CAPÍTULO 2 ASPECTOS MICROMECANICOS DE LOS MATERIALES COMPUESTOS

Transcripción

1 CAPÍTULO ASPCTOS MICROMCANICOS D LOS MATRIALS COMPUSTOS

2 .. INTRODUCCIÓN n este aartado se va a analizar el coortaiento ecánico de los ateriales couestos en unción de las roiedades de sus constituyentes, en concreto nos centrareos en los ateriales de tio lainado. La unidad básica de un aterial de este tio se denoina láina (ver Figura.), en la que el reuerzo uede ser ediante ibras largas aralelas (láina unidireccional) o ediante un tejido que se obtendría entrelazando las ibras (láina bidireccional), o bien tener una coniguración de ibras cortas. Los esesores tíicos de una láina están corendidos entre una décia de ilíetro y un ilíetro. Figura.. Se reservará el nobre de lainado a un conjunto de láinas, ailadas unas sobre otras (ver Figura.), y entre las que existe continuidad de la atriz entre ellas en la dirección erendicular al lainado. Nótese que, cada láina, uede tener sus ibras con una orientación distinta a la del resto de las otras. Coo quiera que las ibras de un aterial couesto son las que ás contribuyen a soortar los esuerzos a que se encuentre 4

3 soetido la ieza abricada, la osibilidad de ailar láinas en las que las direcciones de las ibras vayan cabiando osibilita al ingeniero realizar un diseño ótio del aterial couesto... MICROMCÁNICA D MATRIALS D FIBRA LARGA.. PORCNTAJS D FIBRA Y MATRIZ Previaente a la obtención de las roiedades de una láina conviene establecer una deinición ás recisa de los aráetros relativos a los contenidos de ibra y atriz. Así, se deine coo contenido ásico de reuerzo, M de una láina a: asa de ibras M asa total [.] Denoinando M al contenido ásico de atriz, que se deiniría coo: M asa de atriz asa total [.] se tendría que: M + M [.] Un aráetro de deinición del aterial couesto, que se utiliza aliaente, es el contenido voluétrico de reuerzo, de la láina, que se deine coo voluen de ibras voluen total [.4] Denoinando coo al contenido voluétrico de atriz de la láina, deinido voluen de atriz voluen total [.5] 5

4 se tendría que + [.6] Los contenidos voluétricos de ibras ás usuales que se obtienen en los ateriales couestos deenden de su sistea de rocesado. n la Tabla. se resuen algunos valores tíicos de este aráetro en unción del tio de roceso: PROCSO D FABRICACIÓN (%) Por contacto 0 Por resión 40 Por enrollaiento continuo (ilaent winding) Por bolsa de vacío Tabla.. Proiedades ísicas de diversos ateriales. Los contenidos voluétricos de ibra que osee una láina tabién ueden deterinarse a artir de la arquitectura del reuerzo. Así, or ejelo, ara unas estructuras de reuerzo hexagonal o cuadrado, coo se indican en la igura., se obtiene, resectivaente π π 4 r R r R (hexagonal) (cuadrado) [.7] [.8] Figura.. structura del reuerzo hexagonal (izquierda) y cuadrado (derecha). 6

5 .. DNSIDAD D LA LÁMINA La densidad de la láina ρ uede deterinarse a artir de las densidades y orcentajes voluétricos de los constituyentes, resultando: Masa M M ρ + oluen oluen ibras oluen atriz ρ + ρ ρ + ρ [.9] Fácilente uede deostrarse que ρ M M + ρ ρ [.0].. SPSOR D LA LÁMINA l esesor de la láina h uede deducirse suoniendo conocida una agnitud, adeás de los aráetros anteriores, que se denoina graaje g que reresenta la asa de ibras or etro cuadrado de lainado y que, or tanto, se exresa en kg/. Así, considerando un etro cuadrado de lainado uede escribirse: ρ g oluen de ibras g oluen total oluen total oluen ibras g T [.] Coo h ( ), se obtiene: T h g ρ g ρ + ρ M M [.]..4 PROPIDADS LÁSTICAS Las láinas y, or tanto, los lainados, resentan un coortaiento arcadaente anisótroo. ste es un conceto que es iortante entender antes de roundizar en los asectos icroecánicos de una láina. n la 7

