ESTRUCTURA DE BANDAS (REPASO)

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1 Problemas de Electrónica Física 1 ESTRUCTURA DE BANDAS (REPASO) 1. En la aproximación del electrón fuertemente ligado se obtiene, para la primera banda de conducción de un sólido con estructura cúbica, la relación de dispersión: E C (k) = E 0 α γ exp(ik ρ m ) donde α y γ son constantes, k es el vector de onda y ρm es el vector de posición del m-vecino más próximo al de referencia, que tendrá posición ρ 0 =0. Teniendo en cuenta esta expresión, representar E(k) para los puntos y direcciones de simetría de un cristal cuyos átomos estén dispuestos según a) una red sc b) una red fcc c) una red bcc. En los tres casos calcular cuánto vale el ancho de banda y la masa efectiva alrededor del mínimo de energía de la banda. m I. PROPIEDADES DE TRANSPORTE: TEORÍA SEMICLÁSICA 2. Imagínese una banda de una estructura cúbica simple de constante a, dada por: E( k r ) = E 0 (cosk x a + cos k y a + cosk z a) r Un electrón, con k=0 sufre la acción de un campo eléctrico constante a partir de t=0. a) hallar la trayectoria en el espacio real b)representar la trayectoria cuando E tiene la dirección (1,2,0) 3. En el silicio y el germanio, cerca del borde de la banda de conducción, la relación de dispersión es, en la aproximación de la masa efectiva: E C ( r k ) = E 0 + h2 (k 2 2m x + k 2 y ) + h2 2 k t 2m z l (las superficies E(k)=cte son elipsoides, con m t y m l las masas efectivas transversal y longitudinal a z respectivamente).se aplica un campo externo magnético, cuya dirección forma un ángulo θ con el eje z e inmerso en el plano k y =0. a) escríbanse las ecuaciones semiclásicas del movimiento de un electrón en la banda de conducción, introduciendo los parámetros ω t = eb ; ω m l = eb. t m l b) Suponiendo que las variables dinámicas varían armónicamente con el tiempo con una frecuencia ω, obténgase la relación entre ω y el ángulo θ y hállese la dependencia de la masa ciclotrónica con θ. 4. En una muestra de Si la movilidad de los electrones es de 1200 cm 2 /Vs y la de los huecos 600 cm 2 /Vs. Si se aplica un campo eléctrico y otro magnético perpendiculares, determinar las concentraciones relativas de los portadores para que no se observe efecto Hall.

2 Problemas de Electrónica Física 2 II. ESTADISTICA DE ELECTRONES Y HUECOS 5. Un semiconductor intrínseco con masas efectivas para electrones y huecos respectivamente de m e =0.2 m 0, m h =2 m 0 tiene un gap de 2 ev a temperatura ambiente y el coeficiente de temperatura del mismo es de ev/k. a) Determínese la posición del nivel de Fermi y la concentración de electrones y huecos a 1000 K b) A qué temperatura alcanzará el nivel de Fermi la banda de conducción? 6. Medidas de efecto Hall en un semiconductor de tipo n han proporcionado la siguiente tabla de datos: T (K) n (10 15 cm -3 ) Calcular la concentración de impurezas dadoras N D presentes en el semiconductor así como su energía respecto al borde de la banda de conducción ΔE D. Para ello representar las magnitudes que se consideren involucradas frente a 1000/T (representación de Arrhenius) indicando qué parte de la gráfica conduce a los resultados requeridos. 7. Calcular el nivel de Fermi y la concentración de electrones en un semiconductor compensado que contiene un nivel de impurezas dador y otro aceptor, tal que N d >N a en la región de temperaturas inferior al comportamiento intrínseco. i) Dar las expresiones aproximadas en las tres regiones de temperatura características antes del comportamiento intrínseco: a) T 0 K b) zona intermedia entre a) y c) (T baja pero no nula) c) T tal que todas las impurezas están ionizadas ii) Estudiar los casos particulares en los que el material de tipo n, con una concentración de dadores N d =10 17 cm -3, está parcialmente compensado con una concentración de impurezas aceptoras de Na=0, 10 13, y cm -3. Suponer: ΔE d =ΔE a =100 mev respecto al mínimo de la banda de conducción y máximo de la banda de valencia, respectivamente; m e =m h =0.5 m 0, E g =1 ev. Representar en los 3 casos el diagrama de Arrhenius de la concentración de portadores. III. TEORIA GENERAL DE LAS PROPIEDADES DE TRANSPORTE 8. En una muestra de Ge tipo p se ha medido el coeficiente de Seebeck (α) en función de la temperatura de la muestra, mediante efecto Seebeck. Los datos obtenidos se presentan en la tabla adjunta.. Cual es la concentración de aceptores en la muestra N a?. Interpretar el cambio de signo observado. Datos: m e =0.54m 0, m h =0.33m 0, E g (300K)=0.678 ev, μ e =(300K)=4000 cm 2 /Vs, μ h =(300K)=1900 cm 2 /Vs. T (ºC) α(mv/k)

