CÁLCULO DE ESTRUCTURAS MÉTODOS NUMÉRICOS. Método Matriciales de barras. Método de Elementos Finitos

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1 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CÁLCULO DE ESTRUCTURAS MÉTODOS NUMÉRICOS Estructura Modeo Matemátco Vadacón Barras (cácuo matrca) Dscretzacón Eementos (M.E.F.) Lnea Sstema de Ecuacones No nea Resoucón Método Matrcaes de barras Método de Eementos Fntos Juan Pérez Vacárce 1999

2 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL IDEALIZACIÓN DE LA ESTRUCTURA Estructura rea Modeo matemátco Dscretzacón Eementos conectados por nudos ELEMENTOS LINEALES Pórtcos Emparrados Ceosías SUPERFICIALES VOLUMÉTRICOS Pantaas Losas Lámnas Losas gruesas Maczos Presas Eementos neaes Dscretzacón en barras (matrca) Eementos superfcaes Dscretzacón en eementos fntos voumétrcos Juan Pérez Vacárce 1999

3 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS IDEALIZACIÓN GEOMÉTRICA Consste en a smpfcacón de as dmensones formas de a estructura rea. Se susttuen as pezas por su drectrz, smpfcando en os casos de seccón varabe o drectrz curva Supone errores. Probemas Dmensón fnta de os nudos Luces reaes de cácuo Pezas de Seccón Varabe Pezas de Seccón Constante Pezas de Seccón Curva K= 8 K= 8 L 1 L Pares de dstnta seccón Zonas rígdas de vga Juan Pérez Vacárce 1999

4 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS La deazacón geométrca no tene por qué ser nmedata En a deazacón geométrca deben fgurar as condcones de apoo, sea rígdo o eástco. Apoos Rígdos Apoos Eástcos Juan Pérez Vacárce 1999

5 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS IDEALIZACIÓN MECÁNICA: ESTRUCTURA. C APROXIMACIÓN DEL COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LA ESTRUCTURA. Se defne por os DESPLAZAMIENTOS de os nudos En e espaco: 3 trasacones + 3 gros En e pano: Según e probema Estructuras artcuadas panas: 2 trasacones Pórtcos panos: 2 trasacones + 1 gro Emparrados panos: 1 trasacón + 2 gros. - Ha que eegr os grados de bertad en funcón de probema anazado. - Los despazamentos se suponen nfntesmaes con respecto a as dmensones de a estructura. - S os despazamentos son grandes se precsa anáss no nea. Se anaza a través de as DEFORMACIONES de as barras. Según e probema anazado. - Deformacón por ax. Importante en estructuras de nudos artcuados pares de pórtcos. - Deformacón por fexón. Es a más mportante en cas todos os casos. - Deformacón por cortante. Desprecabe savo en casos mu partcuares. - Deformacón por torsón. Sóo mportante en emparrados pórtcos espacaes. C TIPOS DE CONEXIÓN ENTRE BARRAS. Nudo rígdo Nudo artcuado Certo grado de artcuacón Certo grado de empotramento Juan Pérez Vacárce 1999

6 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS IDEALIZACIÓN MECÁNICA: ESTRUCTURA. C UNA MISMA ESTRUCTURA ADMITE DIVERSAS MODELIZACIONES CON DISTINTO GRADO DE PRECISIÓN. ARCO Estructura Rea Ideazacón como Eementos Lneaes Ideazacón por Eementos Fntos E.F. de 4 nodos E.F. de 8 nodos Juan Pérez Vacárce 1999

7 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS IDEALIZACIÓN MECÁNICA: MATERIALES DIAGRAMAS TENSIÓN-DEFORMACIÓN REALES Acero TENSIONES en N/mm2 700 σ CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓN de BARRAS CORRUGADAS f ε % ALARGAMIENTOS ACERO DE DUREZA NATURAL TENSIONES en N/mm2 600 σ CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓN de BARRAS CORRUGADAS f ε ACERO ESTIRADO en FRIO % ALARGAMIENTOS E acero estrado en frío no se utza en obra nueva Juan Pérez Vacárce 1999

8 Hormgón CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS TENSIONES σ f c c CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓN de HORMIGÓN E c E c E co ε c cu ε DEFORMACIONES DIAGRAMA NOVAL TENSIONES σ f c c CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓN de HORMIGÓN ' Ec DEFORMACIONES DIAGRAMA con CARGAS REITERADAS ε c cu Juan Pérez Vacárce 1999

9 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS IDEALIZACIÓN MECÁNICA: MATERIALES DIAGRAMAS TENSIÓN-DEFORMACIÓN SIMPLIFICADOS.- Son necesaros por a excesva compedad de os reaes. ACERO ESTRUCTURAL fd fd TENSIONES TENSIONES 0 ε d DEFORMACIONES ELASTO PLÁSTICO 0 ε d DEFORMACIONES ELASTO PLÁSTICO con ENDURECIMIENTO RÍGIDO PLÁSTICO HORMIGÓN 0'85.fcd 0'85.fcd 0'85.fcd TENSIONES TENSIONES TENSIONES 0-2%o -3'5%o 0-2% o -3'5% o DEFORMACIONES DEFORMACIONES BIPARABOLICO PARABOLA-RECTANGULO 0-0'7%o -2% o -3'5% DEFORMACIONES RECTANGULAR o 0'85.fcd 0'85.fcd TENSIONES TENSIONES 0-2%o -3'5% o 0-0'7% o DEFORMACIONES RAMA DECRECIENTE -2% o -3'5% DEFORMACIONES BIRRECTILÍNEO o Lo más frecuente en consderar e matera perfectamente eástco nea. Juan Pérez Vacárce 1999

