9. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD

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1 9. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD 9.1. Iroducció e hisoria La eoría de vibracioes esudia el oviieo oscilaorio de los siseas físicos. Las vibracioes aparece e iuerables siuacioes relacioadas co la vida corriee, e las áquias y esrucuras que os rodea. Traar de hacer ua lisa de esas siuacioes sería casi iposible. Peseos, por ejeplo, e las vibracioes que ocurre al coducir u auoóvil, al volar e avió, al viajar e re, las producidas por ua áquia-herraiea durae el core, las que sufre los álabes de ua urbia al girar a varios iles de revolucioes por iuo o e las que sopora u edificio durae u erreoo. Las vibracioes aparece e la prácica oalidad de las áquias roaivas. E alguos oores, el desequilibrio es iheree al fucioaieo del propio oor, ieras que e oros es debido a errores de fabricació. Por ejeplo, alguos oores Diesel crea vibracioes e el suelo que origia olesias a las persoas que se ecuera e las proxiidades. Las vibracioes e las urbias so la causa de accidees especaculares, así coo de las rouras de los álabes, que los igeieros o ha sido aú capaces de eviar. Las esrucuras diseñadas para soporar áquias roaivas co fuerzas de iercia grades o áquias aleraivas coo bobas y oores abié esá sujeas a vibracioes. E odos esos casos, el aerial puede fallar debido a la faiga, provocada por esfuerzos alerados. Adeás, las vibracioes provoca el rápido desgase de alguas pares de las áquias, coo los apoyos, rodaieos y egraajes, al iepo que geera excesivo ruido. Si o se iee las debidas precaucioes, las vibracioes puede hacer que los orillos y uercas se afloje. E la áquia herraiea, las vibracioes provoca que los acabados superficiales sea alos. El diseño de siseas ecáicos soeidos a vibracioes requiere éodos de cálculo copleaee diferees de los uilizados e el aálisis esrucural covecioal. Ua esrucura soeida a cargas esáicas se diesioa siguiedo éodos de cálculo clásicos, auque u igeiero habiuado a calcular esrucuras proporcioará a siple visa solucioes uy parecidas a la exaca. E el caso esáico se puede decir que la solució sigue la iuició aural que idica que a ayor carga, ayor secció. Cuado las vibracioes era e escea, la cosa cabia radicalee, pues la agiud de las fuerzas iee ua iporacia secudaria ieras que la frecuecia co que la fuerza se repie pasa a ocupar ua iporacia capial. La iuició e es-

2 186 Cap. 9: Vibracioes e siseas co u grado de liberad os casos puede ser causa de errores, pues fuerzas periódicas pequeñas puede eer efecos ucho ás devasadores que fuerzas esáicas de agiud uy superior. Toda áquia iee ua o varias frecuecias aurales. Al ser exciada por ua fuerza co ua frecuecia próxia a algua de sus frecuecias aurales se produce el feóeo de resoacia, que coduce a desplazaieos de apliud creciee y a la roura. Por los efecos devasadores que las vibracioes puede eer e áquias y esrucuras, los ess de vibracioes se ha coverido e procediieos esádar e la ayoría de los siseas de igeiería. E uchos siseas, el ser huao aparece coo u eleeo iegrae. Las vibracioes e ese caso puede crear fala de cofor y pérdida de eficiecia. Por ello, uo de los propósios pricipales del esudio de las vibracioes es el diseño adecuado de las áquias y de sus sopores. Por ua pare, se raa de iiizar el desequilibrio de la áquia y, por oro, de diseñar la esrucura que la sopora de aera que las vibracioes o la afece. A pesar de su efeco pericioso, las vibracioes se puede uilizar co provecho e uchas aplicacioes idusriales. Por ejeplo, las vibracioes se uiliza e cias rasporadoras vibraorias, lavadoras y copacadoras. La vibració ha ejorado la eficiecia de alguos procesos de ecaizado, fudició, forja y soldadura. Tabié se eplea para siular erreoos, para ivesigació geológica y para realizar esudios sobre la seguridad de los reacores ucleares. Probableee, el prier ivesigador e raar el oviieo oscilaorio fue Galileo ( ), quie coezó ivesigado las oscilacioes de u pédulo y dedujo la relació exisee ere el periodo del pédulo y su logiud. Galileo descubrió abié la ley que rige la caída libre de los cuerpos e ideó el reloj de pédulo, que uos años ás arde sería cosruido por Huygges (1656). Basádose e el rabajo de Galileo, Newo ( ) foruló sus coocidas leyes, que cosiuye el puo de referecia para escribir las ecuacioes del oviieo de los siseas ecáicos vibraorios. D Aleber ( ) fue el priero e esablecer su faoso pricipio, por el cual las fuerzas de iercia se puede cosiderar de la isa aera que las fuerzas exeriores, rasforado u problea diáico e uo esáico. El pricipio de D Aleber dio pie a Lagrage ( ) a desarrollar sus ecuacioes, que describe el oviieo de los siseas diáicos por edio de caidades escalares (eergía ciéica y poecial) e lugar de vecoriales (oeo lieal), coo la seguda ley de Newo. Hooe ( ) esableció la relació ere la esió y la deforació de los sólidos flexibles. Euler ( ) y Berouilli ( ) obuviero la ecuació diferecial que gobiera la la rasisió de vibracioes e vigas. Ere los fruos de los rabajos de esos dos auores se ecuera la eoría de vigas coocida coo de Euler-Berouilli, que se esudia e Resisecia de Maeriales. E u erreo diferee, Fourier ( ) realizó ora gra aporació al esudio de vibracioes, al desarrollar las series que lleva su obre y que perie expresar ua fució cualquiera coo sua ifiia de fucioes aróicas eleeales. El aálisis de Fourier es la base del esudio de las vibracioes e el doiio de la frecuecia, que