3 Problemas de Electrónica Física 3 9. Considérese la experiencia de efecto Hall esquematizada en la figura. Sobre el semiconductor de grosor d se han depositado 5 contactos óhmicos: 1 y 2 sirven para establecer una corriente estacionaria I 0 a lo largo de la muestra, 3 y 4, separados por una distancia b, sirven para medir la caida de potencial resistiva V ρ, y los 3 y 5, separados una distancia a se usan para medir la tensión de Hall V H que aparece al aplicar un campo magnético de intensidad B o y perpendicular a la muestra. Calcular la movilidad de Hall y la concentración de electrones conocidos los parámetros y magnitudes especificadas arriba y que son los que se miden en el laboratorio. Qué significado tendría una variación de V ρ al aplicar el campo magnético?. V H 1 3 I 5 V ρ 4 B 2 A 10. Llevamos a cabo una experiencia de efecto Hall en función de la temperatura, siguiendo la configuración descrita en la figura anterior, en una muestra de GaSe tipo p de 10 μm de espesor. Se hace pasar una corriente I a través de los contactos 2 y 1 y a cada temperatura se mide: (i) la caída de potencial resistiva V ρ (V 4 -V 3 ) y (ii) la tensión de Hall V H (V 3 -V 5 ) al aplicar un campo magnético de intensidad B o =1.2 T perpendicular a la muestra. Los datos obtenidos se presentan en la tabla adjunta. Determinar la dependencia con la temperatura de la movilidad de Hall y de la conductividad de la muestra. Representar el diagrama de Arrhenius de la concentración de portadores. Determinar la concentración de aceptores en la muestra (N a ), su energía de ionización (E a )y el grado de compensación existente (χ=[n a -N d ]/N a ). Datos: m h =0.5m 0. V ρ (V) V H (mv) I(mA) T(K) IV. DISPERSION DE LOS PORTADORES 11. A bajas temperaturas y especialmente en semiconductores no compensados, la proporción de impurezas ionizadas es inferior a la de impurezas neutras y el tiempo de relajación está dominado por la dispersión de los electrones con estas últimas. Calcular el tiempo de relajación en el caso de

4 Problemas de Electrónica Física 4 dispersión de los electrones por impurezas neutras, suponiendo que la difusión es exclusivamente de tipo elástico. Para ello seguir los siguientes pasos: a) Calcular el potencial que describe el átomo neutro suponiendo que los electrones se encuentran en un estado descrito por una función de ondas de tipo s. Se despreciará un eventual potencial de polarización. b) Calcular la sección eficaz diferencial y el tiempo de relajación. Particularizar para el caso en que k o >>k, siendo k o la inversa del radio de Bohr. 12. En cristales semiconductores formados por átomos distintos entre sí y en el que los enlaces son parcialmente iónicos y la celda unidad no contiene un centro de simetría (por ejemplo SiC), los portadores pueden ser dispersados por ondas acústicas longitudinales debidas a lo que se denomina difusión piezoeléctrica: los iones oscilan dando lugar a un momento dipolar. Calcular el tiempo de relajación en el caso en que esté dominado por esta dispersión de los electrones por fonones piezoeléctricos (Seeger, pag. 178). 13. Comparar los distintos mecanismos de dispersión estudiando su efecto sobre la movilidad en los rangos para los que son relevantes. V. PORTADORES FUERA DE EQUILIBRIO 14. Sea un semiconductor homogéneo en el que hay un proceso de generación de portadores. Determínese la concentración en exceso Δn en función del tiempo suponiendo que la tasa de generación de portadores es constante para: a) recombinación lineal, b) recombinación cuadrática. 15. En un semiconductor la movilidad de los electrones es de 1000 cm 2 /Vs y su concentración n=10 16 cm -3. La movilidad de los huecos es de 100 cm 2 /Vs. Suponiendo que ambos tienen el mismo tiempo de vida medio (1 ms) y que la muestra es muy delgada, determínese la variación de la conductividad cuando se ilumina uniformemente con una radiación de intensidad φ=10 16 fotones/cm 2 s, siendo α =10 cm -1. Determínese la longitud de difusión de los portadores. 16. El efecto Dember consiste en la aparición de una diferencia de potencial en una muestra semiconductora con un elevado coeficiente de absorción cuando ésta es iluminada. La luz genera pares electron-hueco fuera de equilibrio que se difunden en el volumen de la muestra. La mayor movilidad de los electrones da lugar a una separación de cargas y por tanto a la instauración de un campo eléctrico E d a) Calcular el campo E suponiendo la existencia de las dos corrientes de los dos tipos de d portadores y sabiendo que la muestra semiconductora es no degenerada y está eléctricamente aislada.