10 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS IDEALIZACIÓN MECÁNICA: MATERIALES DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA.- Son os dagramas que permten determnar as ecuacones consttutva a fexón de as barras. Son fundamentaes en e cácuo matrca. Acero.- Dagrama bnea. MOMENTOS 1.00 M M u.75 Dagrama Bnea χ CURVATURA DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA (ACERO) Hormgón.- Dagrama trnea. MOMENTOS 1.00 M M u L 1 Dagrama Bnea Dagrama Expermenta L 2 L 0 Dagrama Trnea.25 χ CURVATURA DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA (HORMIGÓN) Juan Pérez Vacárce 1999

11 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS IDEALIZACIÓN DEL TERRENO DE CIMENTACIÓN - Propedades de terreno. - Interaccón cmento-estructura. Conexón rígda. Conexón eástca Coefcentes de baasto. - Probemas de asentos dferencaes. Grandes momentos en os dntees. - Probemas de gros de a cmentacón. - Infuenca de as zapatas de medanería de esquna. Generamente se consdera a estructura rígdamente empotrada en a base. u=0 v=0 w=0 En cácuo matrca es mu fác ntroducr deformacones mpuestas en os víncuos a condcón de que puedan expresarse drectamente en coordenadas gobaes. Juan Pérez Vacárce 1999

12 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS BASES DEL CÁLCULO MATRICIAL. 1.- Desarroo hstórco. C Panteamentos ncaes ( ) Maxwe. Castgano. Mohr. (No progresaron por a dfcutad de resover grandes sstemas de ecuacones) C Panteamento genera de método ( ) Mane (USA) Ostenfed (Dnamarca) C Método teratvo de Hard Cross (1932) C Formuacón matrca actua (1944) G. Kron Tensora anass of eastc structures C Método de eementos fntos. Turner Cough C Desarroo generazacón de uso de os ordenadores Juan Pérez Vacárce 1999

13 f n.f SUPUESTOS PREVIOS. CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS - Lneardad.- Los movmentos esfuerzos son funcones neaes de as cargas apcadas. Ventaas Condcones Smpfca e anáss Permte a superposcón de soucones Materaes eástcos Despazamentos pequeños n.p P + P. n. P Superposcón.- Los esfuerzos movmentos que produce un conunto de sstemas de carga actuando a a vez es gua a a suma de os que producrían actuando por separado. En cácuo matrca es fundamenta este prncpo de superposcón, puesto que en genera hemos de superponer dos estados: C Estado de empotramento perfecto C Estado fna de cácuo. Juan Pérez Vacárce 1999

14 MÉTODOS MATRICIALES. CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS En estructuras a reacón determnsta CAUSA EFECTO se estabece como FUERZA MOVIMIENTO Es una reacón bunívoca que debe satsfacer: 1.- Ecuacones consttutvas de matera Le de Hooke 2.- Ecuacones de compatbdad 3.- Ecuacones de equbro ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS Ecuacón 3 ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS Ecuacones 1,2, 3 Lo que dferenca os métodos matrcaes es e ORDEN de utzacón de as ecuacones MÉTODO DE EQUILIBRIO O DE RIGIDEZ MÉTODO DE LAS FUERZAS O DE FLEXIBILIDAD Juan Pérez Vacárce 1999

15 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS MÉTODO DE FLEXIBILIDAD INCÓGNITAS BÁSICAS DATOS FUERZAS HIPERESTÁTICAS FUERZAS EN LOS NUDOS APLICACIÓN DEL MÉTODO 1.- Expresar as deformacones en funcón de os esfuerzos en os extremos de as barras. (Ecuacón consttutva). 2.- Expresar os esfuerzos en os extremos de as barras en funcón de as ncógntas hperestátcas de as fuerzas exterores conocdas. (Ecuacón de equbro). 3.- Apcar as ecuacones de compatbdad de as deformacones. (Ecuacón de compatbdad). SE GENERA UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES X = T L X = matrz de deformacones T = matrz de fexbdad en coordenadas gobaes L = matrz ncógnta (fuerzas hperestátcas) RESOLUCIÓN L = T -1.X Fuerzas hperestátcas Se apca 2 Se apca 1 Esfuerzos en barras Deformacones Juan Pérez Vacárce 1999

16 MÉTODO DE RIGIDEZ CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS INCÓGNITAS BÁSICAS DATOS MOVIMIENTOS EN LOS NUDOS FUERZAS EN LOS NUDOS APLICACIÓN DEL MÉTODO 1.- Expresar as esfuerzos en os extremos de as barras en funcón de os movmentos en dchos extremos. (Ecuacón consttutva). 2.- Apcar as ecuacones de compatbdad de as deformacones. Se ponen os movmentos de os extremos de as barras (coordenadas ocaes) en funcón de os movmentos de os nudos (coordenadas gobaes). (Ecuacón de compatbdad). 3.- Apcar as ecuacones de equbro de nudos. (Ecuacón de equbro). SE GENERA UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES L = S X L = matrz de cargas en os nudos S = matrz de rgdez en coordenadas gobaes X = matrz ncógnta (despazamentos en os nudos) RESOLUCIÓN X = S -1.L Despazamentos en coord. gobaes Se apca 2 Se apca 1 Despazamentos en coord. ocaes Esfuerzos Juan Pérez Vacárce 1999