6 arte suerior de la Figura. se uestran dos lacas rectangulares; la de la izquierda está abricada utilizando una aterial isótroo y, la de la derecha, utilizando uno anisótroo -que odría ser erectaente una láina de aterial couesto en la que las ibras llevaran la dirección arcada en el dibujo. Cuando abas lacas se soeten a tracción en dirección aralela a su lado ás largo, la anera en que se deoran las lacas es dierente: la laca de aterial isótroo se alarga longitudinalente y se contrae transversalente or el denoinado eecto Poisson, ero todos los lados de la laca eranecen aralelos a sus direcciones iniciales; sin ebargo, en la laca de aterial anisótroo (aterial couesto), la anera de deorarse es dierente a la de la laca de aterial de coortaiento isótroo: en eecto, los lados ya no eranecen aralelos a los originales aareciendo, ara este estado de deoración axial de tracción, enóenos de cizalladura asociados con él, cosa que no sucedía en el caso anterior. Figura.. Toda la discusión anterior hace ver que, en el caso de ateriales anisótroos, las aneras de deorarse un sólido son ás colejas que cuando el aterial resenta un coortaiento isótroo. Desde el unto de vista oral, un aterial es isótroo si sus roiedades -or ejelo, las ecánicas- son indeendientes de la dirección en que las idaos y anisótroo si esto no uera así. Para aclarar esto, y volviendo al ejelo de la Figura., si se deterinara el ódulo de elasticidad del aterial de la laca de la izquierda en base al ensayo de tracción realizado 8

7 (sileente sería el cociente entre la tensión alicada y la deoración longitudinal conseguida), y reitiéraos el ensayo ero ahora traccionando de los dos lados verticales, el ódulo de elasticidad que se obtendría sería el iso que en el caso anterior. s decir, al tratarse de un aterial isótroo la roiedad que se ede es indeendiente de la dirección en la que se ha realizado el ensayo. Sin ebargo, cuando en una láina se haga un ensayo de tracción ordinario en la dirección de sus ibras se obtendrá un valor del ódulo de elasticidad x (ó ) ientras que, cuando se realice el ensayo en dirección erendicular a la ibras, se obtendrá otro valor y (ó ) del ódulo de elasticidad que será distinto al anterior. La roiedad que se ede es, en este caso, deendiente de la dirección en que se realice el ensayo. n deinitiva, en los desarrollos osteriores, el lector va a encontrarse con ateriales de arcado carácter anisótroo en los que la orulación de sus relaciones constitutivas -relaciones entre las coonentes de los tensores de tensión y deoración- resulta ser algo ás colicadas que las corresondientes a ateriales isótroos. l objetivo del análisis icroecánico de una láina unidireccional de aterial couesto es relacionar sus roiedades con las de los ateriales que lo constituyen. Básicaente, las roiedades acroecánicas a obtener son: - Módulo de elasticidad en la dirección de las ibras ( x ó ) - Módulo de elasticidad en la dirección ortogonal a las ibras ( y ó ) - Coeiciente de Poisson rincial ( ν yx ó ν ) - Coeiciente de Poisson secundario ( ν xy ó ν ) - Módulo de rigidez transversal ( G xy ó G ) - Coeiciente de dilatación rincial (dirección de las ibras) ( α ) - Coeiciente de dilatación secundario (dirección erendicular a las ibras) ( α ) Se artirá de que las roiedades de las ibras y de la atriz son conocidas; cuando se elee el subíndice, la roiedad corresondiente, se reirá a las ibras ientras que cuando se utilice el subíndice, la roiedad se reiere a la atriz. 9