5 Problemas de Electrónica Física 5 b) La diferencia de potencial entre los extremos de la muestra. Comentar el resultado. c) A partir de la expresión anterior, obtener dicha diferencia de potencial en el caso particular en que la intensidad de iluminación sea baja y por lo tanto también lo sea la diferencia de conductividades entre los dos extremos. d) Obtener el resultado numérico en el caso en que φ=5x10 18 fotones/cm 2 s, coeficiente de absorción α=10 6 cm -1, coeficiente de recombinación lineal k=10 6 s -1 (considerar situación estacionaria), T=300 K y con µ n =3900 cm 2 /Vs, µ p =1900 cm 2 /Vs, σ=1 Ω 1 cm -1.

6 Problemas de Electrónica Física 6 VI. EL DIODO PN Y EL DIODO TÚNEL 17. Una unión PN simétrica de GaAs, con una sección A=1 mm 2, tiene una zona p y una zona n dopadas con una concentración de impurezas N a =N d =10 17 cm -3. Las movilidades de los huecos en la zona n y de los electrones en la zona n son,respectivamente µ hn =250 cm 2 V -1 s -1, µ ep =5000 cm 2 V -1 s -1 y la permitividad eléctrica relativa ε=13.2. El diodo está polarizado directamente a 1Volt. Suponiendo un nivel bajo de inyección de portadores, con un coeficiente de recombinación de m 3 s -1, calcular a 300 K la corriente de difusión debida a los portadores minoritarios suponiendo recombinación directa en las zonas neutras. Asímismo, estimar la componente de la corriente debida a la recombinación en la zona de agotamiento. DATOS: E gap =1.42 ev, m e *=0.067 m o, m lh *=0.08 m o, m hh *=0.45 m o ). 18. Suponer un dispositivo formado por una unión PN en la que la diferencia entre concentraciones de aceptores y dadores varíe linealmente a lo largo de la zona de agotamiento con un gradiente de impurezas que llamaremos a, siendo la concentración nula en el punto medio de dicha zona. Calcular el campo, potencial, potencial de difusión y longitud de la zona de agotamiento. Si se aplica una f.e.m. externa al dispositivo (directa o inversa), como varía la zona de agotamiento? Cuál sería la capacidad del dispositivo?. 19. Las gráficas que aparecen a continuación son el resultado de una medida de la capacidad de dos diodos distintos en función de la tensión de polarización (inversa). Determinad la tensión de la barrera de potencial y la concentración relativa de portadores en ambos casos, teniendo en cuenta que la superficie es de 1 mm 2 y que la permitividad eléctrica relativa es de 12. 0,9 0,95 0,8 díodo 1 0,9 diodo 2 C (nf) 0,7 0,6 C(nF) 0,85 0,8 0,5 0,75 0, V(volt) 0, V(volt) 20. Estimar la probabilidad de transmisión por efecto túnel para distintos semiconductores (Ge, Si, GaAs, etc...) suponiendo una barrera triangular. Así mismo, estimar la densidad de corriente máxima a que dicha transmitancia da lugar.

7 Problemas de Electrónica Física 7 VII. DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS 21. En base a la gráfica I(V) de un diodo Schottky W-Si que aparece abajo, y al modelo de emisión termoiónica, calcular la altura de barrera, el potencial interno y la anchura de la zona de carga espacial si la concentración de dadores del semiconductor es de cm -3 y que se encuentra a 300K de temperatura. Determinar la altura de la barrera a partir de los datos experimentales de capacidad de otro diodo similar y comparar con la estimación precedente. 22. Calcular el campo eléctrico que se debe aplicar a una muestra de GaAs a 300 K para que el porcentaje de electrones en el mínimo L de la banda de conducción sea del 50%. Calcular la velocidad de deriva y determinar si se encuentra en el régimen de resistencia negativa. Dicha muestra es de tipo n, con una concentración de impurezas dadoras de cm -2 y tiene un grosor de 10 µm se cumple la condición para que se forme un dominio de carga espacial?, cual será la frecuencia de la radiación que se emita, suponiendo que el dispositivo no se encuentre conectado a un circuito resonante?. 23. Consideremos un dispositivo MOS formado por un semiconductor de p-si (μ e =1500 cm 2 /Vs) de anchura A=10 μm y longitud L=100 μm sobre el que se ha depositado una capa de SiO 2 (ε r =3.9) de espesor d=200 Å y sobre ésta última una superficie metálica. Entre los extremos del dispositivo se establece un potencial V G =10V que provoca la formación de un canal tipo n en la

