UN PASEO POR LA MODULARIDAD

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1 UN PASEO POR LA MODULARIDAD HECTOR PASTEN. Inroducción Se aribuye a Eichler la siguiene cia: Solo hay cinco operaciones ariméicas elemenales: suma, resa, muliplicación, división y formas modulares. Ese arículo esá orienado principalmene a quienes no esán familiarizados con la quina. No es nuesra inención dar una inroducción complea a la eoría ni mucho menos, sino más bien acompañar al lecor en un breve paseo por el ineresane mundo de las formas modulares. Esperamos que al concluir esa cora visia, el lecor pueda ener una idea del senido de la frase ciada al comienzo. Comenzaremos presenando a las proagonisas. En pocas palabras, una forma modular es una función f(z) con propiedades analíicas buenas y que se ransforma de manera sencilla bajo algunos cambios de variable que vamos a explicar más adelane. Esas funciones aparecen vinculadas a una gran canidad de objeos ariméico-geoméricos (por ejemplo, ecuaciones diofaninas, variedades algebraicas, ec.) y pueden ser usadas para resolver diversos problemas en eoría de números y oras áreas, con aplicaciones an especaculares como la demosración del Úlimo Teorema de Ferma: Si n 3 enonces oda solución enera de la ecuación x n + y n = z n cumple xyz = 0. Iniciaremos nuesra visia dando ejemplos de formas modulares y después daremos la definición juno con elemenos básicos de la eoría (aunque parezca ani-pedagógico). Y por supueso, nuesro paseo no esaría compleo sin dar un visazo a lo que es posiblemene la mayor aracción para los visianes; explicando las ideas de como se uilizaron formas modulares en la demosración del Úlimo Teorema de Ferma. 2. Formas modulares aparecen en el camino Un eorema de Lagrange dice que odo enero n 0 es suma de cuaro cuadrados de numeros eneros. Por ejemplo 2 = y 4 = Después de saber eso, nauralmene queremos saber de cuanas maneras. Definimos r(n) como la canidad de maneras de escribir n como suma de cuaro cuadrados de números eneros, omando en cuena el orden. Por ejemplo r(0) = porque sólo se puede 0 = , mienras que r() = 8 porque se puede con sus reordenamienos, y ( ) con sus reordenamienos. Vamos a buscar una expresión conveniene para una función que guarde la información de odos los r(n) a la vez. Noemos que ( ) 4 q n2 = q n2 +n2 2 +n2 3 +n2 4 = q m = r(m)q m. n Z n,n 2,n 3,n 4 Z m=0 n 2 +n2 2 +n2 3 +n2 4 =m m=0 Con eso en mene definimos θ = n Z q n2 = + 2 y por lo ano θ 4 es igual a R = r(0) + r()q + r(2)q 2 +, la función generadora de r(n). Ahora queremos invesigar propiedades de la función θ, para eso va a ser conveniene el cambio de variable q = e 2iπz de modo que θ y R son series de Fourier en la variable compleja z θ(z) = + 2 e 2iπn2z, R(z) = r(n)e 2iπnz. q n2 n=0 Dae: Augus 26, 202.

2 2 HECTOR PASTEN El lecor puede verificar fácilmene que esas series convergen cuando la pare imaginaria de z es esricamene posiiva, así que definen funciones holomorfas (diferenciable compleja) en el semi-plano superior h = {z C : I(z) > 0}. Nauralmene θ(z) es -periódica, es decir θ(z + ) = θ(z), porque e 2iπn2z lo es. Sin embargo, θ saisface oras reglas de ransformación mucho menos evidenes al hacer oros cambios de variable, como por ejemplo ( ) 9z + 2 θ = 4z + θ(z). 4z + Para poder enunciar el resulado general, definimos el conjuno de marices { ( ) } a b Γ 0 (4) = γ = : a, b, c, d Z, de γ =, c 0 mod 4 c d ( ) ( ) 9 2 a b donde c 0 mod 4 significa que 4 divide c. Por ejemplo Γ 4 0 (4). Dada γ = c d Γ 0 (4) definimos γz = az+b cz+d. Un ejercicio sencillo es verificar que, si z h enonces γz h (ayuda: usar el hecho que de γ = al calcular la pare imaginaria de γz). Con esa noación, se iene: ( ) a b Teorema 2.. Si γ = Γ c d 0 (4) enonces para z h donde w {,, i, i}. θ(γz) = w cz + dθ(z) Noar que la elección de raiz cuadrada en cz + d no impora porque w es alguna raiz cuara de, aunque se puede ser más preciso sobre el