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Transcripción

1 qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopa PROGRAMACION DE METODOS NUMERICOS sdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf UNIDAD 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 01/03/2017 ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj M.C. ADA PAULINA MORA GONZALEZ klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz xcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwe rtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjk lzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq

2 UNIDAD 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES En la unidad anterior se determinaba el valor de x que satisface a una sola ecuación f(x)=0. Ahora se trata el caso de determinar los valores x1, x2, x3.xn, que satisfaga simultáneamente un conjunto de ecuaciones. f ( x, x,... x ) f ( x, x,... x ) f ( x, x,... x ) 0 n 1 2 En esta son de la FORMA GENERAL n n n Tales sistemas pueden ser tanto lineales como no lineales. unidad se trata de ecuaciones algebraicas lineales que a x + a x a x c n n 1 a x + a x a x c n n a x + a x a x c Donde a= son n1 1 n2 2 nn n constantes. c= son constantes. n= es el numero de ecuaciones. n coeficientes La resolución de sistemas de casi cualquier número de ecuaciones es una realidad hoy gracias a las computadoras, lo cual proporciona un atractivo especial a las técnicas de soluciones directas e iterativas. Sin embargo, todo lo anterior requiere una revisión de los conceptos básicos sobre matrices, ortogonalizacion de vectores y la existencia y unicidad de las soluciones. M.E. Ada Paulina Mora González Página 1

3 MATRICES Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas como: a a + a a n + a a n... a + a a m1 m2 mn Los elementos a son números reales. Al conjunto horizontal de elementos se le llama renglón y al conjunto vertical se le llama columna. Al primer subíndice denota el número de renglón y el segundo subíndice denota la columna por ejemplo: a 21 está en el renglón 2 y columna 1. Cuando se hace referencia a una matriz es conveniente especificar el número de filas (m) y columnas(n), así la expresión m x n, indica que se trata de un matriz con m y n dimensiones. Las matrices con dimensión m=1 en el renglón como: [B]= [b1, b2,..bn] se le llama vectores de renglón. Las matrices con dimensión n=1 en la columna, como: c1 [C]= c2 cm TIPOS DE MATRICES A las matrices donde m=n se les llama matrices cuadradas. Porque tienen el mismo número de filas y columnas. Por ejemplo, una matriz 4x4 es a a a a a a a a a a a a a a a a M.E. Ada Paulina Mora González Página 2

4 Una matriz diagonal es una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son iguales a cero, como en [A]= a 11 a 22 a 33 a 44 Una matriz identidad es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son iguales a 1, como en: [I]= El símbolo [I] denota la matriz identidad. Una matriz triangular superior es aquella donde todos sus elementos bajo la diagonal principal son cero, como: a a a a a a M.E. Ada Paulina Mora González Página 3

5 Una matriz triangular inferior es aquella donde todos sus elementos arriba de la diagonal principal son ceros, como: a11 a21 a22 a a a REGLAS DE OPERACIÓN SOBRE MATRICES Para sumar dos matrices A y B han de ser de las mismas dimensiones; la suma es una matriz C de iguales dimensiones que A y B, y sus elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de A y B. Ejemplos: Sumar las matrices y = = MULTIIPLICACION DE MATRICES POR UN ESCALAR. Se puede formar el producto de un número real y una matriz. El resultado denotado de A, es la matriz cuyos elementos de A multiplicados por. a a a a a a M.E. Ada Paulina Mora González Página 4

6 Ejemplo: Multiplicar la matriz A α= 2 PROGRAMACION DE METODOS NUMERICOS A= A MULTIPLICACION DE MATRICES Al producto escalar de a y b, esta dado por a*b, necesitamos que a y b tengan el mismo número de componentes. (a1, a2,.., an) * b1 b2.. bn = a1 b1 + a2 b an bn Ejemplo: 1. Sean a= Calcule a*b y b = Solución a*b = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(4)= = Sean a= (2, -3, 4, -6) y b = Calcule a*b 0 3 Solución a*b = (2)(1) + (-3)(2) +(4)(0) + (-6)(3)= = -22 M.E. Ada Paulina Mora González Página 5

