ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS ESPACIALES

Transcripción

1 ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS ESTRUTURAS DE PÓRTOS ESPAALES Barra en e espaco en coordenadas ocaes P z m z P y m y m x P x P z mz P y m y m x P x Los esfuerzos y despazamento en coordenadas ocaes serán Px Py P z ~ ~ P =... P = m x my m z Px Py P z... m x my m z dx dy d z ~ ~ d =... d = q x qy q z dx dy d z... q x qy q z Las reacones entre esfuerzos y deformacones son smares a as obtendas en e pórtco pano y en e emparrado pano Juan Pérez Vacárce 999

2 Esfuerzo ax. ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS P = - P = EA d - EA d x x x x omento torsor m = - m = GJ q - GJ q x x x x LEXÓN EN EL PLANO DEL ENTRAADO z Estado y m y θ y m y θ y y x Estado y m y m y δ z δ z m = - 6E m = - 6E d + 6E d + 4E + E y y y y θ θ y z z y y d + 6E d + E + 4E y y y y θ θ y z z y y P = - P = - E d + E d + 6E + 6E y y y y θ θ z z z z y y Juan Pérez Vacárce 999

3 ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS LEXÓN EN EL PLANO NORAL AL ENTRAADO z Estado y m z m z y x Estado m z θ z θ z m z δ y δ y m = 6E m = 6E d - 6E d + 4E + E z z z z θ θ z y y z z d - 6E d + E + 4E z z z z θ θ z y y z z P = - P = E d - E d + 6E + 6E z z z z θ θ y y y y z z Juan Pérez Vacárce 999

4 ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS Ponendo todas estas ecuacones en forma matrca ~ K = ~ ~ K K EA EA Ez 6Ez Ez 6E z Ey 6Ey Ey 6Ey GJ GJ Ey 4Ey 6Ey Ey Ez 4Ez 6Ez E z L L L L L L L L L L L L EA EA Ez 6Ez Ez 6Ez Ey 6Ey Ey 6E y GJ GJ Ey Ey 6Ey 4E y Ez Ez 6Ez 4Ez ~ K K ~ Que pueden ponerse en a forma ~ ~ ~ ~ ~ P = K d + K d ~ ~ ~ ~ ~ P = K d + K d En coordenadas ocaes Juan Pérez Vacárce 999

5 ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS ABO DE OORDENADAS Se pasan de coordenadas ocaes (x,y,z) a gobaes (x,y,z ) por medo de una matrz de rotacón que afecta a cada grupo de tres ees α z β γ Z=(cos,cos,cos ) z z Z' α y β y γ y Y=(cos,cos,cos ) α x β x γ X=(cos,cos,cos ) x Y' X' ~ A = ~ ~ t ~ ~ t ~ ~ ~ ~ t ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d' ~ ~ t ~ ~ t ~ ~ ~ ~ t ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d' cos α x cos β x cos γ x cos α y cos β y cos γ y cos α z cos β z cos γ z L L L L L L cos α cos β cos γ cos α cos β cos γ cos α cos β cos γ x x x y y y z z z Para pasar a coordenadas gobaes se procede como en os casos anterores Juan Pérez Vacárce 999

6 ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS ÁLULO DE ESUERZOS: ESTRUTURAS DE PÓRTOS ESPAALES Para cada barra se apca a ecuacón de compatbdad ~ ~ ~ d = A d' Apcando esta ecuacón a os nudos orgen y extremo de a barra Nudo orgen d = d' cos α + d' cos β + d' cos γ x x x y x z x d = d' cos α + d' cos β + d' cos γ y x y y y z y d = d' cos α + d' cos β + d' cos γ z x z y z z z θ = θ ' cos α + θ ' cos β + θ ' cos γ x x x y x z x θ = θ ' cos α + θ ' cos β + θ' cos γ θ y x y y y z y z = θ ' cos α + θ' cos β + θ' cos γ x z y z z z Nudo extremo d = d' cos α + d' cos β + d' cos γ x x x y x z x d = d' cos α + d' cos β + d' cos γ y x y y y z y d = d' cos α + d' cos β + d' cos γ z x z y z z z θ = θ ' cos α + θ ' cos β + θ ' cos γ x x x y x z x θ = θ ' cos α + θ ' cos β + θ' cos γ θ y x y y y z y z = θ ' cos α + θ' cos β + θ' cos γ x z y z z z Juan Pérez Vacárce 999

