UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA Unidad Iztapalapa División de Ciencias Básicas e Ingeniería

Transcripción

1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA Uidad Iztapalapa Divisió de Ciecias Básicas e Igeiería Optialidad de pruebas de hipótesis secueciales co grupos de taaño aleatorio Tesis que preseta XÓCHITL ITXEL POPOCA JIMÉNEZ Para obteer el grado de Maestra e Ciecias Mateáticas Aplicadas e Idustriales Asesor: Dr. Adrey Novikov Jurado calificador: Presidete: Dr. Jua Gozález Herádez. IIMAS Secretario: Dr. Adrey Novikov. UAM-I Vocal: Dra. Blaca Rosa Pérez Salvador. UAM-I México D. F. Julio de 2012

2 Dedicatoria Hace tres años epredí u caio co el espíritu fragetado, porque dejaste e í ua discotiuidad esecial co u vacío ifiito. Pero e eseñaste a caiar o iporta el sedero y a teer brío o iporta la vetisca. Ahora el recorrido he culiado, y he logrado etereza debido a tí. Te aaré siepre. A la eoria de i adre Ma. Luisa Jiéez Glz. R.I.P.

3 Agradeciietos Al Dr. Adrey Novikov por copartire su: coociieto, tiepo y cofiaza. A i padre L. Daiel Popoca por su dilecció y ser i base. A i herao y heraas. A i esposo Vladíir Caacho por todo su apoyo, copresió y cariño. A is copañeros y aigos que e ayudaro y copartiero su tiepo. Aldo, Aracelí, Ivá, Jessica, Leoel, Naturaleza y Roá. A todos GRACIAS.

4 ÍNDICE GENERAL 1. Aálisis secuecial co grupos aleatorios Itroducció Experieto secuecial co grupos de taaño aleatorio Reglas de paro Reglas de paro que teria co probabilidad uo Reglas de decisió terial Prueba estadística secuecial Probabilidades de error Costo proedio Optialidad de las pruebas secueciales co grupos de taaño aleatorio Plateaieto del problea: optialidad Resolució del problea de optialidad iii

5 ÍNDICE GENERAL Reducció al problea del paro óptio Paro óptio. Caso trucado Paro óptio. Caso o trucado Estructura de las pruebas secueciales óptias La prueba secuecial aleatoria de la razó de probabilidades RSPRT La prueba óptia e térios de la razó de probabilidades Ua prueba secuecial trivial Optialidad de la RSPRT Coclusioes y perspectivas. 101 Bibliografía. 105 iv

6 CAPÍTULO 1 ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS 1.1. Itroducció E cotraste co los étodos clásicos de la estadística ateática, e los cuales el úero de observacioes e la uestra está fijo; el aálisis secuecial u capo tabié de la estadística, trabaja, dado u experieto estadístico, co étodos que perite la recolecció de datos por etapas, típicaete de uo e uo. Otra característica de estos étodos estriba e el hecho de que el tiepo del experieto para el cual se deteria el úero de observacioes tiepo de paro es aleatorio. La teoría odera del aálisis secuecial surgió e respuesta a las deadas de toa de uestras ás eficietes e procesos de ispecció durate la seguda guerra udial. 1

7 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS Los prieros desarrollos del uevo capo fuero itroducidos por Abraha Wald durate la década de los cuareta del siglo pasado. Wald ostró que el utilizar étodos secueciales e probleas de pruebas de dos hipótesis siples co observacioes idepedietes colleva a u úero de observacioes ás pequeño, e proedio, que aquellos étodos que utiliza ua uestra de taaño fijo [18]. Uo de los tópicos fudaetales desarrollados por Wald e este capo es la prueba secuecial de razó de probabilidades SPRT, por sus siglas e iglés, Sequetial Probability Ratio Test [19]. Dicha prueba es siilar a ua prueba de hipótesis basada e ua uestra de taaño fijo Neya-Pearso e la estadística iferecial clásica, co la diferecia de que ésta se aplica a ua colecció de datos uestra dados de cierto taaño y la priera se aplica a datos toados, e pricipio, de uo por uo, esto es, e orde secuecial. Ua propiedad para la SPRT deostrada por Wald y Wolfowitz es que dicha prueba es óptia, e el setido de que, bajo ciertas codicioes, ella colleva e u experieto a u tiepo de paro íio y, tabié, a u úero de observacioes eor véase [20]. Este resultado es coocido coo la optialidad de la SPRT. Ua vez teriado el experieto estadístico secuecial, se tiee que hacer la coclusió al igual que e la estadística iferecial e los isos térios y co las isas iterpretacioes. Etoces, ua vetaja de utilizar procediietos secueciales es que, e proedio, estos requiere de u úero eor de observacioes co la isa cofiabilidad que e el procediieto o secuecial. Lo cual colleva a aplicacioes co eores costos y/o tiepos. Etre alguas de las aplicacioes se ecuetra: aálisis clíicos [21], cotrol de calidad, técicas de cofiabilidad, ecooía, fiazas, psicología, etre otras. 2