3 Cap. 9: Vibracioes e siseas co u grado de liberad 187 cosiuye probableee la herraiea fudaeal del aálisis experieal de vibracioes. Oras aporacioes relevaes al esudio de vibracioes procede de Rayleigh ( ), quie ivesigó la eoría del soido, corrigió la eoría de vigas covecioal icorporado el efeco de la iercia roaiva y desarrolló u éodo uérico para deeriar la frecuecia aural ás baja de u sisea. Por su pare, Tiosheo ( ) dio u gra epuje a la eoría de vigas y placas, desarrollado la coocida viga de Tiosheo, que icluye el efeco del corae, despreciado e la viga de Euler-Berouilli Cocepos previos Vereos a coiuació ua serie de cocepos que se uiliza habiualee e el esudio de vibracioes y que es ecesario eer presees. Vibració: Es u oviieo oscilaorio que aparece, por lo geeral, e los siseas ecáicos soeidos a la acció de fuerzas variables co el iepo. Disiguireos ere vibració y oscilació. La diferecia ere ellas radica e que la vibració iplica la exisecia de eergía poecial elásica, ieras que la oscilació o. U bloque coo el de la Figura 9.1 iee u oviieo vibraorio, ieras que u pédulo coo el de la Figura 9.2 iee oviieo oscilaorio. Pueso que los siseas vibraorios y oscilaorios se rige por ecuacioes siilares, es cosubre esudiarlos juos y prescidir de la diferecia cocepual ere abas. faf Figura 9.1. Sisea vibraorio. Figura 9.2. Sisea oscilaorio. Grados de liberad: So los paráeros ecesarios para defiir de fora uívoca la cofiguració del sisea vibraorio. Por ejeplo, el sisea de la Figura 9.3 iee 2 grados de liberad, que so las dos coordeadas x 1 y x 2 que defie la posició de cada uo de los bloques co respeco a sus posicioes de referecia. x 1 x 2 Figura 9.3. Sisea de discreo de 2 grados de liberad. Figura 9.4. Sisea coiuo

4 188 Cap. 9: Vibracioes e siseas co u grado de liberad Siseas discreos y siseas coiuos: Se deoia siseas discreos aquéllos que puede ser defiidos ediae u úero fiio de grados de liberad y siseas coiuos aquéllos que ecesia ifiios grados de liberad para ser exacaee defiidos. Por ejeplo, el sisea de dos grados de liberad de la Figura 9.3 es u sisea discreo. E cabio, la viga de la Figura 9.4 es u sisea coiuo pues para coocer su deforada es ecesario especificar el desplazaieo verical de cada uo de sus puos, que viee dado por ua fució de la fora y( x ). Maeáicaee, los siseas discreos coduce a ecuacioes difereciales ordiarias, ieras que los siseas coiuos coduce a ecuacioes difereciales e derivadas parciales. El oviieo vibraorio de los siseas coiuos, a excepció de uos pocos siseas co geoerías secillas, suele ser irresoluble co éodos aalíicos. Para resolverlos, se suele rasforar e discreos por écicas de discreizació coo el Méodo de los Eleeos Fiios. Siseas lieales y siseas o lieales: Sea u sisea ecáico que respode co oviieos x1() y x2() a dos fuerzas f1() y f1(), respecivaee. Dicho sisea se deoia lieal si a ua fuerza f3()=a1f1() +a2f2() respode co u oviieo x3()=a1x1() +a2x2(). Ua de las caracerísicas de los siseas lieales es que e ellos se puede aplicar el pricipio de superposició, que esablece que la respuesa a ua exciació cobiada se puede obeer cobiado las respuesas a cada ua de las exciacioes siples. Siseas defiidos y seidefiidos: U sisea se deoia defiido cuado cualquier oviieo que e él se produzca colleva ua variació de la eergía poecial elásica. E cabio, u sisea se dice seidefiido cuado exise algú oviieo que o colleva variació de la eergía poecial elásica. La Figura 9.5 es u ejeplo de u sisea defiido. La Figura 9.6, e cabio, uesra u sisea seidefiido, e el que u desplazaieo de igual agiud e abos bloques o produce variació de la eergía poecial. Figura 9.5. Sisea defiido. Figura 9.6. Sisea seidefiido. Vibracioes libres y forzadas: Vibracioes libres so las que se produce al sacar u sisea de su posició de equilibrio y dejarlo oscilar libreee. Vibracioes forzadas so aquéllas que se produce por acció de fuerzas depediees del iepo. Los disios ipos de fuerzas que puede acuar se clasifica de la siguiee aera: Aróicas: so fucioes del ipo seo o coseo. Periódicas: so fuerzas que se reproduce co ua ciera periodicidad.