7 Apcando a ecuacón consttutva ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS ~ ~ ~ P = K d P = - P = EA d - EA d x x x x m = - m = GJ q - GJ q x x x x m = - 6E m = - 6E d + 6E d + 4E + E y y y y θ θ y z z y y d + 6E d + E + 4E y y y y θ θ y z z y y P = - P = - E d + E d + 6E + 6E y y y y θ θ z z z z y y m = 6E m = 6E d - 6E d + 4E + E z z z z θ θ z y y z z d - 6E d + E + 4E z z z z θ θ z y y z z P = - P = E d - E d + 6E + 6E z z z z θ θ y y y y z z Juan Pérez Vacárce 999

8 ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS OPROBAÓN DE RESULTADOS: ESTRUTURAS DE PÓRTOS ESPAALES. Se comprueba e equbro de os nudos, para as fuerzas vertcaes externas y para os momentos exterores. Es precso pasar os esfuerzos sobre as barras a coordenadas gobaes ~ ~ P ' = A t P P' x P' y P' z L m' x m' y m' z = cos α x cos β x cos γ x cos α y cos β y cos γ y cos α z cos β z cos γ z L L L L L L cos α cos β cos γ cos α cos β cos γ cos α cos β cos γ x x x y y y z z z Px Py P z L m x my m z Apcando as condcones de equbro = 0 + (P cos α + P cos α + P cos α = 0 x x x = n x y y z z = 0 + (P cos β +P cos β + P cos β = 0 y y x = n x y y z z = 0 + (P cos γ + P cos γ +P cos γ = 0 z z x = n x y y z z = 0 + (m cos α + m cos α + m cos α = 0 x x x = n = 0 + (m cos β + m cos β + m cos β = 0 y y x = n = 0 + (m cos γ + m cos γ + m cos γ = 0 z z x = n x y y z z x y y z z x y y z z Juan Pérez Vacárce 999

9 ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS AONES SOBRE LAS BARRAS.- PÓRTOS ESPAALES V V En e caso más frecuente de cargas vertcaes sobre a barra Es precso pasar os esfuerzos de empotramento perfecto sobre as barras a coordenadas gobaes ~ ~ P ' = A t P Nudo orgen P' x P' y P' z L m' x m' y m' z = cos α x cos β x cos γ x cos α y cos β y cos γ y cos α z cos β z cos γ z L L L L L L cos α cos β cos γ cos α cos β cos γ cos α cos β cos γ x x x y y y z z z 0 V cos γ 0 V cos γ V V cos γ L = L 0 cos β cos β 0 cos β x y z x y z Juan Pérez Vacárce 999

10 Nudo extremo ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS P' x P' y P' z L m' x m' y m' z = cos α x cos β x cos γ x cos α y cos β y cos γ y cos α z cos β z cos γ z L L L L L L cos α cos β cos γ cos α cos β cos γ cos α cos β cos γ x x x y y y z z z 0 V cos γ 0 V cos γ V V cos γ L = L 0 - cos β - - cos β 0 - cos β x y z x y z Resutado fna Superposcón E + E Juan Pérez Vacárce 999

11 ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS ÉTODOS DE RENUERAÓN DE NUDOS Obetvos Reducr e espaco de amacenamento Reducr e tempo de cácuo ALGORTO DE UTHLL - c KEE Se ege como punto nca uno conectado a otros pocos nudos. A partr de é se construye un grafo. Se numeran os puntos de grafo en orden descendente. 4 Se retera e proceso para todos os nudos. EJEPLO 9 () Ancho de Banda 5 () () (7) 6 4 (5) (6) (9) 7 (4) 8 (8) (9-5+) =5 Ancho de Banda (5-+) = No conduce necesaramente a a soucón óptma eora s se efectúan permutacones en cada nve, pero a costa de un mportante ncremento de tempo, que o puede hacer nvabe. Es senco y fác de programar. Juan Pérez Vacárce 999

12 ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS SPLAONES EN EL ÁLULO ATRAL Obetvos Reducr e número de grados de bertad Smpfcar modezacones compeas ESTRUTURAS NTRASLAONALES Son aqueas cuyos nudos pueden grar pero no despazarse Por barras que tranguan a estructura Por cerramentos sódos que mpden e despazamento de os nudos E cácuo se smpfca a no tener más que un grado de bertad por nudo: E gro Juan Pérez Vacárce 999

