8) ( ) colocamos eces u eces el opuesto de después unimos el origen con el etremo. CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 88 )) ) Dibuja en tu cuaderno dos ectores u que sean aproimadamente como los de la derecha obtén gráficamente el ector u. Empezamos poniendo eces el opuesto de u por su etremos eces tenemos u. u (- 8) (- -) w ( 6). a) Halla las coordenadas de u w. b) erigua el alor de e para que se cumpla que u w. a)) u w ( 8) ( ) (6) ( ) (8) (6) (9) atemáticas opción - NY

6 Tema 8 Geometría analítica! b)) 8 6 u w ( 8) (6) ( ) /8 luego iinnaa 99 )) ) CTIVIDDES (( ( Páággi Desde el punto (8 9) nos moemos en la dirección de (- -) cuatro eces su longitud Después nos moemos el triple de w ( ). las coordenadas del punto al que se llega. Llegada w (8 9) (- -) ( ) (8 9) (- -8) (6 ) ( ). Halla el punto medio del segmento de etremos ( ) (9 8). Para ello utiliza el ector. Se cumple o la equialente en donde luego: O O ( ) ( 9 8 ) ( ) ( ) (6) Diidimos el segmento de etremos (l ) (6 ) en cinco partes iguales. Localiza mediante sus coordenadas los cuatro puntos de separación. Para ello utiliza el ector (6) () (). P () () () () () Q () () () (6) (6) R () () () (96) (8) S () () () (8) () atemáticas opción - NY

7 Tema 8 Geometría analítica! CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 88 )) ) Halla las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos: a)) (- ) ( ) b)) P( -) Q(- ) c)) R( ) S( ) d)) (- ) ( ) Las coordenadas del punto medio de un segmento se hallan haciendo la semisuma de las coordenadas de los etremos: a)) ( ). b)) P P Q ( ) Q c)) R R S S ( ) d)) ( ) Halla las coordenadas del punto simétrico de respecto de P en los siguientes casos: a)) ( -) P(- ) b)) ( ) P( -) Si ( ) es el punto simétrico buscado se cumplirá que P será el punto medio del segmento : ' P 8 a)) '( 8 ) ' P ' P 8 b)) '(8 6) ' P 6 (( Páággi iinnaa 88 )) ) CTIVIDDES ( Comprueba si R( ) S( -) T( -) están alineados. Si están alineados proporcionales: RS ST han de tener la misma dirección es decir las componentes RS S R ( ) () ( 8) ST T S ( ) ( ) ( ) 8 los puntos R S T no están alineados atemáticas opción - NY

8 Tema 8 Geometría analítica! 8 erigua el alor de a para que los puntos R( ) S( -) Q(a -) estén alineados. Si están alineados proporcionales: RS SQ han de tener la misma dirección es decir las componentes RS S R ( ) () ( 8) a SQ Q S (a ) ( ) (a ) 8 8a a 8 Para que R S Q estén alineados a. Dados los puntos ( ) ( ) P( ) aerigua qué relación deben cumplir e para que P esté alineado con. () () () P P () () ( ) 8 Para que P estén alineados se debe cumplir que por ejemplo si si etc. erigua el alor de t para que ( ) ( -) C(t t) estén alineados. () ( ) ( 6) C C (tt) ( ) (t t ) luego t 6 t t 66 t 9 t t En la figura de la derecha cómo es posible que el rectángulo que tiene 6 cuadritos se pueda descomponer en los mismos cuatro fragmentos que el cuadrado que tiene cuadritos? El secreto está en que los puntos OC no están alineados. Compruébalo tomando O( ) ( ) (8 ) C( ) probando que el ector O no es paralelo al ector. atemáticas opción - NY

9 Tema 8 Geometría analítica! 9 O O () () () (8) () () los puntos O no están alineados OC C O () () () (8) () () los puntos O C no están alineados CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 88 )) ) Halla la ecuación de la recta que pasa por: b)) a)) ( ) ( ) b)) ( 6) (8 -) a)) " Hallamos el ector director () () () la pendiente m " Escribimos la ecuación de la recta tomando como punto uno de los dos el por ejemplo: r m( ) ( ) " Hallamos el ector director (8 ) (6) ( 8) la pendiente m 8 " Escribimos la ecuación de la recta tomando como punto uno de los dos el por ejemplo: 8 8 r m( ) 6 ( ) Halla la ecuación de la recta que pasa por ( -) tiene por ector dirección ( -). Si el ector de dirección es ( -) la pendiente de la recta m la ecuación de la recta pedida: r ( ) atemáticas opción - NY

