34 Cmmoto, A., Dun, M., Gonzlez, S. Key Wod nd phe: Rmey Numbe, omplete gph, t with null um, olotion, bienti um. 1 Intoduion En 1961 P. Edo, A. Ginzbu

Transcripción

1 Divulgione Mtemti v. 4, No. 1/2 (1996), 33{47 Poblem de Sum Ceo y Bientio Zeo Sum nd Bienti Poblem Agtin Cmmoto, Mielli Dun, Smuel Gonzlez Deptmento de Fomion Genel y Cieni Bi. Univeidd Simon Bolv. Sede del Litol. Cmu Gnde. Aptdo Potl 314. L Gui. Muniipio Vg. Venezuel. Reumen Lo objetivo de ete tbjo on: 1. Detemin: () El Numeo Rmey de Sum Nul p t etell K 1;n on ldo oloedo on elemento de Z k. (b) L teizion de l oloione de lo ldo del gfo ompleto K n+k,1 en Z k de tl fom que no exitn etell K 1;n de um nul (p k imp). 2. L deniion del Numeo Rmey Bientio y el etbleimiento de u popiedde bi. El vlo de ete numeo e luldo p etell K 1;p on p pimo. Plb y fe lve: Numeo Rmey, gfo ompleto, etell de um nul, oloion, um bienti. Abtt he objetive of thi ppe e: 1. o detemine: () he zeo-um Rmey numbe fo t t K 1;n with ide oloed by element of Z k. (b) he mximun numbe of olo to lbel the ide of omplete gph K n+k,1 with no null-um t K 1;n. 2. o dene the Rmey Bienti Numbe nd to etblih it bi popetie. he vlue of thi numbe i lulted fo t K 1;p with p pime.

2 34 Cmmoto, A., Dun, M., Gonzlez, S. Key Wod nd phe: Rmey Numbe, omplete gph, t with null um, olotion, bienti um. 1 Intoduion En 1961 P. Edo, A. Ginzbug y A. Ziv [9] demoton que tod ueion de elemento en un gupo belino G, de longitud 2n, 1, ontiene un ubueion de longitud n de um eo. Atulmente exiten vi demotione de ete teoem, ente ell podemo menion dem de l veion oiginl l de H. Mnn [14], C. Biley y R. Rihte [2] y Y. Hmidoune [12]. Ete eultdo motivo en el mpo de l eo Aditiv y Combintoi el deollo de dive e de invetigion ente l ule tenemo el etudio de lo poblem obe lo numeo Rmey de um eo. En 1992, Y. Co [3] y A. Bilotoki y P. Dieke [6] demoton que el mnimo oden que debe tene un gfo ompleto (de ldo oloedo on elemento de Z k ) p que exit un etell de um nul e n + k, 1ink0 (mod 2) y n + k en lo o etnte. Un de l nlidde de ete tbjo e teiz l mne de oloe lo ldo del gfo ompleto K n+k,1 on elemento de Z k, de tl fom que no onteng un opi K 1;n de um nul. Adem e detemin el mnimo oden que debe tene un gfo ompleto (de ldo oloedo on elemento de Z k ) p que exitn t opi de l etell de um nul, e dene el Numeo Rmey Bientio BR(G; Z k ) de un gfo G y e etbleen u popiedde bi, on lgun etimione de BR(K 1;p ;Z p ). 2 eminolog y notion A ontinuion demo l deniione bi utilizd en el deollo de ete tbjo. Z k denot el gupo de lo enteo modulo k. Un k-oloion de lo ldo de un gfo G =(V(G);E(G)) e un funion f : E(G)! Z k. Si X e2e(g) f(e) =0 diemo que G e un gfo de um nul on epeto f. El gfo ompleto de n vetie lo denotmo K n. El numeo Rmey lio R(G;0;1;2;::: ;k,1) e dene omo el mnimo enteo M tl que p ulquie k-oloion de lo ldo de K M exit un opi monoomti de G en K M. Un m-ubonjunto de un onjunto A e un onjunto B A on jbj = m.

