Lugares geométricos complejos

Transcripción

1 Lugares geométricos complejos Primera parte Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella. Karl F. Gauss. Wilfredo Zuleta R. 1 En este sencillo artículo construimos algunos lugares geométricos aplicando ciertas operaciones con números complejos sobre curvas particulares conocidas y con el comando Lugar Geométrico y considerando el complejo escogido sobre dicha curva en su forma Polar. Hemos trazado esos lugares geométricos con el software libre Geogebra 2. En resumen, se escoge una curva expresándola en forma polar y escogemos un número complejo Z y luego le aplicamos una operación (o función) sobre él, y su imagen es f ( Z ). Ahora bien, con estos valores y utilizando el comando Lugar Geométrico generamos la correspondiente curva (o imagen). Luego con un poco de trabajo matemático encontramos las ecuaciones paramétricas que lo representan y sus correspondientes ecuaciones cartesianas. La operación recíproco de un complejo generando lugares geométricos 1. Es este caso el dominio de la función f es la parábola y x 2 (forma sen r( ) con cartesiana) y en su forma polar 2 cos. La curva en 0 azul representa el dominio de f y la curva en rojo la imagen de f. Usando el recíproco de un número complejo en forma polar y cierta manipulación matemática 3 se obtienen tanto las ecuaciones paramétricas como la correspondiente ecuación cartesiana. Ver figura 1. 1 Profesor jubilado del NURR. Universidad De Los Andes. Trujillo-Venezuela. wrzr2001us@hotmail.com 2 GeoGebra D 3 Recomendamos al lector no familiarizado con los temas necesarios para la lectura, revisar lo referente a coodenadas polares y operaciones con números complejos. 1

2 Figura Ahora el dominio de la función f la curva y x (forma cartesiana) y en su sen r( ) con 3 cos forma polar. La curva en azul representa el 2 dominio de f y la curva en rojo la imagen de f. Ver figura 2. Figura 2 2

3 3. Sea ahora el dominio la elipse x y b cos a sen 1 a 0, b 0 r( ) 2 2 a b ab con 0 2 (formas cartesiana y polar, respectivamente). Ver figura 3. Observación: Figura 3 a. En el caso mostrado en la figura 3, b 1 y a puede ser cualquier número positivo distinto de 1 y por esa razón la curva en rojo se mantiene tangente a la elipse en los vértices que están sobre el eje menor. En este caso b 1 y a 1 y así la curva en rojo es tangente pero está dentro de la elipse. b. En el caso en que b 1 pero 1 esta por dentro de la curva en rojo como lo mostramos en la figura 4. a, sigue dándose la tangencia pero la elipse 3

4 c. En caso tal de que a b 1 como se muestra en la figura 5. Figura 4 ambas curvas son circunferencias de radio 1, Figura 5 4

5 d. En el caso de que, a 1 y b puede ser cualquier número mayor que 1, es de esperarse que dichas curvas sean como las que se muestran en la figura 6. Figura 6 e. En el caso de que, a 1 y b sea cualquier número menor que 1, dichas curvas son como las que se muestran en la figura 7. Figura 7 5

6 f. En el caso de que a b 1 y 1. En la figura 8 y 9 se muestran estos casos. a se obtiene circunferencias concéntricas de radios a Figura 8 ( a b 1 ) Figura 9 ( a b 1 6 )

7 g. En las figuras 10, 11, 12 y 13 se muestran otros casos posibles Figura 10 ( b 1 y a 1) Figura 11 ( b 1 y a 1) 7

8 Figura 12 ( b a 1) Figura 13 ( a b 1) 4. Tomemos ahora como dominio las curvas de la forma a( b cos ) con 0 2 y a 0 y b 0 a. Aquí consideremos b 1 y a 0 como se puede observar en la figura 14. El lugar geométrico generado es una Parábola 8

9 Figura 14 b. En este caso hacemos b 1 y a 0 para obtener una Hipérbola que mostramos en la figura 15. Figura 15 9

10 c. Ahora el caso en que b 1 y a 0 para obtener una Elipse que mostramos en la figura 16 Figura 16 Observación: Las curvas a( b cos ) con 0 2 empleadas aquí tienen sus coincidencias con las curvas Caracoles expresadas por a bcos con 0 2, como por a ejemplo si a b 1 obtenemos un Cardiode, si 1 2 es una Caracol con b a a hendidura, si 2 un Caracol convexo y si 1 Caracol con rizo (Limacón). b b Veamos a continuación las respectivas imágenes de estas curvas. 10

11 11

12 Es deseable que el lector haga lo mismo que se ha hecho en este artículo pero con esta familia de curvas y es de esperarse que se obtengan parábolas, elipses e hipérbolas. Continuará 12