LA CLASE VIRTUAL POLINOMIOS

Transcripción

1 LA CLASE VIRTUAL POLINOMIOS

2 Dados el número natural n y los n+1 números reales o complejos a 0,a 1,,a n (los llamados coeficientes) se define el polinomio p en la variable x como la función que hace corresponder al valor que tome x el valor p(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n Se dice que los polinomios p y q son idénticos si

3 Se dice que el grado del polinomio p es n cuando a n es distinto de cero. El polinomio idénticamente nulo 0 carece de grado. Todos sus coeficientes valen cero y se verifica que Dos polinomios p y q son idénticos cuando coinciden sus coeficientes, esto es, p-q=0. A veces se habla del polinomio p(x), entendiendo que se refiere al polinomio p

4 La suma de los polinomios p y q es el polinomio r de modo que Sumar polinomios equivale sumar los coeficientes que afectan a la misma potencia de x.

5 El producto de los polinomios p y q es el polinomio s de modo que Nótese que el grado del polinomio suma r es a lo sumo el máximo de n y m.

6 Análogamente el grado del polinomio producto s es a lo sumo m+n. El cociente de dos polinomios no siempre es otro polinomio. Cuando el cociente f/g del polinomio f y el polinomio g es otro polinomio se dice que g divide a f o que f es múltiplo de g. La división por el polinomio nulo no está permitida.

7 En general la división de un polinomio f dividendo por un polinomio g divisor origina un polinomio cociente q y un polinomio resto r, de modo que 1º f=qg+r, o lo que es lo mismo, 2º El grado de r es menor que el grado de g o bien r es nulo. Nota: f/g es un polinomio si y sólo si r=0.

8 Ejemplo: POLINOMIOS

9 El máximo común divisor de f y g (abreviadamente m.c.d.) es el divisor común de mayor grado con a n =1. El mínimo común múltiplo de f y g (abreviadamente m.c.m.) es el múltiplo común de menor grado con a n =1. Se dice que f y g son primos entre sí si el máximo común divisor es el polinomio constante unidad.

10 El algoritmo euclidiano permite obtener el mcd de f y g de un modo sencillo: 1º f=qg+r 2º g=q r+r 3º r=q r +r hasta que el resto sea nulo. El último resto no nulo es el m.c.d. de f y g.

11 Ejemplos: El m.c.d. de x 4-3x 2 +2 y x 4 +x 3 -x-1 es x 2-1 El m.c.m de x 2-9 y x 2-5x+6 es (x-3)(x+3)(x+2) Los polinomios 8x 3-10x 2 -x+3 y 2x 3-5x 2 -x+6 son primos entre sí.

12 El teorema fundamental del Álgebra afirma que todo polinomio p de grado n tiene al menos un cero, esto es, la ecuación p(x)=0 admite al menos una solución (real o compleja). Teorema: Es α un cero de p si y sólo si p(x) es divisible por x-α.

13 Se justifica el teorema ya que siendo p(x)=q (x)(x-α)+r con r polinomio constante o nulo, si p(x) es divisible por x-α debe ser r nulo, esto es, p(x)=q(x)(x-α) por lo que p (α)=q(α)(α -α) =0 y α es un cero de p; recíprocamente, si α es un cero de p es p(α) =0, luego 0=q(α)(α -α)+r y de aquí r=0, esto es, p(x) es divisible por x-α.

14 Si α es un cero de p el polinomio p se puede factorizar de la forma p(x)=q(x)(x-α) donde (x-α) es un factor lineal y el grado de q una unidad inferior al grado de p. Se podría volver a factorizar q y así sucesivamente hasta llegar a la descomposición en factores lineales de p p (x)=a n (x-α 1 ) (x-α 2 ) (x-α 3 )... (x-α n )

15 Los n ceros obtenidos (repetidos o no) α 1,α 2,α 3... α n son ceros del polinomio p de grado n. Cuando los coeficientes del polinomio p son reales y p posee un cero imaginario de la forma a=a+ib entonces también el conjugado a-ib es un cero de p. En este caso se pueden agrupar los dos factores lineales (x-(a+ib))(x-(a-ib)) en un factor cuadrático de la forma (x 2 +cx+d).

16 Si α 1,α 2,α 3... α k son los ceros distintos del polinomio p de grado n, con multiplicidades respectivas m 1,m 2,m 3... m k se puede factorizar p de la forma: Se puede probar que si α es un cero de p de multiplicidad m, mayor que la unidad, también α es un cero de las derivadas sucesivas, hasta el orden de derivación m-1.

17 La regla de Ruffini se puede utilizar para: 1º Hallar p(β), donde p es un polinomio y β un valor numérico cualquiera 2º Hallar el cociente y el resto de la división del polinomio p(x) y el polinomio x-β. 3º Transformar un polinomio p(x) en un polinomio q(y), mediante la sustitución y=x-β. En este caso hay que apoyarse en el desarrollo de Taylor.

18 Ejemplo: División de p(x)=5x 4 +10x 3 +x-1 por x+2. Aquí se tiene β=-2. El cociente de la división de p(x) por (x+2) es 5x 3 +1 y el resto -3, precisamente el valor de p(-2). Se tiene p(x)= (5x 3 +1 )(x+2)-3

19 Ejemplo: El desarrollo de Taylor del polinomio p(x)=5x 4 +10x 3 +x-1 en x=-2 es Los valores de p y de sus derivadas son calculables por Ruffini en x=-2, llegando a p(x)=5(x+2) 4-30(x+2) 3 +60(x+2) 2-39(x+2)-3