Fracciones. Contenidos

Transcripción

1 Fracciones La fotografía nos permite captar imágenes de fenómenos que el ojo humano es incapaz de ver por la rapidez con que se suceden. Conseguimos captar estos momentos mediante el obturador, que es la ventana que permite pasar la luz. Esta imagen se ha obtenido abriendo y cerrando el obturador con gran rapidez. En fotografía, la velocidad de obturación, llamada también tiempo de exposición, es el periodo de tiempo durante el cual está abierto el obturador de una cámara fotográfica. Se expresa en segundos y en fracciones de segundo. Estos valores pueden oscilar entre 0 s y 000 s. A velocidades rápidas (superiores a s), el obturador está abierto 0 muy poco tiempo y deja pasar menos luz. Así se puede congelar o reducir notablemente el movimiento. A velocidades lentas (inferiores a s), el obturador está abierto más 0 tiempo y deja pasar más luz. De este modo se consiguen imágenes movidas y desplazadas, dando sensación de movimiento. Contenidos. La fracción, parte de una unidad.. Otras interpretaciones de las fracciones.. Diferentes tipos de fracciones.. Fracciones equivalentes.. Obtención de fracciones equivalentes.. Comparación y ordenación de fracciones.. Suma y resta de fracciones. 9. Multiplicación y división de fracciones. 0. Operaciones combinadas con fracciones.. Reducción de fracciones a común denominador.

2 Competencias básicas. Competencia en el conocimiento y la inte - racción con el mundo físico.. Tratamiento de la información y competencia digital.. Competencia cultural y artística.. Autonomía e iniciativa personal. Recuerdas?. Escribe la fracción que representa la parte coloreada.. Escribe dos fracciones cualesquiera menores que la unidad y dos mayores. Aprenderás a: Averiguar mediante varios procedimientos si dos fracciones dadas son equivalentes. Simplificar una fracción hasta obtener la fracción irreducible. Comparar y ordenar fracciones, diferenciando si son mayores, menores o iguales a la unidad.. Escribe una fracción equivalente a.. De cada alumnos de primero de ESO, hay que son simpatizantes del Hércules. Cuántos alumnos son simpatizantes del Hércules si en la clase hay 0 alumnos?. Ana tiene 0 asignaturas. Cuántas asignaturas superaría si aprobase la mitad? Y las partes? Y las partes? Conocer el significado de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con fracciones y efectuarlas correctamente. Conocer y respetar la jerarquía de las operaciones. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que intervengan fracciones. Adquirir la habilidad de resolver mentalmente cálculos sencillos con fracciones.

3 Fracciones. La fracción, parte de una unidad Si consideramos la Tierra como un todo o una unidad, qué parte ocupan los continentes? Cuatro quintas partes de la Tierra están cubiertas de agua. Los continentes ocupan, efectivamente, una quinta parte de la Tierra. Las cuatro quintas partes restantes están cubiertas de agua. Se escribe y. Estas expresiones, y, son fracciones. Observa el dibujo de más abajo. Hemos dividido la unidad en,,, y partes iguales. En todos los casos, cada una de estas partes iguales es una unidad fraccionaria, que denominamos un medio, un tercio, un cuarto, un quinto y un sexto, respectivamente. Se escriben así:,,, y, y de forma análoga podríamos obtener más:, Las expresiones y son fracciones. Se leen así: dos tercios y cinco novenos. 9 Fíjate que cualquier fracción es el resultado de multiplicar un número natural por una unidad fraccionaria. Por ello: La fracción de dos tercios es dos veces la unidad fraccionaria un tercio.? Y cinco novenos es cinco veces la unidad fraccionaria un noveno. 9? 9 Las fracciones se utilizan para representar partes iguales de una unidad. Fíjate en el dibujo. Para representar la fracción dividimos la unidad en tres partes iguales y tomamos dos de ellas. En realidad, tomamos dos veces la unidad fraccionaria un tercio. Para representar la fracción dividimos la unidad en nueve partes iguales y toma- 9 mos cinco de ellas. Es decir, tomamos cinco veces la unidad fraccionaria un noveno. 9 La fracción a está formada por dos números naturales a y b, que son los términos b de la fracción. El término b es el denominador y expresa el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad. El término a es el numerador y expresa el número de estas partes que tomamos. Si a obtenemos la unidad fraccionaria de denominador b.

4 Fracciones Actividades resueltas. Para poder realizar un trabajo de naturales, Rosa debe leer un libro de 00 páginas. Si solo se ha leído 9 páginas, qué fracción del libro ha leído? Qué fracción del libro le queda por leer? Consideramos el libro como una unidad. Las 00 páginas que lo forman son las partes iguales en que lo dividimos. Así, la unidad fraccionaria es la fracción que representa una página del libro. Por lo tanto, la parte leída es 9 veces la unidad fraccionaria 00 : 9? Las páginas que le faltan por leer son: 00 9 Por lo tanto, le quedan por leer veces la unidad fraccionaria 00 :? Es decir, ha leído las 9 partes del libro y le faltan por 00 leer las 00 partes. Actividades propuestas. Para cada figura, escribe una fracción que represente la parte coloreada y otra fracción que simbolice la parte blanca. Completa la tabla:. Representa las fracciones,, en las siguientes figuras: a) b). Es correcto afirmar que la parte blanca del triángulo c) d) corresponde a las respuesta. partes del total? Justifica tu Figuras a b c d Parte coloreada Parte blanca. El mes de mayo tiene días. Qué fracción de mes serán cinco días? Y dos semanas?. Indica si las expresiones siguientes son fracciones: 0, 0,,,, 0,. Qué fracción del año son meses? Y 9 meses? Y un trimestre?