10 Tema 8 Geometría analítica! Halla la recta paralela a - 6 que pasa por ( -). La recta paralela a la dada tendrá de ecuación 6 k en donde desconocemos el término independiente k lo calculamos sustituendo el punto por el que pasa cumple la ecuación de la recta despejando k: 6 (-) k ; 8 k ; k -8 luego la ecuación de la recta pedida es 6 8 Halla la recta paralela a - que pasa por ( ). La recta paralela a la dada tendrá de ecuación k en donde desconocemos el término independiente k lo calculamos sustituendo el punto por el que pasa ( ) cumple la ecuación de la recta despejando k: k ; k ; k - luego la ecuación de la recta pedida es o su equialente CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 88 )) ) Da tres ectores perpendiculares a (-6 ). Un ector perpendicular a otro dado u(ab) es de la forma (-kb ka) o (kb -ka) luego los ectores pedidos son: ( 6) (- - 6) ( ) 6 Halla la ecuación de la recta que pasa por P ( -) es perpendicular al ector ( ). Si el ector perpendicular es ( ) un ector director es ( -) la pendiente de la recta buscada m la ecuación de la recta ( ) atemáticas opción - NY

11 Tema 8 Geometría analítica! La recta r pasa por ( ) la recta s por (- ). mbas son perpendiculares a -. Halla sus ecuaciones. De la recta luego la pendiente es m - la pendiente de cualquier recta perpendicular será: m por lo tanto las ecuaciones de las rectas pedidas será: r ( ) s ( ) CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 88 )) ) Representa r s da tres ectores paralelos tres perpendiculares a ellas: r:- s: u " Como r : es ertical ectores paralelos son () u () u ( ) ectores perpendiculares () () ( ). s " Como s : es horizontal ectores paralelos son () s () s ( ) w ectores perpendiculares () w () w ( ). Las rectas r s pasan por el punto ( -). r es paralela a s es perpendicular a ella. Representa r s da sus ecuaciones. La recta paralela tendrá de ecuación k que como pasa por ( - ) cumplirá k luego k - la ecuación es decir. La recta perpendicular será ertical pasa por el punto ( -) su ecuación es o. atemáticas opción - NY

12 Tema 8 Geometría analítica! CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 88 )) ) s: P( ). Halla las ecuaciones de r r sabiendo que: r pasa por P es paralela a s. r pasa por P es perpendicular a s. # La recta r al ser paralela a s tiene la ecuación 6 k. Hallamos k sustituendo las coordenadas del punto P( ) 6 k k k -8 la ecuación es pues r : 6 8 o simplificando r :. # La recta r al ser perpendicular a s tiene la ecuación 6 k. Hallamos k sustituendo las coordenadas del punto P( ) 6 k 8 k k -8 la ecuación es pues r : 6 8 o simplificando r : 9. Halla el punto donde se cortan las rectas r s represéntalas: r: - 6 s: - Para hallar el punto de corte de ambas rectas resolemos el sistema formado por sus ecuaciones: : 6 atemáticas opción - NY

13 Tema 8 Geometría analítica! CTIVIDDES (( ( Páággi iinnaa 8866 )) ) Calcula en cada caso la distancia entre : a)) ( ) ( ) b)) (- ) ( -9) c)) ( ) (-6 -) d)) (- ) ( ) a)) d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 b)) d( ) ( ) ( ) ( ) ( 9 ) 69 c)) d( ) ( ) ( ) ( 6 ) ( ) 69 d)) d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Epresa analíticamente que la distancia de X ( ) a P( ) es. Qué figura recorre el punto ariable X? d(x P) XP ; ( ) ( ) ( ) ( ) 9 es la ecuación de un circunferencia de centro en P( ) radio r. atemáticas opción - NY

14 Tema 8 Geometría analítica! Escribe en cada caso la ecuación de la circunferencia de centro C radio r: a)) C( ) r b)) C(- ) r a)) ( ) ( ) ( ) ( ) b)) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 Di el centro el radio de las circunferencias: a)) ( - ) ( - ) b)) () a)) Sin más que comparar con la ecuación de la circunferencia ( a) ( b) r cuo centro es O(a b) el radio r deducimos que la circunferencia ( ) ( ) tiene por centro el O( ) su radio mide r. b)) Sin más que comparar con la ecuación de la circunferencia ( a) ( b) r deducimos que el centro es O(- ) radio r. EJERCICIOS DE L UNIDD PRCTIC! Vectores puntos Dados los puntos (- ) ( ) C( ) D( -) halla las condenadas de los ectores C CD D C D. ( ) (- ) ( ) atemáticas opción - NY

