Introducción a la Lógica Proposicional

Transcripción

1 Introducción a la Lógica Proposicional Araceli Guzmán y Guillermo Garro Facultad de Ciencias UNAM Semestre doyouwantmektalwar.wordpress.com

2 Referencias básicas 1. Miguel Delgado y María J. Múñoz. Lenguaje matemático, conjuntos y números, Armando O. Rojo, I, Bravo, Rincón, Rincón, superior, Carmen Gómez, superior, Álvaro Pérez Raposo, Lógica, conjuntos, relaciones y funciones, Máx Fernández de Castro y Luis Miguel Villegas, Lógica Matemática I, Otras referencias 1. M. O Leary, A first course in mathematical logic and set theory, Willard Van Orman Quine, Mathematical Logic, Enderton, H.B., A Mathematical Introduction to Logic, 2ed, Mendelson, E., Introduction to Mathematical Logic, 2015.

3 Índice 1. Qué es la Lógica Proposicional? 2. Tablas de Valores de Verdad y Conectivos Básicos 3. Equivalencias Lógicas y Tautologías 4. Las reglas básicas 5. La Reglas del Reemplazo. Primera Parte 6. Leyes de De Morgan 7. Equivalencias de 8. Ley del Contrarecíproco 9. Leyes del Reemplazo. Segunda Parte 10. Leyes Distributivas 11. Identidad y Dominación 12. Los conectivos y 13. Internet es tu amigo 14. Epílogo

4 Qué es la Lógica Proposicional?

5 Qué es la Lógica Proposicional? La lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas lógicas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad. Fuente: Wikipedia, Internet Encyclopedia of Philosophy Proposiciones Una proposición es un enunciado del que puede decirse que es verdadero (con valor de verdad V ó 1) o falso (con valor de verdad F ó 0) pero no ambas cosas. Por ello se dice que la Lógica Proposicional es binaria (porque solo admite dos valores de verdad). Gereralmente las proposiciones son denotadas con las letras p, q, r,... o mayúsculas P, Q, R,... Los conectivos lógicos Los conectivos lógicos son relaciones (funciones de verdad ) con las cuales podemos combinar proposiciones para formar otras. Los conectivos más usuales son los siguientes:

6 Conectivos lógicos usuales CONECTIVO NOMBRE OPERACIÓN INTERPRETACIÓN Negación p No p No sucede p No es cierto que p Conjunción p q p y q Disyunción p q p ó q Disyunción excluyente p q p ó q pero no ambas p implica q Si p entonces q Implicación q si p p q (o condicional) p sólo si q p es condición suficiente para q q es condición necesaria para p p si, y sólo si, q Doble implicación q es condición necesaria y suficiente para p p q (o bicondicional) p es condición necesaria y suficiente para q p es equivalente a q

7 Ejemplo Consideremos las siguientes proposiciones p : El viento sopla muy fuerte. q : Se caen las hojas de los árboles. Tenemos entonces Operación Significado p El viento no sopla muy fuerte p q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los árboles p q El viento sopla o se caen las hojas p q El viento sopla pero no se caen las hojas de los árboles, o bien se caen la hojas de los árboles pero el viento no sopla muy fuerte. p q Si el viento sopla muy fuerte, entonces se caen las hojas de los árboles p q El viento sopla muy fuerte si, y sólo si, se caen las hojas de los árboles

8 El concepto de Verdad El concepto de verdad no es relevante para la Lógica Proposicional. Simplemente asumimos que hay objetos (las proposiciones) que pueden ser verdaderas o no. Cualquier cosa que ello signifique. Otras Lógicas: El mito de la verdad universal El concepto de Verdad tiene mucha importancia en áreas filosóficas, linguísticas y para nuestra vida ordinaria y contingente. Hay otras lógicas que admiten valores de verdad intermedios cuya finalidad es modelar otros razonamientos complejos, más allá de los modelos binarios. El objeto de la lógica... más o menos La lógica proposicional es formal en el sentido de que carece de contenido. No es asunto de ésta averiguar qué afirmaciones son verdaderas, ni es un teoría de la verdad. Para nosotros, la lógica es el estudio metódico de las reglas (formas, estructuras, etc.) que rigen las relaciones existentes entre ciertos objetos llamados proposiciones, los cuales admiten solo dos valores (llamados valores de verdad), formadas mediante funciones proposicionales llamadas conectivos.