5 Cap. 9: Vibracioes e siseas co u grado de liberad 189 Ipulsos: respode al cocepo ecáico de percusió. Arbirarias: cualquier fuerza que o se icluya e uo de los aparados aeriores. Respuesa esacioaria y respuesa rasioria: La respuesa vibraoria de los siseas ecáicos suele esar forada por dos pares: ua pare que iede a cero co el iepo y que se deoia respuesa rasioria y ora que peraece, y que se deoia respuesa esacioaria. Noralee, la pare rasioria se debe a las codicioes iiciales y a las fuerzas idepediees del iepo, ieras que la esacioaria se debe a fuerzas depediees del iepo. Vibracioes deeriisas y vibracioes aleaorias: Las vibracioes se deoia deeriisas cuado se cooce las fuerzas exciadoras, y se deoia aleaorias cuado sólo se cooce valores esadísicos de las exciacioes. E ese úlio caso, o se puede calcular la respuesa exaca y, e su lugar, se relacioa los valores esadísicos de la exciació co los de la respuesa. Ejeplos de fuerzas aleaorias so las provocadas por los erreoos o las origiadas por el vieo. Uilidad de los siseas de u grado de liberad: Los siseas de u grado de liberad so, por ua pare, secillos y, por ora, se da e la prácica e siseas que so direcaee asiilables a siseas vibraorios de u grado de liberad. Adeás, ora propiedad iporae que se verá e el Capíulo 10, es que los siseas vibraorios de N grados de liberad se puede esudiar coo N siseas de u grado de liberad. Por ao, uchos de los resulados obeidos e ese Capíulo será aplicables abié a los siseas de N grados de liberad. x c x x cx Figura 9.7. Sisea básico de u grado de liberad. Figura 9.8. Diagraa de sólido libre del sisea básico de u grado de liberad Vibracioes libres La Figura 9.7 uesra el sisea básico de u grado de liberad, copueso por ua asa puual, u uelle de rigidez y u aoriguador de cosae c. Llaado x al desplazaieo del bloque respeco de su posició iicial de equilibrio, el diagraa de sólido libre del sisea, icluyedo la fuerza de iercia, se uesra e la Figura 9.8. Suado las fuerzas horizoales e igualado a cero, se obiee: x + cx + x = 0 (9.1)

6 190 Cap. 9: Vibracioes e siseas co u grado de liberad La ecuació (9.1) represea ua ecuació diferecial lieal de coeficiees cosaes, cuya resolució se verá e los aparados poseriores para disios valores de los coeficiees y c Vibracioes libres o aoriguadas Cosidereos e prier lugar el caso ás secillo, si aoriguaieo. Paricularizado la ecuació (9.1) para c=0 eeos x + x = 0 (9.2) Por coveiecia, se divide la ecuació (9.2) por la asa, resulado x +ω x = 0 (9.3) 2 dode ω es ua cosae que se deoia frecuecia aural del sisea, y que vale, por defiició ω = (9.4) La solució geeral a la ecuació hoogéea (9.3) se obiee esayado solucioes del ipo x( ) = Ae λ. Susiuyedo e (9.3) se obiee 2 2 ( ) e λ A λ +ω = 0 (9.5) e λ puede ser ulos, ya que si o la respuesa ( ) Por lógica, i A i x sería ula. Por ao, el paréesis debe ser ulo, lo que equivale a λ=±ω i (9.6) La solució x() se obiee, fialee, coo ua cobiació lieal de las dos solucioes posibles ω ( ) 1 2 i ω i = + (9.7) x A e A e Obsérvese que auque e la ecuació (9.7) aparece úeros coplejos la respuesa x( ) ha de ser real, ya que de ora fora o edría seido físico. Para ello, es ecesario que las cosaes A 1 y A 2 sea úeros coplejos cojugados. De esa aera, las pares coplejas de los dos suados de la ecuació (9.7) se aula y el resulado es real. La ecuació se puede reescribir uilizado fucioes rigooéricas. Para ello susiuios los érios expoeciales coplejos e ω i y e ω por sus equivalees rigooéricos, ediae las expresioes iω e = cos ω + ise ω ω i e = cos ω ise ω (9.8) lo que coduce a x = A + A cos ω + i A A se ω (9.9) ( ) ( ) ( ) Pueso que A 1 y A 2 so coplejos cojugados, la sua A1 + A2 es u úero real al que podeos llaar B 1 y el ério i( A1 A2) abié es u úero real al que podeos llaar B 2. Iroduciedo esos dos uevos érios, la ecuació (9.9) queda de la fora