8 Las hiótesis undaentales de todos los desarrollos que siguen son las siguientes: - l aterial de las ibras se considera hoogéneo, isótroo y con un coortaiento elástico-lineal hasta rotura. Las ibras se suondrán regularente esaciadas dentro de la atriz y erectaente alineadas. - l aterial de la atriz es hoogéneo, isótroo y tabién resenta un coortaiento elástico-lineal hasta rotura. Se suone que la atriz rodea a todas las ibras y que existe una adherencia erecta en la interase ibra-atriz. - l aterial couesto resultante que conigura la láina se considera, a nivel acroscóico, hoogéneo con un coortaiento ortótroo elástico lineal hasta rotura y libre de tensiones residuales generadas or el roceso de curado. Adicionalente a todo lo anterior se suondrá que ibra y atriz trabajan "solidariaente". ste conceto, que es el undaento de todos los cálculos que se van a realizar, quedará ás claro tras la lectura de lo árraos siguientes ero se uede adelantar que esta hiótesis relativa a la "solidaridad" ilica que, cuando una láina sea traccionada en la dirección de las ibras, tanto éstas coo la atriz que las rodea, suren la isa deoración longitudinal en la dirección de la carga alicada. Sobre la hiótesis de isotroía de las ibras conviene recisar que no es del todo real en el caso de algunas ibras. Así, or ejelo, en la Tabla. se recogen roiedades de varias ibras uy usadas coo reuerzos en lainados. n articular se indican los ódulos de elasticidad en la roia dirección de una ibra ( l ) y en dirección erendicular a ella ( t ). FIBRAS idrio Kevlar Carbono H.R. Carbono H.M. l (MPa) t (MPa) G (MPa) ν tl 0,5 0,40 0,0 0,5 Tabla.. 0

9 ste coortaiento anisótroo que uestran algunas ibras se debe a que, durante su roceso de abricación, suren un estiraiento en la que se orientan sus cadenas oleculares. A continuación va a calcularse el ódulo de elasticidad del aterial couesto de la láina según la dirección de la ibras ( x ó ) suoniendo conocidos los ódulos de elasticidad de la ibra ( ) y de la atriz ( ). Para ello considérese la Figura.4, en la que se observa un trozo de ibra rodeada or la arte de atriz corresondiente a esa ibra. n la igura.5 se ha reresentado, ara una ayor claridad, la sección transversal de la arte de láina reresentada en la Figura.4. Figura.4. Figura.5. olviendo a la Figura.4, suóngase que el aterial couesto es soetido a una tensión de tracción en la dirección de la ibra, or lo que su longitud inicial L se increenta en L coo consecuencia del roceso de deoración inducido. Por tanto, el conjunto ibra-atriz reresentado en la Figura.4 sure una deoración ε cuyo valor es: ε L L

10 Suoner que la ibra y la atriz trabajan solidariaente quiere decir que las deoraciones que exerientan la ibra ε y la atriz ε son iguales entre sí e iguales a ε. Sin ebargo, las tensiones longitudinales de tracción que aarecerán en la ibra y en la atriz no serán las isas y vendrán dadas or el roducto de la deoración ε or el corresondiente ódulo de elasticidad de cada una de ellas. ε ε ε ε [.] [.4] Un ejelo de este coortaiento se uede visualizar si se consideran dos ersonas, una uerte y otra débil, eujando un coche; cada una de ellas recorrería la isa longitud a edida que el coche se ueve ero, sin ebargo, la uerza ejercida or cada uno de ellos sería dierente, siendo ayor la ejercida or la ersona ás uerte. Obviando la coosición del aterial, la tensión de tracción "aarente" que actúa sobre el aterial, que odría calcularse coo el cociente entre la uerza total alicada F y el área de la sección transversal A sobre la que actúa la uerza, odría exresarse coo el "ódulo de elasticidad aarente del aterial couesto" ultilicado or la deoración ε. Si se denoina A y A a las áreas de las secciones transversales de la ibra y atriz, resectivaente, que se observan en la Figura.5, la uerza total F (F.A) será igual a la sua de la uerza soortada or la ibra F (F.A ) y la soortada or la atriz F (F.A ). A F F + F A + A [.5] xresando las tensiones, y en unción de las deoraciones ε, ε y ε, se uede obtener en unción de y. Las racciones A /A y A /A reresentan los racciones voluétricas de ibra y atriz, resectivaente. ε A ε A + A A + A A ε A [.6] s decir, cuando se dice de un aterial couesto que el voluen de ibra es del 45% se está diciendo, ilícitaente, que A /A0,45. Llaando y a los volúenes esecíicos de ibra y atriz, resectivaente, se