15 Tema 8 Geometría analítica! C C ( ) ( ) ( -). CD D C ( -) ( ) (- -6). D D (- ) ( ) (- -). C C ( ) (- ) ( ) D D ( -) ( ) ( -8). Las coordenadas del ector son (- ). Cuáles serán las coordenadas de si las de son ( -)? (- ) ( ) ( -) 6 luego (-6 ) a)) Cuáles son las coordenadas de los ectores u? b)) Dibuja el ector u di cuáles son sus coordenadas. a)) Las coordenadas (componentes) de un ector son las longitudes recorridas desde el punto origen al etremo en horizontal ertical como para llegar desde el punto origen al etremos del ector hemos de recorrer hacia la derecha hacia abajo las componentes de u son( -) las de ( -). b)) u ( ) ( ) ( 6) atemáticas opción - NY

16 Tema 8 Geometría analítica! 6 Dados los ectores u ( -) (- -): a)) Representa los ectores u ; u ; u halla sus coordenadas. b)) Cuáles son las coordenadas del ector a)) w u? u ( -) (- -) ( -) u ( -) - (- -) (6 -) u ( ) ( ) ( ) (6) b)) w u ( ) ( ) ( ). z (- ). a)) Representa los ectores u z z siendo ( ) ( ) b)) Halla las coordenadas de u comprueba si son iguales. a)) u z ( ) ( ) ( -) ( ) ( ) ( -) (8 ). atemáticas opción - NY

17 Tema 8 Geometría analítica! atemáticas opción - NY z -( ) ( ) ( -) (- -) ( ) (- ) (8 ). b)) Luego (8) u 6 a)) Halla los puntos medios de los segmentos C D. b)) Halla las coordenadas de los ectores DC comprueba que son iguales. a)) C C C D D D es el mismo punto pues es el punto en donde se cortan las diagonales del cuadrilátero CD punto medio. b)) ( ) (- ) ( ). DC C D ( ) ( ) ( ). El punto medio de un segmento es ( -) uno de sus etremos es ( ). Cuál es el otro etremo? 8) ( 8 6

18 Tema 8 Geometría analítica! 8 atemáticas opción - NY 8Halla en cada caso el punto simétrico de (- -) respecto de: a)) P(- ) b)) Q( -) c)) O( ) a)) ) '( ' P ' P b)) ) '( 6 ' Q ' Q c)) ) '( ' O ' O 9 a) Determina las coordenadas de los puntos N P que son los puntos medios de los lados del triángulo C b) Halla las coordenadas de los ectores N P PN comprueba prueba que : C PN P C; N a)) ) ( ( ) N ) ( C N C N P ) ( C P C P

19 Tema 8 Geometría analítica! 9 atemáticas opción - NY b)) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( C C () N N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ) ( ) ( C C P P ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( () P N PN erigua el alor de k para que se cumpla: ) k( 6 k k k k 6 ) k( 6 Dados los ectores u ( ) ( ) ' w (8Y) calcula e para que se erifique: w u 8 6 (8) ) (6 (8) () () w u Comprueba en cada caso si los puntos dados están alineados: a)) (- ) ( ) C(- -) b)) ( ) (- -) C( ) Para que C estén alineados C k a)) ) ( C ) ( ) ( ) ( C C ) ( Sí están alineados. b)) ( ) ( ) () () () C C () C están alineados.

20 Tema 8 Geometría analítica! Calcula m para que los puntos R( -) S(- ) T( m) estén alineados. Para que los tres puntos estén alineados las componentes de los ectores RS RT han de ser proporcionales: RS S R ( ) ( ) ( 6) RT T R (m) ( ) ( m )! Rectas 6 m m m Escribe la ecuación de las siguientes rectas: a)) Pasa por (- ) su pendiente es /. b)) Pasa por ( ) su pendiente es -. c)) Pasa por ( -) su pendiente es. Utilizamos la ecuación de la recta en forma punto( o )-pendiente(m): m( ) a)) (/)( ); ; 8. b)) -( ); - ; - ;. c)) ( ); ; - ;. Da un ector dirección la pendiente de la recta que pasa por en los siguientes casos: a)) (- ) ( ) b)) ( -) ( -) c)) (- ) ( -) Un ector director de la recta que pasa por dos puntos es k. a)) () ( ) ( ) cualquier ector de la forma( k k) con k nº real será un ector director de la recta que pasa por por supuesto el ( ) que se obtiene para k. b)) ( -) ( -) ( ) recta horizontal. c)) ( -) (- ) (6 -). atemáticas opción - NY

