MATEMÁTICAS II. CUADERNILLO DE ACTIVIDADES y tareas. Bachillerato General, Modalidad Mixta. Nombre del

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1 Bachillerato General, Modalidad Mixta MATEMÁTICAS II CUADERNILLO DE ACTIVIDADES y tareas. Nombre del Alumn@ Día de la clase de matemáticas Hora de la clase de matemáticas Elaborado por: Maestra María Luisa Rubalcava Nungaray Enero de

2 GEOMETRÍA Contenidos del cuadernillo de trabajo: Ángulos Triángulos Teorema de Thales. Semejanza de Triángulos Congruencia de Triángulos Teorema de Pitágoras Polígonos Cuadriláteros Círculo y Circunferencia Trigonometría. 2

3 A continuación se presentan los conceptos básicos utilizados en geometría. PROPOCISIONES VERDADERAS Geometría Euclidiana CONCEPTO DEFINICIÓN Es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las formas y de los cuerpos geométricos. Cuerpo Geométrico Son cuerpos físicos todas las cosas que nos rodean: lápices, libros, mesas etc. Tienen forma, color, están hechos de una sustancia determinada y ocupan un lugar en el espacio. Punto El punto: Es un término indefinido. Como el centro de reunión Línea recta Como la distancia más corta entre dos puntos del plano. El borde de una pizarra; etc. Plano Planos son dibujos que representan una ciudad o parte de ella, como también puede referirse a un edificio, una urbanización, un conjunto residencial. Espacio Limitado, sin longitud, anchura ni altura. 3

4 NOMBRE DESCRIPCION EJEMPLOS RAZONAMIENTO Es la capacidad que posee el ser humano de asociar en forma debida, diversas ideas, observaciones y hechos para obtener conclusiones correctas. Se usa en matemáticas para establecer la verdad de una proposición. AXIOMA Es una proposición tan evidente por si misma que no requiere demostración. El todo es igual a la suma de sus partes. El todo es mayor que cualquiera de sus partes. POSTULADO Es una proposición que también se admite sin demostración. La recta es la distancia mas corta entre dos puntos TEOREMA Es una proposición que requiere demostración y consta de un conjunto de razonamientos: la hipótesis y la tesis. La suma de los ángulos interiores de un triángulo son dos ángulos rectos. DEFINICION Es una proporción que implica una convención o descripción. Ángulos adyacente son dos ángulos que tiene el mismo vértice y un lado común entre ellos. COROLARIO Es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo y cuya demostración requiere de un ligero razonamiento y en ocasiones ninguno La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos. Se deduce el siguiente corolario. La suma de los Ángulos agudos de un triángulo rectángulo es un ángulo recto. 4

5 DEFINICIÓN, CLASIFICACIÓN Y MEDICIÓN DE ÁNGULOS CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS Según su medida o magnitud pueden ser: 5

6 6

7 Resuelve los siguientes ejercicios según corresponda: Encuentra el valor de X y anota el valor de cada ángulo: Si el valor del ángulo Cuál es el valor del ángulo B? 7

8 Resuelve los siguientes ejercicios según corresponda: Encuentra el valor de X y anota el valor de cada ángulo: Si el valor de 8

9 . 9

10 Ángulos que se forman cuando dos paralelas son cortadas por una secante Resuelve las siguientes actividades utilizando la teoría anterior según corresponda. 10