13 ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS ATRZ DE RGDEZ DE LA BARRA. m θ θ m E únco grado de bertad (e gro) no depende de sstema de coordenadas. No es precso cambo de ees. omentos producdos por e estado.- Gro de os extremos. q q = m E = - m E - m 6E + m 6E m = 4E q m = E q + E q + 4E q Que puesto en forma matrca 4E E m = m E 4E q q { ~ 4 44 P ~ ~ K d E ensambae de matrces y a consderacón de as cargas repartdas se hacen de a msma manera que en e caso genera. Juan Pérez Vacárce 999

14 ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS ESTRUTURAS TRASLAONALES Son aqueas cuyos nudos pueden grar y despazarse. Puede smpfcarse e tratamento matrca s se consderan as sguentes hpótess: Sóo se consderan deformacones debdas a os momentos fectores. En consecuenca. Los pares se consderan ndeformabes a compresón. E despazamento horzonta de os nudos de msmo dnte es déntco. Estas hpótess son smares a as que se empean en e método de ross. E pórtco tene sus vgas y pares paraeos a os ees gobaes. y' x' Todos os pares egan a cmentacón. Juan Pérez Vacárce 999

15 ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS Juan Pérez Vacárce ~ ~ P = d = d d q q q q q NUERAÓN. Es precso numerar os grados de bertad de a estructura, no os nudos: Gros en os nudos. Despazamentos en os dntees horzontaes. Vector de cargas Vector de despazamentos

16 ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS ÁLULO DE LAS ATRES DE RGDEZ. En este caso os ees ocaes concden con os gobaes, por o que no es necesaro consderar as matrces de compatbdad. m θ θ m VGAS Los extremos tenen e msmo despazamento. Es déntco a caso ntraacona. 4E E m = m E 4E q q { ~ 4 44 P ~ ~ K d PLARES b b a a En un par actúan os momentos en sus extremos y y as fuerzas correspondentes a os despazamentos horzontaes de as pantas que une, a y b. E cácuo de a matrz de rgdez se hace como en e caso genera. Juan Pérez Vacárce 999

17 ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS m δ δ b a b b θ b m a a θ m a δ a m omentos producdos por e estado.- Gro de os extremos. q q m = E - m 6E = - m E + m 6E m = 4E m = E q q + E q + 4E q omentos producdos por e estado.- Despaz. de os extremos. m = m = 6E ( d - d ) = 6E d - 6E d b a b a E estado tota es a suma de ambos m = 4E m = E + E - 6E d + 6E q q d a b + 4E - 6E d + 6E q q d a b Juan Pérez Vacárce 999

18 ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS Panteando a ecuacón de equbro de a barra = - = - m +m a b = - 6E q - 6E q + E d + E d a b Ponendo todas estas ecuacones en forma matrca 4E E - 6E 6E m E 4E m - 6E 6E q = - 6E - 6E E - E q a d a b 6E 6E - E db E { ~ ~ ~ P K d E ensambae de a matrz goba y e tratamento de as cargas repartdas se hacen como en e caso genera Juan Pérez Vacárce 999

19 ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS ÁLULO ATRAL DE UN EDO OPLETO Despazamento en una soa dreccón W= fuerza de VENTO Pueden acoparse os pórtcos por medo de beas por tener e msmo despazamento atera. W/ PORTO PORTO PORTO Juan Pérez Vacárce 999

20 SUBESTRUTURAS ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS Proceso genera de cácuo matrca. Se estuda e comportamento de un eemento en funcón de os despazamentos de sus dos extremos. Se ensamban todas as barras de a estructura en una matrz de rgdez goba. Se resueve e sstema de ecuacones y se cacuan os esfuerzos. Tambén es posbe ensambar un conunto de barras sempre que sea posbe formuar os esfuerzos en os nudos de unón con e resto de a estructura en funcón de os despazamentos de esos nudos. Este conunto se ama subestructura. AONES RESPUESTAS La subestructura funcona como una caa negra Para obtener a matrz de rgdez de a subestructura: Se pantea a matrz de rgdez tota de todas as barras afectadas. Se condensan de esa matrz e conunto de grados de bertad que nteresen. Se facta enormemente e proceso ordenando os grados de bertad de forma ta que queden agrupados os que nterese condensar. Juan Pérez Vacárce 999

21 Panteamento teórco ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS A x = b Sstema goba A A x = b ŁA A ł Łxł Łbł 4 44 { { ~ ~ A x ~ b A x + A x = b A x + A x = b Sstema condensado * A 0 x = b * * * Ł 0 A ł Łxł b { Ł ł ~ A * x ~ ~ b * Desarroando e sstema anteror x = A (b - A x ) A A (b - A x ) + A x = 0 (A - A A A ) x = b - A A b A x = b - - * De donde - * * A = A - A A A * b = b - A A b Para condensar os grados de bertad es muy cómodo apcar e agortmo de Gauss, sempre que estén a fna. En caso contraro se necestan agortmos especaes. Juan Pérez Vacárce 999