5 Fracciones. Otras interpretaciones de las fracciones Aparte de considerar la fracción como parte de una unidad, hay otras interpretaciones de las fracciones... Fracción de un número Consiste en calcular la fracción de un número, de modo que este número represente la unidad que se tiene que fraccionar. Jorge ha ahorrado 0 para comprarse una bicicleta. Si la bicicleta le cuesta las cuatro quintas partes de lo que ha ahorrado, cuántos euros le quedan después de habérsela comprado? Para saber cuántos euros le quedan después de haberse comprado la bicicleta, primero debemos conocer cuántos euros se ha gastado en la compra, es decir, debemos calcular los de 0. Teniendo en cuenta que cuatro quintos es cuatro veces la unidad fraccionaria un quinto, primero calculamos la quinta parte de 0 y después multiplicamos el resultado por cuatro. 0 :? de 0: 0 :? de 0 es. de n es 0. 0 :? n es. Se ha gastado de 0, que son. Por lo tanto, le quedan: 0 Otra forma de resolver el problema es calcular directamente de 0, porque si se ha gastado del total, le queda. Para calcular la fracción de un número hay que dividirlo por el denominador y multiplicar el resultado por el numerador. Las partes de los asientos de un autobús están ocupados. Si el número de asientos ocupados es, cuántos asientos hay en total en el autobús? Si representamos por n el número total de asientos del autobús, sabemos que de n es. Observa que se trata de un proceso inverso al que hemos realizado en el ejemplo anterior. Por lo tanto, tendremos que dividir entre el número de asientos ocupados y multiplicar el resultado por : :? El autobús tiene asientos en total. Para comprobar el resultado, solo es necesario calcular los de. Efectivamente, da. Una vez conocida la fracción de un número, para encontrar dicho número se divide por el numerador y se multiplica por el denominador.

6 Fracciones.. La fracción como división indicada Dada la fracción, si dividimos el numerador entre el denominador obtenemos como resultado el número decimal 0,. 0 0, y 0, Realizamos el mismo proceso en la fracción. El resultado también es un número decimal, puesto que :,. Toda fracción se puede considerar como una división indicada. La mayoría de las veces obtenemos un número decimal. Pero hay fracciones que tienen como resultado de la división un número natural. Por ejemplo, en la fracción la división del numerador entre el denominador da. El resultado de dividir el numerador de una fracción entre el denominador será un número natural en el caso de que el numerador sea múltiplo del denominador. De lo contrario, el resultado de la división será un número decimal. Para saber más Observa que cualquier número natural se puede escribir en forma de fracción con denominador : Actividades resueltas. Halla el término que falta: a) a de es b) de es b a) En este caso, es el resultado de dividir entre y multiplicarlo por a. Calculamos a dividiendo :, así:? : a? a : b) El número es el resultado de multiplicar por y dividir el resultado entre b. Lo escribimos:? : b : b b : Actividades propuestas. Calcula: a) 9 de 0 b) de c) de d) de 0 0. Encuentra el término que falta: a) a de 90 es b) de n es c) b de es 0 d) a de 0 es 0 9. En un grupo de alumnos, son chicos. Cuántas chicas hay en la clase? 0. Indica cuáles de las siguientes fracciones dan como resultado un número natural y di cuál es dicho número:,, 9,,,, 9,, 0. Esta semana han visitado el mercado de Linares 00 personas. Tres de cada veinticinco personas han comprado embutido. Cuántos visitantes no han comprado embutido?

7 Fracciones. Diferentes tipos de fracciones La madre de Marcos ha comprado dos pasteles para celebrar su cumpleaños. Los ha partido en trozos iguales. Primero reparte trozos. Cuál es la fracción que representa la parte repartida? Son. Después reparte trozos más. Ahora la fracción que representa la parte repartida es, es decir, un pastel entero. Más tarde llega un nuevo invitado y le ofrece trozos más. Qué fracción representan los trozos de pastel repartidos durante toda la fiesta? Ahora son. Observa las fracciones del ejemplo anterior:, y. El denominador indica las partes en que está dividida cada unidad, y el numerador, las partes que tomamos... Fracciones propias y fracciones impropias Hay tres tipos diferentes de fracciones: Fracciones que tienen el numerador igual que el denominador. Estas fracciones son iguales a la unidad.,,..., puesto que. Recuerda El símbolo. se lee mayor que. Así, escribimos:. El símbolo, se lee menor que. Así, escribimos:, Fracciones en que el numerador es menor que el denominador. Estas fracciones son menores que la unidad y se denominan fracciones propias.,,...,, puesto que,. Fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador. Son mayores que la unidad y se llaman fracciones impropias., 9,...., puesto que..