11 Utilizando la teoría de clasificación de ángulos resuelve lo siguiente 11

12 . RESUELVE LO QUE SE TE PIDE: 12

13 Escribe el nombre de cada uno de los ángulos: A B C D E 13

14 TRIÁNGULOS Es importante entender que la relación y propiedades de los triángulos tienen que ver en gran medida, en la resolución de problemas que tienen; como las proyecciones de sombras, alturas, relaciones de inclinación del sol, etc. Que son datos importantes en el análisis del problema que se plantea. Para ello lee con detalle la siguiente información que te permitirá entender mejor el problema y resuelve las actividades que se te presentan al final. Un triángulo es una figura geométrica formada por la unión de tres semirrectas o segmentos de recta, las cuales comparten tres puntos de unión llamados vértices. Clasificación de triángulos de acuerdo a la longitud de sus lados: Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60 ) Triángulo isósceles: Tiene (al menos) dos lados y dos ángulos iguales Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos. Clasificación de triángulos por la medida de sus ángulos: Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa. 14

15 Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º) y los otros dos son agudos (menor de 90º). Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son menores a noventa. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo. Triángulo oblicuángulo: Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo. De lo anterior podemos deducir las siguientes cuestiones: Los triángulos acutángulos pueden ser: Triángulo equilátero: con los tres ángulos agudos e iguales a 60º y los tres lados iguales, este triángulo es simétrico respecto a sus tres alturas. Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente. Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría. Los triángulos rectángulos pueden ser: Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45 cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa. Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes. Los triángulos obtusángulos pueden ser: Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos. 15

16 Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes. Cálculo de la superficie de un triángulo Área del triángulo: La superficie también llamada área, de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura (donde la altura es un segmento perpendicular que parte de la base hasta llegar al vértice opuesto). Y dividiendo en dos. Siendo b la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y h la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto a esa base la superficie S queda expresada del siguiente modo: Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo (a, b, c) es posible calcular la superficie empleando la fórmula de Herón. Donde p = ½ (a + b + c) es el semiperímetro del triángulo. Cuando el triángulo es muy "afilado" (la suma de los dos lados menores es muy similar al valor del lado mayor) la fórmula anterior es inestable numéricamente. Rescribiendo la fórmula anterior obtenemos: 16

17 Resuelve las siguientes actividades Clasifique estos triángulos en escaleno, isósceles o equilátero; y posteriormente en acutángulo, rectángulo y obtusángulo. 1. De acuerdo a la longitud de sus lados. a b c d 2. De acuerdo a la medida de sus ángulos. a b c d 3. Determina el área de un triángulo equilátero que mide 12 cm de lado. 4. Las medidas de un triángulo son: 12, 16 y 22 cm respectivamente. Cuánto mide su área? 5. Determina la altura de un triángulo de 5 m de base y área de. 6. Determina la medida de la base de un triángulo de 8 cm de altura y de área. 7. Determina el área y perímetro de un triángulo cuyos lados miden 30cm., 40cm. y 60cm. respectivamente. 8. Calcula el área del siguiente triángulo. 17

18 PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS (Teoremas). Longitud de sus lados. Una propiedad obvia de todos los triángulos es que la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado. Suma de ángulos internos (Teorema). La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano. Otras propiedades adicionales (Corolarios): En todo triángulo, cada ángulo es igual a 180º menos la suma de los otros dos ángulos. Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantes son agudos. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales. Propiedad del ángulo exterior (Teorema): Todo ángulo exterior de un triángulo es suplementario de su ángulo interior, así la suma de ambos igual a la suma de los dos ángulos rectos. Otras propiedades (Corolario): En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos interiores. 18

19 Resuelve las siguientes actividades utilizando la teoría anterior. 9. Encuentra el valor de x en los siguientes triángulos y escribe los grados del ángulo correspondiente a cada uno. TRIÁNGULO ECUACIÓN 19

20 Calcula el valor de los ángulos numerados Encuentra el valor de x aplicando el teorema del ángulo exterior. 20

21 El siguiente triángulo es equilátero. Qué observas en los resultados obtenidos de los ángulos exteriores del triángulo equilátero?. Encuentra el valor de X De acuerdo a lo anterior podemos concluir que: 21

22 RECTAS Y PUNTOS NOTABLES Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo: Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita. Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio. Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita. Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto. Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo. Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto. Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo. 22