9 Tablas de Valores de Verdad y Conectivos Básicos

10 Tablas de valores de verdad Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad: Para la negación (que es un conectivo unario): p p V F F V Para el resto de los conectivos (binarios) típicos: p q p q p q p q p q p q V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V

11 Lógica Proposicional Tablas Ejercicio de valores 1: Un juego de verdad divertido Asigna un valor de verdad a las proposiciones siguientes y responde la pregunta. Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad: 1. Sean p y q las proposiciones Para la negación (que es un conectivo unario): p : p y q son falsos. q : Este enunciado es verdadero. p p Cuáles son los valores de verdad de p y q? V F 2. Sean p, q y r las proposiciones F V p : q es falsa. Para el resto de los conectivos q : p(binarios) si y sólo si típicos: r. r : La humanidad llegó a la Luna. p q p q p q p q p q p q La humanidad llegó a la luna? V V V V F V V 3. Sean p y q las V proposiciones F F V V F F F p : Vp es falsa F o q es V verdadera. V V F F F F F F V V q : Habrá una invasión extraterrestre mañana. Habrá una invasión extraterrestre mañana?

12 Equivalencias Lógicas y Tautologías

13 Una equivalencia esperada La equivalencia siguiente es siempre V: (p q) ((p q) (q p)) (1) p q p q q q p q (p q) (q p) (p q) ((p q) (q p)) V V V V V V V V F F V F F V F V V F F F V F F V V V V V Confirmamos así que la proposición (1) es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones componentes. Diremos que p q es (lógicamente) equivalente a la conjunción (p q) (q p). Probar que un bicondicional p q es V es equivalente a probar que p q y q p son V, conjuntamente.

14 Leyes Lógicas Una proposición compuesta p (esto es, formada a partir de otras proposiciones, llamadas componentes, mediante conectivos) cuya tabla de valores de verdad es siempre V independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones componentes, es llamada Tautología o Ley Lógica. Las leyes lógicas integran los que llamamos Lógica Formal. Equivalencias Lógicas En particular, si p y q son proposiciones compuestas tales que p q es tautología, entonces decimos que p y q son lógicamente equivalentes o para abreviar sólo equivalentes. Una equivalencia es un caso particular de ley lógica. Las proposiciones p y q son equivalentes si tienen la misma tabla de valores de verdad

15 Negación del bicondicional Es tautología: (p q) (p q) p q (p q) (p q) (p q) V V F V F V V F V V V F F V V V V F F F F V F V La diferencia simétrica p q es equivalente a la negación de la doble implicación p q. Para probar que una doble implicación p q es falsa, debemos probar que p y q son excluyentes (i.e. si p ocurre entonces q no ocurre; o bien, si q ocurre, no ocurre p.)

16 Modus Ponens Es tautología: (p (p q)) q p q p q p (p q) (p (p q)) q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V Deducibilidad Decimos que una proposición q se deduce ó infiere de otra proposición p, si el condicional p q es tautológico. Un condicional tautológico se llama también regla de inferencia El Modus Ponens ó Modus Ponendo Ponens, literalmente del latín: el modo que afirmado afirma, es una de las reglas de inferencia más usadas en la argumentación matemática (la demostración matemática).

17 Una implicación esperada: Eliminación del bicondicional Es tautología: (p q) (p q) p q (p q) (p q) V V V V V V F F V F F V F V V F F V V V No obstante, del tercer renglón de la tabla anterior, podemos concluir que (p q) (p q) no es tautología. Si un bicondicional p q es V entonces el condicional p q es V.

18 Transitividad de Es tautología: ((p q) (q r)) (p r) p q r ((p q) (q r)) (p r) V V V V V V V V V V F V F F V F V F V F F V V V V F F F F V V F F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V Tradicionalmente, esta regla de inferencia es conocida como silogismo hipotético.