8 Fracciones Podemos escribir o, lo que es lo mismo,. Hemos escrito la fracción como suma de un número natural,, más una fracción propia,. Cualquier fracción impropia que no sea igual a un número natural se puede expresar como suma de un número natural más una fracción propia. El número natural es el cociente de la división entre el numerador y el denominador de la fracción impropia; el numerador de la fracción propia es el resto de esta división y el denominador es el mismo en las dos fracciones. Así, dada la fracción impropia obtenemos 0. Actividades resueltas. Manuel es un empresario que quiere regalar una botella de cava a cada uno de sus trabajadores. Las cajas son de botellas cada una y en la empresa trabajan 9 personas. Si tomamos la caja de cava como unidad, y la botella de cava como unidad fraccionaria, qué fracción representan las botellas de cava que ha regalado? Si en una caja hay botellas, la fracción de caja que representa una botella es la unidad fraccionaria. Debe regalar 9 botellas. Lo expresamos en forma de fracción: 9 Ha regalado 9 de caja, es decir, cajas enteras y cinco sextos de otra, o lo que es lo mismo, cajas y botellas. Actividades propuestas. Indica si las siguientes fracciones son propias, impropias o iguales a la unidad:,, 9,,,,,,. Las siguientes fracciones son propias. Calcula mentalmente la fracción que les falta en cada caso para llegar a la unidad: 9,, 9 9,, 9, 0. Expresa como suma de un número natural más una fracción propia las fracciones impropias siguientes:,, 0,,,. Entre qué números naturales están comprendidas las fracciones siguientes?,,,,. Qué valores puede tomar n para que las fracciones siguientes sean propias? a) n b) n c) n d) n. Diseña una fórmula en la celda de una hoja de cálculo para que dé como respuesta las palabras «propia», «impropia» o «igual a la unidad», dependiendo de la fracción que se introduzca en otra celda. 9

9 Fracciones. Fracciones equivalentes Tomemos dos hojas iguales. Dividimos una hoja en tres partes y coloreamos una parte. Dividimos la otra hoja en seis partes y coloreamos dos partes. Qué observas? Efectivamente, las partes coloreadas de cada hoja representan la misma parte de la unidad. Las fracciones y representan la misma parte de la hoja; son fracciones equivalentes. Son fracciones equivalentes las que representan la misma parte de la unidad. Además de la representación gráfica, hay otras formas de saber si dos fracciones son equivalentes. Vamos a verlo: Si calculamos dos o más fracciones equivalentes de un mismo número, obtenemos siempre el mismo resultado. Efectivamente, si calculamos los y los de, obtenemos: :? Los de son. :? Los de son. Las fracciones y son equivalentes. Por lo tanto:. Si ahora calculamos los de también nos da, puesto que :?. Así, la fracción es equivalente a, y a la vez también es equivalente a. Por lo tanto, las fracciones, y son equivalentes. Podemos escribir:. Si realizamos la división indicada del numerador entre el denominador y obtenemos el mismo cociente, entonces las fracciones son equivalentes. 0, 0 0, 0, 0 0

10 Fracciones Si multiplicamos el numerador de una por el denominador de la otra y los productos son iguales; entonces las fracciones son equivalentes. Las fracciones y son equivalentes porque??. Podemos escribir Las fracciones y no son 9 equivalentes, ya que:? 9 /? / 9 que. Esta propiedad se denomina propiedad fundamental de las fracciones equivalentes. La propiedad fundamental de las fracciones equivalentes caracteriza a dos fracciones equivalentes: a b c d a? d b? c, donde a, b, c y d son números naturales y b 0 y d 0. Para saber si dos fracciones son equivalentes, habitualmente se utiliza la propiedad fundamental. Actividades resueltas. Son equivalentes los pares de fracciones si guientes? a) y 0 b) y Para calcular si estos pares de fracciones son equivalentes, lo llevamos a cabo a partir de la propiedad fundamental, pero también podríamos utilizar cualquiera de los procedimientos vistos antes. a) Son equivalentes, puesto que:? 0 00 y? 00? 0? b) No son equivalentes, porque:? y?. Halla el término que falta en cada uno de los pares de fracciones siguientes: a) a 9 b) 0 d Para que sean ciertas las igualdades es necesario que los pares de fracciones sean equivalentes, es decir, tienen que verificar la propiedad fundamental. Así: a) 9? a? 9? a a : 9 b)? d 0?? d 0 d 0 : 0 Actividades propuestas. Halla el término que falta en cada uno de los pares de fracciones siguientes: a) a 0 b) 9 0 c 0 c) 0 b 9. En un partido de baloncesto, uno de los jugadores consigue canastas de 9 intentos. Su contrincante encesta de intentos. Quién de los dos ha ganado? 0. Halla los de y los fracciones es mayor? de. Cuál de las dos. Efectúa la división del numerador entre el denominador e indica cuál de las dos fracciones es mayor, o 9.