valor de w. De odas formas, omando la cuara poencia obenemos la siguiene consecuencia: ( ) a b Teorema 2.2. Si γ = Γ c d 0 (4) enonces para z h R(γz) = (cz + d) 2 R(z). Tano θ(z) como R(z) son formas modulares para Γ 0 (4). El exponene de cz + d en la regla de ransformación se llama el peso; de esa manera θ iene peso /2 y R(z) iene peso 2. Volviendo al ema de las sumas de cuaro cuadrados, podemos obener alguna información sobre r(n) ahora que sabemos que R es una forma modular? es decir, la regla de ransformación es úil para esudiar r(n)? La respuesa es sí, eso será explicado más adelane. Si las reglas de ransformación de θ(z) indicadas arriba no son suficienes para enusiasmar al lecor, aquí hay ora más no incluida en el eorema 2. (una ransformación exra ): Proposición 2.3. Si z h enonces donde la raiz cuadrada se elige al que =. θ ( ) = 2izθ(z) 4z Esa regla de ransformación es más sencilla de demosrar que las del eorema 2.. Consise en una aplicación de la fórmula de sumación de Poisson, el lecor ineresado puede raar de demosrarla por si mismo. 3. Fabricando formas modulares Demosrar la regla de ransformación de θ(z) dada por el eorema 2. es difícil. Lo que vamos a hacer ahora es consruir funciones que ienen reglas de ransformación similares, pero mucho más simples de verificar. Primero, en lugar de usar Γ 0 (4) vamos a usar odas las marices de 2 2 a coeficienes eneros y deerminane { ( ) } a b SL 2 (Z) = γ = : a, b, c, d Z, de γ = c d

3 MODULARIDAD 3 y definimos γz con una fracción como anes. Noar que SL 2 (Z) es más grande que Γ 0 (4), pero ambién es más sencillo. Las marices de SL 2 (Z) acúan en los vecores (m, n) Z 2 con coordenadas eneras biyecivamene, ya que la mariz inversa de γ ambién esá en SL 2 (z) (iene coeficienes eneros). Si k 4 es par, definimos la serie de Eisensein G k (z) = (mz + n) k. (m,n) Z 2 (0,0) La sumaoria es sobre odos los pares de eneros (m, n) excepo cuando m = n = 0. Como k 4 esa serie converge absoluamene así que podemos reordenarla como queramos. Además, si k fuera impar enonces la serie complea se cancela y daría cero! El siguiene eorema es un ejercicio sencillo. ( ) a b Teorema 3.. Si γ = SL c d 2 (Z) enonces G k (γz) = (cz + d) k G(z). La demosración se obiene a parir de (mγz + n) k = (cz + d)k ((ma + nc)z + (mb + nd)) k y de la observación que γ aplicada (como mariz) al vecor (m, n) es igual a (ma + nc, mb + nd) de manera que ( la sumaoria ) que define G k (z) solo se reordena. Si aplicamos ese eorema al caso paricular γ = obenemos que G 0 k (z + ) = G k (z) por lo ano podemos esperar que G k se puede expresar como serie de Fourier. Eso es correco y los coeficienes de Fourier se pueden dar explíciamene. Para nuesra sorpresa esos coeficienes codifican información ariméica! Primero necesiamos inroducir noación. Definimos σ r (n) = d n dr donde la suma es sobre los divisores posiivos de n. Por ejemplo σ 2 (6) = = 50. La función zea de Riemann es definida por ζ(s) = n n s y esa serie converge para R(s) >. Por ejemplo, es sabido que ζ(2) = = π2 6. Teorema 3.2. Para k 4 par, consideramos la serie de Eisensein G k (z). Si z h enonces G k (z) = 2ζ(k) + 2(2iπ)k σ k (n)e 2iπnz. (k )! La función G k (z) es una forma modular para SL 2 (Z) de peso k, porque su regla de ransformación iene el facor (cz + d) k. 4. Un poco de eoría Ahora que enemos ejemplos en mene vamos a dar la definición de una forma modular en el caso más sencillo: formas modulares para SL 2 (Z) de peso enero. Eso excluye por ejemplo la función θ(z) porque iene peso /2 (no enero) y sólo es modular en Γ 0 (4) (no en odo SL 2 (Z)). Sea k 0 un enero. Una forma modular de peso k para SL 2 (Z) es una función f : h C con las siguienes propiedades: (condición analíica) f es diferenciable compleja y más aun, se puede expresar como serie de Fourier sin índices negaivos: f(z) = c n e 2niπz. n=0 ( ) a b (condición modular) Si γ = SL c d 2 (Z) enonces f(γz) = (cz + d) k f(z).