3 Poblem de Sum Ceo y Bientio 35 3 Hemient Uno de lo pimeo eultdo dento de lo poblem de um eo e el iguiente (ve [12]): Lem 3.1 Se G un gupo belino de oden n y x 1,x 2,:::,x n un ueion de elemento de G. Entone exite un ubueion no v x j(1),x j(2),:::,x j(k) on um nul. Demotion: Conideemo el onjunto de um x 1, x 1 + x 2, :::, x 1 +x 2 ++x n Si eto n elemento on todo difeente entone el eo debe e uno de ello. En o ontio do de ello deben oinidi, l impli e obtiene un ubueion no v de um nul. El iguiente teoem (ve [9]) motivo el deollo de lo poblem de um eo obe un gupo G. eoem 3.2 (Edo{Ginzbug{Ziv, 1961) od ueion de 2n, 1 elemento (no neeimente ditinto) de un gupo belino G de oden n ontiene un ubueion de dinlidd n de um nul. L longitud de l ueion 2n, 1 dd en el teoem e l mejo poible y que i e tiene un ueion de n, 1 eo y n, 1 uno no exite ningun ubueion de n elemento de um eo. eoem 3.3 Sen G un gupo de oden n, k = n un enteo poitivo, A un gupo on jaj = n + k, 1 y un funion f : A! G. Entone, exiten A 1,A 2,:::,A ubonjunto de A, on ja i j = n p 1 i y A i \ A j = ; i i 6= j, tle que P x2a i f(x) =0. Demotion: Po induion. El eoem 3.2 puede obtenee pti de ete ultimo tomndo =1. Reientemente Bilotoki y Dieke [3], Co [6] y Floe y Odz [11] hn peido el eoem de Edo-Ginzbug-Ziv de l iguiente fom: eoem 3.4 ([3], [6]) Suponge que n k 2 on enteo tle que k divide n. Se f : A! Z k,on jaj = n + k, 2, un ueion; entone un de l do iguiente ondiione e umple: P i) Exite S A on jsj = n tl que x2s f(x) =0.

4 36 Cmmoto, A., Dun, M., Gonzlez, S. ii) Exiten ; b 2 Z k tle que h, bi = Z k (e dei Z k e genedo po b, ) y l ueion f et fomd po k, 1 elemento igule y (, )k + k, 1 elemento igule b, donde n = k y 1. eoem 3.5 ([11]) Sen P n 3 y A un onjunto nito on jaj 2n,3. Se f : A! Z n tl que x2b f(x) 6= 0 p todo B A tl que jbj = n. Entone exiten ; b 2 Zn tle que un de l iguiente ondiione e vlid: i) jaj 2n,2,jf,1 ()j=n,1yjf,1 (b)j=jaj,n+1. ii) jaj =2n,3,jf,1 ()j=n,1,jf,1 (b)j=n,3yjf,1 (2b, )j =1. Un onoido eultdo de eo de Gfo e el iguiente: Lem 3.6 El numeo devetie de gdo imp e p. eoem 3.7 (Hy, [13]) i) Si n e imp, entone K n e l union dijunt po ldo de (n, 1)=2 ilo hmiltonino. ii) Si n e p, entone K n e l union dijunt po ldo de (n, 1)=2 ilo hmiltonino y un mthing pefeto. 4 Numeo Rmey de um nul Sen G un gfo y k un enteo poitivo que divide je(g)j. El numeo Rmey de um nul denotdo po R(G; Z k ) e dene omo el mnimo enteo M tl que p tod Z k -oloion de lo ldo de K M ete ontiene un opi de G de um nul. L exiteni del numeo Rmey de um nul et gntizd po l exiteni del numeo Rmey lio N = R(G;0;1;2;:::;k,1). En efeto, p tod k-oloion f de K N ete ontiene un opi monoomti de G, digmo de olo. Al um lo vloe de f en ldo de l opi de G eult je(g)j 0 (mod k). Luego R(G; Z k ) exite y e meno o igul R(G;0;1;2;:::;k,1). Obeve que je(g)j debe e multiplo de k, y que de lo ontio p l k-oloion de K M identimente igul uno en d it no hb ningun opi de G en K M on um nul. Lem 4.1 Se G un gfo, f un k-oloion de G y n un enteo poitivo multiplo de k. Si G tiene un vetie x de gdo d(x) k + n, 1, entone G ontiene un opi de K 1;n de um nul.