17 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS SISTEMAS DE REFERENCIA Y CONVENIOS DE SIGNOS SISTEMA DE COORDENADAS GLOBALES SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES z' ' Fuerzas despazamentos + + x' + Momentos gros z Ee x Drectrz de a barra Ees,z Ees prncpaes de nerca de a seccón DATOS DE LA BARRA L, A, I, I,I z T (ánguos con ees gobaes) x Juan Pérez Vacárce 1999

18 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CAMBIOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA Para resover una estructura es precso cambar as varabes de coordenadas ocaes a gobaes vceversa matrz de transformacón O x z O x z Sstema goba Sstema oca CAMBIO DE EJES x' ' z' = x' x x' x'z x ' x ' ' z z'x z' z'z z cosenos drectores En forma matrca X = D. X Generamente e cambo de ees es una rotacón. En e pano ' D = cos a -sen a 0 sen a cos a x x' Juan Pérez Vacárce 1999

19 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CÁLCULO MATRICIAL: PRINCIPIOS GENERALES. P' x1 P' x2 P x d' P x1 x1 P x2 2 d' x2 P x2 P x3 3 P x3 Ecuacón consttutva reacona os esfuerzos con os despazamentos Coord. ocaes P = k P = k P = k d x1 1 x1 d x2 2 x2 d x3 3 x3 P k 0 0 d x1 1 x1 Px2 = 0 k2 0 dx2 P 0 0 k d x3 x P K d P = matrz de fuerzas nternas K = matrz de rgdez d = matrz de despazamentos de eementos Ecuacón de compatbdad d = d' - 0 x1 x1 d = d' - d' x2 x2 x1 d = 0 - d' x3 x2 d 1 0 x1 d' x1 dx2 = -1 0 d' x2 d 0-1 x d' d A A = matrz de compatbdad d = matrz de despazamentos de nudos reacona os despazamentos de eementos (coordenadas ocaes) con os de os nudos (coordenadas gobaes) Juan Pérez Vacárce 1999

20 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Ecuacón de equbro P ' = P - P x1 x1 x2 P ' = P - P x2 x2 x3 P = matrz de fuerzas exterores A t = Matrz traspuesta de A as fuerzas externas has de equbrarse co as fuerzas nternas (coordenadas gobaes) P = Px1 ' x1 Px2 P' x Px3 t 123 P' A P Se formuan tres ecuacones matrcaes P = K d Ecuacon consttutva d = A d' Ecuacon de compatbdad t P' = A P Ecuacon de equbro Proceso 1 P = A t. P 2 P = A t. K. d 3 P = A t. K. A. d P = S. d P = S. d Expresa a ecuacón matrca en coordenadas gobaes de a estructura competa. Juan Pérez Vacárce 1999

21 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ECUACIÓN CONSTITUTIVA C C C Expresa a reacón entre os esfuerzos sobre un eemento os despazamentos de dcho eemento. Para materaes eástcos es a e de Hooke. A referrse a cada eemento se formua en coordenadas ocaes. Su grado de compedad depende de número de esfuerzos que defnan e estado de a barra. ESTRUCTURAS ARTICULADAS P x d x Puesto en forma matrca P = - P x x = d - d = P x D x x E A P = - P = E A ( d - d ) x x x x ESTRUCTURAS RETICULADAS P x d x Sóo esfuerzo ax E A P - E A x = dx P { - E A E A d x x { P K d Ax, cortante fector P P m m P x P x Px P m Px P m dx d q = K dx d q Juan Pérez Vacárce 1999

22 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CÁLCULO DE LA ECUACIÓN CONSTITUTIVA POR MEDIO DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD z' Pz m m x P x P m z P z m x ' m P m x P z Esfuerzos Ax Momentos fectores Esfuerzos cortantes Momento torsor x' La matrz de fexbdad reacona os despazamentos de eemento con sus esfuerzos Inversa de a matrz de rgdez. P = K d d = T P (rgdez) (Fexbdad) T = K K = T -1-1 La ventaa de este método es que a matrz de fexbdad puede obtenerse sempre por smpe apcacón de teorema de Castgano. Energía eástca de eemento U = N E A + M 2 2 V + E I G A + M 2 T G J dx 0 Dervando a energía eástca con respecto a cada esfuerzo se puede obtener e despazamento correspondente. d = U P e d = T P E nvrtendo a matrz de fexbdad se obtene a matrz de rgdez. Juan Pérez Vacárce 1999

23 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD. ' P m P x P x m P x Los esfuerzos nternos evan a dreccón de os ees ocaes. Las fuerzas externas evan a dreccón de os ees gobaes. x' Las ees de cambo de coordenadas son as msmas que para ees. Se trata de una rotacón de ees de ánguo a x cos a sen a 0 x' = -sen cos 0 ' a a z z' { { x A x' Para os esfuerzos Px cos a sen a 0 P x' P = -sen cos 0 P ' a a m m' { { P A P' Para os despazamentos dx cos a sen a 0 d x' d = -sen a cos a 0 d ' q q' { d A d' Las msmas reacones pueden generazarse para cuaquer sstema de coordenadas. Juan Pérez Vacárce 1999