7 3. Suponga que un fabricante produce 4 artículos. La demanda para los artículos está dada por el vector de demanda d= (30, 20, 40, 10). Los precios unitarios para los artículos dados por el vector de precios p= ($20, $15, $18, $40). Si satisface su demanda, Cuánto dinero recibirá el fabricante?. Solución: La demanda del primer artículo es de 30 y el fabricante recibe $20 por cada unidad vendida del primer artículo. Por lo tanto recibe, (30)(20) = $600 por la venta del primer artículo. Continuando con este razonamiento vemos que el total de dinero será de d*p. Así sus entradas son (30)(20) + (20)(15) + (40)(18) + (10)(40) = = $2020. Producto de dos matrices. Sea A=(aij) una matriz de m x n cuyo i-esimo renglón denotamos por ai. Sea B =(bij) una matriz de n x p cuya j-esima columna denotamos por bj. Entonces el producto de A y B es una matriz C= (cij) de m x p. donde cij= ai * bj Dos matrices pueden multiplicarse solo si el numero de columnas de la primera es igual al número de renglones de la segunda. A= y B= CALCULE A*B 3 Entonces c11= ( 1 3) * = 3+15 = C12= ( 1 3 ) * = = C21= (-2 4) * = = C22= (-2 4) * = = 28 6 C= Matlab A=[1 3; -2 4]; B=[3-2; 5 6]; disp('c= A*B'); disp(a*b) disp('c=b*a'); disp(b*a) PROGRAMA EN MATLAB A= [1 3; -2 4] B= [3-2; 5 6] disp( C= A*B ) C= A*B disp( C = B*A ) C=B*A M.E. Ada Paulina Mora González Página 6

8 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Objetivo: El estudiante debe ser capaz de resolver la mayor parte de problemas que impliquen utilizar ecuaciones algebraicas lineales y poder visualizar sus aplicaciones. Y debe dominar varias técnicas y valorar la confiabilidad de los mismos. Eliminación de incógnitas La eliminación de incógnitas es un esquema algebraico donde se puede ilustrar para un conjunto de ecuaciones a x + a x a x c n n 1 a x + a x a x c n n 2 Donde aij y bj, son números dados. Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de una línea recta. Una solución al sistema es un par de números denotados (x,y). Un sistema que no tiene solución se dice que es inconsistente. Si las dos rectas no son paralelas entonces se intersectan en un solo punto y se dice que tiene una solución; si son paralelas entonces nunca se intersectan o son la misma recta se dice que no tienen solución o tienen un numero infinito de soluciones. Solución única A) Rectas no paralelas; un punto de intersección. M.E. Ada Paulina Mora González Página 7

9 Sin solución. B) Rectas paralelas; sin puntos de intersección. Numero infinito de soluciones. C) Rectas que coinciden, numero infinito de puntos de intersección. La estrategia básica es multiplicar las ecuaciones por constantes para que alguna de las incógnitas se elimine al combinar las ecuaciones. El resultado es entonces una ecuación que se pueda resolver para la incógnita restante. Este valor se puede sustituir en alguna de las ecuaciones originales para calcular la otra incógnita. M.E. Ada Paulina Mora González Página 8

10 Por ejemplo si multiplicamos la primera ecuación por a21 y la segunda ecuación por a11 tendremos: a a x a a x c a a a x a a x c a Restando ahora la segunda ecuación por la primera se elimina el término x2, de las ecuaciones para obtener: x 2 a c a a a c a a Este último resultado se puede sustituir en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de x1. La eliminación de incógnitas se puede extender a sistemas grandes de ecuaciones, teniendo en cuenta algunas reglas básicas de operación. Este método extendido se denomina ELIMINACION GAUSSIANA, donde es fácilmente programable. ELIMINACION GAUSSIANA El procedimiento consta de dos pasos: 1. Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones, se despea el valor de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás para las demás incógnitas. La eliminación gaussiana es una de las técnicas más comunes. El procedimiento está planeado para resolver un conjunto de n ecuaciones. a x + a x a x c n n 1 a x + a x a x c n n a x + a x a x c n1 1 n2 2 nn n M.E. Ada Paulina Mora González Página 9 n