5 Poblem de Sum Ceo y Bientio 37 eoem 4.2 Si k divide n, entone n+k,1 i n k 0 (mod 2) R(K 1;n ;Z k )= n + k en oto o Ete numeo fue luldo p k = n po Bilotoki y Dieke [3] en 1992 y en el o genel (n multiplo de k) po Co [6] en el mimo ~no. Lo iguiente do teoem no olo pemiten detemin el mnimo oden M = R(tK 1;n ;Z k ) de un gfo ompleto que gntie l peeni de t- etell dijunt po ldo, d un de um nul, ino que tmbien d un etimion de l ntidd de opi de l etell de um nul. eoem 4.3 Sen M y k enteo poitivo, n un multiplo de k tl que M n + k y t el numeo de etell dijunt po ldo de um nul en un k-oloion de K M. Entone, M(M, n, k +1) M(M,1) t 2n 2n Demotion: Si d(x) n + k, 1 p lgun x 2 V (K M ), entone exite en K M un opi de K 1;n de um nul. Luego, e upimen de K M todo lo ldo de et opi y e epite el poeo ht obtene un gfo K M on vetie de gdo meno o igul que n + k, 2, logndo l ot infeio. L ot upeio e obtiene obevndo que el numeo de ldo de K M e M(M,1)=2. Po lo tnto, en K M e pueden obtene lo umo M(M,1)=(2n) etell. Entone, M(M, n, k +1) 2n t M(M,1) 2n Aho bien, omo oneueni de (1) e obtiene el iguiente eultdo: eoem 4.4 El mnimo oden M de un gfo ompleto que gntie l peeni de t etell dijunt po ldo de um nul e l meno 2tn (1) y lo umo 2tn + (n + k, 1)2 4 + n + k, 1 2

6 38 Cmmoto, A., Dun, M., Gonzlez, S. Como un pliion de lo teoem nteioe e tiene que: 1) El mnimo oden M de un gfo ompleto que gntie l peeni de uto etell K 1;4 dijunt po ldo de um nul en Z 2 e po lo meno 7 y lo umo 24, e dei 7 R(4K 1;4 ;Z 2 )24. En ete ejemplo podemo viuliz que en K 6 no podemo enont 4K 1;4 dijunt po ldo on um nul en Z 2. Po lo tnto R(4K 1;4 ;Z 2 )=7. 2) En K 8 oloedo on elemento de Z 2 e pueden enont de 3 7 etell K 1;4 de um nul. 5 No exiteni de l etell de um nul Sen k un numeo imp y n un multiplo de k. El objetivo deet eion e detemin el numeo mximo de oloe on lo que e debe oloe lo ldo de un gfo ompleto K n+k,1 de tl fom que no onteng un etell K 1;n de um nul y d l deipion de l oloion del gfo ompleto. Conideemo un gfo G on ldo oloedo de mne que d vetie tiene ldo inidente oloedo on do oloe (un p de oloe). Un gfo C tl que d vetie et identido po el p de oloe (elemento de Z k ) on lo que etn oloedo u ldo inidente, e denomin gfo de pe de oloe. Un gfo de pe de oloe C tife l iguiente popiedde: i) Do vetie en V (C) on dyente i y olo i exite un olo omun ente lo pe de oloe; en tl o, el ldo inidente et etiquetdo on el olo omun. ii) A d vetie de V (C) e le ignn do bule (`loop'), uno de d olo. Po ejemplo en el vetie b hy do bule, uno etiquetdo on y el oto on b. E lo que lo vetie b y d no on dyente, po lo que deimo que lo vetie on dijunto. A ontinuion e peentn ejemplo de gfo de pe de oloe. 1) Con te oloe, b,.

7 Poblem de Sum Ceo y Bientio 39 b b b b b 2) El gfo C de uto oloe, b,, d e obtiene diionndole lo bule l iguiente gfo (Otedo): bd d b d b d b d b d b En l gu e puede obev que lo lique del otedo tienen lo umo te vetie. M un, exiten do le de lique on te vetie: i) ipo 1 on olo te oloe, po ejemplo el de vetie b, b, y ldo inidente de difeente olo:

8 40 Cmmoto, A., Dun, M., Gonzlez, S. b b b ii) ipo 2, po ejemplo el de vetie b,, d y ldo inidente de un mimo olo (): b d El gfo C pemite onide l pliion h del gfo G (oloedo) en C que peev lo oloe de lo ldo, h: G! C, l ul ign d vetie de G el p de oloe que pee en lo ldo inidente. Po lo tnto p G ddo en l iguiente gu: X 1 X 2 d X 3 q q q B BB A AA B b A BB AA B A q AA BPPPPPPPP q X 5 q A X 4 X 6