24 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ECUACIÓN DE EQUILIBRIO m' 1 P' 1 P' 2 P' x1 1 2 m' P' x2 3 4 Estructura cuaquera con cargas en os nudos 2 P' = P' x1 P' 1 M' 1... P' x2 P' 2 M' Fuerzas exterores Fuerzas nterores se equbran Fuerzas P' P Despazamentos { d' { d exterores nternas Apcando e prncpo de trabaos vrtuaes 1 P' d' = 1 P d trabao fuerzas externas En forma matrca trabao fuerzas nternas t t P' d' = P d Apcando a ecuacón de compatbdad d = A d' t t t t P' d' = P A d P' = P A Y trasponendo esta ecuacón Ecuacón de equbro P' = A P Juan Pérez Vacárce 1999

25 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS PLANTEAMIENTO GENERAL DEL CÁLCULO MATRICIAL Ecuacón consttutva Ecuacón de compatbdad Ecuacón de equbro P = K d P = K A d' t mutpcando a a zquerda por A t t 123 A P = 1A 4 2K 34 A d' P' = S d' P' S Sstema nea de ecuacones P = K d d = A d' t P' = A P n datos Fuerzas en os nudos n ncógntas Despazamentos en os nudos E probema se reduce a resover un sstema nea de n ecuacones con n ncógntas, por cuaquera de os métodos matemátcos dsponbes. s s s... s s s s... s s s s... s : : :... : s s s... s n n n n1 n2 n3 nn x1 x 2 x 3 : x n = p1 p2 p 3 : p n Una vez resueto e sstema se conocen os despazamentos de os nudos en coordenadas gobaes. Juan Pérez Vacárce 1999

26 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ENSAMBLAJE POR BLOQUES Matrz de un eemento Coordenadas gobaes P' P' = S S S S d ' d ' Stuacón en a matrz de rgdez de a totadad de a estructura +S +S fa +S +S fa coumna coumna Juan Pérez Vacárce 1999

27 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS EJEMPLO DE ENSAMBLAJE POR BLOQUES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA P' 1 S S11 1 S S d' 1 P' 2 1 S 21 1 S + S S S S 25 0 d' 2 P' 3 P' S 32 S 33 + S S 36 =. S S d' 3 d' 4 P' S S 55 0 d' 5 = 0 P' S S 66 d' 6 = 0 En os nudos 5 6 os tres despazamentos son nuos a tratarse de empotramentos. Pueden emnarse de sstema de ecuacones. E nudo 4 tene dos despazamentos nuos (artcuacones). Las fas correspondentes a esos despazamentos tambén pueden emnarse. Juan Pérez Vacárce 1999

28 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS EFECTO DE LOS VÍNCULOS. Una vez efectuado e ensambae de matrces se obtene un sstema nea de ecuacones de tpo s s s... s s s s... s s s s... s : : :... : s s s... s n n n n1 n2 n3 nn x1 x 2 x 3 : x n = p1 p2 p 3 : p n La exstenca de un víncuo supone un despazamento conocdo. La ecuacón correspondente a esa ncógnta no necesta ser resueta. Despazamentos nuos d =0 d x=0 d x=0 d =0 d =0 0 =0 Son ecuacones que pueden emnarse de sstema. En a práctca es mucho más smpe formar a ecuacón pero satara a a hora de resover e sstema. Despazamentos conocdos pero no nuos Es precso modfcar a matrz de rgdez goba. Supongamos conocdo e vaor de x 2 x 2 =b Métodos de resoucón Resoucón drecta Factores de penazacón Juan Pérez Vacárce 1999

29 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Método de resoucón drecta.- Se modfca e sstema de ecuacones en forma ta que mantenga a smetría. s11 0 s s1n x x2 s31 0 s s 3n x 3 : : :... : : s 0 s... s x n1 n3 nn n = p - s β p - s : p - s n n2 β β β S ha más despazamentos conocdos se repte este proceso as veces que haga fata. Método de os factores de penazacón.- Se modfca e sstema de ecuacones utzando un factor de penazacón mu grande, por eempo s s s... s 10 s21 s22 10 s... s s s s... s : : :... : s s s... s n 23 2n n n1 n2 n3 nn x1 x2 x 3 : x n = p1 p2 10 p3 : p n 10 β S dvdmos a segunda ecuacón por s obtendremos s s x + x + s 10 x s n x = β n s s Que es práctcamente equvaente a x 2 =b que es a ecuacón de despazamento mpuesto Juan Pérez Vacárce 1999

30 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Métodos drectos.- Son agortmos que proporconan una soucón exacta de sstema tras un número fnto de operacones. C Método de Gauss C Método de Gauss-Jordan C Método fronta C Método de Choesk Método teratvos.- Son agortmos que suponen una soucón nca nexacta que va convergendo a a soucón exacta por aproxmacones sucesvas. C Método de Jacob C Método de Gauss-Sede C Método de gradentes conugados E probema prncpa de os métodos teratvos es asegurar a convergenca de a soucón en un número fnto de pasos. Juan Pérez Vacárce 1999