23 En los siguientes triángulos traza las rectas que se te indican para encontrar los puntos notables. 23

24 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Demuestra que los siguientes triángulos son semejantes. Aplica los criterios de semejanza para encontrar el valor de x en las siguientes figuras. 24

25 Calcula a que altura se encuentra el globo en la siguiente imagen: 25

26 Aplica los criterios de semejanza para encontrar el valor de x en las siguientes figuras. Ejemplo de solución del triángulo a: 26

27 CRITERIOS DE CONGRUENCIA 27

28 28

29 TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Teorema Pitágoras de Samos El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de las áreas del cuadrado de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto). El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE LEÍA: NADIE ENTRA SIN SABER GEOMETRÍA 29

30 Ejemplo de solución: Cuando el valor que nos falta es la Hipotenusa. Cuando el valor que nos falta es uno de los catetos. 30

31 Resuelve los siguientes problemas, utilizando el Teorema de Pitágoras. 1. Un albañil apoya una escalera de 5 m contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2m del muro. Calcula a qué altura se encuentra la parte superior de la escalera. 2. En la esquina de una plaza rectangular se encuentra un puesto de helados. Si estoy en la esquina opuesta diagonalmente, cuántos metros tengo que recorrer en diagonal para llegar al puesto? Los lados de la plaza miden 48m y 64m. 3. Calcular el área de un hexágono regular si se sabe que la longitud de cada uno de sus lados mide 4 m. 4. En la siguiente figura los triángulos son semejantes. Calcula la longitud x y determina la distancia entre los puntos A y B. 31

32 Aplica el Teorema de Pitágoras para calcular el valor faltante. a) La longitud de la diagonal del siguiente rectángulo. b) La longitud de la diagonal del siguiente cuadrado. c) La altura del siguiente triángulo equilátero. d) La altura del siguiente triángulo Isósceles. 32

33 Encuentra el dato que falta, utilizando la expresión pitagórica MEDIDA DEL CATETO (a) MEDIDA DEL CATETO (b) MEDIDA DE LA HIPOTENUSA (c) Dos pájaros ven un insecto al mismo tiempo, cómo se ilustra en el esquema. Si las velocidades de vuelo son iguales, cuál crees que llegue primero para comérselo? Se necesita construir una escalera para lavar un tanque de agua que se encuentra a 5m de altura y la escalera será inclinada desde una distancia de 3m, Cuánto debe medir la escalera? 33

34 POLÍGONOS Los polígonos son figuras planas limitadas por una línea poligonal cerrada. Un polígono queda determinado por sus lados, que son los segmentos de la poligonal, por sus vértices, que son los formados por la intersección de dos lados consecutivos y por sus ángulos, que son los que se forman cada dos lados consecutivos. La palabra "Polígono" significa varios lados, es por esto que el nombre particular de cada polígono está definido por el número de lados, que es igual al número de ángulos que quedan determinados por dos lados consecutivos. ELEMENTOS V = Vértice C = Centro L = Lado r = Radio a = Apotema d = Diagonal P = Perímetro El punto de unión de dos lados consecutivos. El punto central equidistante de todos los vértices. Es cada uno de los segmentos que forman el polígono. El segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. Segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono. Segmento que une dos vértices no contiguos. Es la suma de la medida de su contorno. 34

35 CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS ÁREA Polígonos convexos: todos sus ángulos interiores son menores de 180. Todos sus vértices apuntan hacia afuera. Polígonos Regulares: aquellos que tienen todos sus lados de igual longitud y sus ángulos de igual medida. Polígonos cóncavos: por lo menos un ángulo interior mide más de 180. Por lo menos uno de sus vértices apunta hacia adentro. Polígonos Irregulares: aquellos que tienen al menos uno de sus lados de diferente longitud. El área de un polígono regular cualquiera es perímetro (suma de todos sus lados) por apotema dividido entre dos. Llena la tabla utilizando las fórmulas que aparecen en la parte de abajo de las columnas: Polígono No. de lados No. de triángulos No. de diagonales Suma de los ángulos internos del polígono Valor de un ángulo interior Valor del ángulo exterior triángulo cuadrilátero pentágono hexágono heptágono octágono Nonágono (eneágono) decágono ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 35