9 Poblem de Sum Ceo y Bientio 41 e obtiene l iguiente imgen en C on bule. d b De donde, e puede dei que do vetie X 1 y X 5 vn b 2 V (C) y l ldo inidente (olo b) en E(G) le oeponde un bule (olo b) en C medinte et pliion. Si el gfo G e ompleto, entone u imgen en C e ompleto. En efeto, p b en Im(h), exite lgun vetie x 2 V (G) que tiene ldo inidente de oloe y b, y dem e dyente l eto de lo vetie de V (G), po lo tnto b e dyente todo y 2 Im(g) nfbg, pue h peev lo oloe de lo ldo. Si hy un bule e debe l exiteni en V (G) de do vetie dyente on ldo oloedo on el mimo p de oloe. El iguiente teoem ot el numeo de oloe que debe tene un oloion de lo ldo del gfo ompleto K n+k,1 in etell de um nul. eoem 5.1 Se k un enteo y n un multiplo de k. Un oloion de K n+k,1 on oloe en Z k in etell K 1;n de um nul, ontiene lo umo fnk +1 oloe i fnk 2 ylom te oloe i n = k. Demotion: Po el eoem 3.5, d vetie del gfo ompleto K n+k,1 oloedo tiene ldo inidente etiquetdo on olo do oloe. Deteminndo el numeo de vetie de K n+k,1, que e le ign un vetie de C medinte l pliion ntul h: K n+k,1! C (que peev lo oloe) e igue el teoem. En lo iguiente teoem e deiben l oloione de lo gfo ompleto in etell de um eo.

10 42 Cmmoto, A., Dun, M., Gonzlez, S. Ddo el numeo de oloe on que et oloedo el gfo ompleto K n+k,1 y lo pe de oloe (b,, d, ::: ) on que etn etiquetdo lo ldo de lo vetie, e deteminn l ondiione obe l dinlidd (x, y, z, ::: ) de lo onjunto de vetie (on ldo inidente etiquetdo on el mimo p de oloe) y l ntidd de upl x, y, z, ::: que exiten (e dei el numeo de oloione que hy), medinte un gumento de pidd obe lo ubgfo genedo po lo onjunto de vetie de d p de oloe. Conideemo un oloion de K n+k,1, f : E(K n+k,1 )! Z k on jim(f)j = + 1, n = k. Adem, d vetie tiene ldo etiquetdo on un p de oloe b, on 1 b. L oloion podue ubgfo dijunto po vetie obe lo onjunto de vetie (de un p de oloe) V i,1i, on X 1i jv i j = n + k, 1 y d ubgfo tiene vetie on ldo olo y p, donde p e uno de lo oloe; m un, lo ldo inidente ente vetie de V t y V, on 1 t,, tienen el olo omun. El iguiente teoem et eliondo on el numeo de -upl de dinlidd jvij, 1 i, que e pueden fom p que l oloion poe l teti nteioe. eoem 5.2 Sen k imp, n multiplo de k y f : E(K n+k,1 )! Z k un oloion in etell de um eo, tl que jim(f)j = +1 y V i onjunto de vetie on ldo etiquetdo on el p de oloe p on 1 p. Entone exiten n, k + k +, 2, 1 vloe onveniente p l -upl de dinlidd jv i jkon 1 i. Demotion: e pli el eoem 3.5. En el iguiente teoem lo ldo inidente lo vetie del gfo ompleto K n+k,1 etn oloedo on lo pe de oloe b, b y. eoem 5.3 Sen k imp, n = k y f : E(K n+k,1 )! Z k un oloion in etell K 1;n de um nul, on jim(f)j =3. Sen x, y, z l dinlidde de lo onjunto de vetie on ldo etiquetdo on lo pe b, b, epetivmente; entone el numeo de tiplet xyz que tifen x 3k, 1, (y mod k), (z mod k) e n 2 =2+O() undo!1.

11 Poblem de Sum Ceo y Bientio 43 Demotion: Po el eoem 3.5 e lul un etimion de x, y, z y el gumento de pidd obe lo ubgfo genedo po lo onjunto de vetie on ldo b,b, detemin el numeo de tiplet onveniente. E impotnte det que d tiplet xyz identi un oloion de K n+k,1 in etell K 1;n de um nul. Ejemplo 5.4 Sen k =3,=2,n=k =6; K n+k,1 = K 8. Se t el numeo deoloe de l oloion f : E(K 8 )! Z 3 in etell de um eo. Entone po el eoem 5.1, t 3 on n=k =2. Supongmo que t =3;po el eoem 5.3 e puede onide l tiplet xyz que tife l expeion x 3k, 1, (y mod k), (z mod k), on x =2,y=3,z=3. Adem po el eoem 3.5 un vetie on ldo etiquetdo on b(b)() tiene 5 ldo oloy2ldo olo b (on 2 y 5), (on 2, 5). L iguiente gu epeent un oloion de K 8 in etell K 1;6 de um nul. b b Q QQQQ b 6 Numeo Rmey bientio L neeidd de l ondiion je(h)j 0 (mod n) p l exiteni de R(H; Z n ) e l; oloendo lo ldo de ulquie gfo ompleto on 1, no e poible hll opi del gfo ddo H tle que l um de lo oloe igndo u ldo e nul. Reientemente, Y. Hmidoune demoto l iguiente genelizion del eoem de Edo-Ginzbug-Ziv: eoem 6.1 Se A un onjunto on dinlidd n+k,1. Sen f : A! Z n un ueion en Z n y fw i :1ingun fmili de numeo ntule tl