31 MÉTODO DE GAUSS CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS S 11.x 1 + s 12.x 2 + s 13.x s 1n.x n = p 1 pvotes S 21.x 1 + s 22.x 2 + s 23.x s 2n.x n = p 2 X f 21 =-s 21 /s 11 S 31.x 1 + s 32.x 2 + s 33.x s 3n.x n = p 3 X f 31 =-s 31 /s S n1.x 1 + s n2.x 2 + s n3.x s nn.x n = p n X f n1 =-s n1 /s 11 C C Se mutpca a ecuacón pvote por cada pvote se suma a cada ecuacón s 11.(-s 21 /s 11 ) + s 11 = -s 11 + s 11 = 0 La ecuacón pvote se mantene cada una de as demás se modfca anuando a prmera coumna S 11.x 1 + s 12.x 2 + s 13.x s 1n.x n = p 1 pvotes 0.x 1 + s 22.x 2 + s 23.x s 2n.x n = p 2 0.x 1 + s 32.x 2 + s 33.x s 3n.x n = p 3 X f 32 =-s 32 /s x 1 + s n2.x 2 + s n3.x s nn.x n = p n X f n2 =-s n2 /s 22 C C C C C Se toma a segunda ecuacón como pvote Se retera e proceso anuando a segunda coumna Se toma a tercera ecuacón como pvote Se retera e proceso anuando a tercera coumna Se repte con todas as ecuacones hasta que todos os térmnos bao a dagona prncpa sean nuos (matrz tranguar) s 11.x 1 + s 12.x 2 + s 13.x s 1n-1.x n-1 + s 1n.x n = p 1 + s 22.x 2 + s 23.x s 2n-1.x n-1 + s 2n.x n = p 2 + s 33.x s 3n-1.x n-1 + s 3n.x n = p s n-1,1.x n-1 + s n-1,n.x n = p n-1 C De a útma ecuacón se despea x n + s nn.x n = p n C Levando este vaor a a penútma se despea x n-1 C Procedendo sucesvamente se obtenen todas as ncógntas Juan Pérez Vacárce 1999

32 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CÁLCULO DE ESFUERZOS P' = S d' Se obtenen os despazamentos en os nudos, pero nteresa conocer os esfuerzos en a barras. Para cada barra ' P m x P m P x P x Se conocen d d x' Interesa conocer P P P = K d pero d = A d' Cacuamos os despazamentos en coordenadas ocaes d = A d' Levando estos despazamentos a a ecuacón consttutva se obtenen os esfuerzos sobre a barra P = K d A afectar a as barras una por una no es necesaro recurrr a as matrces competas de a estructura, sno sóo a as de cada barra, o que supone una gran smpfcacón de cácuo. Juan Pérez Vacárce 1999

33 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS COMPROBACIÓN DE RESULTADOS Los resutados de cácuo matrca nunca son rgurosamente exactos. Errores de truncadura Probemas de ma condconamento SIEMPRE es precso comprobar que a estructura está en equbro ESTRUCTURAS DE NUDOS ARTICULADOS.- Se comprueba e equbro de os nudos, para as fuerzas horzontaes vertcaes externas. ' F P x' F = 0 F + P cos a = 0 x x =1 F = 0 F + P sen a = 0 =1 n n Juan Pérez Vacárce 1999

34 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS DE NUDOS RÍGIDOS.- Se comprueba e equbro de os nudos para as fuerzas horzontaes vertcaes para os momentos externos. ' M P m F P x x' F = 0 F + (P cos a - P sen a ) = 0 x x x =1 F = 0 F + (P sen a +P cos a ) = 0 M = 0 M + m = 0 n n x =1 n =1 Juan Pérez Vacárce 1999

35 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS ARTICULADOS ' x x' Ecuacón de a barra P x d x Puesto en forma matrca P x d ( d - d x x x x ) x P = - P x x = d - d = P x D x x E A P = - P = E A E A P - E A x = dx P { - E A E A d x x { P K d P = K d + K d P = K d + K d Juan Pérez Vacárce 1999

36 Cambo de ees ' CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS P' = P x P' = P x cos sen a a En forma matrca x P' x P x P' x' P' x cos a = x P' sen { a t P' A P ( P ) Proectando sobre e ee de a barra P = P' cos + P' sen ( P {) ( ) P' x a a = cos a sen a x x x P' P A 123 P' Para os despazamentos as reacones son déntcas d = A d' t d ' = A d Apcando a transformacón de coordenadas a as ecuacones P = K d + K d P = K A d' + K A d' P = K d + K d P = K A d' + K A d' Mutpcando a a zquerda por A t t t t P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d' t t t P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d' Juan Pérez Vacárce 1999

37 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Efectuando as mutpcacones matrcaes S = S = cos a EA sen a ( a a ) cos sen = EA 2 EA cos a sen a cos a EA EA 2 sen a cos a sen a S = S = cos a - EA sen a ( a a) cos sen = - EA cos - EA 2 a sen a cos a - EA sen cos - EA 2 a a sen a La matrz de rgdez en coordenadas gobaes de a barra será P' x P'... P' x P' EA EA cos sen cos : - EA cos - EA 2 2 a a a a sen a cos a EA EA sen cos sen : - EA sen cos - EA d' x 2 2 a a a a a sen a d' = : EA cos - EA... EA EA 2 2 a sen a cos a : cos a sen a cos a d' x - EA sen cos - EA EA EA d' 2 2 a a sen a : sen a cos a sen a Juan Pérez Vacárce 1999