11 Fracciones. Obtención de fracciones equivalentes Podemos hallar tantas fracciones equivalentes a una fracción dada como queramos. Observa:... A continuación veremos otros métodos para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada. Si multiplicamos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número natural obtenemos una fracción equivalente por amplificación. Multiplicamos por :? 0 0 Para obtener fracciones equivalentes a una fracción determinada hay que multiplicar o dividir el numerador y el denominador por un mismo número natural. Las fracciones 0 y son equivalentes, puesto que? 0 0? 0. 0 Los términos de la segunda fracción son mayores que los de la primera.? Si dividimos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número natural obtenemos una fracción equivalente por simplificación. Dividimos entre : : 0 Las fracciones 0 y son equivalentes, puesto que? 0? 0. : Para simplificar fracciones hay que aplicar los criterios de divisibilidad de los números naturales. Si una fracción no se puede simplificar más, entonces hemos obtenido la fracción irreducible. Consideremos la fracción 0 e intentemos hallar fracciones equivalentes a ella aplicando el proceso de simplificación de fracciones: : : : 0 0 : : :

12 Fracciones Observa que no podemos seguir simplificando, porque los números y son primos entre sí. Las fracciones 0, 0, y son fracciones equivalentes obtenidas a partir de la simplificación de la primera. La simplificación de fracciones nos permite trabajar con números más pequeños, puesto que los términos de la nueva fracción simplificada son más pequeños que los de la fracción dada. Se denomina fracción irreducible la fracción no simplificable, es decir, aquella en que el numerador y el denominador son números primos entre sí. Para saber más Otra forma de saber si dos fracciones son equivalentes es simplificarlas lo máximo posible y comprobar que las dos son equivalentes a la misma fracción irreductible. En el ejemplo anterior la fracción irreducible es. Fíjate en que si vamos simplificando la fracción mediante divisiones sucesivas el proceso resulta muy lento. En cambio, si dividimos el numerador y el denominador de la fracción entre su máximo común divisor, obtenemos directamente la fracción irreducible. Así, para obtener directamente la fracción irreducible de 0, la simplificamos dividiendo los dos términos entre, que es el máximo común divisor de 0 y. Al dividir el numerador y el denominador de una fracción por su máximo común divisor obtenemos directamente la fracción irreducible equivalente. 0????? m.c.d. (0, )?? m.c.d. (0, ) : 0 : Actividades resueltas. Cuál es la fracción irreducible de? Para obtener directamente la fracción irreducible de, la simplificamos dividiendo los términos por el máximo común divisor de y. Si expresamos los números y en forma de producto de factores primos, resulta que:? y? Así, el m.c.d. (, )?. Dividiendo entre los dos términos de la fracción obtenemos la fracción irreducible:. Actividades propuestas. Escribe cuatro fracciones equivalentes a por amplificación.. Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de las siguientes fracciones: a) b) c) d). Calcula la fracción irreducible de cada una de las fracciones siguientes: a) 0 0 b) c). Completa la siguiente igualdad: 0 00 a 0 0 b c d) 99

13 Fracciones. Reducción de fracciones a común denominador Observa las dos series de fracciones equivalentes: 0 9????? 0 0 9????? Las fracciones y 0 son equivalentes, así como las fracciones y 9. Fíjate en que las fracciones 0 y 9 tienen el mismo denominador. Existen otros pares de fracciones equivalentes a las fracciones originales y que también tienen el mismo denominador. Por ejemplo: 0 y 0 y 00 0 y 90 0 El proceso por el que se transforman dos o más fracciones en otras equivalentes con el mismo denominador se denomina reducción a común denominador.? m.c.m. (, )? Observa que los denominadores comunes de cada par de fracciones (,, y 0) son múltiplos comunes de los denominadores y. El menor de estos múltiplos es, que es justamente el mínimo común múltiplo de y. Así, las fracciones equivalentes a y y 9, respectivamente. con mínimo común denominador son 0 El proceso por el que dos o más fracciones se transforman en otras equivalentes con el mismo denominador, de forma que dicho denominador sea el menor posible, se denomina reducción a mínimo común denominador. Si reduces siempre a mínimo común denominador seguro que trabajas con los números naturales más pequeños en cada caso. Por lo tanto, no utilices nunca el procedimiento de multiplicar los denominadores, excepto en el caso en que el m.c.m. sea precisamente el producto de los denominadores. Esto solo ocurre cuando los denominadores son primos entre sí, es decir, cuando solo tienen como divisor común el número.

14 Fracciones Actividades resueltas. Reduce a mínimo común denominador las fracciones:, 0 y. Primero hallamos el m.c.m. de los tres denominadores: 0?? m.c.m. (, 0, )?? 0 Escribimos las tres fracciones equivalentes a las dadas, pero con denominador 0. Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores. Así: 0 :, 0 : 0 y 0 : Es necesario multiplicar por el numerador de la primera fracción, por el numerador de la segunda y por el numerador de la tercera. De este modo obtenemos: 0 Las fracciones son: 0, 0 y De una clase de alumnos, han aprobado el último examen de matemáticas. Carmen dice que han aprobado los de los alumnos, Teresa dice que han aprobado los 9, y el profesor, que han aprobado los. Quién tiene razón? Observa que las fracciones, 9 y tienen la misma fracción irreducible: : 9 : 9 : 9 : Por lo tanto, los tres tienen razón. También puedes calcular los de, los 9 de y los de y te darás cuenta de que el resultado en los tres casos es. Actividades propuestas. Reduce a mínimo común denominador los pares de fracciones siguientes: a) y 0 b) y 0 c) y d) 9 y. Considera las fracciones a y b. Escribe el numerador de cada una de las nuevas fracciones que se obtienen al reducirlas a mínimo común denominador.