11 Eliminación hacia delante de incógnitas. La primera fase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior. El paso inicial consiste en dividir la primera ecuación por el coeficiente de la primera incógnita a 11 : a a n X X... X n a11 a11 a11 c A este procedimiento se le conoce como normalización y tiene como finalidad convertir el primer coeficiente de la ecuación normalizada en 1. En seguida se multiplica la ecuación normalizada por el primer coeficiente de la segunda ecuación, a 21 a x a a X... a a n X a n 21 a11 a11 a11 Nótese que el primer término de la primera ecuación es idéntico al primer término de la segunda ecuación. Por consiguiente se puede eliminar la primera incógnita de la segunda ecuación restando la ecuación para obtener: c Ó a a n a a X... a a X c a n 21 n 2 21 a11 a11 a11 a' X... a' X c' n n 2 En donde el apostrofe indica que los elementos han cambiado su valores originales. El proceso se repite hasta que se elimina la primera incógnita de las ecuaciones restantes. La ecuación normalizada se multiplica por a31 y el resultado se resta de la tercera ecuación para obtener: c M.E. Ada Paulina Mora González Página 10

12 a' X a' X... a' X c' n n 3 Se repite el proceso para eliminar la segunda incógnita de las ecuaciones a partir de la tercera ecuación. Para hacerlo, se usa la segunda ecuación normalizándola multiplicando por el primer coeficiente de la tercera ecuación, a32 y restando este resultado de la tercera ecuación, se elimina la segunda incógnita x2. Se sigue eliminando de este modo la segunda incógnita de las restantes ecuaciones y luego se normaliza la tercera ecuación y se elimina la tercera incógnita desde la cuarta ecuación en adelante. El procedimiento se puede continuar hasta llegar a la (n-1)-esima ecuación para eliminar la incógnita Xn-1 de la n-esima ecuación. En este momento el sistema se transforma en un sistema triangular superior. a X a X a X... a X c n n 1 a ' X a ' X.. a ' X c ' n n 2 a ' X.. a ' X c '' n n 3 a (n-1) ( n 1) nn Xn c n SUSTITUCION HACIA ATRÁS La ecuación última del sistema anterior se puede resolver para Xn: a X (n-1) ( n1) nn n n n X c a c ( n1) n (n-1) nn M.E. Ada Paulina Mora González Página 11

13 Ejemplo: Por el método de Gauss resolver la siguiente matriz R1+R R1+R R2+R (1/4) R R2+R3 R2 R3 (1/3)R Sustitución hacia atrás: X3=1 X2-X3=-4 X2= -4+X3 X2= -4+1 = -3 X1+X3= 3 X1= 3 X3 X1=3 1= 2 X1=2, X2= -3, X3= 1 Algoritmo Matlab: %Método de Gauss en matriz de 3x3 format short A=input('Dame la matriz en corchete por filas: ') A(1,:)=A(1,:)/A(1,1) A(2,:)=A(2,:)-A(2,1)*A(1,:) A(3,:)=A(3,:)-A(3,1)*A(1,:) %COLUMNA 1 LISTA A(2,:)=A(2,:)/A(2,2) A(3,:)=A(3,:)-A(3,2)*A(2,:) %COLUMNA 2 LISTA A(3,:)=A(3,:)/A(3,3) disp('las INCOGNITAS SON: ') x3=a(3,4); x2=a(2,4)-a(2,3)*x3; x1=a(1,4)-a(1,2)*x2-a(1,3)*x3; disp(' x3 x2 x1 '); disp([x3 x2 x1]) M.E. Ada Paulina Mora González Página 12