4 4 HECTOR PASTEN La definición general con oros conjunos de marices como Γ 0 (4) y no sólo SL 2 (Z) es un poco más écnica e involucra la noción de ser regular en las cúspides, no lo vamos a explicar aquí. Por oro lado, si queremos hablar de pesos no eneros (como el caso de θ(z)) enonces hay que modificar la condición de modularidad cambiando el facor (cz + d) k por w(cz + d) k donde w es ciera raiz de (similar al eorema 2.), preferimos eviar dealles écnicos complicados. Hay oros conjunos de marices ineresanes, como por ejemplo Γ 0 (N) = { γ = ( ) a b : γ SL c d 2 (Z), c 0 mod N En paricular con N = 4 obenemos exacamene el conjuno Γ 0 (4) definido anes, y con N = obenemos Γ 0 () = SL 2 (Z). Una forma modular para Γ 0 (N) se dice que iene nivel N. En general, el conjuno de odas las formas modulares de nivel N y peso k se denoa por M k (Γ 0 (N)). Un ejercicio sencillo que dejamos al lecor es que M k (Γ 0 (N)) es un espacio vecorial complejo. El siguiene resulado es fundamenal: Teorema 4.. Cada uno de los espacios M k (Γ 0 (N)) iene dimensión finia. Si k < 0 esos espacios son nulos, y si k 0 enonces dim C M k (Γ 0 (N)) + kn ( + ). 2 p Calculemos unos ejemplos: con k = 4, N = enemos dim C M 4 (SL 2 (Z)) + /3 pero G 4 M 4 (SL 2 (Z)) así que M 4 (SL 2 (Z)) iene dimensión y es generado por G 4. Con k = 2, N = 4 enemos p N dim C M 2 (Γ 0 (4)) ( + /2) = 2 2 esa desigualdad va a ser úil en la sección siguiene. El espacio M k (Γ 0 (N)) iene un subespacio S k (Γ 0 (N)) muy ineresane llamado espacio cuspidal. Consise de odas las formas modulares f M k (Γ 0 (N)) que saisfacen la siguiene condición écnica adicional: f se anula en las cúspides. No vamos a enrar en dealles sobre el significado de eso, pero podemos enunciar una consecuencia: Proposición 4.2. Si f S k (Γ 0 (N)) enonces el desarrollo de Fourier de f no iene érmino consane. Es decir f(z) = c nq n no iene el érmino c 0 (donde q = e 2iπz ). Veamos algunos ejemplos en el caso de peso k = 2. Primero, enemos S 2 (Γ 0 (N)) = 0 para N =, 2,..., 0. El primer ejemplo de espacio cuspidal de peso 2 que no es nulo corresponde a S 2 (Γ 0 ()), el cual iene dimensión y es generado por ciera forma modular cuya expansión de Fourier comienza así: q 2q 2 q 3 + 2q 4 + q 5 + 2q 6 2q 7 2q donde q = e 2iπz como siempre. Un ejemplo con dimensión más grande es S 2 (Γ 0 (64)) cuya dimensión es 3 y iene la siguiene base (sólo damos los desarrollos de Fourier hasa q 26 ): f = q + 2q 5 3q 9 6q 3 + 2q 7 q 25 + f 2 = q 2q 5 3q 9 + 6q 3 + 2q 7 q 25 + f 3 = q 2 2q 0 3q 8 + 6q 26 + Esos desarrollos de Fourier fueron calculados con el programa Sage, disponible en de forma grauia y para uso online (no es necesario descargarlo ni insalarlo, aunque se puede). Es un programa orienado a maemáicas; es poene, fácil de usar y exisen varios uoriales online. }. La noción general de nivel requiere hablar de oros conjunos de marices llamados Γ(N), pero para simplificar la exposición nos resringimos a rabajar sólo con Γ 0 (N).

5 MODULARIDAD 5 5. De vuela a las sumas de cuadrados Volvamos al problema de las sumas de cuadrados esudiando r(n). Sabemos que R(z) es una forma modular de peso 2 para Γ 0 (4), es decir R(z) M 2 (Γ 0 (4)). Además sabemos que M 2 (Γ 0 (4)) es un espacio vecorial de dimensión finia. Con esa información, el plan es el siguiene: enconrar una base de M 2 (Γ 0 (4)) con formas modulares sencillas, expresar R(z) como combinación lineal de esa base, y deducir una fórmula para r(n) mirando los coeficienes de Fourier. Hasa ahora, las formas modulares más sencillas que hemos enconrado son las series de Eisensein G k pero lamenablemene ellas sólo son formas modulares de peso k 4 par, mienras que R(z) iene peso 2. Aun así, si copiamos la serie de Fourier de G k y simplemene la escribimos para k = 2 podemos definir G 2 (z) := 2ζ(2) + 2(2iπ)2 (2 )! σ 2 (n)e 2iπnz = π2 3 8π2 σ (n)q n donde hemos usado el hecho que ζ(2) = π 2 /6 y la noación q = e 2iπz. La verdad es que G 2 define una función en h pero no es una forma modular, al menos no en el senido que definimos anes. El problema es que para demosrar la regla de ransformación de G k (k 4) reordenábamos series infinias lo que se jusificaba por la convergencia absolua, pero para k = 2 no se cumplía convergencia absolua, sólo convergencia condicional. Peor odavía: el espacio M 2 (SL 2 (Z)) es cero, así que es seguro que G 2 no es una forma modular de peso 2 para SL 2 (Z). Lo que ocurre es que la regla de ransformación de G 2 ambién es sencilla, pero es disina. Teorema 5.. Se iene que G 2 (z + ) = G 2 (z) y G 2 ( /z) = z 2 G 2 (z) 2iπz. ( ) ( ) 0 Las ransformaciones dadas aquí sólo corresponden a las marices = y s =, 0 0 pero se puede demosrar que oda mariz de SL 2 (Z) es un produco de poencias de s y por lo ano la información del eorema basa. Uno dice que G 2 es una forma quasi-modular de peso 2 para SL 2 (Z) porque su regla de ransformación esá muy cerca de ser modular (sólo ese 2iπz esá esorbando) y además el facor z 2 iene exponene 2. Aun así, podemos usar G 2 para producir formas modulares de peso 2 con el siguiene ruco: Primero, para simplificar la hisoria definimos E 2 (z) := 3 π 2 G 2(z) = 24 σ (n)q n. El lecor debe apreciar la simplicidad de la fórmula de E 2 (z), eso va a ser úil. Enonces podemos definir E 2,2 (z) = E 2 (z) 2E 2 (2z) y E 2,4 (z) = E 2 (z) 4E 2 (4z). El efeco de resar una modificación de E 2 es que ahora el érmino 2iπz que esorbaba en la regla de ransformación de G 2 se va a cancelar, pero hay un precio que pagar: E 2,2 (z) y E 2,4 (z) sólo son formas modulares de peso 2 para Γ 0 (4), no para el conjuno SL 2 (Z) compleo. Ese precio es acepable, ya que nosoros esamos ineresados en R(z) que vive en M 2 (Γ 0 (4)). Por lo ano hemos producido dos formas modulares nuevas en M 2 (Γ 0 (4)) que son ( ) E 2,2 (z) = 24 σ (n)q n 2 24 σ (n)q 2n y (calculando similarmene) = 24σ ()q 24(σ (2) 2σ ())q 2 24σ (3)q 3 + = 24q 24q 2 96q 3 + E 2,4 (z) = 3 24q 72q 2 96q 3 +. Mirando los primeros coeficienes de Fourier es evidene que E 2,2 (z) y E 2,4 (z) son linealmene independienes. Más aun, sabemos (por la seccion anerior) que la dimensión de M 2 (Γ 0 (4)) es a lo más 2 por lo ano obenemos que E 2,2 (z) y E 2,4 (z) son una base de M 2 (Γ 0 (4)). Por lo ano, exisen α, β ales que R(z) = αe 2,2 (z) + βe 2,4 (z).