15 Fracciones. Comparación y ordenación de fracciones Una fracción es mayor que otra cuando representa una parte de la unidad más grande... Fracciones con el mismo denominador Para comparar las fracciones y podemos representarlas en forma de figura o de gráfico y comparar las partes coloreadas. Al hacerlo, vemos que es mayor que. Pero para comparar y ordenar fracciones no son necesarias gráficas. Fíjate en que? y?. En un caso tenemos tres veces la unidad fraccionaria, y en el otro caso, dos veces. Entonces., ya que.. Si tenemos dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la que tiene el numerador mayor... Fracciones con el mismo numerador Comparemos ahora y. Si las representamos gráficamente, nos damos cuenta de que cuantas más veces dividimos la unidad, más pequeña es cada una de las partes. Así, es menor que, o lo que es lo mismo:,. También las podemos comparar prescindiendo de las representaciones gráficas:? y?. Evidentemente, la unidad fraccionaria es menor que la unidad fraccionaria. Entonces podemos afirmar que.. Si tenemos dos fracciones con el mismo numerador, es mayor la que tiene el denominador menor. Actividades propuestas. Carla y Marcelo leen el mismo libro. Carla ha leído y Marcelo. Quién ha leído más?

16 Fracciones.. Fracciones con numeradores y denominadores diferentes Observa qué sucede si queremos comparar las fracciones y 9. La fracción es cinco veces la unidad fraccionaria, y la fracción es siete veces 9 la unidad fraccionaria. Dado que tenemos unidades fraccionarias diferentes y los 9 numeradores también son diferentes, no podemos compararlas si no las reducimos previamente a mínimo común denominador. Así: m.c.m. (,9) y 9 Comparamos las dos fracciones equivalentes obtenidas, ahora que las dos son un número de veces la misma unidad fraccionaria,... 9 Para comparar dos fracciones que tienen diferente numerador y diferente denominador, se reducen a mínimo común denominador y se comparan los numeradores de las fracciones resultantes. También se pueden comparar fracciones, comparando los cocientes de sus divisiones: Si 0, y 0,, entonces,, ya que 0,, 0,. 9 Si queremos comparar más de dos fracciones tenemos que aplicar la propiedad transitiva. Es decir, si una fracción es mayor que otra y la segunda es mayor que una tercera, entonces la primera fracción es mayor que la tercera. Si. y., entonces.... Una fracción impropia siempre es mayor que una fracción propia, sean cuales sean los valores de sus términos. Actividades propuestas 9. Escribe.,, o, según corresponda: a)... b)... c)... d) Ordena de menor a mayor las fracciones siguientes:,,, 0,, 0. Halla los 9 de y los de. Cuál de las dos fracciones es mayor?. Para preparar un pastel de manzana, Maribel ha utilizado 9 0 kg de manzanas, y Gabriela kg. Cuál de las dos ha puesto más manzanas en su pastel?. Es posible que el m.c.m. de dos números sea mayor que su producto?. Mi hermano y yo tenemos tres hámsters. Cada día les echamos pipas para comer. Chip se come parte, Chof partes y Chap una tercera parte. Cuál 9 de los tres se ha comido más pipas?

17 Fracciones. Suma y resta de fracciones Con las fracciones también podemos efectuar operaciones, igual que con los números naturales. Ahora veremos cómo podemos sumar y restar fracciones... Suma y resta de fracciones con el mismo denominador Fíjate en esta suma de fracciones:. Dos séptimos más cuatro séptimos es igual a seis séptimos. Efectivamente:?? ( )? Para restar fracciones con el mismo denominador procedemos igual que con las sumas: Como dos séptimos es dos veces la unidad fraccionaria un séptimo, y cuatro séptimos es cuatro veces la unidad fraccionaria un séptimo, podemos concluir que: La suma o resta de dos fracciones que tienen el mismo denominador es otra fracción con el mismo denominador y con el numerador igual a la suma o resta de los numeradores... Suma y resta de fracciones con distinto denominador Fíjate en esta otra suma:. No podemos sumar directamente un tercio y tres cuartos, puesto que trabajamos con unidades fraccionarias diferentes. Hay que expresar estas dos fracciones utilizando la misma unidad fraccionaria. Para ello, las tenemos que reducir a mínimo común denominador, y después sumar las dos fracciones equivalentes obtenidas, tal como hemos realizado en el apartado anterior. Por la propiedad homogénea de la suma, sabemos que para sumar dos cantidades es necesario que estén expresadas en las mismas unidades. Antes de operar con fracciones, debes observar si hay alguna que se pueda simplificar. Si es así, es mejor hallar su fracción irreducible, para operar con números naturales lo más pequeños posibles. Observa ahora esta resta: m.c.m. (, ) Para sumar o restar un número natural y una fracción procedemos del mismo modo, considerando que cualquier número natural tiene como denominador la unidad: Si las dos fracciones que tenemos que sumar o restar no tienen el mismo denominador, primero las reducimos a mínimo común denominador y después operamos.