11 obtiene la siguiente ecuación conocida coo regla de las ezclas: ( ) + [.7] A artir de ella se uede obtener el ódulo de elasticidad del aterial couesto en la dirección de sus ibras en unción de los ódulos de elasticidad de la ibra y de la atriz teniendo en cuenta los orcentajes de ibra y atriz. Figura.6. l cálculo del ódulo de elasticidad en dirección erendicular a las ibras (ó y ), en unción de los ódulos de elasticidad de la ibra y de la atriz, se uede realizar de anera siilar a coo se ha hecho con anterioridad. Para ello, considérese la Figura.6, en la que la dirección de carga coincide con la del eje (ó eje y). n este caso, las tensiones que actúan sobre la ibra y la atriz, or razones de equilibrio interno en el conjunto ibra-atriz, serán iguales y de valor. Si llaaos W al esesor total de la láina y W al de la ibra, las deoraciones que aarecerán en la ibra y la atriz (ε y ε ) vendrán dadas or los cocientes entre la tensión y los ódulos de elasticidad de la ibra y de la atriz. ε ε [.8] [.9] Denoinando ε al valor de la deoración total del conjunto ibra-atriz, ésta se uede exresar en unción de ε ediante el ódulo de elasticidad aarente de la láina.

12 ε [.0] Por otra arte, el deslazaiento relativo entre las caras de la láina (ε.w) será igual a la sua de los deslazaientos relativos exerientados or la ibra y la atriz, los cuales ueden exresarse, resectivaente coo ε.w y ε.w ε.(-w ), siendo W el esesor de la atriz. ε W ε W + ε W [.] Siliicando las ecuaciones anteriores se uede oner ε en unción de ε y ε a través de las racciones de ibra y atriz ( y ). W ε ε + ε W ε ε + ε W W [.] xresando las deoraciones en unción de las tensiones: ε + [.] De donde se uede deducir la exresión inal de que se iba buscando. ( ) + [.4] La deterinación del coeiciente de Poisson rincial ν (ó ν yx ) uede hacerse de anera análoga a coo se hizo en el caso de las roiedades anteriores. Antes de continuar, conviene dejar claro que cuando se escriba ν ji debe entenderse que la dirección en que se alica la carga es justo la dirección i. Por deinición de coeiciente de Poisson (ver igura.7), éste será el cociente, cabiado de signo, entre la deoración transversal ε, que aarece cuando tiene lugar una deoración longitudinal ε. ν ε ε [.5] 4

13 Figura.7. La variación de esesor de la láina ( W) coo consecuencia de la acción de las tensiones se odrá oner coo el roducto, cabiado de signo, de W or ε o en unción de ε utilizando el conceto de coeiciente de Poisson: W W ε W ν ε [.6] Coo W es igual a la sua de las variaciones de esesor que exerientan la ibra y la atriz ( W y W, resectivaente) se uede lantear que: W W + W [.7] y, exresando éstas en unción de ε a través de los coeicientes de Poisson de la ibra ν y de la atriz ν : W W W W ν ν ε ε [.8] [.9] Se uede obtener la exresión de ν en unción de estos últios coeicientes, volviendo a aarecer nuevaente la regla de las ezclas. ν + ν ν ( ) [.0] Al llegar a este unto, es conveniente decir que la regla de las ezclas no es siere válida ara calcular todo tio de roiedades de un aterial couesto, tal coo se ha visto, or ejelo, en la deterinación de, or lo que hay que tener un esecial cuidado en su alicación. 5

14 l cálculo de ν se odría hacer de anera siilar ero se uede obtener directaente, utilizando el teorea de recirocidad, de los valores de, y ν reviaente calculados. Para ello (ver Figura.8) considérese una láina de aterial couesto de ora cuadrada de lado L soetida a dos estados de carga dierentes identiicados or los sueríndices () y (); el riero corresonde a un estado de tracción otivado or la alicación de una tensión actuando según la dirección y, el segundo, a otro estado de tracción causado or un estado tensional actuando ahora según la dirección. stado (). Carga dirección () () () ε L () () ε ν ε ν ν L stado (). Carga dirección () () () () ε ν ε ν ν L () ε L Figura.8. Llaando () al auento de longitud del lado L en la dirección y () a la disinución del lado L en la dirección corresondientes al estado () y ( ) al auento de longitud del lado L en la dirección y ( ) a la disinución del lado L en la dirección corresondientes al 6

15 estado (), se uede alicar el teorea de recirocidad: L () () () L () [.] [.] Concluyéndose que los coeicientes de Poisson ν y ν no son indeendientes entre sí, sino que están relacionados a través de los ódulos de elasticidad, de la láina a través de la ecuación siguiente: ν ν [.] La deterinación del ódulo de rigidez transversal G (ó G xy ) uede hacerse de la siguiente ora, cuando sobre un trozo de láina actúa un estado tensional de cizalladura ura, coo el que se reresenta en la igura.9., se roducen deoraciones angulares en la atriz γ y en la ibra γ que serán distintas y deendientes del ódulo de rigidez de cada uno de estos coonentes. γ τ G γ τ G γ τ G Figura.0. 7