6 6 HECTOR PASTEN Recordemos que R(z) = r(0) + r()q + = + 8q + así que mirando los primeros coeficienes de Fourier enemos: R = αe 2,2 + βe 2,4 + 8q + = α ( 24q + ) + β ( 3 24q + ) + 8q + = ( α 3β) + ( 24α 24β)q + { = α 3β 8 = 24α 24β y así obenemos α = 0, β = /3. Por lo ano ( ) ( ) R(z) = 3 E 2,4(z) = 24 σ (n)q n σ (n)q 4n 3 3 = + 8 (σ (n) 4σ (n/4)) q n con la noación σ (n/4) = 0 cuando n/4 no es enero. Recordando que R(z) = n 0 r(n)qn obenemos: Teorema 5.2. Para n = 0 enemos r(0) =. Si n > 0 no es divisible por 4 enonces r(n) = 8σ (n), y si n > 0 es divisible por 4 enonces r(n) = 8(σ (n) 4σ (n/4)). Es decir enemos una fórmula explícia y sencilla para saber de cuánas formas un número n 0 es suma de cuaro cuadrados eneros! Por ejemplo, ahora fácilmene sabemos que 6 se puede escribir como suma de cuaro cuadrados eneros en r(6) = 8σ (6) = 8(+2+3+6) = 96 maneras (básicamene 6 = y odos los reordenamienos y cambios de signo denro de los cuadrados no nulos). La moraleja de esa hisoria es que si enemos una secuencia (a n ) n y resula que a n q n es una forma modular enonces la eoría de formas modulares nos permie obener mucha información, incluso una fórmula exaca si andamos con suere. 6. Funciones L Digamos que enemos una secuencia de números a, a 2,... que nos gusaría esudiar. Una prácica común en eoría de números y geomería es considerar la función generadora F (s) = a + a 2 2 s + a 3 3 s + = a n n s. n Cuando la secuencia (a n ) n, o equivalenemene la función F (s), iene orígenes nobles (digamos un problema ariméico o geomérico) enonces uno suele decir 2 que F es una función L. Por ejemplo, la secuencia consane,,... da origen a la función zea de Riemann ζ(s) = que aparece nauralmene al esudiar la disribución de los números primos, lo cual es un origen suficienemene noble así que ese es nuesro primer ejemplo de una función L. Explicaremos brevemene cual es la relación con números primos: Euler demosró que ζ(s) se puede expresar como un produco sobre los primos p p p s = p n s ( + p s + p 2s + ) p 3s + = n n s = ζ(s) donde la primera igualdad se obiene de sumar la serie geomérica, y la segunda igualdad es por la propiedad de facorización única de los eneros. De inmediao obenemos aplicaciones en el esudio de números primos; por ejemplo omando el límie cuando s + concluimos que exisen infinios primos pues la serie armónica n /n diverge. Un produco de ese ipo para una función L se conoce como produco de Euler y es una de las buenas propiedades que uno espera que las funciones L deberían cumplir. 2 La primera persona en uilizar el nombre función L para ese ipo de funciones fue Dirichle en sus invesigaciones sobre números primos en progresiones ariméicas. Nadie sabe con cereza por que eligió la lera L.