21 Tema 8 Geometría analítica! 6 Halla la ecuación de cada una de las rectas del ejercicio anterior. Escríbela en forma general. Dado un ector director ( ) un punto ( ) hallamos la ecuación de la recta mediante la ecuación punto-pendiente : m( ) en donde la pendiente m / a)) ( ) ( ) b)) ( ) c)) ( ) ( ) ( ) 6 Escribe la ecuación de las siguientes rectas: a)) Pasa por ( ) tiene por ector dirección d ( -). b)) Pasa por (- ) tiene por ector dirección d (- -). c)) Pasa por ( -) tiene por ector dirección d ( ). Usamos el mismo procedimiento del ejercicio anterior que se nos da un punto un ector director: a)) ( ) ( ) ( ) b)) ( ) ( ) ( ) c)) ( ) ( ) ( ) 8 Halla la ecuación de las siguientes rectas: a)) Paralela a - pasa por ( ). b)) Paralela a - pasa por ( ). c)) Paralela a - 6 pasa por ( -). Si una recta es paralela a otro dada r: X C su ecuación será de la forma K a que al ser paralelas tienen el mismo ector director ( misma pendiente mismo ángulo con el eje horizontal). a)) - k; si sustituimos el punto ( ) podemos hallar k: - k; k la recta pedida es - o sea. atemáticas opción - NY

22 Tema 8 Geometría analítica! b)) k ; si sustituimos el punto ( ) podemos hallar k: k ; k -8 la recta pedida es - 8 diidiendo por la ecuación queda. c)) k ; si sustituimos el punto ( -) podemos hallar k: (-) k ; k 6 la recta pedida es 6. 9 Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto P es perpendicular al ector en los siguientes casos: a)) P(- ) ( ) b)) P( -) (- ) c)) P( ) (-l-) Si el ector perpendicular a una recta es ( ) el ector director será (- ) por tanto la ecuación de la recta pedida será de la forma k en donde para hallar el alor de k sustituimos el punto por el que pasa. a)) k ; (-) k ; k luego la ecuación es. b)) - k ; - (-) k ; k luego la ecuación es - c)) - - k ; - - k ; k 8 luego la ecuación es Calcula la pendiente un ector dirección de una recta perpendicular a la que pasa por ( ) (- -). Si pasa por un ector director será (- -) ( ) ( -8 -) ( ) la pendiente m luego de su perpendicular el ector director será w (- ) su pendiente m -. Escribe la ecuación de la recta que pasa por (- ) es perpendicular a - 6. Si es perpendicular a 6 su ecuación será k como sabemos que pasa por (- ) sustituendo hallamos k: - k ; - k ; k la ecuación es Dados los puntos (- ) ( ) halla las ecuaciones de las rectas siguientes: r: pasa por es perpendicular a. s: pasa por es perpendicular a. atemáticas opción - NY

23 Tema 8 Geometría analítica! El ector ( ) ( - ) (8 ) ( -) es perpendicular a las dos rectas luego: # r : - k ; sustituendo (- ) (-) - k - k ; k por tanto r: -. # s : - h ; sustituendo ( ) - h h ; h - por tanto s: - -. Representa las rectas 6 - halla su punto de intersección. El punto de corte es el punto común entre amabas rectas que se obtiene resoliendo el sistema formado por las dos ecuaciones de las rectas en este caso concreto es más sencillo pues cada recta sólo depende de una ariable la primera es ertical la segunda horizontal despejando tenemos: 6 6 el punto es ( - /) Escribe la ecuación de una recta perpendicular a r que pase por ( -) en los siguientes casos: a)) r: b)) s: a)) r es ertical luego su perpendicular será horizontal de la forma k como tiene que pasar por ( - ) - k k su ecuación es. b)) s es horizontal su perpendicular ertical de la forma h como ha de pasar por ( -) h h - su ecuación será. Las rectas r s pasan por el punto (- ); r es paralela a - s es perpendicular a ella. Representa r s halla su ecuación. Como r es a su ecuación será de la forma k si pasa por (- ) - k k luego r :. Si s ha de ser a su ecuación será de la forma h como pasa por (- ) h h - luego s :. atemáticas opción - NY

24 Tema 8 Geometría analítica! Su representación gráfica es: 6 La recta r es paralela a - la recta s es perpendicular a ellas. mbas pasan por el punto ( ). Escribe las ecuaciones de las rectas r s. Como r es a su ecuación será de la forma k si pasa por ( ) - k k luego r :. Si s ha de ser a su ecuación será de la forma h como pasa por ( ) h h -9 luego s : -9. Determina el punto de corte de las rectas: r: s: -- El punto de corte será el que proenga de la solución del sistema formado por las dos ecuaciones de las dos rectas: 8 El punto de corte es ( - ½). atemáticas opción - NY