18 Fracciones Actividades resueltas 9. Calcula:. Seguimos el mismo procedimiento que hemos utilizado para sumar dos fracciones. Observa: La diferencia entre un tercio y un cuarto del precio de un caballo joven es de 0. Cuándo vale el caballo? Restamos. Por lo tanto, sabemos que una doceava parte del precio del caballo son 0. El importe total será:? El arco iris está formado por varios colores. El amarillo ocupa dos quinceavas partes, el rojo ocupa una octava parte y el anaranjado. Qué fracción 0 representa la parte formada por el resto de colores? Si consideramos el total de los colores como una unidad, la fracción que representa el resto de colores será el resultado de las operaciones siguientes: 0 Tenemos que:?, y 0? m.c.m. (,, 0)?? 0 Así: El resto de colores representan los dos tercios del arco iris. También podríamos haber sumado previamente, y después restar este resultado de. 0 Compruébalo. Actividades propuestas. Efectúa las operaciones siguientes y, si es posible, simplifica los resultados: a) 0 b) 9 c) d) 9 e) 0 g) + f) h) 0 i) + j) +. Javier e Inma participan en una carrera atlética. La primera hora han recorrido los del trayecto, y la segunda hora, del trayecto. Qué fracción del 0 trayecto han recorrido hasta este momento? Qué fracción del trayecto les queda todavía por recorrer?. Marcos organiza una fiesta de cumpleaños y decide preparar un combinado de frutas. Coge un recipiente de L y mezcla L de zumo de naranja, L de zumo de piña, L de zumo de manzana y L de zumo de melocotón. Qué capacidad del recipiente queda todavía por llenar? k) + + l) 9. Paula ha limpiado de su casa, su hermano ha. Halla el valor numérico de n en cada caso: a) n b) n 0 limpiado y su madre,. Qué fracción representa la superficie de la casa que han limpiado entre los tres? Si la superficie de la vivienda es de 0 m, cuántos metros cuadrados quedan por limpiar? 9

19 Fracciones 9. Multiplicación y división de fracciones Vamos a ver cómo se calculan el producto y el cociente de fracciones. 9.. Multiplicación de fracciones Queremos calcular de los de la superficie del rectángulo del dibujo. Hemos dividido el rectángulo en cuatro partes y hemos señalado tres de ellas. Ya tenemos los del rectángulo. Si ahora dividimos en dos partes esta superficie y señalamos una, la parte seleccionada corresponderá a de los de la superficie de los Antes de multiplicar dos fracciones, si es posible, simplifícalas. Así:??????? del rectángulo. Este ha quedado dividido en partes iguales y han quedado señaladas de estas partes. Por lo tanto: de los son, como puedes comprobar en el dibujo. Así pues, podemos considerar la multiplicación como fracción de una fracción:??? El resultado de multiplicar dos fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores, y como denominador el producto de los denominadores: a b? c d a? c b? d Cuando calculamos la fracción de un número, también estamos efectuando un producto. de???? Del mismo modo, podemos multiplicar un número natural por una fracción. Fíjate en que en el segundo caso de estos dos ejemplos hemos obtenido como resultado un número natural:?????? El producto de un número natural por una fracción es otra fracción con el mismo denominador, y como numerador el producto del número natural por el numerador de la fracción. Si el número natural es múltiplo del denominador, el producto también es un número natural. Si multiplicamos dos fracciones y el resultado del producto es, se dice que las dos La fracción inversa de es. La fracción inversa de es. fracciones son inversas. La fracción inversa de es, y la fracción inversa de es, ya que:??? Para obtener la fracción inversa de una fracción dada, solo hay que intercambiar el numerador por el denominador. 0

20 Fracciones 9.. División de fracciones Si queremos dividir :, tendremos que buscar una fracción que, al multiplicarla por, dé. Esta es 0, porque: 0?? 0????? Observa que esta fracción coincide con el resultado de multiplicar por la fracción inversa de :? 0. Recuerda La división entre números naturales es la operación inversa de la multiplicación. Así, :, puesto que?. El cociente de dos fracciones es la fracción que resulta de multiplicar la primera por la inversa de la segunda: a b : c d a b? d c a? d b? c Actividades resueltas. Calcula: a) : 9 b) : c) : d) : e)? : a) : 9? 9?? 9??? b) :??? c) :? d) :??? e)? :?? : :? o bien? :????? Actividades propuestas 0. Efectúa los productos y simplifica el resultado: a)? 0 b)? c)? 9 9. Realiza las siguientes operaciones y, si es posible, simplifica los resultados: a) : b) : 9 c) : 0 d)? e) 9 9 : f)?. Halla el valor numérico de n en cada caso: a)? n b) : n. Calcula el área del polígono siguiente:. Cristina ha recorrido de una carrera en la clase de gimnasia del colegio, es decir, 0 m. Cuántos metros le quedan por recorrer?. El perímetro de un cuadrado mide m. Cuánto mide un lado? m m