38 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS ' P' x x Para cada barra se apca a ecuacón de compatbdad d = A d' P x P' x' d' x d' 123 d A d' ( d {) = ( cos sen ) x a a Nudo orgen d = cos a d' + sen a d' x x Nudo extremo d = cos a d' + sen a d' x x Apcando a ecuacón consttutva P = K d P = EA P = - EA d - EA d + EA d x x x d x x x Juan Pérez Vacárce 1999

39 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS. Se comprueba e equbro de os nudos, para as fuerzas horzontaes vertcaes externas. ' P' x F P P' x' Es precso pasar os esfuerzos sobre as barras a coordenadas gobaes P' t x P' = A P P' P' = P cos a = cos sen a. P a ; P' = P sen a x Apcando as condcones de equbro F = 0 F + P cos a = 0 x x =1 F = 0 F + P sen a = 0 =1 n n ( ) Juan Pérez Vacárce 1999

40 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS PLANOS ' x x' Matrz de cargas exterores Matrz de fuerzas nternas Fx P' = F P = M Despazamentos en coord. ocaes dx d q d =... d' = d x d q Px P m... P x P m Despazamentos en coordenadas gobaes d' x d' q'... d' x d' q' Juan Pérez Vacárce 1999

41 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Estado 1 P 1 m P P x dx d dx d x P x Estado 2 2 m 1 m d - d m 2 Momentos producdos por e estado 1.- Gro de os extremos. q q 1 1 m = 3E - m I 6EI 1 1 = - m 3E + m I 6EI 1 m = 4E 1 m = 2E I q I q + 2E I q + 4E I q Momentos producdos por e estado 2.- Despaz. de os extremos. m = m = 6E 2 2 I ( d - d ) = 6E I d - 6E I d E estado tota es a suma de ambos m = 6E I d + 4E I - 6E I d + 2E I q q 2 2 m = 6E I d + 2E I - 6E I d + 4E I 2 q 2 q Juan Pérez Vacárce 1999

42 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Esfuerzos cortantes.- Se pantea a ecuacón de equbro de a barra P = - P = m + m = 12EI d + 6EI q - 12EI d + 6EI q Esfuerzos axes.- Su formuacón es déntca a as estructuras artcuadas P = - P = EA d - EA d x x x x Ponendo todas estas ecuacones en forma matrca EA EA 0 0 P d x x 12E 6E P = 0 d E dx 6E d I I I I m { 6E 4E 0 { 0-6E I I q I 2EI q 2 2 { P K d K d - EA EA 0 0 P P = 0-12E - 6E d 12E d + 0-6E d x x x I I I I d m { 6E 2E 0 { 0-6E I I q I 4EI q 2 2 { P K d K d Que pueden ponerse en a forma P = K d + K d P = K d + K d En coordenadas ocaes Juan Pérez Vacárce 1999

43 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Cambo de coordenadas.- Se pasan de coordenadas ocaes (x,) a gobaes (x, ) por medo de una matrz de rotacón. Px P m cosa sena 0 = -sena cosa P' x P' m Como en as matrces de P = A P' P' = A t P rotacón a nversa es gua a a traspuesta Apcando a transformacón de coordenadas a as ecuacones P = K d + K d P = K A d' + K A d' P = K d + K d P = K A d' + K A d' Mutpcando a a zquerda por A t t t t P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d' t t t P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d' Para cacuar as submatrces S se apca a transformacón de coordenadas a cada una de as submatrces K Juan Pérez Vacárce 1999

44 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS EA 0 0 cosa -sena 0 cosa sena 0 12E 6E S = sena cosa 0 0 -sena cosa I I 6E 4E I I t A K A E resutado fna de efectuar estas mutpcacones matrcaes a as cuatro submatrces será S = a c d : -a -c d c b e : -c -b e d e f : -d -e g a -c -d : a c -d -c -b -e : c b -e d e g : -d -e f Sendo a = EA cos + 12E 2 I 2 a sen a 3 b = EA sen + 12E 2 I 2 a cos a 3 c = EA sen cos - 12E I a a sena cosa 3 d =- 6E I sen ; e = 6E I a cosa 2 2 f = 4E I ; g = 2E I Juan Pérez Vacárce 1999

45 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS PLANOS Para cada barra se apca a ecuacón de compatbdad d = A d' Apcando esta ecuacón a os nudos orgen extremo de a barra dx cosa sena 0 d' x d = -sena cosa 0 d' q q' Nudo orgen Nudo extremo d = cos a d' + sen a d' x x d = - sen a d' + cos a d' q x = q' d = cos a d' + sen a d' x x d = - sen a d' + cos a d' q x = q' Apcando a ecuacón consttutva P = K d P = - P = EA d - EA d x x x x P = - P = m +m = 12E I d + 6E I - 12E I d + 6E I q q m = 6E I d + 4E I - 6E I d + 2E I q q 2 2 m = 6E I d + 2E I - 6E I d + 4E I q q Juan Pérez Vacárce 1999