36 Resuelve las siguientes actividades 1. Cuál es el valor del ángulo interior y el del ángulo exterior de los polígonos regulares indicados. 2. Determina el número de lados que tienen los siguientes polígonos cuyos ángulos interiores suman: 3. Observa el siguiente polígono: Cuál es la fórmula que se requiere para obtener el área de dicho polígono? 4. Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular, cuyo lado mide 2 cm y su apotema 1.73 cm. 5. Marta quiere construir una cometa en forma de pentágono regular de 50cm de lado y 34cm de apotema. Cuánta tela necesitaría? 36

37 CUADRILÁTEROS Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados, cuatro ángulos y cuatro vértices. Los cuadriláteros se clasifican en tres grandes grupos, dependiendo del paralelismo de sus lados: Paralelogramo, Trapecio y trapezoide. Nombre Características Área Perímetro El cuadrado Los cuadrados tienen los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. Para calcular el área del cuadrado se multiplica lado por lado. El perímetro se calcula con la (suma de todos sus lados) El rectángulo Los rectángulos tienen los lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos. El área del rectángulo es base por altura. El perímetro se calcula con la (suma de todos sus lados) El rombo Los rombos tienen los cuatro lados iguales y ángulos iguales dos a dos El área del rombo es igual al producto de diagonales dividido entre dos. Llamamos "D" a la diagonal mayor, y "d" la diagonal menor. El perímetro se calcula con la (suma de todos sus lados) El romboide Los romboides tienen los lados y los ángulos iguales dos a dos. El área del rectángulo es base por altura. El perímetro se calcula con la (suma de todos sus lados) El trapecio rectángulo Tienen dos ángulos rectos. El área de un trapecio es igual al producto de la suma de sus bases por la altura dividido entre dos. ( ) El perímetro se calcula con la (suma de todos sus lados) Los trapecios isósceles Tiene lados no paralelos iguales. El área de un trapecio es igual al producto de la suma de sus bases por la altura dividido entre dos. ( ) El perímetro se calcula con la (suma de todos sus lados) Los trapecios escalenos Los lados que no son paralelos son desiguales. El área de un trapecio es igual al producto de la suma de sus bases por la altura dividido entre dos. ( ) El perímetro se calcula con la (suma de todos sus lados) Los trapezoides Estos cuadriláteros no tienen ningún lado paralelo. El área de un trapecio es igual al producto de la suma de sus bases por la altura dividido entre dos. ( ) El perímetro se calcula con la (suma de todos sus lados) 37

38 Perímetros, Áreas y Volúmenes Resuelve los siguientes problemas 1. Considera las medidas del siguiente romboide y calcula su área. 2. Calcula el área de la siguiente figura: 3. Calcula el área de un cuadrado que tiene de perímetro 100cm. 4. Hallar el perímetro de un rombo cuyo lado mide 8 cm. 5. Calcula el área de un rectángulo de altura 10 unidades y diagonal 26 unidades. 6. Calcula el área de la base de una pirámide triangular que tiene un volumen de si su altura es de 20 m. 7. Calcula el volumen del prisma triangular que tiene el área de la base igual a 38

39 La Circunferencia y el Círculo La circunferencia es una curva plana cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. La superficie limitada por la circunferencia, es decir la parte interior, es el círculo. Fórmulas ( ) ( ) ( ) Principales líneas de la circunferencia Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto. Porción de la circunferencia. Recta que corta la circunferencia en dos puntos. Recta que corta a la circunferencia en un punto. 39

