Curso: 3 E.M. ALGEBRA

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1 Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas Eje Tematico: SECCIONES CONICAS Unidad de Aprendizaje: ECUACION DE LA RECTA Capacidades/Destreza/Habilidades: Resolver/Construir/ Decidir/Analizar/ Identificar/ Verificar/Asignar. Valores/ Actitudes: Respeto/Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. Aprendizajes esperados: transforman expresiones algebraicas racionales, operan con ellas y resuelven ecuaciones que las involucran, aplicando recursos como factorización, simplificación y racionalización. Recursos TICs: Realización y revisión de ejercicios por medio de proyector Uso de aplicaciones tecnologicas GEOGEBRA Curso: 3 E.M. ALGEBRA Guía N 3 Evaluación de proceso: Corrección de tareas, interrogaciones orales, trabajo en clases, test. Tiempo: 6 bloques. Tiempo: 3 bloques. Profesor Responsable: M. FERNÁNDEZ RIQUELME Unidad: ECUACION DE LA RECTA Nombre: CURSO:

2 RECTAS EN EL PLANO Distancia entre dos puntos: La distancia entre dos puntos del plano se encuentra algebraicamente aplicando el teorema de Pitágoras, en función de las coordenadas de esos puntos. Sean A ( x, y) y B ( x, y ) dos puntos del plano, Determina la distancia entre éstos puntos. Ejercicios Ubica en el plano y calcula el perímetro de los siguientes polígonos. a) Triángulo ABC cuyos vértices son: A(,), B(-3,4) y C(-,-) b) Cuadrilátero PQRS cuyos vértices son: P(,3), Q(,0) R(-,-) y S(-,0) c) Pentágono DEFGH cuyos vértices son: D(,), E(6,4), F(-8,6), G(-4,-3) y H(0,-)

3 Ángulo de inclinación El ángulo de inclinación (pendiente) es el que se forma de la intersección con el eje X y se obtiene aplicando una relación trigonométrica: Sean A ( x, y) y B ( x, y ) dos puntos del plano, prolongamos la recta más allá de A hasta la intersección de la recta con el eje x, como el segmento AC es paralelo al eje X podemos afirmar que ambos ángulos son correspondientes, por lo tanto sus medidas son iguales. Luego si aplicamos la relación trigonométrica Tg del ángulo la expresión de la pendiente quedaría resumida en : Cat Op ( y y) m tg y así resumiendo: Cat Ady ( x x ) ( y m ( x y) x ) Resumen Posición de la recta Valor de m Agudo 0 < <90 Nulo =0 Recto =90 Obtuso 90 < <80 m>0 m=0 No existe m<0 Ejemplo: Sean A(4,3); B(,) determinar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta. 3 m 4 La pendiente de la recta es 3 tg 4 tg tg =63,43 aprox. El ángulo de inclinación de la recta es de 63,43 aprox. Tipos de Ecuaciones: Lógicamente se puede considerar ( y y) m igual a ( x x ) ecuación ( y y) m y de aquí deducir la ( x x ) 3

4 de la recta ya sea con dos puntos dados o con la pendiente y un punto la que queda resumida en: y y m x ) ( x Ecuación Principal: resulta de despejar y en la ecuación y y m( x x) y mx ( y mx) donde ( y mx) = n, representa el coeficiente de posición y se reduce la ecuación a : y mx n Ecuación General: es sólo una forma de ordenar la ecuación anterior y expresarla con otras variables, observa: y mx n mx y n 0 que se expresa como Ax By C 0 donde A A C y n ; de esta forma la ecuación principal queda reducida a : B B y Ejercicios:. Encuentra la ecuación principal y general de la recta que pasa por: a) A(,-) y B(6,8) b),3) y B(4,7) A B x C B c) A(6,4), m=-3 d) B(0,4) m=. Escribe la ecuación principal y general de la recta de modo que m y n sean respectivamente: a) y - b) y 0 c) 8 y 3 Rectas Paralelas y Perpendiculares: Dos rectas son paralelas si su ángulo de inclinación son iguales, o sea si sus pendientes son iguales: L : y m x n L : y m L // L m x n Dos rectas son perpendiculares si la multiplicación de sus ángulos de inclinación resulta -, o sea si la multiplicación de sus pendientes da como resultado -: L : y m x n L L : y m L m x n m m 4