8 1.1. INTRODUCCIÓN Ua codició para la optialidad de la SPRT es que los costos de las etapas del experieto sea proporcioales al úero de observacioes e ellas. Mas, existe aplicacioes e. g. esayos clíicos e las cuales el costo de ua etapa co uidades experietales o es proporcioal al úero de observacioes c, dode c es el costo uitario, sio, por ejeplo, es de la fora c 0 + c 1. E casos coo éste la SPRT pierde su optialidad véase [4]. Otra codició para la optialidad de la prueba estadística secuecial es que cada etapa tega ua sola observació [13]. Si ebargo, tabié es atural cosiderar plaes de uestreo e los que, e cada etapa, e lugar de ua sola observació se requiere de u grupo de observacioes, estos plaes secueciales so ás geerales y tiee la característica de que las observacioes se toa e grupos de taaño fijo group-sequetial test [5], dichos plaes se usaba para atacar probleas de costos o lieales. Otro efoque ás avazado sobre costos o proporcioales se puede ver e los trabajos de Schitz [15] y Cressie y Morga [4] e 1993, e estas ivestigacioes se describe procediietos ás geerales que los del aálisis secuecial clásico: procediietos secuecialete plaeados, dichos procesos cosidera grupos de observacioes cuyo taaño es aleatorio, si ebargo el taaño de cada grupo depede de las observacioes toadas e etapas previas. Estos procediietos resulta ás eficietes que los étodos clásicos véase [4], pero la estructura de los procediietos óptios resulta copleja, y e uchos casos o se puede deteriar de aera explícita veáse [15]. E el 2008 Nitis Mukhopadhyay y Basil de Silva [10] presetaro ua ivestigació práctica sobre ua geeralizació de la SPRT a la cual llaaro prueba secuecial aleatoria de la razó de probabilidades RSPRT: Rado Sequetial Probability Ratio 3

9 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS Test. Dicha prueba fue aplicada a experietos secueciales para los cuales: el taaño de los grupos de observacioes o tiee, ecesariaete, ua edida fija, sio que ésta es aleatoria; y la distribució de probabilidad de dichos taaños o es fija. El objetivo, e dicha ivestigació, cosiste e decidir etre dos hipótesis siples la ula y la alterativa co sus respectivas preasigada probabilidades de error tipo I y tipo II. Si ebargo, e este trabajo se dejaro abiertas alguas pregutas sobre las propiedades de optialidad de la ueva RSPRT, esto se observa e la siguiete cita: 3.4 Pregutas abiertas acerca de la optialidad de la RSPRT.... ha estado e uestras etes, pero aú o estaos e la posició de observar co ás profudidad uestro propósito sobre la RSPRT [... ], esperaos exaiar alguas de las propiedades de optialidad, ootoía y eficiecia, para la RSPRT Ope questios regardig optiality of RSPRT... has bee o our ids, but we have ot yet positioed ourselves to look deeper ito our proposed RSPRT [... ], we hope to exaie soe of the optiality, ootoicity, ad efficiecy properties, if ay, for the RSPRT. [Íbid, p. 437] Este uevo efoque e el cual las observacioes está e grupos cuyo taaño es aleatorio y la distribució de estos o es fija, lo podeos llaar coo plaes de uestreo aleatorizados y se puede decir que estos so ua extesió de las pruebas secueciales por grupos 2. 1 Traducció del autor. 2 Group-sequetial test. 4