12 44 Cmmoto, A., Dun, M., Gonzlez, S. que p todo i, md(w i ;n)=1. Entone exiten k elemento ditinto 1, 2, :::, k en A tle que: kx i=1 w i f( i )=( kx i=1 w i )f( k ) : Cundo k = n y w i = 1, on 1 i n, e obtiene el eoem de Edo- Ginzbug-Ziv [5]. El eoem de Hmidoune ugiee l deniion de un onepto imil l de numeo Rmey de um nul, tbjndo on gfo H y enteo n bitio (in exigi l ondiion je(h)j 0(mod n)), tomndo, dem, lgun onjunto ptiul de peo y eemplzndo l ondiion de um nul po l ondiion bienti en el eoem 6.1. Deniion 6.2 Se n 2 un enteo. Sen G un gupo belino de oden jgj = n y H un gfo on je(h)j = k. El numeo Rmey bientio del p (H; G), denotdo po BR(H; G), eelmnimo enteo tl que p d oloion f de lo ldo de K on elemento de G, exite un opi de H, digmo H 0, y un ldo e 0 2 E(H 0 ), tle que l iguiente iguldd e umple: X e2e(h 0) f(e) =kf(e 0 ) Lo iguiente eultdo e obtienen de fom inmedit pti de l deniion : eoem 6.3 ) BR(H; G) iempe exite. De heho, i R(H; n) e el uul numeo Rmey p n oloe ([9], [5]), e umple BR(H; G) R(H; n). b) Si G = Z n y n divide E(H), entone BR(H; G) =R(H; Z n ). Seguidmente lulemo, o l meno otemo, lguno de eto numeo bientio. Cundo G e el gupo lio de oden 2, el numeo Rmey bientio qued ompletmente detemindo p ulquie gfo H, omo lo muet el iguiente teoem:

13 Poblem de Sum Ceo y Bientio 45 eoem 6.4 Si H tiene un numeo imp de ldo, entone BR(H; Z 2 )= jv(h)j. Si H tiene un numeo p de ldo, entone BR(H; Z 2 )=R(H; Z 2 ). Po lo tnto lo eultdo en [2] y [11] pueden plie: R(H; Z 2 )=jv(h)j meno que: H e ompleto ( y entone R(H; Z 2 )=jv(h)j+ 2). H e l union dijunt de do lique. H no e ompleto y todo lo vetie tengn gdo imp. En lo do ultimo o R(H; Z 2 )=jv(h)j+1. A ontinuion veemo lguno eultdo on G = Z 3. Lo pimeo eultdo obtenido en ete o e eeen l etell K 1;k. eoem 6.5 Si k no e multiplo de 3, BR(K 1;k ;Z 3 ) e k +2 y k+3 en o ontio. Po ot pte, BR(K 1;1 ;Z 3 )=2yBR(K 1;2 ;Z 3 )=5. Demotion: Cundo k e multiplo de 3, podemo u lo eultdo obe etell de um nul [9] y ombinlo on l popiedd (b) en el eoem 6.3. Supongmo que k no e multiplo de 3. El o k = 1 e tivil. Se mot que K k+2, p ulquie oloion on elemento de Z 3, ontiene lgun etell K 1;k on l popiedd bienti. Si en lgun vetie lo ldo inidente en el etn oloedo on te oloe, on l meno do de eto ldo on el mimo olo, entone exiti un etell K 1;k entd en ee vetie uyo ldo etn oloedo on lo te oloe y, po lo tnto, tend l popiedd bienti. Si todo lo ldo inidente en lgun vetie de K k+2 etn oloedo on el mimo olo, tod etell entd en ete vetie tend l popiedd bienti. Finlmente, i lo ldo inidente en un vetie etn oloedo on extmente do oloe, digmo y b, peiendo d uno y = k+1, vee epetivmente, uno de lo biento +(,1)b k y (, 1) + b k ee l meno en o b. De heho e h motdo que i k 4, d vetie en K k+2 e el ento de lgun etell K 1;k on l popiedd bienti. Coneuentemente BR(K 1;k ;Z 3 )k+2. Se ve en lo que igue que BR(K 1;k ;Z 3 )k+2.