7 MODULARIDAD 7 La función ζ(s) esá muy relacionada a las formas modulares. Un cálculo sencillo nos muesra que ( ) ( ) b r b r ζ(s)ζ(s r) = a s b s = n s = σ r (n) n s a= b= ab=n por lo ano si k 4 es par enonces ζ(s)ζ(s k +) es básicamene (salvo un facor escalar) la función L asociada a los coeficienes de Fourier de la forma modular G k (z) (quasi-modular en el caso k = 2, lo cual es ambién muy bueno). Eso se puede enunciar de la siguiene forma: Teorema 6.. Para k 2 par, la función L definida por ζ(s)ζ(s k + ) es modular. El adjeivo modular sólo significa que la función L que esamos esudiando se puede recuperar a parir de ciera forma modular (o una forma quasi-modular, o alguna ora generalización del concepo de forma modular). Esamos frene a nuesro primer ejemplo de funciones L que son modulares. Nauralmene uno se preguna si la función ζ(s) es modular o no, en algún senido acepable. La respuesa es que sí, en el siguiene senido: Teorema 6.2. Se iene que π s/2 Γ(s/2)ζ(s) = 0 θ(i/2) s/2 d 2 donde Γ(s) es la función Gamma. En paricular, la función ζ(s) es modular, asociada a la forma modular θ(z). La demosración es un cálculo sencillo que deallamos a coninuación (hay que hacer la susiución y = πn 2 de la primera a la segunda línea): ( s/2 d ) (θ(i/2) ) 0 = 2 e πn2 s/2 d 0 = 2 e πn2 s/2 d 0 ( = 2 e y y ) s/2 dy πn 2 y = 2π s/2 n s e y s/2 dy y y 0 = 2π s/2 ζ(s)γ(s/2). Que una función L sea modular no es sólo ineresane por el simple hecho de conecar ideas, sino que ambién hay consecuencias concreas. Por ejemplo, como la función ζ(s) es modular podemos usar las ransformaciones de la función θ(z) para obener información de ζ(s). Más precisamene, la regla de ransformación exra de la función θ(z) evaluada en z = i/2 h nos da θ(i /2) = θ(i/2) y así 2π s/2 Γ(s/2)ζ(s) = = = = = (θ(i/2) ) (θ(i/2) ) (θ(i/2) ) s/2 d s/2 d s/2 d s/2 d (θ(i/2) ) s/2 d (θ(i /2) ) ( θ(i/2) ) s/2 d s/2 d (θ(i/2) ) + (θ(i/2) ) ( (θ(i/2) ) s/2 + ( s)/2) d 2 ( s)s. ( s)/2 d + 0 ( ( s)/2 s/2 ) d Esos cálculos son correcos cuando R(s) > (de hecho, ζ(s) sólo ha sido definida para R(s) > ) pero el resulado final es una función definida en odo C porque el facor (θ(i/2) ) decae exponencialmene cuando. Más aun, el resulado final es invariane bajo el cambio de variable s s. Con esa nueva información y usando propiedades conocidas de la función Γ(s) obenemos el siguiene eorema de Riemann:

8 8 HECTOR PASTEN Teorema 6.3. La función ζ(s) se exiende a una función meromorfa en odo el plano complejo con un único polo en s = el cual es simple con residuo. Además, la función ζ(s) saisface la siguiene ecuación funcional: ( s π s/2 Γ ζ(s) = π 2) ( s)/2 Γ ( s 2 ) ζ( s). La moraleja de esa hisoria es que, cuando sabemos que una función L es modular ganamos un monón de información úil (como por ejemplo una ecuación funcional). Cabe pregunarse enonces cuáles funciones L son modulares. 7. Algunas palabras sobre curvas elípicas Una curva elípica E es una ecuación de la forma y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c donde a, b, c Z y las res raíces de x 3 + ax 2 + bx + c son disinas. Por ejemplo la ecuación y 2 = x 3 0x es una curva elípica, pero la ecuación y 2 = x 3 6x 2 no lo es (se dice que es singular). Las curvas elípicas son ineresanes porque sus soluciones (x, y) forman un grupo abeliano; se pueden sumar geoméricamene (aunque es necesario agregar un puno exra, el puno al infinio). Sin embargo, nosoros nos vamos a concenrar en su ariméica módulo primos p y no en la esrucura de grupo. Uno puede reducir una curva elípica módulo un primo p pero no necesariamene el polinomio x 3 + ax 2 + bx + c va a seguir eniendo sus res raíces disinas. Por ejemplo y = x 3 0x módulo 5 se conviere en y 2 = x 3, pero x 3 iene sus res raíces iguales así que y = x 3 0x es singular módulo 5. Dada una curva elípica E, si al reducirla módulo p queda singular enonces decimos que E iene mala reducción en p, de lo conrario decimos que iene buena reducción en p. Obviamene una curva elípica iene mala reducción a lo más en un número finio de primos. En realidad, dada una curva elípica E uno puede hacer cambios de variable admisibles que permien rescaar algunos primos de mala reducción y exender la lisa de primos de buena reducción, pero no vamos a enrar en dealles écnicos. Ahora vamos a describir dos números imporanes asociados a una curva elípica E : y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c, esos son el discriminane y el conducor. El discriminane de E es definido 3 por E = 6((α β)(β γ)(γ α)) 2 donde α, β, γ son las raíces de x 3 + ax 2 + bx + c. Se puede demosrar que siempre E Z. El conducor de E es un número que mide la mala reducción de E. Es de la forma N E = p ep p malo donde e p mide el ipo de reducción mala en p (ípicamene e p es o 2, excepo si p = 2, 3 donde puede omar más valores). La recea para calcular el conducor es complicada (pero exise). Ejemplo. Consideremos la curva elípica E : y 2 = x 3 4x. El polinomio x 3 4x iene raíces 2, 0, 2 y esos números son disinos módulo p para cualquier primo p > 2, y son iguales módulo p = 2. Enonces el único primo de mala reducción es 2. Además el discriminane es E = 2 2 y se puede calcular que el conducor es N E = 2 6 = 64. Cuando reducimos una curva elípica módulo p queremos calcular n E (p) su canidad de soluciones (x, y) módulo p. Hay un eorema de Hasse que nos da una buena aproximación del número de esas soluciones: Teorema 7.. Si E es una curva elípica con buena reducción en p enonces n E (p) = p a E (p) donde a E (p) < 2 p. Por ejemplo, si E : y 2 = x 3 4x como en el ejemplo anerior vamos a calcular n E (5). La lisa de odas las soluciones módulo 5 es (x, y) = (0, 0), (2, 0), (3, 0) lo cual arroja n E (5) = 3 y por lo ano a E (5) = 2. Vale la pena noar que a E (5) = 2 < 2 5 al como dice el eorema de Hasse. Los números n E (p) y a E (p) nos dan la misma información así que vamos a rabajar sólo con a E (p) que es más pequeño (en efeco, n E (p) p mienras que a E (p) < 2 p). 3 Disinos auores difieren en esa definición por una poencia de 2 chica, dependiendo de cual es el uso que se le va a dar a E