46 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS PLANOS. Se comprueba e equbro de os nudos, para as fuerzas horzontaes vertcaes externas para os momentos exterores. ' M P m F P x x' Es precso pasar os esfuerzos sobre as barras a coordenadas gobaes P' x cos a -sen a 0 Px t P' = A P P' = sen a cos a 0. P m' m P' = P cos a - P sen a x x P' = P sen a + P cos a x m' = m Apcando as condcones de equbro F = 0 F + (P cos a - P sen a ) = 0 x x x =1 F = 0 F + (P sen a +P cos a ) = 0 M = 0 M + m = 0 n n x =1 n =1 Juan Pérez Vacárce 1999

47 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ACCIONES SOBRE LAS BARRAS.- PÓRTICOS PLANOS Estado genera P q -m P q -m -V -V Estado I -V +V + Estado II -m m Estado I.- Se empea e conveno de sgnos de fectores cortantes M P P M Estado II.- Se empea e conveno de sgnos de matrca P x P x Dagrama de fectores Dagrama de cortantes -m - M V - -m +M P - + V + P Resutado fna Superposcón E I + E II Juan Pérez Vacárce 1999

48 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS DE EMPARRILLADOS PLANOS P q P P M Condcones C C C Estructura pana, horzonta, de nudos rígdos. Cargas perpendcuares a pano. Momentos contendos en e panos Hpótess C C Los despazamentos son sóo vertcaes. No se producen gros de ee vertca ' z=z' x' x Juan Pérez Vacárce 1999

49 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Matrz de cargas exterores Matrz de fuerzas nternas Mx P' = FZ P = M Despazamentos en coord. ocaes q x dz q d =... d' = q x dz q mx Pz m... m x Pz m Despazamentos en coordenadas gobaes q' x d' z q'... d' x d' z q' La dferenca prncpa con os pórtcos panos consste en e efecto de momento torsor que es anáogo a de esfuerzo ax. mx x - x mx m = - m = GJ q - GJ q x x x x Juan Pérez Vacárce 1999

50 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS m x P z dz t t d z x m x Estado 1 m 1 1 m P z Estado 2 2 m m 2 d - d z z Momentos producdos por e estado 1.- Gro de os extremos. m 1 m 1 θ θ θ = - m 1 4EI = 3E 6E m 1 + 2E I I I m 1 θ θ θ = - m 1 2EI = + + 4E I 3EI 6EI Momentos producdos por e estado 2.- Despaz. de os extremos. m = m = 6E ( d - d ) = 6E d - 6E 2 2 I I I d 2 z z 2 z 2 z E estado tota es a suma de ambos m = 6E m = 6E I d + 4E I - 6E I d + 2E I q q 2 z 2 z I d + 2E I - 6E I d + 4E I q q 2 z 2 z Juan Pérez Vacárce 1999

51 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Esfuerzos cortantes.- Se pantea a ecuacón de equbro de a barra P = - P = m + m z z = 12EI d + 6EI q - 12EI d + 6EI q 3 z 2 3 z 2 Momentos torsores.- Su formuacón es anáoga a as estructuras de pórtcos panos m = - m = GJ q - GJ q x x x x Ponendo todas estas ecuacones en forma matrca GJ GJ m 0 0 x x 12E 6E P = 0 d E x θ 6E θ z I I d 3 2 z 3 2 z I I m 6E 4E 0 { 0-6E 123 I I θ I 2EI 2 2 { θ P K d K - GJ EA 0 0 m P = 0-12E - 6E x x θ 12E d + 0-6E θx z I I 3 2 z I I 3 2 dz m 6E 2E 0 { 0-6E 123 I I θ I 4EI θ 2 2 { P K d K d Que pueden ponerse en a forma d P = K d + K d P = K d + K d En coordenadas ocaes Juan Pérez Vacárce 1999

52 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Cambo de coordenadas.- Se pasan de coordenadas ocaes (x,) a gobaes (x, ) por medo de una matrz de rotacón. ' mx Pz m cosα 0 senα m' x = P' z -senα 0 cosα m' z=z' x' x Como en as matrces de rotacón a nversa es gua a a traspuesta P = A P' P' = A t P Apcando a transformacón de coordenadas a as ecuacones P = K d + K d P = K A d' + K A d' P = K d + K d P = K A d' + K A d' Mutpcando a a zquerda por A t t t t P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d' t t t P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d' Para cacuar as submatrces S se apca a transformacón de coordenadas a cada una de as submatrces K Juan Pérez Vacárce 1999

53 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS GJ 0 0 cosα 0 -senα cosα 0 senα 12E 6E S = I I 3 2 senα 0 cosα 6E 4E -senα 0 cosα I I t A K A E resutado fna de efectuar estas mutpcacones matrcaes a as cuatro submatrces será como en e caso de pórtco pano S = a c d : g -c h c b e : c -b d e f : h g c h : a -c d -c -b - : -c b - h : d - f Sendo os coefcentes a = GJ 2 cos + 4E I 2 sen ; b = 12E I a a 3 c = - 6E I sen ; d = GJ sen cos - 4E I a a a sena cosa 2 e = 6E I cos ; f = GJ 2 sen + 4E I 2 a a cos a 2 g = - GJ 2 cos + 2E I 2 sen ; h = - GJ sen cos + 2E I a a a a sena cosa = 6E I cos a ; = - GJ 2 2 sen + 2E I a 2 cos a Juan Pérez Vacárce 1999