19 Lógica Proposicional Transitividad de Es tautología: ((p q) (q r)) (p r) p q r ((p q) (q r)) (p r) V V V V V V Ejercicio 2: Transitividad de V V V V F V F F V F VDemuestra F V con unaf tabla que F la proposición V V V V F F F F V V F ((p q) (q r)) (p r) F V V V V V V V Fes también V F tautológica. V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V Tradicionalmente, esta regla de inferencia es conocida como silogismo hipotético.

20 Lógica Proposicional Transitividad de Es tautología: ((p q) (q r)) (p r) p q r ((p q) (q r)) (p r) V VEjercicio V 3: VOtras Leyes V Transitivas V V V V V F V F F V F Demuestra con tablas que las proposiciones V F V F F V V V V F F ((p Fq) (q F r)) V(p r) V F F V V ((p V q) (q V r)) V(p r) V V F V F V F F V V son tautológicas. F F V V V V V V F F F V V V V V Tradicionalmente, esta regla de inferencia es conocida como silogismo hipotético.

21 Convención notacional para eliminar paréntesis Para evitar el uso excesivo de los paréntesis adoptaremos las convenciones notacionales siguientes: 1. La negación es más fuerte que cualquier otro conectivo. Es decir, el conectivo actúa de inmediato sobre la proposición más próxima a la derecha antes que cualquier otro conectivo. Ejemplo. Las proposiciones ( p) q, ( p) q, ( p) (q r), (p ( q)) ( r) se abrevian simplemente p q, p q, p (q r), (p q) r.

22 Convención notacional para eliminar paréntesis Para evitar el uso excesivo de los paréntesis adoptaremos las convenciones notacionales siguientes: 2. La conjunción, la disyunción y la disyunción excluyentes son más fuertes que la implicación y la doble implicación. Es decir,, y actúan primero que y. Ejemplo. Las proposiciones (p ( q)) ( r), ( (p ( q))) (r ( s)) se abrevian simplemente p q r, (p q) r s

23 Convención notacional para eliminar paréntesis Ejemplos. Cómo abreviar las proposiciones que hemos estudiado hasta ahora? Las proposiciones (p q) ((p q) (q p)) (p q) (p q) (p (p q)) q (p q) (p q) ((p q) (q r)) (p r) ((p q) (q r)) (p r) ((p q) (q r)) (p r) ((p q) (q r)) (p r) Se abrevian (p q) (p q) (q p) p q (p q) p (p q) q (p q) (p q) (p q) (q r) (p r) (p q) (q r) (p r) (p q) (q r) (p r) (p q) (q r) (p r)

24 Determinación de tautologías: Deducibilidad Transitiva Supongamos que p, q y r son proposiciones tales que r se deduce de q, y q se deduce de p. Entonces r se deduce de p. En otras palabras, si los condicionales p q y q r son tautologías, entonces el condicional p r es tautología. Demostración. Ya hemos probado que el condicional (p q) (q r) (p q) (2) es siempre verdadero. Entonces, dado que p q y q r son verdaderas, se sigue que p q es verdadera, de otra forma, esto es si p q fuera falso, el condicional (2) sería también falso.

25 Lógica Proposicional Determinación de tautologías: Deducibilidad Transitiva Supongamos que p, q y r son proposiciones tales que r se deduce de q, y q se deduce de p. Entonces r se deduce de p. En otras palabras, si los condicionales Ejercicio 4: Da un argumento análogo p q y q r son tautologías, entonces el condicional 1. Si p q y q r son tautologías, p r demuestra que p r es es tautología. tautología. Demostración. 2. Si p q y q r son tautologías, demuestra que p r es Ya hemos probado tautología. que el condicional (p q) (q r) (p q) (2) es siempre verdadero. Entonces, dado que p q y q r son verdaderas, se sigue que p q es verdadera, de otra forma, esto es si p q fuera falso, el condicional (2) sería también falso.