9 MODULARIDAD 9 La secuencia a E (p) guarda información ariméica de la curva elípica así que no es mala idea guardar oda esa información en un solo objeo. Así, definimos la función L de la curva elípica E como el siguiene produco infinio L(E, s) = ( ) a E (p)p s + p 2s p bueno donde el facor ( ) es un produco finio que involucra sólo los primos de mala reducción que dividen con exponene el conducor N E. En paricular, si ningún primo divide con exponene exacamene al conducor enonces ( ) =. Ese produco de Euler se puede expandir para obener una suma infinia de la forma L(E, s) = n a E (n) n s donde los números a E (n) ienen las siguienes propiedades sencillas: a E () =, odos los a E (n) son eneros y si p es un primo bueno enonces a E (p) = a E(p). En visa de eso úlimo, vamos a anoar a E (n) en lugar de a E (n) ya que no hay ambigüedad cuando n = p es un primo de buena reducción. Por ejemplo, si E es la curva elípica y 2 = x 3 4x como anes, enonces a E (5) = 2. En ese ejemplo, la función L(E, s) no necesia el facor ( ) porque el único primo malo es 2, el conducor es N E = 2 6 y por lo ano ningún primo de mala reducción divide el conducor con exponene. Así que no es necesario agregar más facores en nuesra función L. Algunos valores adicionales de los a E (n) esán dados en la siguiene abla: por lo ano n a E (n) L(E, s) = s 3 9 s 6 3 s s (acaba de ocurrir un fenómeno curioso, podrá descubrirlo el aeno lecor?). Hacemos un comenario sobre la definición de la función L de una curva elípica. Los facores en el produco infinio de la definición de L(E, s) se ven miseriosos pero ienen una explicación y un conexo donde aparecen nauralmene: básicamene corresponden a la función zea de la curva elípica E mod p en el conexo de las llamadas Conjeuras de Weil. El lecor ineresado puede consular el Apéndice C de [2] para aprender más acerca de las conjeuras de Weil (que ahora son eoremas). También aparecen nauralmene al esudiar las represenaciones de Galois asociadas a E. En resumen, parimos de una curva elípica E que es un ciero ipo de ecuación con coeficienes eneros, esudiamos su ariméica reduciéndola módulo p y junamos oda esa información para consruir una función L de la forma L(E, s) = n a E(n)n s donde los a E (n) son eneros y a E () =. 8. La conjeura de Taniyama-Shimura A finales de los años 50, Taniyama propuso el problema de si la función L(E, s) esaba relacionada a las formas modulares. Esa preguna fue hecha más precisa por Shimura, dando lugar a la conjeura siguiene Todas las curvas elípicas son modulares. Una afirmación an fuere no ganó mucho apoyo en la comunidad maemáica desde el comienzo. Pero poco a poco se descubrió más información y se logró verificar algunos ejemplos que sirvieron de evidencia. Una forma mucho más precisa de la conjeura es la siguiene: Sea E una curva elípica de conducor N E con función L dada por L(E, s) = n a E(n)n s. Enonces los números a E (n) son los coeficienes de Fourier de una forma modular f E de peso 2 y nivel N E que perenece al espacio cuspidal. Es decir f E = a E ()q + a E (2)q 2 + a E (3)q 3 + S 2 (Γ 0 (N E )). Esa conjeura esá demosrada gracias a las especaculares ideas de Wiles. En 993 Wiles hizo pública una demosración para el caso que N E iene odos sus facores primos con exponene (el

10 0 HECTOR PASTEN caso semi-esable) pero la demosración enía un error. Taylor asisió a Wiles para lograr superar las dificulades écnicas y en 995 Wiles y Taylor publicaron una demosración correca para el caso semi-esable (ver [0, ]). Alrededor del año 2000, una serie de publicaciones por oros maemáicos lograron demosrar odos los casos resanes (no sólo el semi-esable) y esos rabajos se basaron en las ideas de Wiles. Como consecuencia, la función L(E, s) se exiende a odo el plano complejo y saisface una ecuación funcional similar a la de la función ζ(s): N s/2 E (2π) s Γ(s)L(E, s) = ±N (2 s)/2 (2π) (2 s) Γ(2 s)l(e, 2 s). E La demosración se basa en cálculos parecidos a los hechos en la sección 6 para la función ζ(s), pero usando un poco más de eoría. 9. Cieramene, no cabía en el margen de una página En el margen de una página del libro Arihmeica de Diofano, Ferma escribió una vez que ningún cubo es suma de dos cubos 4, y ninguna poencia cuara es suma de dos poencias cuaras, ec., y que él había enconrado una demosración maravillosa pero que lamenablemene no cabía en el margen de esa página. Esa demosración maravillosa nunca fue enconrada enre los documenos de Ferma, y el enunciado en cuesión pasó a la hisoria como el úlimo eorema de Ferma, a la espera de una demosración. En lenguaje moderno, el úlimo eorema de Ferma dice lo siguiene: Si n > 2 enonces x n + y n = z n no iene solución con eneros x, y, z esricamene posiivos. El caso de poencias cuaras fue demosrado por Ferma, así que basa considerar el caso de poencias l-ésimas con l > 2 un primo (odo exponene n > 2 es múliplo de 4 o de algún primo impar). Como l es impar, podemos escribir el