21 Fracciones 0. Operaciones combinadas con fracciones Teresa corre diariamente durante de hora, y tres días a la semana nada durante h. Cuántas horas dedica cada semana a practicar deporte? Podemos resolver este problema fácilmente efectuando estas operaciones combinadas:?? Para realizar operaciones combinadas con fracciones debemos respetar la jerarquía de las operaciones, igual que con los números naturales: primero efectuamos los paréntesis, después las multiplicaciones y las divisiones, y por último, las sumas y las restas. Si dividimos entre, obtenemos de cociente y de resto. Por lo tanto, podemos escribir que. Teresa dedica cada semana a practicar deporte seis horas más tres cuartos de hora. Actividades resueltas. Con L de vino Juan ha llenado 0 botellas de L cada una y aún le sobra vino. Cuántas botellas de medio litro podrá llenar con los litros restantes? Ha llenado 0 botellas de L cada una. Es decir: 0 botellas? Calculamos ahora los litros que le sobran: L 0? botella L 0? L 0 L L 0 L L Le quedan L por repartir. Si con ellos tiene que llenar botellas de medio litro: L? botella L : botellas? botellas botellas Con los litros restantes podrá llenar botellas de medio litro.

22 Fracciones Actividades resueltas. Teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones, calcula:?? : Primero efectuaremos el paréntesis, después las multiplicaciones y las divisiones, y por último las sumas y las restas. Así:?? :?? :?? :??? Actividades propuestas. Efectúa las operaciones y simplica el resultado siempre que sea posible: a)? c) e) : 0? b)? 0 : 0 d) f) :. Montse ha comprado dos sobrasadas de de kg cada una y tres ensaimadas de kg cada una. Si las lleva dentro de una maleta que vacía pesa kg, cuánto pesa su equipaje?. Un excursionista ha andado durante horas y media a un ritmo de km/h. Qué distancia ha recorrido? Si debía andar 9 km, cuántos kilómetros le faltan para llegar al destino? 9. Un tercio de las canciones que tengo en el MP son de música dance, de las restantes son de música rock y las cinco que quedan son de música clásica. Cuántas canciones tengo? 0. Por los de un terreno, Fernando ha pagado Cuál es el precio del terreno? Cuántos euros le faltan todavía por pagar? Si paga este importe en mensualidades, cuánto deberá pagar cada mes?. Elisa dedica de su sueldo a pagar la hipoteca del piso, de lo que gana lo gasta en alimentación y destina a otros gastos una sexta parte del sueldo. Aun así, consigue ahorrar al mes. Cuál es el sueldo de Elisa? Cuál es el importe de cada uno de los gastos que tiene?. Para un concurso de fotografía disponemos de 000 de presupuesto. Al primer premio le destinamos la mitad del dinero, al segundo premio, al tercero la mitad del segundo, y al cuarto el resto. Cuánto corresponde a cada premio?. El área de un rombo es de cm. Cuánto mide la diagonal pequeña, si la diagonal grande tiene cm de longitud?. En las elecciones generales, el partido «Todos juntos» consiguió de los votos del electorado y el partido «Curramos mucho», los. La mitad del resto de votos fue para el partido «Irá bien». Cuál es la fracción que representa los votos logrados por el partido «Irá bien»? Qué partido ganó las elecciones?. En una conferencia sobre contaminación ambiental, de los participantes son españoles, del resto son franceses y los otros son italianos. Cuántos participantes había en la conferencia?

23 Fracciones Actividades finales. En una baraja española de 0 cartas hay 0 oros, 0 copas, 0 espadas y 0 bastos. Qué fracción de la baraja representan los oros? Qué fracción de la baraja representan los ases?. En el recibo del teléfono de una oficina consta lo siguiente: Cuota de abono, llamadas metropolitanas, intercomarcales, a móviles, y mensajes sms. Qué fracción representa el dinero pagado por cada concepto respecto al dinero pagado en total?. El año pasado, los chicos y las chicas de.º de ESO del instituto vendieron 0 rosas el día de San Valentín para recaudar dinero para el viaje de fin de curso. Este año han vendido más que el año pasado. Cuántas rosas han vendido este año?. Calcula: a) de. b) de 9. c) de 0.. Halla el término que falta: a) 9 de n es 0. b) a de es 0. c) b de 0 es. d) de n es 0.. Si de n es p, entonces de p es n. Compruébalo para n.. Indica si las fracciones siguientes son propias, impropias o iguales a la unidad:,,,, 0,,,,. Qué fracción de hora son 0 min? Y 0 min? Y min? Y 90 min? 9. Calcula la fracción irreducible de cada una de las fracciones siguientes: a) b) 0 c) d) Escribe.,, o, según corresponda: a) 9... b) 9... c) d) Ordena de menor a mayor las fracciones siguientes: a),,,,, b), 0, 9,,. Reduce a mínimo común denominador los pares de fracciones siguientes: a) y b) y c) y. Efectúa las operaciones siguientes y, si es posible, simplifica los resultados: a) d) 0 b) 9 e) c) f) g) h) i). Efectúa las operaciones siguientes y simplifica el resultado siempre que sea posible: a) 9 b) 0 c) 9 d) 9 0 g)? i)? 9 0 e) : f) : h)? 0 : 0 j) :?. María se ha gastado en un libro del dinero que tenía. Si le quedan, de cuántos euros disponía?. Comprueba si son ciertas o falsas las igualdades siguientes: a) 0 d)? b) 9 9 c) 9 e)? 0 f) :