26 Lógica Proposicional Determinación de tautologías: Eliminación del bicondicional Si p y q son proposiciones lógicamente equivalentes, entonces en particular q se deduce de p y p se deduce de q. En otras palabras, si un bicondicional es tautológico, entonces los condicionales son tautológicos. p q p q y q p Demostración. Ya sabemos que la proposición compuesta (p q) (p q) (1) es siempre V, independientemente de los valores de verdad de las componentes p y q. En particular, si p y q son de hecho proposiciones tales que (p q) es V, se sigue que p q debe ser V, de lo contrario (1) sería F.

27 Las reglas básicas

28 Ley del Tercero Excluido y Ley de No Contradicción En particular tenemos las tablas, Ley del tercero excluido Ley de no contradicción p p V V F V V F F V V F V V p p V F F V F F F F V F F V Esto es, p p es una tautología (es siempre V independientemente de los valores de sus proposiciones componentes). Mientras que p p es un absurdo (es siempre F independientemente de los valores de sus proposiciones componentes).

29 Involución La ley de involución afirma que p y la doble negación p son equivalentes, es decir, p p es una proposición tautológica: p p p p p V F V V F V F V Otras leyes lógicas evidentes Son tautologías: p p p p p p V V V F V F p p V V V F V F

30 Otras utiĺısimas leyes lógicas con nombre propio Adición Es tautología: Simplificación Es tautología: p p q p q p p q p q p p q V V V V V F V V F V V V F F F V p q p q p q p V V V V V F F V F V F V F F F V

31 Otras utiĺısimas leyes lógicas con nombre propio Idempotencia de : Es tautología: p p p Idempotencia de : Es tautología: p p p p p p V V V F V F p p p V V V F V F

32 Una pequeña Ley de Simplificación-Adición Es tautología: p q p r Demostración. Los siguientes condicionales son tautológicos p q p p r simplificación adición Por transitividad se sigue que es tautología. p q p r

33 Leyes conmutativas Conmutatividad de : Es tautología: p q q p Conmutatividad de : Es tautología: p q q p p q p q q p V V V V V V F V V V F V V V V F F F V F p q p q q p V V V V V V F F V F F V F V F F F F V F

34 Leyes Conmutativas Conmutatividad de : Es tautología: (p q) (q p) p q (p q) (q p) V V V V V V F F V F F V F V F F F V V V

35 Leyes Conmutativas Conmutatividad de : Es tautología: Determinanción de tautologías (p q) (q p) 1. Si p q es tautología entonces q p es tautología. p q (p q) (q p) 2. Si p q es tautología entonces q p es tautología. V V V V V 3. Si p Vq es tautología F F entonces V q pfes tautología. F V F V F F F V V V

36 Leyes Conmutativas Conmutatividad de : Es tautología: (p q) (q p) Ejercicio 5: Responde y justifica 1. p Es q conmutativo? (p q) (q p) 2. V Es V conmutativo? V V V V F F V F F V F V F F F V V V

37 Leyes asociativas Asociatividad de : Es tautología (p q) r p (q r) p q r p q q r (p q) r p (q r) V V V V V V V V V V F V V V V V V F V V V V V V V F F V F V V V F V V V V V V V F V F V V V V V F F V F V V V V F F F F F F V F

38 Lógica Proposicional Leyes asociativas Asociatividad de : Es tautología (p q) r p (q r) Ejercicio 6: Haz una tabla p q r p q Asociatividad q r (p deq) : r p (q r) V V V V V V V V Es tautología V V F V V V V V V F V V(p q) V r p V(q r) V V V F F V F V V V F V V V V V V V F V F V V V V V F F V F V V V V F F F F F F V F

39 Convenios: Eliminación de paréntesis Acabamos de probar que las proposiciones son lógicamente equivalentes. (p q) r y p (q r) Por tanto podemos definir una fórmula para referirnos a ambas, a saber, p q r Análogamente, escribimos p q r en lugar de las proposiciones las cuales son lógicamente equivalentes. (p q) r y p (q r),

40 Convenios: Eliminación de paréntesis Acabamos de probar que las proposiciones (p q) r y p (q r) En otras palabras... son lógicamente equivalentes. Por tanto Vamos podemos a admitir definir dosuna nuevos fórmula términos, para referirnos a saber, a ambas, a saber, p q r p q r p q r para los cuales admitimos que los bicondicionales siguientes son siempre V: Análogamente, p escribimos q r (p q) r p q r (p q) r p q r p q r p (q r) en lugar de las proposiciones p q r p (q r). (p q) r y p (q r), las cuales son lógicamente equivalentes.