8 Problemas de Electrónica Física 8 interfase Si/SiO 2 (modo de inversión fuerte). Hallar la capacidad del dispositivo, la concentración de electrones en la superficie del semiconductor y la resistencia del canal n. 24. Calculad la tensión umbral (tensión para la que se produce la inversión) de los siguientes dispositivos MOS: a) p-si (N A = cm -3 ) con puerta de polisilicio n +, óxido de silicio de grosor t=500 Å y carga superficial de cm -2. b) p-si (N A =10 14 cm -3 ) con puerta de aluminio, óxido de silicio de grosor t=500 Å y carga superficial de cm En la figura de la derecha aparecen las características corriente-tensión bajo iluminación (con una lámpara halógena de 75 W ) de un dispositivo fotovoltaico de silicio, de 4 mm de lado. Las distintas gráficas se corresponden con distancias diferentes respecto a la fuente luminosa. a) determinar la corriente de saturación y el parámetro η que indica el grado de idealidad del diodo. b) Para la característica a d=10 cm, calcular el factor de llenado y el rendimiento. Para ello, tener en cuenta que una lámpara de 150 W a 5 cm del dispositivo proporciona el flujo luminoso correspondiente a una AM1. c) Comparando la potencia teórica correspondiente a un diodo ideal con los valores experimentales para d=10 cm, estimar el valor de la resistencia en serie de este dispositivo. I(mA) 0,2 0-0,2 d=20 cm d=15 cm -0,4 d=12 cm -0,6 d=10 cm -0,8 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 V(V)

9 Problemas de Electrónica Física 9 VIII. DISPOSITIVOS OPTOELECTRÓNICOS 26. Un bolómetro de Ge opera a una temperatura de 2.15 K con una resistencia R s =12 kω, un coeficiente térmico de resistencia ß=-2 K -1 y una capacidad calorífica c p = T 3 mj/k. Se conecta a un conductor térmico de conductancia térmica G=183 µw/k. Si la resistencia de carga del circuito es R l =500 kω y el voltaje de operación es 30 V, calcular la constante de tiempo del bolómetro. 27. Para un sistema óptico de telecomunicaciones con un laser de GaAs (E gap = 1.42 ev) se quiere utilizar un detector de Ge. Calcular el grosor del detector necesario para poder absorber un 90% de la señal óptica que llegue al mismo. Y si el detector fuera de Si? (considérese que hay una capa antireflectante). 28. Considérese un fotoconductor de GaAs con una longitud de 25 µm y un área de 10-6 cm 2. Si se aplica una diferencia de potencial de 5V, calcular la ganancia del dispositivo, usando un modelo de movilidad constante (ver figura adjunta) con µ n =7500 cm 2 /Vs y µ p =1000 cm 2 /Vs. El tiempo de recombinación es τ= 10-7 s.

10 Problemas de Electrónica Física En un fotodiodo de p-n de Si el tiempo de vida de los portadores minoritarios es de 0.1 ns. Si la resistencia del fotodiodo (R L ) es de R L =50 Ω, calcular la tensión de polarización mínima que habría que aplicar y la superficie máxima que debería tener el fotodiodo para que ni el tiempo de tránsito (τ t ) ni el de circuito (τ c ) limiten su respuesta temporal. (μ e =1200 cm 2 /Vs. N a =5x10 14 cm -3. N d =1x10 18 cm -3. T=300K. m* e /m o =0.33. m* h /m o =0.89. E g (Si)=1.12 ev. ε r =12 ε o ). 30. Se tiene un láser semiconductor de Al α Ga 1-α As cuya emisión a diferentes corrientes viene dada por la Fig. 1. Se pide: A) Estimar la temperatura a la cual está operando este dispositivo. B) Corresponde la 1ª región activa a una capa de GaAs puro?. Calcúlese en su caso la concentración de Al. c) Calcular la longitud de la cavidad del láser a partir de la separación entre modos longitudinales teniendo en cuenta las curvas de dispersión de índice de la fig. 2.

11 Problemas de Electrónica Física 11