14 Resuelva por el método de Gauss para encontrar las soluciones de los sistemas dados: R1 (-4)+R2 A = R1 (-2)+R3 A = R2 (1/9) A = /9-40/ R2 (-3)+R3 A = /9-40/ /3 4/3 R3 (3/4) A = /9-40/ SOLUCION UNICA X3=1 X2-13/9X3= -40/9 X2= -40/9+ 13/9(1)= X2= -3 X1-2X2+3X3= 11 X1= 11+2(-3)-3(1) X1=2 M.E. Ada Paulina Mora González Página 13

15 R1 (-1/2) A =1-1/ R1 (-5)+R2 A = 1-1/ / R1 (-3)+R3 A = 1-1/ / / R2 (2/5) A =1-1/ /5 58/5 0 7/ R2 (-7/2)+R3 A =1-1/ /5 58/ /5-83/5 R3 (-5/121) A =1-1/ /5 58/ /121 SOLUCION UNICA X3= 83/121 X2+ (46/5) X3= 58/5 X2= (58/5)-(46/5) (83/121) X2= 640/121 X1-(1/2) X2-3X3 = -9 X1= -9 + (1/2) (640/121)+3(83/121) X1= -520/121 M.E. Ada Paulina Mora González Página 14

16 R1 (1/3) A = R1 (-2)+R2 A = R1 (1)+R3 A = R2 (-1/9) A = / R2 (-18)+R3 A = / Hasta aquí se puede llegar; así que se escribe: X3 X2=8/9X3 X1=3-2X2+2X3 X1= 3-2(8/9) X3+ 2X3 X1= 3+ 2/9X3 (Para cualquier valor de X3 quedaría: Si X3=10 X2=80/9 X1=47/9 TIENE INFINITAS SOLUCIONES M.E. Ada Paulina Mora González Página 15

17 R1 (1/3) A = R1 (-2)+R2 A = R1 (-5)+R3 A = R2 (-1/9) A = / R2 (-18)+R3 A = / X3= -23 es imposible ya que EL SISTEMA NO TIENE SOLUCION. El sistema es inconsistente. M.E. Ada Paulina Mora González Página 16

18 R1 (-4)+R2 A = R1 (-2)+R3 A = R2 (-1/5) A = /5 24/ R3 (-1) A = /5 24/ SOLUCION UNICA X3= 14 X2 9/5X3= 24/5 X2= 24/5 + (9/5) (14) X2= 30 X1+ X2 X3 =7 X1= 7 X2 + X3 X1= X1= -9 M.E. Ada Paulina Mora González Página 17

19 R1 (-4)+R2 A = R1 (-6)+R3 A = R2 (-1/5) A = /5 24/ R2 (5)+R3 A = /5 24/ Hasta aquí se puede llegar; así que se escribe: X3 X2=24/5+ 9/5X3 X1=7-X2+X3 X1=7- ((24/5)+ (9/5) X3) + X3 X1= 11/5 4/5X3 (Para cualquier valor de X3 quedaría: Si X3=3 X2=51/5 X1= -1/5 TIENE INFINITAS SOLUCIONES M.E. Ada Paulina Mora González Página 18

20 R1 (-4)+R2 A = R1 (-6)+R3 A = R2 (-1/5) A = /5 24/ R2 (5)+R3 A = /5 24/ X3= -23 es imposible ya que EL SISTEMA NO TIENE SOLUCION. El sistema es inconsistente. M.E. Ada Paulina Mora González Página 19

21 R1 (-4)+R2 A = R1 (-2)+R3 A = R2 (1/9) A = / R2 (-3)+R3 A = / /3 0 R3(3/4) A = / X3=0 X2= 13/9X3 X2= 13/9(0) X2=0 X1= 2X2-3X3 X1= 0 M.E. Ada Paulina Mora González Página 20