16 La deoración angular total de la láina γ se deinirá coo el cociente entre el oviiento relativo entre las dos caras de la láina y su esesor W. Si llaaos y a los oviientos relativos entre las dos caras de la atriz y de la ibra, resectivaente, se odrán exresar coo el roducto de sus deoraciones angulares or sus esesores, los cuales, a su vez, serán iguales al roducto de la racción voluétrica corresondiente y del esesor total de la láina. γ W γ γ + W W [.4] [.5] [.6] [.7] Y or tanto: γ γ + γ [.8] De esta anera se uede obtener G en unción de G, G, y. n todas las alicaciones osteriores suondreos que G G. G G G + G [.9] Usualente, el coeiciente de dilatación térica de la atriz, es varias decenas de veces suerior al de la ibra, or lo que, caso de alicar una carga térica a una láina, las ibras tratan de iedir la dilatación térica de la atriz ientras que ésta trata, a su vez, de que las ibras se alarguen. Coo resultado de la dierencia entre coeicientes de dilatación de la atriz y de la ibra se generan tensiones en el interior de las isas aunque la láina de aterial couesto se dilate libreente (ausencia de tensiones externas). Por tanto, se generarán tensiones de tracción en las ibras y de coresión en la atriz. Al igual a coo se ha rocedido con anterioridad, se denoinará α y α a los coeicientes de dilatación térica de la láina en la dirección de las 8

17 ibras y en la dirección erendicular a las isas, resectivaente, y α y α a los coeicientes de dilatación de la ibra y de la atriz. Sea la láina reresentada en la Figura. que sure una variación de teeratura T: Figura.. Si y reresentan las tensiones internas que se generan en los ateriales intervinientes y F la resultante de la uerza total que ibra y atriz se ejercen (Figura.), se tendrá, ara la dilatación en la dirección de las ibras, lo siguiente: Figura.. F y W F W [.40] donde el signo enos indica que se trata de una tensión de coresión. Las ecuaciones anteriores ueden onerse coo: 9

18 W + W 0 [.4] Por otra arte, la deoración en la dirección del eje, que será la isa ara la atriz y la ibra, uede onerse coo: ε + α T + α T [.4] De las ecuaciones anteriores uede deducirse ácilente que: ( α α ) + T [.4] donde y reresentan, resectivaente, los volúenes esecíicos de ibra y atriz. Sustituyendo en la exresión de ε y teniendo en cuenta que, dicha deoración, uede onerse coo: ε α T [.44] uede obtenerse α, resultando: α + α α + [.45] Para la deterinación del coeiciente de dilatación en la dirección ortogonal a las ibras (α ) se uede roceder de anera siilar a coo se ha hecho anteriorente. Para ello, la deoración ε uede onerse coo: ( W + W ) W t t ε ε + ε W + W W + W W + W [.46] donde el sueríndice t de las deoraciones indica que son obtenidas en dirección transversal a las ibras. La ecuación anterior uede tabién escribirse coo: W t ε ε + ε t [.47] y, utilizando la ley de Hooke odiicada ara tener en cuenta las 0

19 deoraciones de origen térico, se obtiene: ν ν ε T T + α + + α [.48] donde las tensiones y son las calculadas reviaente cuando se dedujo el valor de ε. Sustituyendo en esta últia exresión los valores de las tensiones y teniendo en cuenta que: α T ε [.49] se obtiene: α α + α + ( ν ν ) + ( α α ) [.50].. MICROMCÁNICA D MATRIALS D FIBRA CORTA.. MATRIALS RFORZADOS POR FIBRAS CORTAS ALINADAS n este tio de ateriales se elea una orula siilar a la regla de las ezclas ero introduciendo un aráetro que deende de la geoetría de las ibras y que tiene en cuenta que la eiciencia del reuerzo de ibra corta es enor que el de las ibras largas. Para el ódulo de elasticidad en dirección de las ibras + ηl ( ) [.5] l aráetro ηl viene dado or (Cox, 95) η L tanh β L β L [.5]