41 Convenios: Eliminación de paréntesis En general, si tenemos una colección finita de n > 1 proposiciones p 1, p 2,..., p n 1, p n, entonces definimos recursivamente la disyunción y conjunción de tales proposiciones, respectivamente, mediante las fórmulas siguientes, las cuales admitiremos como verdaderos en todo caso: p 1 p 2 p n (p 1 p 2 p n 1 ) p n p 1 p 2 p n (p 1 p 2 p n 1 ) p n Por ejemplo p 1 p 2 p 3 (p 1 p 2 ) p 3 p 1 p 2 p 3 p 4 (p 1 p 2 p 3 ) p 4 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 (p 1 p 2 p 3 p 4 ) p 5

42 La Reglas del Reemplazo. Primera Parte

43 Reglas del Reemplazo Supongamos que p y p son dos proposiciones equivalentes, es decir, el bicondicional p p es tautológico. Entonces las siguientes son tautologías p p p q p q p q p q Demostración. Si p y p son equivalentes tienen la misma tabla. Y por tanto, p y p tienen la misma tabla. Análogamente, los pares de proposiciones p q y p q, y p q y p q tienen la misma tabla.

44 Lógica Proposicional Ejemplo: Idempotencia Recordemos las leyes de idempotencia: Son tautologías: p p p y p p p Entonces p q p p q y p q p p q son tautologías. Demostración. Son tautologías: p q (p p) q p p q reemplazamos p por p p por definición de p p q Por transitividad del bicondicional, es tautología. p q p p q

45 Lógica Proposicional Ejemplo: Idempotencia Recordemos las leyes de idempotencia: Son tautologías: p p p y p p p Entonces p q p p q y p q p p q Ejercicio 7: Ahora repite la prueba para son tautologías. Prueba que es tautología: Demostración. p q p p q Son tautologías: p q (p p) q p p q reemplazamos p por p p por definición de p p q Por transitividad del bicondicional, es tautología. p q p p q

46 Lógica Proposicional Ejemplo: Idempotencia Recordemos las leyes de idempotencia: Son tautologías: p p p y p p p Entonces Ejercicio 8: Prueba las siguientes Leyes del Reemplazo p q p p q y p q p p q Supongamos que p y p son equivalentes y que q y q son equivalentes. son tautologías. Demuestra sin tablas que los siguientes bicondicionales son tautologías: Demostración. Son tautologías: p q (p p) q p p q p q p q p q p q reemplazamos p por p p por definición de p p q Por transitividad del bicondicional, es tautología. p q p p q

47 Ejemplo: Leyes asociativas Sean p, q, r y s proposiciones. Las proposiciones siguientes son equivalentes p q r s (p q r) s ((p q) r) s (p (q r)) s p ((q r) s) p (q (r s)) (p q) (r s) p (q r s) p (q r) s Demostración. Las equivalencias siguientes son tautologías: p q r s (p q r) s ((p q) r) s (p (q r)) s p ((q r) s) p (q (r s)) (p q) (r s) Y por otro lado, p (q r s) p ((q r) s) p (q r) s definición definición, reemplazo ley asociativa de, reemplazo ley asociativa de ley asociativa de, reemplazo ley asociativa de definición, reemplazo definición