40 Resuelve los siguientes problemas 1. Calcular el área de un círculo cuyo radio mide 8cm. R. 2. Determina el perímetro de una circunferencia cuyo diámetro mide 20cm. R 3. Cuanto mide el radio de una circunferencia que tiene un área de 36. R 4. Calcula el área sombreada. R 5. Obtener el área de la parte sombreada de la siguiente figura. R De las siguientes figuras; calcula el área de la parte sombreada de cada una. R 7. Calcular el área de la corona circular cuando el Radio mayor es 3.5 cm. y el radio menor es 1.75cm. 40

41 8. Una glorieta circular con un radio de 60 m. tiene una parte triangular que se cubrirá con adoquín y, el resto con pasto como se muestra en la figura: Cuántos metros cuadrados se cubrirán con pasto? 9. Calcula el área en metros cuadrados y el volumen en metros cúbicos del siguiente cilindro que tiene un diámetro de 4m y una altura de 9m. 10. Escribe los nombres de cada uno de los elementos de la circunferencia. 41

42 Principales Ángulos de la circunferencia 1. Partiendo de la siguiente afirmación: A un ángulo central le corresponde un ángulo inscrito que es la mitad. Por este motivo, si el ángulo central es llano, Cuánto mide el ángulo inscrito? 2. Cuál es el valor del ángulo central AOB, si el arco vale 120? 3. Cuál es el valor del ángulo inscrito ABC, si el arco mide 110? 42

43 TRIGONOMETRÍA La trigonometría nace de Hiparco, un griego del siglo II a.c. por una necesidad manifiesta de la astronomía de ser una ciencia más exacta, fundada en mediciones y en una matemática apropiada que permitiera predecir eclipses, conocer movimientos de astros, hacer los calendarios más exactos, la navegación más segura y medir distancias entre puntos de difícil acceso. Éste sabio determinó la duración del año solar en 365 días y 6 horas, realizó el primer catálogo estelar con 800 estrellas, sentó las bases de la trigonometría, construyo instrumentos astronómicos e inventó el astrolabio (buscador de estrellas), También sirve para medir distancias por triangulación. Etimológicamente, trigonometría significa medida de los elementos de un triángulo, esta palabra proviene del griego trígonos: (triángulo) y metria: (medida), estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. 43

44 Realiza los cálculos necesarios y completa la tabla. RADIANES GRADOS 44

45 Con base en la información que proporciona el siguiente diagrama, completen la tabla. Redondeen sus resultados sólo hasta centésimos. Después contesten las preguntas. TRIÁNGULO ÁNGULO A CATETO ADYACENTE CATETO OPUESTO HIPOTENUSA cat.opuesto hipotenusa (SENO) cat.adyacente hipotenusa (COSENO) cat. opuesto cat. adyacente (TANGENTE) AMB 27º ANC 27º AOD APE Cómo fue el resultado de la razón seno en los cuatro triángulos?. 2. Qué sucede con la razón coseno y tangente en los cuatro triángulos?. 3. A qué creen que se deba?. 45

46 Contesta lo que se plantea en la siguiente actividad: Cuánto suman los ángulos M y N en el triángulo rectángulo que aparece abajo? Qué nombre reciben esos ángulos? Calculen la altura del asta bandera, si a cierta hora del día el ángulo que forma el extremo de su sombra con la punta del asta mide 37º. M? L m N 46

47 A qué altura del piso se encuentra la punta del papalote, cuando el hilo que lo sostiene mide 60 m y forma con el piso un ángulo de 53º? A 60 m? 53º C B Calculen cuánto mide la sombra de la torre. Encuentren la altura de la torre y la longitud del tirante que la sostiene. 47

48 Calculen los valores que se piden. 48

49 TABLA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 49

50 Puedes realizar tus actividades y tareas con más facilidad si consultas las siguientes direcciones: ÁNGULOS Puedes ver los videos todas las veces que quieras TRIÁNGULOS