54 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURAS DE EMPARRILLADOS PLANOS Para cada barra se apca a ecuacón de compatbdad d = A d' θ α α x cos 0 sen d z = θ -senα 0 cosα θ' d' θ' x z Apcando esta ecuacón a os nudos orgen extremo de a barra Nudo orgen Nudo extremo θ = cos α θ' + sen α θ' x x d = d' z z θ = - sen α θ' + cos α θ' x θ = cos α θ' + sen α θ' x x d = d' z z θ = - sen α θ' + cos α θ' x Apcando a ecuacón consttutva m = - m = GJ θ - GJ θ x x x x P = - P = m + m z z P = K d = 12E I d + 6E I - 12E I d + 6E I θ θ m = 6E I d + 4E I - 6E I d + 2E I θ θ 2 z 2 z m = 6E I d + 2E I - 6E I d + 4E I θ θ 2 z 2 z 3 z 2 3 z 2 Juan Pérez Vacárce 1999

55 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURAS DE EMPARRILLADOS PLANOS. ' F z=z' x' M x Se comprueba e equbro de os nudos, para as fuerzas vertcaes externas para os momentos exterores. Es precso pasar os esfuerzos sobre as barras a coordenadas gobaes t P' = A P m' P' m' m' = m cos α - m sen α P' = P z x x z m' = m sen α + m cos α x Apcando as condcones de equbro x Z cos α 0 -sen α m = P sen α 0 cos α m M = 0 M + (m cos α - m sen α ) = 0 x x x =1 F = 0 F + P = 0 z z z =1 n n n M = 0 M + (m sen α + m cos α ) = 0 x =1 x Z Juan Pérez Vacárce 1999

56 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ACCIONES SOBRE LAS BARRAS.- EMPARRILLADOS PLANOS Estado genera ' F z=z' x' x ' ' z=z' -M x' -V F -V -M x z=z' V x' M -M V x Estado I + Estado II Estado I.- Se empea e conveno de sgnos de fectores cortantes Estado II.- Se empea e conveno de sgnos de matrca para emparrados panos Juan Pérez Vacárce 1999

57 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Los momentos de estado 2 están referdos a coordenadas ocaes V M V ' ' M' x M M' α x M' M' x M z=z' x' M x x' Deben cambarse a coordenadas gobaes M' = - M sen a ; M' = M sena x x M' = M cos a ; M' = - M cosa x Dagrama de fectores -M + M' -M M' -V - Dagrama de cortantes P z - + V + P z Resutado fna Superposcón E I + E II Juan Pérez Vacárce 1999

58 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS EMPARRILLADOS SOBRE PILARES. z α x ' Suponemos sóo despazamentos vertcaes en os nudos m = 4E I x P = EA z x d θ x x z=z' x' m = 4E I θ m P m x z K = = 4EIx 0 0 EA 0 0 4EI 0 0 θ d θ 4EIx 0 0 cosα 0 -senα EA senα 0 cosα 4EI 0 0 x x cosα 0 senα senα 0 cosα K = 4EI cos + 4E 4E sen 0-4E x 2 I 2 I I x α α senα cosα EA 0 0 4EI - 4E I 4E sen cos 0 sen + 4E x Ix 2 I 2 α α α cos α Juan Pérez Vacárce 1999

59 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS MALLAS ESPACIALES Son estructuras formadas por barras artcuadas en e espaco. Ees ocaes ees gobaes. ' S ó o e s sgnfcatvo e ee x x' z x z' x Ee x ( cosα, cos β, cosγ) = Matrz de rgdez x,, z z Px x x P x P EA = P = ( d d ) x x x x Juan Pérez Vacárce 1999

60 En forma matrca: CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS P P x x = EA EA EA EA d d x x P kd kd = + P = k d + k d Matrz de compatbdad: t cosα = ( cosα cos β cosγ ) = cos β cosγ Matrz de rgdez en coordenadas gobaes S = K = ( cos α cos β cos γ ) ± EA Efectuando e producto de matrces se obtene = EA S a b c a b c b d e b d e c e f c e f a b c a b c b d e b d e S c e f c e f S S cos α cos β cos γ a=cos 2 a b=cos a cos b c=cosa cosg d=cos 2 b e=cosbcosg f=cos 2 g Juan Pérez Vacárce 1999

61 VÍNCULOS CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Apoo smpe sobre un pano d z = 0 x z Artcuacón cíndrca x d x = 0 d = 0 z Artcuacón esférca (rótua) x d x = 0 d = 0 d z = 0 z Cácuo de esfuerzos EA P = P = d d ( ) x x x x pero d = d' cos α+ d' cosβ + d' cosγ P x x z d = d' cosα + d' cosβ + d' cosγ x x z Px Px [( d' d' ) cosα ( d' d' ) cosβ ( d' d' ) cosγ ] EA = P = + + x x x x z z Juan Pérez Vacárce 1999

62 CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS MALLAS ESPACIALES SOBRE PILARES. z=z' x' z α x ' m m x = 3E = 3E P = EA z I d d x 2 x I d 2 z m m P x z K = 3EIx d 3E = I 0 0 d 2 EA d 0 0 3EIx 0 0 cosa -sena 0 3E sena cosa I EA 0 0 x z cosa sena 0 -sena cosa K = 3EI cos + 3E 3E sen - 3E x 2 I 2 I I x a a sena cosa 0 3EI - 3E I 3E sen cos sen + 3E x I x 2 I 2 a a a cos a 0 EA 0 0 Juan Pérez Vacárce 1999