48 Lógica Proposicional Ejemplo: Leyes asociativas Sean p, q, r y s proposiciones. Las proposiciones siguientes son equivalentes p q r s (p (q r)) s (p q r) s p ((q r) s) Ejercicio ((p q) 9: r) Ahora s repite la pprueba (q (r para s)) (p q) (r s) p (q r s) p (q r) s Demostración. Prueba que las proposiciones siguientes son equivalentes Las equivalencias siguientes son tautologías: p q r s (p (q r)) s (p q) (r s) (p q r) s definición (p q r) s ((p q) pr) ((q s r) s) p (q r s) definición, reemplazo ((p q) r) s (p (q r)) p (q s (r s)) ley asociativapde, (qreemplazo r) s p ((q r) s) ley asociativa de p (q (r s)) ley asociativa de, reemplazo (p q) (r s) ley asociativa de Y por otro lado, p (q r s) p ((q r) s) p (q r) s definición, reemplazo definición

49 Leyes de De Morgan

50 Las Leyes de De Morgan Las proposiciones (p q) p q (p q) p q (1) (2) son equivalencias lógicas. Tabla de la primera Ley de De Morgan (1): p q p q p q (p q) p q V V F F V F V F V F F V F V V V F V V F F V V V F F V V F V V V La primera Ley de De Morgan dice que la negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.

51 Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse también una tabla. O bien procedemos como sigue: Son tautologías, ( p q) ( p q) De Morgan (1) (p q) involución y reemplazo Así que por transitividad y conmutatividad del bicondicional, el siguiente bicondicional es tautológico: ( p q) (p q). Por lo tanto, los bicondicionales siguientes son tautológicas: (p q) ( p q) ( p q) reemplazo involución. Nuevamente por transitividad del bicondicional, el siguiente bicondicional es tautológico: (p q) ( p q). La segunda Ley de De Morgan dice que la negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.

52 Equivalencias de

53 Equivalencias de Son tautologías: (p q) (p q) (p q) p q (1) (2) Para (1) hacemos una tabla: p q q (p q) (p q) p q V V F V V V F V F V F V F V F V F V V V F F F V V V V F Probar una implicación p q, es equivalente a probar la negación (p q).

54 Para la equivalencia (2): (p q) ( p q) podemos también usar una tabla. O también podemos proceder como sigue: Por la primera de las equivalencias de probada en la tabla anterior, la primera ley de De Morgan e involución, las dobles implicaciones que siguen son tautológicas: (p q) (p q) equiv. (1) de p q De Morgan (1) p q involución. Esto es, p q y p q son equivalentes (por transitividad). Probar una implicación p q, es equivalente a probar la disyunción p q.

55 Cómo negar? Una consecuencia importante de la primera de estas equivalencias es que proporciona una fórmula para negar : Es tautología (p q) p q. Demostración. Son tautologías, (p q) (p q) p q primera equivalencia de involución. Por transitividad, (p q) p q es tautología. Si queremos probar que una implicación p q es falsa, debemos probar que p q es verdadera

56 Ley del Contrarecíproco

57 Lógica Proposicional Consecuencias importantes: Ley del contrarecíproco Es tautología: (p q) ( q p) Demostración. Los bicondicionales siguientes son tautológicos: ( p q ) (p q) equiv. (1) de ( q p) ( q p) ( q p ) conmutatividad de involución equiv. (1) de Por tanstividad, es tautología. (p q) ( q p) Probar que un condicional p q es V es equivalente a probar que el condicional recíproco q p es V

58 Corolario Es tautología: (p q) ( p q) Demostración. Los bicondicionales siguientes son tautológicos (p q) ((p q) (q p)) primera equivalencia de (( q p) ( p q)) ( q p) ley del contra-recíproco primera equivalencia de ( p q) conmutatividad de. Por transitividad, es tautología. (p q) ( p q) El valor de no se altera con la negación de sus componentes

59 Leyes del Reemplazo. Segunda Parte

60 Otras Leyes del Reemplazo Supongamos que p y p son proposiciones equivalentes, es decir, el bicondicional p p es tuatológico. Entonces son tautologías (p q) ( p q) (p q) ( p q) (q p) (q p )

61 Otras Leyes del Reemplazo Supongamos Ejercicio que10: p y Otras p son proposiciones Leyes del Reemplazo equivalentes, es decir, el bicondicional p p Supongamos que p y p son proposiciones tales que p se deduce de p, es es tuatológico. decir, el condicional p p Entonces son tautologías es tuatológico. Demuestra que (p q) ( p q) (p q) p ( p p q) (q p) (q p ) es tautológico. Interpreta. Es cierto que p p es tautológico? Justifica.