22 Para iniciar una matriz se usa el pivoteo parcial que se selecciona el componente de la primera columna con el valor absoluto mayor, a este se le llama pivote. Se rearreaglan los renglones y empieza hacer el procedimiento de reducción de renglones. Se puede hacer el pivoteo en cada uno de los renglones consecuentes con la segunda, tercera columna sucesivamente. R3 R R1 (1/2) A = R1 (-1)+R2 A = R2 (-1/2) A = / R2 (-2)+R3 A = / R3 (1/3) A = / /3 SOLUCION UNICA X3= 11/3 X2= -5/2 X3 X2= -37/6 X1= -1-2X2 X1= -1-2(-37/6) = 34/3 M.E. Ada Paulina Mora González Página 21

23 MATRICES QUE NO SON CUADARADAS APLICANDO EL METODO DE GAUSS EN LA SOLUCION DE LOS SISTEMAS: R1 (-3) +R2 A= R2 (-1/2) A= /2 5/2 R2 (-2)+R1 A= /2 5/2 INFINITAS SOLUCIONES X2= 5/2 +1/2X3 X1= -1 X3 Es x3 una incógnita arbitraria. Se puede escoger cualquier valor. Si x3= -1 La solución seria: X3= -1 X2= 2 X1= -1 M.E. Ada Paulina Mora González Página 22

24 R1 (2)+R2 A= TIENE INFINITAS SOLUCIONES Hasta aquí se puede llegar; así que se escribe: (Para cualquier valor de X3, X2 quedaría: X3, X2 pueden tomar cualquier valor X1= 4-2X2+ 4X3 Si x2=2 y X3= 4 X1= 16 (16, 2,4) R1 (2)+R2 A= X3= -1 es imposible ya que 0 EL SISTEMA NO TIENE SOLUCION. El sistema es inconsistente. M.E. Ada Paulina Mora González Página 23

25 R1 (1/2) R1 (-1)+R2 R1 (3)+R R2 (-1/3) R2 (-11)+R3 R2 (-3)+R / / R3 (-3/13) / /13-45/13 SOLUCION INFINITA X4 es arbitraria puede tomar cualquier valor. X3= -45/13 +9/13X4 X2= -1 +1/3 x3 X2= /3(-45/13 + 9/13x14) X2= -28/13 +3/13X4 X1= 5 +X3 X4 X1= 5 + (-45/13 +9/13X4) X4 X1= 20/13-4/13X4 SI X4 = -2 X3=-63/13 X2= -34/13 X1= 28/13 (28/13, -34/13, -63/13, -2) M.E. Ada Paulina Mora González Página 24

26 DIFICULTADES EN LOS METODOS DE ELIMINACION Hay muchos sistemas de ecuaciones que se pueden resolver con la eliminación de Gauss simple, existen algunas dificultades. DIVISION ENTRE CERO Durante las fases de eliminación y sustitución hacia atrás es posible que ocurra una división entre cero. También se pueden presentar problemas cuando un coeficiente esta muy cercano a cero. La técnica de pivoteo se ha desarrollado para evitar en forma parcial estos problemas. ERRORES DE REDONDEO Cuando se usan números decimales, existe una pequeña discrepancia en el resultado. Se debe al uso de cifras significativas que se manejan durante los cálculos. Si se usan mas cifras significativas, el error en los resultados se reduce considerablemente. SISTEMAS MAL CONDICIONADOS Los sistemas bien condicionados son aquellos en los que un pequeño cambio en uno o más coeficientes provoca un cambio similarmente pequeño en la solución. Y los sistemas mal condicionados son aquellos en donde pequeños cambios en los coeficientes generan grandes cambios en la solución. M.E. Ada Paulina Mora González Página 25