22 ANÁLSS NO LNEAL ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS Prncpaes causas: omportamentos no neaes de matera Grandes despazamentos odfcacones de estado tensona por a deformacón En este apartado sóo se van a anazar os efectos no neaes de a varacón de rgdez por efecto de esfuerzo ax Varacones de estado tensona por a deformacón de a barra Aumento de axes ayor deformacón Dsmnuye a rgdez Tendenca a nestabdad La estructura se hace nestabe cuando a matrz sea snguar (autovaor nuo) Axes régmen nea régmen no nea coapso Despazamentos OLAPSO PANDEO GENERALZADO de PORTO Juan Pérez Vacárce 999

23 ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS E esfuerzo ax modfca a rgdez Anáss no nea N α α N E efecto de ax sobre a estructura deformada hace que aumente e gro α α α La rgdez R = a dsmnuye a aumentar α ases de cácuo no nea Se hace un cácuo nea on os axes cacuados se modfca a matrz de rgdez Se efectúa un nuevo cácuo con a rgdez corregda Se contnua a teracón hasta que a dferenca de axes en dos cácuos consecutvos sea menor que o prefado La matrz de rgdez en coordenadas ocaes será P P m P P x Y L x y Łmł ~ P EA EA 0 0 E 6E E 6E 6E 4E 0 0-6E E 4 = L - EA L L L L L L EA E - 6E E 0-6E 6E E 0 0-6E 4E Ł 4 ł ~ K Juan Pérez Vacárce 999 d d q d d x y x y Ł q ł ~ d

24 ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS Sendo Φ, Φ, Φ, Φ 4 unas funcones de estabdad defndas como Se cacua a rgdez ( s = /q ) y e factor de trasmsón ( t = / ) en funcón de porcentae de ax sobre a carga crítca de pandeo BARRA OPRDA N ' N r = - p N E p > 0 a = r s = t = (- a ctg a) a tg a - a a - sen a sen a - a cos a BARRA TRAONADA r = - p N E p < 0 g = - r s = t = (- g cth g) g tg g - g g - sh g sh g - g ch g Juan Pérez Vacárce 999

25 ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS Suponendo desprecabe e efecto de cortante = = = s 4 s (+ t) a s (+ t) g - o = r > 0 r < 0 s (+ t) 6 4 = s t omo os despazamentos son muy pequeños se supone que no varían as orentacones de os ees ocaes, n a matrz de compatbdad. NOTA.- Para vaores reducdos de esfuerzo ax N < 0,05 t ordenador puede cometer graves errores de truncadura a cacuar s y t. En estos casos se hace drectamente = = = 4 = La matrz de rgdez goba será e ~ S = a c d : -a -c d c b e : -c -b e d e f : -d -e g a -c -d : a c -d -c -b -e : c b -e d e g : -d -e f Sendo Juan Pérez Vacárce 999

26 ALULO ATRAL DE ESTRUTURAS a = EA cos + E a sen a b = EA sen + E a cos a c = EA sen cos - E a a sena cosa d = - 6E sen ; e = 6E a cos a f = 4E ; g = E 4 ÁLULO DE ESUERZOS Para cada barra se apca a ecuacón de compatbdad ~ ~ ~ d = A d' d cos sen 0 d' x a a x d = -sena cosa 0 d' y y q 0 0 q' Apcando esta ecuacón a os nudos orgen y extremo de a barra Nudo orgen Nudo extremo d = cos a d' + sen a d' x x y d = - sen a d' + cos a d' q y x y = q' d = cos a d' + sen a d' x x y d = - sen a d' + cos a d' q y x y = q' Juan Pérez Vacárce 999

27 ÁLULO ATRAL DE ESTRUTURAS Apcando a ecuacón consttutva P = - P = EA d - EA d x x x x P = - P = ~ ~ ~ P = K d E d - E 6E d + q + 6E q Ł ł Ł ł y y y y m = m = 6E d - 6E d + 4E + E q q Ł ł y y 4 6E d - 6E d + E + 4E q q Ł ł y y 4 La comprobacón de resutados se efectúa de a msma forma que en os pórtcos panos en os que no se ha consderado a varacón de rgdez con e ax. Juan Pérez Vacárce 999