62 Otras Leyes del Reemplazo Supongamos Ejercicio que11: p y Otras p son proposiciones Leyes del Reemplazo equivalentes, es decir, el bicondicional p p Supongamos que p y p son proposiciones tales que p se deduce de p, es es tuatológico. decir, el condicional p p Entonces son tautologías es tuatológico. Demuestra (p las tautologías q) ( p q) (p p q) q ( p p q q) (q p) (q p ) p q p q

63 Ejercicio 12: Otras Leyes del Reemplazo Otras Leyes del Reemplazo Supongamos que p y p son proposiciones tales que p se deduce de p, es decir, el Supongamos condicionalque siguiente p y p es sontuatológico: proposiciones equivalentes, es decir, el bicondicional p p. es Demuestra tuatológico. que los siguientes condicionales son tautologías: Entonces son tautologías ( p q) (p q) (p (q q) p) ( p (q q) p) Interpreta. (p q) ( p q) Es cierto que los condicionales(q p) (q p ) (p q) ( p q) (q p) (q p) son tautológicos? Justifica

64 Leyes Distributivas

65 Leyes distributivas Son tautologías: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (1) (2) Para (1) hacemos una tabla: p q r p q p r q r p (q r) (p q) (p r) V V V V V V V V V V V F V F V V V V V F V F V V V V V V F F F F F F V F F V V F F V F V F F V F F F V F V F F F V F F V F V F F F F F F F F V F

66 Leyes distributivas Son tautologías: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (1) (2) Para (2) procedemos como sigue: p (q r) p ( q r) involución p ( q r) De Morgan (2) ( p ( q r)) De Morgan (1) (( p q) ( p r)) ley distributiva (1) ( (p q) (p r)) De Morgan (2) (p q) (p r) De Morgan (2) (p q) (p r) involución Por transitividad, p (q r) (p q) (p r) es tautología, como queríamos ver.

67 Lógica Proposicional Leyes distributivas Son tautologías: Leyes distributivas por la derecha p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) Hay que observar que lo que probamos son leyes distributivas por la Para (2) izquierda. procedemos Pero es como muysigue: fácil deducir que también se valen por la derecha, usando conmutatividad: p (q r) p ( q r) involución p (p ( q q) r r) r (p q) De Morgan (2) (1) (2) ( p ( q r)) (r p) (r q) De Morgan (1) (( p q) ( p r)) (p r) (q r). ley distributiva (1) ( (p q) (p r)) De Morgan (2) Por transitividad, (p q) (p r) De Morgan (2) (p q) (p r) (p q) r (p r) (q r). involución Por transitividad, es tautología. p (q r) (p q) (p r) es tautología, como queríamos ver.

68 Lógica Proposicional Leyes distributivas Son tautologías: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (1) (2) Para (2) procedemos como sigue: Ejercicio 13: Prueba el otro caso p (q r) p ( q r) involución p ( q r) De Morgan (2) Demuestra que es tautología ( p ( q r)) De Morgan (1) (( p (p q) q) r ( p ((p r)) (q r)). ley distributiva (1) ( (p q) (p r)) De Morgan (2) (p q) (p r) De Morgan (2) (p q) (p r) involución Por transitividad, p (q r) (p q) (p r) es tautología, como queríamos ver.