27 METODO DE GAUSS- JORDAN Este método es una variación de la eliminación de Gauss. La principal diferencia es que cuando una incógnita se elimina en el método de Gauss-Jordán, esta se elimina de todas las otras ecuaciones. Además todos los renglones se normalizan al dividirlos entre su elemento pivote. De esta forma, el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de una triangular. No es necesario usar la sustitución hacia atrás para obtener la solución. Aunque el método de Gauss-Jordán y de eliminación gaussiana puede parecer casi idéntico, el primero requiere el 50% más de operaciones. Por lo tanto la eliminación gaussiana es el método por excelencia para la obtención de soluciones exactas de los sistemas de ecuaciones lineales. En un sistema de 3 ecuaciones lineales como el que se muestra se hizo: 1. Se dividió la primera ecuación para hacer el coeficiente de x1 en ella, igual a 1-2. Se eliminaron los términos en x1 de la segunda y tercera ecuaciones. Esto es, los coeficientes de estos términos se hicieron cero multiplicando la primera ecuación por los números adecuados y sumándola a la segunda y tercera ecuación. 3. Se dividió la segunda ecuación para hacer el coeficiente x2 igual a 1 y después se uso la segunda ecuación para eliminar los términos en x2 de la primera y tercera ecuación. 4. Se dividió la tercera ecuación para hacer el coeficiente de x3 igual a 1 y después se uso esta tercera ecuación para eliminar los términos en x3 de la primera y segunda ecuación. M.E. Ada Paulina Mora González Página 26

28 EJEMPLO: Use el método de Gauss-Jordán para resolver el problema: [ ] -4R1+R Solución: -2R1+R X1= -9, X2= 30, X3= 14 (-1/5)R /5 11/5-1R2+R /5 24/ (-4/5)R3+R (9/5)R3+R R Algoritmo en Matlab: %Método de Gauss-Jordán en matriz de 3x3 format rat A=input('Dame la matriz en corchete por filas: ') %HACER UNO EL PRIMER TERMINO A(1,1) Y HACER CEROS LOS TERMINOSA(2,1) Y A(3,1) A(1,:)=A(1,:)/A(1,1) A(2,:)=A(2,:)-A(2,1)*A(1,:) A(3,:)=A(3,:)-A(3,1)*A(1,:) %HACER UNO EL TERMINO A(2,2) Y HACER CEROS LOS TERMINOSA(1,2) Y A(3,2) A(2,:)=A(2,:)/A(2,2) A(1,:)=A(1,:)-A(1,2)*A(2,:) A(3,:)=A(3,:)-A(3,2)*A(2,:) %HACER UNO EL TERCER TERMINO A(3,3) Y HACER CEROS LOS TERMINOSA(1,3) Y A(2,3) A(3,:)=A(3,:)/A(3,3) A(1,:)=A(1,:)-A(1,3)*A(3,:) A(2,:)=A(2,:)-A(2,3)*A(3,:) M.E. Ada Paulina Mora González Página 27

29 EJEMPLO DE APLICACIONES Ejemplo 1 Suponga que un fabricante produce 4 artículos. La demanda para los artículos está dada por el vector de demanda d= (30, 20, 40, 10). Los precios unitarios para los artículos dados por el vector de precios p= ($20, $15, $18, $40). Si satisface su demanda, Cuánto dinero recibirá el fabricante?. Solución: La demanda del primer artículo es de 30 y el fabricante recibe $20 por cada unidad vendida del primer artículo. Por lo tanto recibe, (30)(20) = $600 por la venta del primer artículo. Continuando con este razonamiento vemos que el total de dinero será de d*p. Así sus entradas son (30)(20) + (20)(15) + (40)(18) + (10)(40) = = $2020. Ejemplo 2 Un departamento de pesca y caza del estado proporciona 3 tipos de comida a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del 2 y 5 del 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del 3. Cada semana se proporciona al lago unidades de alimento 1, unidades del alimento 2 y del 3. Si se supone que los peces comen todo el alimento. Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago? Solución: Sean x1, x2, y x3 el numero de peces de cada especie que hay en el lago. Utilizando la información del problema, se observa que x1 peces de la especie 1 consumen x1 unidades del alimento 1, x2 peces de la especie 2 consumen 3x2 del alimento 1. Entonces x1 + 3x2 + 2x3 = = suministro total por semana del alimento 1. Si se obtiene una ecuación similar para los otros dos alimentos se llega a: x 3x 2x x 4x x x 5x 5x M.E. Ada Paulina Mora González Página 28