24 Fracciones Actividades finales. Realiza las multiplicaciones siguientes, simplificando antes de operar si es posible: a)???? b) 0?? c)?? d)???. Comprueba si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades: a) b)???. Anteayer leí las partes de un libro de Tintín;. Calcula: ayer, los, y hoy. Qué fracción del libro he leído hasta el momento? 9. Realiza las siguientes operaciones y, si es posible, simplifica los resultados: a) 9? : 0 b) :? c) 9? d) : e) : 9 f) : 0. Efectúa las operaciones siguientes y simplifica el resultado siempre que sea posible: a)? 9 b) 0 :? c) : 9 e)? d)? : f) : :. En un test para obtener el carné de conducir, Francisco ha contestado de las preguntas. Si ha contestado, cuántas preguntas tenía el test?. El pie de David mide m. Ha medido la longitud de la piscina de su casa con los pies y el resultado de la medida ha sido de pies. Cuántos metros de longitud tiene la piscina?. Una profesora de matemáticas tiene tres clases semanales de h. Dedica parte de cada clase al cálculo mental. Qué fracción de hora dedica al cálculo mental en un día de clase? Y durante toda la semana? a) : : b)? 9 : c) 0? : 9. Un depósito, lleno hasta los, contiene 0 L de agua. Cuántos litros de agua hay en tres depósitos como este llenos hasta los de su capacidad?. Un agricultor ha cosechado en un día 0 kg de patatas. El día siguiente por la mañana vende 9, y por la tarde vende del resto por. Cuál es el precio de un kilogramo de patatas?. Tres compañeros de trabajo se reparten un premio que han ganado en un sorteo de la ONCE. Manuel se lleva los del premio, Rosa del premio, y José, el resto, que son. Cuál era el premio? Cuántos euros corresponden a Rosa y a Manuel? 9. El número de quilates de un objeto de oro representa las partes de oro que tiene respecto de. Cuando decimos que un objeto es de quilates significa que es de oro puro, mientras que si es de 9 quilates, tiene una composición de 9 de oro puro. Calcula la cantidad de oro puro que contiene un objeto de oro de quilates que pesa 0 g. Qué cantidad de oro de 0 quilates podemos fabricar con 00 g de oro puro?

25 Qué te cuentas? Rápido, rápido! Si es posible, hazlo mentalmente. Completa? : Responde. Cuántas aceiteras de un cuarto de litro puedo llenar con un litro de aceite?. En vasos de un tercio de litro de capacidad, cuántos litros caben?. Cuántos paquetes de kg puedo llenar con kg?. Si duermes de día, cuántas horas estás despierto diariamente?. Nuria dedica a la lectura 9 h cada día. Cuántas horas dedica a la lectura semanalmente?. Cuántos kilómetros hemos recorrido si ya hemos efectuado las partes del camino y todavía nos faltan km?. Cuántos centímetros son de metro?. Cuántos DVD tiene Ana, si Antonio tiene 0, que son la quinta parte de los que tiene Ana? 9. Cuántos huevos son de los de docenas de huevos? 0. Cuántas jarras de de litro de agua puedo llenar con una garrafa de 9 L?. En una carrera los deportistas han recorrido 00 m, que representan del trayecto. Cuál es la longitud de esta carrera?. Cada día Mariona bebe 9 L de agua. Cuántos litros bebe durante el mes de noviembre?. Cuántas tazas de L se pueden llenar con un termo que contiene L de café?. Tengo de un pastel y le doy la mitad a mi mejor amigo. Qué trozo de pastel me queda?. He comprado tetrabriks de de litro de zumo de piña. Cuántos litros de zumo tengo?

26 Un poco de lógica Personajes Cómo se llama cada personaje de este grupo? Los chicos nos llamamos Ramón, José, Jorge, Alberto y Francisco. Y las chicas Carmen, Laura, Victoria, Ana e Imma. Ana tiene a Francisco a la izquierda y yo me llamo Alberto. Debajo de Alberto está Carmen. Yo me llamo Victoria y Laura está al lado de Carmen. Yo estoy muy cansado. Ramón está entre Alberto y Victoria. Francisco está encima de José. Ahora cantaré una canción. Tú lo que tenías que decir era que Jorge y José están de lado! 9 0 Tangram Observa el tangram. Indica qué parte del tangram representa cada pieza. Calcula la fracción que representan las piezas siguientes del tangram: a) c d a b) c e c) b e a e b d) d e e d e) a a f) a d e c