20 Siendo L ahora la longitud de las ibras y β un aráetro que se calcula a artir de la ecuación: β G R r ln r [.5] Donde G es el ódulo de elasticidad de la atriz a cortadura, R es el esaciado entre ibras y r el radio de las ibras. Cuando el ódulo de elasticidad de las ibras es ucho ayor que el de la atriz se uede realizar la aroxiación: ibras cortas η L ibras l arg as [.54] Otro odelo eleado ara redecir las roiedades elásticas de un aterial couesto reorzado or ibras cortas alineadas es el odelo de Halin-Tsai. Para el ódulo de elasticidad en dirección de las ibras la ecuación que roone es: L + ηl r η L [.55] Al igual que en el odelo anterior, L es la longitud de la ibra, y r es su diáetro. l aráetro ηl se calcula ediante la exresión: η L + L r [.56] l ódulo de elasticidad en dirección transversal no deende de la longitud de la ibra y se calcula ediante la ecuación: + η T ηt [.57]

21 donde: η T + [.58].. MATRIALS RFORZADOS POR FIBRAS CORTAS CON ORINTACIÓN ALATORIA n este caso se introduce un aráetro adicional al odelo del aartado anterior denoinado actor de rendiiento de la orientación. l aterial se uede considerar que tiene un coortaiento isótroo. η η + o L ( ) [.59] l actor de rendiiento deende del tio de orientación de las ibras, Krenchel (964) rouso: - η o (láina unidireccional, ibras a 0º) - η o 0 (láina unidireccional, ibras a 90º) - η o /8 (distribución aleatoria de ibras en D) - η o /5 (distribución aleatoria de ibras en D) Se observa coo una distribución aleatoria tridiensional de las ibras disinuye la contribución de las ibras al ódulo de elasticidad..4. MICROMCÁNICA D MATRIALS RFORZADOS POR PARTÍCULAS n el caso de ateriales reorzados or artículas ara la elaboración del odelo icroecánico se realizan las siguientes hiótesis: - l aterial se coone únicaente de dos ases: atriz y reuerzo.

22 - Cada ase se uede describir ediante la ecánica de los edios continuos. - Se asue coortaiento isótroo, lineal y elástico ara abas ases. - La unión atriz-reuerzo es erecta. - Se suone que el reuerzo está orado or artículas eséricas del iso taaño distribuidas unioreente en la atriz con una geoetría esérica. Figura.. l odelo lanteado no es ateáticaente riguroso ya que no asegura la continuidad de tensiones y deslazaientos y no cule las ecuaciones de coatibilidad Se deine una celdilla unidad de ora que el voluen que encierra sea reresentativo del aterial e incluya al enos a una artícula, igura.. Figura.4. 4

23 oluen celdilla: S d oluen artícula: π 6 La geoetría de la celdilla se deine de ora que el voluen de reuerzo y de atriz en la isa sea el corresondiente al aterial coleto: artícula celdilla d π 6 S [.60] De donde es osible estiar las diensiones de la celdilla, S. n este estudio se elea un odelo de celdilla equivalente en la que la artícula esérica se sustituye or una artícula cuadrada de lado d e, de tal ora que su voluen sea el iso, igura.4. d d e π 6 [.6] La celdilla equivalente se divide en dos celdillas, denoinas resectivaente, celdilla atriz (igura.5) y celdilla artícula (igura.6). Figura.5. Celdilla Matriz n la riera se considera exclusivaente la atriz, quedando un hueco central de sección d e. La segunda se coone de dos artes, una orada or atriz y otra or artícula, tal coo se observa en la igura.6. 5

24 Figura.6. Celdilla artícula Considerando que sobre la celdilla equivalente actúa una uerza en dirección de valor F MC, se cule que: F F + F MC M P Siendo: F MC Fuerza en dirección sobre la celdilla unidad [.6] F M Fuerza en dirección sobre la celdilla atriz F Fuerza en dirección sobre la celdilla artícula xresando esta ecuación en térinos de tensiones: MC A MC CLDA S ~ ~ A d e + + M M A M ( S d ) e [.6] MC ~ d S e + M d e S [.64] Considerando que el orcentaje en voluen del reuerzo es: d S e [.65] 6