30 Después de resolver se obtiene R1(-1)+R2 R1(-2)+R R2(-3) + R1 R2 + R Se tiene un número infinito de soluciones X1= x3 X2= x <x3< 8000 M.E. Ada Paulina Mora González Página 29

31 Un ingeniero supervisa la producción de 4 tipos de computadoras. Se requieren 4 clases de recursos: horas/hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos; en la producción. Se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadora. Si se dispone diariamente de 504 horas / hombre, 1970kg de metal, 970 kg de plástico y 601 componentes electrónicos. Cuántas computadoras de cada tipo se puede construir por día? Cuál seria la ganancia por cada computadora producida. Y el total de ganancia? Computadora Horas-hombre Metales kg/computadora Plásticos kg/computad. Componentes, u/computadora La cantidad producida de cada computadora esta restringida al total de recursos disponibles en cada categoría diariamente. Estos recursos totales se distribuyen entre los 4 tipos de computadoras. Sea x1, x2, x3, x4 la cantidad total de computadoras producidas diariamente de cada clase. Se sabe que la cantidad total de horas/hombre es de 504. Por lo tanto, la suma de las distribuciones de horas-hombres en la producción de cada uno de las computadoras debe ser menor o igual a 504. Ganancias por cada computadora 3x 4x 7x 20x En los recursos de material quedaria: 20x 25x 40x 50x x 15x 20x 22x x 8x 10x 15x Computad. $ M.E. Ada Paulina Mora González Página 30

32 Solución con el Algoritmo en Matlab: %Método de Gauss-Jordán en matriz de 4x4 format short B=input('Dame la matriz en corchete por filas') s=length(b) if s==5 B(1,:)=B(1,:)/B(1,1) B(2,:)=B(2,:)-B(2,1)*B(1,:) B(3,:)=B(3,:)-B(3,1)*B(1,:) B(4,:)=B(4,:)-B(4,1)*B(1,:) %COLUMNA 1 LISTA B(2,:)=B(2,:)/B(2,2) B(1,:)=B(1,:)-B(1,2)*B(2,:) B(3,:)=B(3,:)-B(3,2)*B(2,:) B(4,:)=B(4,:)-B(4,2)*B(2,:) %COLUMNA 2 LISTA B(3,:)=B(3,:)/B(3,3) B(1,:)=B(1,:)-B(1,3)*B(3,:) B(2,:)=B(2,:)-B(2,3)*B(3,:) B(4,:)=B(4,:)-B(4,3)*B(3,:) %COLUMNA 3 LISTA B(4,:)=B(4,:)/B(4,4) B(1,:)=B(1,:)-B(1,4)*B(4,:) B(2,:)=B(2,:)-B(2,4)*B(4,:) B(3,:)=B(3,:)-B(3,4)*B(4,:) else disp('la matriz original no es de 4x4') end M.E. Ada Paulina Mora González Página 31

33 B = B = 1 4/3 7/3 20/ B = 1 4/3 7/3 20/ /3-20/3-250/ B = 1 4/3 7/3 20/ /3-20/3-250/ /3-10/3-134/ B = 1 4/3 7/3 20/ /3-20/3-250/ /3-10/3-134/ /3-40/3-155/ B = 1 4/3 7/3 20/ /3-10/3-134/ /3-40/3-155/ B = /3-10/3-134/ /3-40/3-155/ B = / B = / / B = / / / B = / / / / B = / / / B = / / B = / B = B = /3-40/3-155/ B = M.E. Ada Paulina Mora González Página 32