problema en una forma más simérica: Si l > 2 es primo enonces oda solución enera de x l + y l + z l = 0 cumple que x, y o z es cero. Más aun, los casos siguienes (enre oros) son sabidos: l = 3 (Euler), l = 5 (Legendre y Dirichle independienemene) y l = 7 (Lamé). Así que basa suponer que l es un primo mayor o igual que. Así que para demosrar el úlimo eorema de Ferma basa demosrar: Si l es primo enonces oda solución enera de x l + y l + z l = 0 cumple xyz = 0. A coninuación voy a explicar como es la demosración maravillosa que enconraron los maemáicos modernos (con algunas simplificaciones). La demosración es por conradicción: Sea l primo y supongamos que exisen eneros no nulos a, b, c ales que a l + b l + c l = 0. Además, podemos suponer que a, b, c son coprimos, b es par y que a 3 mod 4 (o sea, 4 divide a 3). Eso se puede obener reordenando a, b, c y simplificando la ecuación por un facor adecuado. Queremos obener una conradicción, para poder concluir que dicha solución (a, b, c) no exise. Idea de parida (G. Frey, 984). Consideremos la ecuación E : y 2 = x(x a l )(x + b l ). Las raíces del polinomio de la derecha son 0, a l, b l y son disinas porque a l, b l, c l = a l b l son no nulos. Por lo ano E es una curva elípica. El discriminane de esa curva elípica es E = 6((0 a l )(0 + b l )(a l + b l )) 2 = 6(abc) 2l ( ese es el único lugar donde se usa a l + b l + c l = 0 en oda la demosración!) y se puede calcular que el conducor es el produco de los primos que dividen abc, es decir N E = p. O sea, el conducor de E es un produco de primos disinos (E es semi-esable) y el discriminane es casi una poencia 2l-ésima. Frey pensó que esa propiedad es muy rara y debería ser incompaible con la modularidad. 4 Se eniende que hablamos de eneros posiivos. p abc

11 MODULARIDAD Por el iempo en que Frey propuso eso, no se sabía que odas las curvas elípicas fueran modulares, y no odos los maemáicos creían que eso fuera posible. Conjeuras de Serre (J-P. Serre, 973). En 973 el genial maemáico J-P. Serre propuso una serie de conjeuras en la eoría de las represenaciones de Galois y formas modulares. Eso fue sin relación al úlimo eorema de Ferma. Cuando más de 0 años después Frey propuso su esraegia para Ferma, Serre observó que si sus conjeuras fueran cieras enonces la curva elípica consruida por Frey no puede ser modular exacamene como sospechaba Frey! La pare de las conjeuras de Serre necesaria en ese conexo era conocida como conjeura ɛ. La gene solía decir que para demosrar Ferma había que demosrar Taniyama-Shimura+ɛ. Congruencias enre formas modulares (K. Ribe, 990): En 990 Ribe demosró la conjeura ɛ. Más precisamene Ribe demosró (en paricular): Teorema 9. (Ribe). Sea E una curva elípica semi-esable con discriminane minimal min E = p b...pbr r (facorizado) y conducor N E. Supongamos que E es modular y que la forma modular asociada es f = a E ()q + a E (2)q 2 + a E (3)q 3 + S 2 (Γ 0 (N)). Sea l > 0 un número primo. Definimos Q como el produco de los p i ales que l divide b i y además p i aparece con exponene en N E. Enonces hay una forma cuspidal g = c q + c 2 q 2 + c 3 q 3 + S 2 (Γ 0 (N E /Q)) con coeficienes de Fourier eneros al que para cada n enemos a E (n) c n mod l. En pocas palabras el conenido del eorema es lo siguiene: bajo cieras condiciones, la forma modular asociada a una curva elípica es congruene módulo ciero primo a ora forma modular pero de nivel más bajo (el nivel baja de N E a N E /Q). Noa: Cuando Ribe demosró ese eorema no se sabía que odas las curvas elípicas fueran modulares, por eso ser modular aparece como condición. No hemos explicado que cosa es el discriminane minimal pero podemos decir lo siguiene: el discriminane minimal min E es casi el discriminane E que calculamos anes, pero es un poco más chico. En nuesro caso es min E = 2 8 (abc) 2l. Apliquemos el eorema de Ribe a nuesro caso. Recordemos que la curva de Frey es semi-esable. Con la información dada y suponiendo que E es modular (para poder aplicar el eorema) se calcula fácilmene Q = N E /2 por lo ano g S 2 (Γ 0 (2)) pero ese espacio es cero (ver sección 4), así que g = 0. Por lo ano 0 = c n a E (n) mod l para odo n. Con n = enemos = a E () 0 mod l, una conradicción. Por lo ano la curva de Frey no puede ser modular, como proponía Frey. La conjeura de Taniyama-Shimura (Taylor, Wiles): Como ya explicamos en la sección anerior, Wiles y Taylor demosraron en 995 que odas las curvas elípicas semi-esables son modulares. La curva E consruida por Frey es semi-esable así que esa es la úlima pieza del puzzle. En resumen: Supongamos que exisen eneros a, b, c 0 al que a l + b l + c l = 0. Frey: Enonces la curva elípica y 2 = x(x a l )(x + b l ) sería muy rara, parece no ser modular. Serre: Más precisamene, si mis conjeuras sobre formas modulares y represenaciones de Galois fueran cieras enonces esa curva no puede ser modular. Ribe: Pare de las conjeuras de Serre son verdad! al menos suficiene para esar seguros que la curva elípica E (si exisiera) definiivamene no es modular. Wiles-Taylor: La conjeura de Taniyama-Shimura es ciera en el caso semi-esable, o sea odas las curvas elípicas semi-esables son modulares! En paricular E es modular. Conradicción. Por lo ano no exisen eneros a, b, c 0 ales que a l + b l + c l = 0. El úlimo eorema de Ferma esá demosrado. Los rabajos de Ribe [7], Wiles [] y Taylor y Wiles [0] ocupan más de 70 páginas en oal. Puede ser que nunca sepamos que enía en mene Ferma, pero al menos la demosración moderna ampoco cabe en el margen de una página.