25 se uede rescribir la anterior ecuación de la siguiente ora: MC ~ + M [.66] Dado que se ha asuido la hiótesis de coortaiento lineal elástico ε MC ~ ~ ε ~ ε M ε M M MC MC [.67] [.68] [.69] [.70] Con lo que la ecuación.44 uede lantearse en térinos de deoraciones: MC ε + MC ~ ~ ε M ε M [.7] La coatibilidad de deslazaientos longitudinales requiere que la deoración en el aterial couesto y en cada constituyente sea la isa, de donde nos queda: Donde: MC + ~ M [.7] MC : es el ódulo de elasticidad del aterial couesto M : es el ódulo de elasticidad de la atriz ~ : es el ódulo de elasticidad de la celdilla artícula : Porcentaje en voluen de ibra 7

26 n esta ecuación ~ es desconocido dado que la celdilla artícula tiene dos constituyentes, atriz y reuerzo, en serie. Para deterinar este ódulo de elasticidad analizaos en detalle la celdilla artícula, igura.7. Figura.7. Si soeteos a la celdilla a una uerza ~ F en dirección, el alargaiento que sure la celdilla se uede exresar en unción de los alargaientos que suren el reuerzo y la atriz. S d + S d ( S ) e d e + ( S ) e d e [.7] [.74] O en térinos de deoraciones: e M ( S d ) ~ ε S ε d + ε e [.75] leando las ecuaciones.46 a.48 odeos exresar la anterior exresión en unción de las tensiones: S ~ ( S d ) ~ d e M + M e [.76] Por otro lado al existir equilibrio la uerza que actúa sobre la celdilla artícula es la isa que la que actúa sobre el reuerzo y la atriz: ~ F F F M [.77] 8

27 9 O en ora de tensiones: M ~ [.78] Considerando las ecuaciones anteriores odeos conocer el ódulo de elasticidad de la celdilla artícula: + M ~ [.79] Donde se ha tenido en cuenta la relación.4 Por tanto el ódulo de elasticidad de un aterial couesto reorzado or artículas se uede exresar coo: + [.80] De ora análoga es osible estiar el ódulo de elasticidad a cortadura: G G G G G + [.8] Dado que se ha asuido que el aterial es isótroo sólo son necesarias estas dos constantes elásticas ara deinir el coortaiento elástico del aterial.

28 .5. RSUMN DL CAPÍTULO A odo de resuen inal, a continuación se incluyen las rinciales exresiones que se han deducido ara el caso de aterial reorzado or ibras largas. Para el caso de que la láina estuviera solicitada según una dirección genérica, tabién se ha incluido el valor del ódulo de elasticidad aarente de la láina. oluen ibra contenido voluétrico de ibra oluen total contenido voluétrico de resina oluen resina oluen total + Densidad del aterial couesto ρ ρ + ρ 40

29 4 ( ) ( ) ( ) G G G G Módulo de rigidez las ibras a Módulo de elasticidad en dirección transversal Módulo de elasticidad en la dirección de las ibras Coeiciente de Poisson (dirección ibras) ν + ν ν Módulo de elasticidad en una dirección cualquiera x cos 4 θ + sen 4 θ + cos θ sen θ G ν

30 Los valores de todas las roiedades anteriores -conocidas coo constantes ingenieriles de la láina- se obtienen ediante ensayos de tracción uniaxiales y de cizalladura ura. n la ayoría de estos ensayos lo que se conoce es la uerza alicada y, or tanto, la tensión, idiéndose el deslazaiento, del cual uede deducirse el valor de la deoración. Se denoinará, en general, lexibilidad al cociente entre la deoración longitudinal, en el caso de ensayos de tracción uniaxiales, o angular, en el caso de los ensayos de cizalladura, y la tensión alicada. Si, or ejelo, ε uera la deoración longitudinal en la dirección de la láina cuando actúa sobre ella la tensión, se denoina coeiciente de lexibilidad s al cociente entre ε y obteniéndose coo el valor inverso de s. Considerando coo eje el de la dirección en la que están orientadas las ibras, el uno ortogonal al anterior ero contenido en el lano de la láina, y el eje coo el ortogonal al lano de la láina, se ueden deinir los ódulos de Young ara una láina de aterial anisótroo de la anera siguiente: Los ódulos de corte se deinen coo: s s s G s 44 4 G s 55 5 G s 66 6 y los coeicientes de Poisson coo: 4

31 ν ji ε j ε i i dirección de carga j dirección erendicular a la de carga Coo ya se dijo, los coeicientes de Poisson νji y νij no son indeendientes entre sí, debiéndose veriicar la relación: ν ji i ν ij j i, j,, 4