69 Identidad y Dominación

70 Leyes de identidad Conjunción con una tautología: Es tautología Disyunción con un absurdo: Es tautología: (p p) q q (p p) q q (p p) q q V V F V V V V V V F F F V F F V V V V V V F V V F F V F (p p) q q V F F V V V V V F F F F V F F F V V V V V F F V F F V F

71 Leyes de identidad Conjunción con una tautología: Disyunción con un absurdo: Es tautología Ejercicio 14: Prueba las leyes de Es dominación tautología: (p p) q q Conjunción con una absurdo: Es tautología (p p) q q V V F V V V V (p p) q p p V V F F F V F F V V V V V V F V V F F V F (p p) q q Disyunción con una tautología: Es tautología: (p p) q q V F F V V V V (p p) q p p V F F F F V F F F V V V V V F F V F F V F

72 Ejemplo: Primera Ley del Silogismo Es tuatología: (p q) ((r p) (r q)) Demostración. Las siguientes condicionales son tautológicos: (p q) p q equivalencia (2) de ( p r) q ((r r) ( p r)) q ((r p) r) q (r p) ( r q) (r p) (r q) ((r p) (r q)) adición identidad ley distributiva ley asociativa negación de, equivalencia (2) de equivalencia (2) de Por transitividad, (p q) ((r p) (r q)) es tautología, como queríamos ver.

73 Y una consecuencia sin esfuerzo: Segunda Ley del Silogismo Es tautología (p q) ((q r) (p r)) Demostración. Los condicionales siguientes son tautológicos (p q) ( q p) contrarecíproco (( r q) ( r p)) ((q r) (p r)) 1ra Ley del Silogismo contrarecíproco Por transitividad, (p q) ((q r) (p r)) es tautología, como queríamos ver.

74 Los conectivos y

75 Lógica Proposicional Otra caracterización del bicondicional Es tautología: (p q) ((p q) (p q)) Demostración. Los bicondicionales siguientes son tautológicos: (p q) (p q) (q p) primera equiv. de ( p q) ( q p) (( p q) q) (( p q) p)) ( p q) (q q) ( p p) (q p) ( p q) (q p) ( p q) (p q) equiv. (2) de se distribuye sobre se distribuye sobre, ley asociativa de (q q) y ( p p) son absurdos (identidad) conmutatividad de (p q) (p q) De Morgan (1) ((p q) (p q)) equiv. (2) de

76 Una equivalencia inesperada (o quizá no tanto) Es tautología: (p q) (p q) Demostración. Los bicondicionales siguientes son tautológicos: (p q) (p q) ( q p) primera equiv. de ( p q) ( q p) (p q) (q p) (p q) (p q) (p q p q) (p q) equiv. (2) de De Morgan (1), involución conm. de y neg. de segunda equiv. de

77 Sorprendente! Las iteraciones del bicondicional y la diferencia simétrica son equivalentes. En otras palabras, la proposición siguiente es tautología: ((p q) r) ((p q) r) Demostración. Los bicondicionales siguientes son tautológicos ((p q) r) ( (p q) r) ((p q) r) ((p q) r) ((p q) r) no se altera con las negación de sus componentes es equivalente a la negación de anterior es equivalente a la negación de

78 Internet es tu amigo

79 Truth Table Tool Hay algunos sitios que generan tablas de verdad. Algunas de las más destacadas son las siguientes: Truth table tool de la clase CS 103 Mathematical of Computing, de la Stanford University.

80 Truth Table Generator Hay algunos sitios que generan tablas de verdad. Algunas de las más detacadas son las siguientes: Truth table generator, desarrollada por Michael Rieppel, profesor adjunto en el Philosophy Department at Syracuse University.

81 Epílogo

82 Qué deberíamos preguntar? 1. Cuántos conectivos binarios hay? 2. Hay conectivos ternarios? Cuántos? 3. Todavía más, si entendemos por conectivo n-ario (con n un entero posito arbitrario) como una función tal que asigna únicamente dos valores de verdad a n proposiciones, cuántos conectivos n-arios hay? Y tales conectivos, sirven de algo? No podemos contestar en este curso estas y otras preguntas que nos obligarían a extendernos mucho más de lo debido. Baste decir que, puede demostrarse que es suficiente (más que suficiente de hecho), estudiar la lista de los pocos conectivos que hemos revisado aquí para tener una teoría de la lógica (proposicional) digamos completa.