5 Calcular la distancia del punto P(x, y) a una recta l. En muchas ocasiones no interesa conocer la posición del punto y la recta, sino simplemente la distancia positiva entre ellas. En este caso, la distancia del punto a la recta se expresa por medio de la fórmula: Consideremos una recta l y el punto P(x, y) que no pertenece a la recta. EJEMPLO: Encontrar la ecuación de la recta que contiene el punto P(7, ) y es perpendicular a la recta de ecuación x + y 60 = 0. Como la pendiente de la recta de ecuación x + y 60 = 0 es m entonces, si m denota la pendiente de la perpendicular se sigue que m. Así que de la recta que se busca, se conoce su pendiente m y el punto P(7, ). En consecuencia, la ecuación de dicha recta viene dada por: y x 7 ó x y 44 = 0 es la ecuación general de la recta pedida. EJERCICIOS. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P(7, ) y es perpendicular a la recta de ecuación x + y 60 = 0. Determine las coordenadas del punto de intersección de estas líneas y halle la distancia de P a l de dos maneras distintas.. Una empresa de turismo ha observado que cuando el precio de un viaje es de $000 se venden cuarenta asientos, pero si el precio sube a $8000, las ventas bajan a 30 asientos. a) Encuentre la ecuación de la recta que representa la situación y dibuje su gráfico. b) Determine el precio del pasaje si la venta sube a 6 asientos.

6 3. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (-,) y es paralela a la recta: -0x + y - 6 = 0. R: y=x Si la funciones f(x)=(4-k)x+3 y g(x)=(k+)x+ representan rectas paralelas, entonces encuentre el valor de k. R/k=.. Si la función f(x)=(k /3)x + es paralela con la función g(x)=(/3 + k)x -. Encontrar el valor de k. R/k=-. 6. Hallar el valor de k para que el par de ecuaciones representen rectas paralelas. a) 6x-ky-=0; 3x-y-3=0 R: k=4 b) x-(k-)y-=0; x+(-k)y+=0 R: k= c) (-k)x+3y-=0; (k-)x-y-=0 R: k=4 d) (-k)x-y-=0; (-k)x-3y-=0 R: k= 7. Hallar el criterio de las funciones lineales paralelas f, g y h representadas en las siguientes gráficas. 8. De acuerdo a la figura adjunta hallar el criterio de la función en cada caso: 6

7 9. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A(7,-3), y perpendicular a la recta cuya ecuación es x - y = 8. R: y= -x / Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 4x - y - 6 = 0 y pasa por el punto (-, 4). R: y=-x/4+/4.. Dos rectas perpendiculares se intersecan en el punto (-3,-) y la ecuación de una de ellas es y x. Hallar la ecuación de la otra recta. 3 R/y=3x/-3/. Sean L y L rectas perpendiculares cuyas ecuaciones son L : y = kx - x +, L : y = kx + 7. Determinar el valor de k. R/k=. 3. Las ecuaciones de las rectas L y L son: L : y = kx + x- y L : y = 3x -. Si L L, hallar el valor de k. R: k=-4/3. 4. Determine el valor de k para que las rectas L y L sean perpendiculares, L : y = x - y L : y = kx + x + R: k=-3. Encontrar el valor de k para que el par de ecuaciones representan rectas perpendiculares. a) x-y+3=0; x+(k-3)y+0=0 R: k=3 b) (-3k)y+x-7=0; 7x-(3+k)y-3=0 R: k = -; k= -/3 6. Hallar el criterio de las funciones lineales perpendiculares f, g y h representadas en las siguientes gráficas. 7

8 Otra serie de ejercicios. Si A(7, 4), B(, ), C(, ), D(3, 3), demuestra que ABCD es un rombo.. Demuestra que el ABC de vértices: A(, 4), B(6, 0), C(8, 6) es un triángulo isósceles. 3. Los vértices de un cuadrilátero son: A(, 3), B(3, ), C(4, 4), D(, ). Demuestra que es un cuadrado y determina su área y su perímetro. 4. Demuestra que el cuadrilátero de vértices: A(6, 8), B(, 4), C(4, ), D(, 6) es un trapecio isósceles.. Demuestra que el ABC cuyos vértices son: A(, 0), B(, 0) y C(0, 3 ) es un triángulo equilátero. 6. ABCD es un cuadrado cuyos lados se han dividido en 4 puntos: H, E, F, G, tal como lo ilustra la figura. Utilizando un sistema cartesiano en una posición conveniente, demuestra que HEFG también es un cuadrado: 8