14 46 Cmmoto, A., Dun, M., Gonzlez, S. Cundo k 1 (mod 3) y k 2, puede ontuie un ubgfo egul de gdo 2 en K k+1 on u ldo oloedo on 1 y lo etnte ldo del gfo ompleto oloedo on 0. Similmente i k 2 (mod 3) y k > 4, puede ontuie un ubgfo egul de gdo 4 uyo ldo eten oloedo on 1 y lo etnte ldo on 0. Entone el biento e 2, el ul no e enuent ente lo oloe igndo lo ldo del gfo ompleto. Po lo tnto BR(K 1;k ;Z 3 )>k+1. Po ot pte i k = 2, oloemo lo ldo de K 4 on te oloe, d uno de ello igndo ldo \opueto". Con et oloion e impoible enont opi de K 1;2 bienti, lo que muet que BR(K 1;2 ;Z 3 )>4. En K 5 e ompueb filmente que d vetie e el ento de un etell K 1;2 monoomti, on lo ul puede onluie que BR(K 1;2 ;Z 3 )=5. eoem 6.6 BR(K 1;2 ;G) e jgj +2 i jgj e imp y jgj +1 i jgj e p. Demotion: P pob l iguldd BR(K 1;2 ;G)=t, debe mote que ulquie oloion de lo ldo del gfo ompleto K t d do ldo dyente on el mimo olo, y que lgun oloion de K t,1 impide et onguion. Si el oden de G e imp, puede deomponee K jgj+1 en jgj mthing pefeto (ve [13], eoem 9.1, pg. 85), y oloee d mthing on un olo difeente. Po oto ldo, en d vetie de K jgj+2 lguno de lo jgj+1 ldo inidente en el vetie ompten el mimo olo. Si el oden de G e p, puede deomponee K jgj en jgj,1 mthing pefeto y oloee d mthing on un olo difeente, p de et fom evit l fomion de etell K 1;2 bienti. Po ot pte, no e poible que d olo quede igndo un olo ldo en d uno de lo vetie del gfo ompleto K jgj+1 de oden imp. Po tnto, lgun olo pee do vee en lgun vetie. Refeeni [1] Alon, N., Co, Y. On hee Zeo-Sum Rmey type poblem, J. of Gph heoy 17 (1993), 177{192. [2] Biley, C., Rihte, R. B. Sum zeo (mod n), ize n ubet of intege, Ame. Mth. Monthly 96 (1989), 240{242. [3] Bilotoki, A., Dieke, P. On the Edo-Ginzbug-Ziv heoem nd Rmey Numbe fo t nd mthing Diete Mth. 110 (1992), 1{8.

15 Poblem de Sum Ceo y Bientio 47 [4] Cmmoto, A., Delome, C., Odz, O. St with null um in gph Intenl Repot 985, LRI, URA 410, CNRS, UPS, Oy, [5] Co, Y. On Zeo-Sum Poblem, uvey, Pepint, [6] Co, Y. On Zeo-Sum Rmey Numbe-St, Diete Mth. 104 (1992), 1{6. [7] Delome, C., Dun, M., Odz, O. he Zeo-Sum St Poblem, Intenl Repot 965, LRI, URA 410, CNRS, UPS, Oy, [8] C. Delome, Fenndez De L Veg, W., Gonzlez, S., Odz, O. Bienti Rmey Numbe, Intenl Repot 989, LRI, URA 410, CNRS, UPS, Oy, [9] Edo, P., Ginzbug, A., Ziv, A. heoem in Additive Numbe heoy, Bull. Re. Counil Iel 10 (1961). [10] Floe, C., Odz, O. On the Edo-Ginzbug-Ziv heoem, to ppe in Diete Mth. [11] Floe, C., Odz, O. On Zeo-Sum Sequene in Abelin Goup, Homenje l D. Rodolfo Rib, Intituto de Mtemti (Coniet-UNS), Bh Bln, [12] Hmidoune, Y. On Weighted Sequene Sum, Pepint, [13] Hy, F. Gph heoy, Addion-Weley, Reding, [14] Mnn, H. B. wo Addition heoem, Jounl of Combintoil heoy 3 (1967), 233{235.