12 2 HECTOR PASTEN 0. Por dónde seguir? A coninuación damos algunas indicaciones para quienes esén ineresados en aprender más. Una inroducción a la eoría básica de formas modulares puede enconrarse en [8] (en el caso de SL 2 (Z)) y en [4] (en el caso de oros grupos de marices). El libro [4] iene venajas adicionales: iene una buena inroducción a la eoría de curvas elípicas, después revisa las formas modulares de peso enero, y concluye con una inroducción a la eoría de formas modulares de peso medio-enero (como la función θ(z) que iene peso /2). Para profundizar en el ema de curvas elípicas el libro [9] es la referencia esándar. El reciene libro [5] es de una lecura liviana y enreenida, inroduciendo al lecor la relación enre formas modulares y curvas elípicas en el conexo de la conjeura de Taniyama-Shimura y la conjeura de Birch y Swinneron-Dyer. Desaca por ener ejemplos bien concreos y ayudar al lecor a hacer verificaciones por compuador. Las formas modulares ambién se relacionan con las represenaciones de Galois. En el úlimo capíulo de [] hay una inroducción a ese ema, que es el primer paso de la demosración de la conjeura de Taniyama-Shimura. El libro [6] coniene una excelene exposición de varias ideas del área, con énfasis en la ariméica de los coeficienes de Fourier de formas modulares. Esá escrio a un nivel accesible y el lecor enconrará numerosos problemas abieros que le darán una idea de cuales son las direcciones acuales en que se desarrolla la eoría. Se podría seguir hablando inerminablemene sobre formas modulares (como diria Lang: eso no es una amenaza), pero en algún momeno hay que deenerse. References [] F. Diamond, J. Shurman, A firs course in modular forms. Graduae Texs in Mahemaics, 228. Springer-Verlag, New York, xvi+436 pp. ISBN: X. [2] R. Harshorne, Algebraic geomery. Graduae Texs in Mahemaics, No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 977. xvi+496 pp. ISBN: [3] M. Kisin, Wha is... a Galois represenaion? Noices Amer. Mah. Soc. 54 (2007), no. 6, [4] N. Kobliz, Inroducion o ellipic curves and modular forms. Graduae Texs in Mahemaics, 97. Springer-Verlag, New York, 984. viii+248 pp. ISBN: [5] A. Lozano, Ellipic curves, modular forms, and heir L-funcions. Suden Mahemaical Library, 58. IAS/Park Ciy Mahemaical Subseries. American Mahemaical Sociey, Providence, RI; Insiue for Advanced Sudy (IAS), Princeon, NJ, 20. xiv+95 pp. ISBN: [6] K. Ono, The web of modulariy: arihmeic of he coefficiens of modular forms and q-series. CBMS Regional Conference Series in Mahemaics, 02. Published for he Conference Board of he Mahemaical Sciences, Washingon, DC; by he American Mahemaical Sociey, Providence, RI, viii+26 pp. ISBN: [7] K. Ribe, On modular represenaions of Gal ( Q/Q) arising from modular forms. Inven. Mah. 00 (990) [8] J-P. Serre, A course in arihmeic. Translaed from he French. Graduae Texs in Mahemaics, No. 7. Springer- Verlag, New York-Heidelberg, 973. viii+5 pp. [9] J. Silverman, The arihmeic of ellipic curves. Graduae Texs in Mahemaics, 06. Springer-Verlag, New York, 986. xii+400 pp. ISBN: [0] R. Taylor, A. Wiles, Ring-heoreic properies of cerain Hecke algebras. Ann. of Mah. (2) 4 (995), no. 3, [] A. Wiles, Modular ellipic curves and Ferma s las heorem. Ann. of Mah. (2) 4 (995), no. 3, Deparmen of Mahemaics and Saisics, Queen s Universiy Jeffery Hall, Universiy ave. Kingson, ON Canada, K7L 3N6 address: hpasen@gmail.com