34 METODO GAUSS-SEIDEL Es un método iterativo que es una alternativa a los métodos de eliminación, para aproximar la solución. Este método es el más comúnmente usado. Para una matriz de 3x3, y los elementos de la diagonal principal no son todos ceros, se inicia con las primeras ecuaciones donde a x2 y x3 se les da como valor inicial cero ya después los resultados calculados se utilizan en cada ecuación a resolver. (Si la matriz aumenta de tamaño se usa el mismo procedimiento agregando la ecuación respectiva) (0.1) c1 a12x2 a13x3 x1 a 11 x 2 c a x a x a x 3 c a x a x a Se saca el error aproximado para cada valor de x1, x2, x3. Ejemplo: Use el método de Gauss-Seidel para obtener la solución del sistema: 3x 0.1x 0.2x x 7x 0.3x x 0.2x 10x Primero despejar la incógnita sobre la diagonal para cada una de las ecuaciones x2 0.2x3 x1 3 x x 0.3x x10.2x2 x3 10 M.E. Ada Paulina Mora González Página 33

35 Suponiendo que x2 y x3 al iniciar el cálculo de x1 valdrían cero, y se utilizaría: x x ( ) Se sustituye el valor x1 ya calculado x ( ) 0.2( ) Se sustituye el valor de x1 y x2 ya calculados anteriormente. Esa sería la primera iteración y se procedería a hacer las iteraciones que se necesiten y con el último valor calculado se tomara en cuenta para la nueva sustitución ( ) 0.2( ) x x ( ) 0.( ) x ( ) 0.2( ) Conforme un nuevo valor de x se calcula este se usa inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar el otro valor de x. M.E. Ada Paulina Mora González Página 34

36 METODO INVERSA CON GAUSS-JORDAN El cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss supone transformar una matriz en otra, equivalente por filas. La demostración rigurosa del procedimiento que a continuación se describe se sale del propósito del presente bloque, aquí se limita a su exposición y comprobación de que efectivamente se obtiene la matriz inversa. En esencia, el método consiste, para una matriz cuadrada de orden n, en: 1. Formar una matriz de orden nx2n tal que las primeras columnas sean las de la matriz A y las otras n las de la matriz identidad de orden n. Mediante las transformaciones elementales de las filas de una matriz, convertir la matriz anterior en otra que tenga en las n primeras columnas la matriz identidad y en las n últimas otra matriz que precisamente será A -1. El método consiste, pues, en colocar juntas la matriz a invertir, y la matriz identidad. (( )) ( ) Por medio de transformaciones elementales, vamos modificando nuestra matriz hasta obtener la matriz identidad. Cada paso que apliquemos a la matriz se lo aplicaremos a la matriz identidad. Cuando hayamos obtenido la matriz identidad, la de la derecha será la inversa. Si no podemos llegar a la matriz identidad (por ejemplo, sale alguna fila de ceros), significa que la matriz no será inversible. Vamos a ver dos ejemplos, uno en el que se puede obtener la inversa y otro en el que la matriz no es inversible. Ojo a lo siguiente, pues es muy importante: hemos de decidir si haremos nuestras transformaciones elementales por filas o por columnas, pues la forma que elijamos debe mantenerse a lo largo de todo el proceso de inversión de la matriz. Las transformaciones elementales son las siguientes: substituir una fila o columna de la matriz por ella misma multiplicada (o dividida) por un número, substituir una fila o columna de la matriz por una combinación lineal de filas o columnas de la matriz (si es fila, filas, y si es columna, columnas), e intercambiar filas o columnas. Por simplicidad en la notación, c indicará columna (ej., 1ª c es 1ª columna) y f indicará fila (ej., 3ª f es 3ª fila). M.E. Ada Paulina Mora González Página 35

37 METODO DE REGLA DE CRAMER Es un método basado en la solución de determinantes que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. Para calcular el valor de cada una de las incógnitas del sistema, se resuelve un determinante para cada una de ellas y se divide entre el determinante general. Cuando se plantea el determinante de una incógnita, se elimina la columna de los coeficientes de esa incógnita y se sustituye por la columna de los valores constantes a los que están igualadas las ecuaciones. M.E. Ada Paulina Mora González Página 36