10 1.1. INTRODUCCIÓN Nuestro trabajo tiee coo objetivo pricipal ivestigar los procediietos óptios de pruebas cuado las observacioes viee e grupos de taaño aleatorio. Esto es, e el cotexto de u experieto estadístico secuecial para probleas de pruebas de dos hipótesis siples, dode el taaño de los grupos para la siguiete etapa es aleatorio y su distribució o depede de las observacioes recolectadas hasta esta etapa; os iteresa ivestigar la estructura del procediieto óptio e la prueba. Para evitar coplicacioes técicas, sólo se verá el caso de observacioes discretas co u úero fiito de valores coo, por ejeplo, observacioes tipo Beroulli. La etodología propuesta es la desarrollada e el trabajo de Novikov veáse [13] ua versió ás avazada de la isa esta publicada e [11]. Etoces e uestra ivestigació se trabajará este uevo efoque y se buscará la estructura del procediieto óptio bajo las siguietes codicioes: Las observacioes del experieto tiee u úero fiito de valores; las observacioes viee e grupos cuyo taaño es aleatorio; la distribució de los taaños de los grupos es fija; y el costo de los grupos, e cada etapa, tiee ua estructura geeral. Ivestigacioes previas uestra que el efoque sobre la optialidad de la prueba secuecial co grupos de taaño aleatorio o está desarrollada, por tal uestra ivestigació es pioera e este setido. Cabe ecioar que el procediieto óptio bajo el cotexto ecioado, colleva el obteer ua base teórica para atacar probleas coo los plateados e ivestigacioes ateriores e. g. Cressie y Morga [4]; porque uestro resultado provee u pla de uestreo aleatorizado e cocreto para ser aplicado e dichos probleas. E particular, el resultado os peritiría deostrar la optialidad de 5

11 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS la prueba RSPRT plateado por Mukhopadhyay et al [10], salvo hipótesis diferetes a las arcadas e el artículo Experieto secuecial co grupos de taaño aleatorio Piese el lector que ecotraos e u experieto estadístico co u problea de prueba de hipótesis siples de la fora: H 0 : θ = θ 0 v. s. H 1 : θ = θ 1 co θ 0 θ 1. Nos iteresa los procediietos de prueba llaados secueciales; esto sigifica que el úero de observacioes, grupos para uestro caso, que se va a aalizar o queda defiido co aticipació, sio que se deteria e el curso del experieto, depediedo de las observacioes obteidas e cada etapa y dode el taaño del grupo es aleatorio. E el caso e que todos los grupos so de taaño uo estaos e el cotexto clásico del aálisis secuecial. Cuado los grupos tiee u úero de taaño fijo por ejeplo: grupos de dos observacioes, de cico observacioes, etc., os ecotraos e el caso coocido coo aálisis secuecial por grupos group-sequetial. Se cosiderará u cotexto geeral co u experieto secuecial co grupos de taaño aleatorio. E este cotexto, se hace u aálisis de los grupos de observacioes de taaño variable, y os auxiliareos de dos reglas que os ayuda a deteer el experieto y a toar ua decisió fial co respecto a uestras hipótesis, estas reglas so coocidas respectivaete coo: regla de paro y regla de decisió terial. U experieto secuecial se represeta por u cojuto de variables aleatorias idepedietes e idéticaete distribuidas X 1, X 2,..., X k,... que toa valores e u 6

12 1.2. EXPERIMENTO SECUENCIAL CON GRUPOS DE TAMAÑO ALEATORIO cojuto fiito X, co su fució de probabilidad dada por f θ x = P θ X = x 3 agrupados secuecialete e cojutos de taaño variable. El proceso de coteo que geera el taaño de los cojutos secueciales y el proceso que geera las variables aleatorias X i so idepedietes. Supogaos que los taaños de los grupos cosecutivos ν 1, ν 2,..., ν i,... so variables aleatorias idepedietes e idéticaete distribuidas, cuya fució de probabilidad está dada por P ν i = k = q k 0 co i = 1, 2,... y k = 0, 1, 2,.... Nótese que se está cosiderado grupos de taaño cero, ya que es posible que u grupo o tega observacioes. Supoeos, tabié, que los taaños de los grupos o excede u úero dado; para lo cual sea G u subcojuto fiito cualquiera G {0, 1, 2,... }, por tato se tiee que: k G q k = 1. Co base e las otacioes ateriores se tedrá u experieto estadístico secuecial e el cual se tiee grupos de observacioes co deteriados taaños aleatorios, deotados por X ν 1 1, X ν 2 2,..., X ν k k,.... De esta aera, si 1, 2,... es ua realizació de las variables aleatorias ν 1, ν 2,... ; etoces para cada uo de estos úeros i G, i 1 se tiee u vector de datos de la fora: 1 1 = x 11, x 12,..., x 11, 2 2 = x 21, x 22,..., x 22, etcétera, dode cada i i X i. Por defiició, el grupo si observacioes, de deota por x 0 = el vector si copoetes. Ahora sea el vector = 1, 2,..., k G k ua realizació del vector de variables aleatorias ν = ν 1, ν 2,..., ν k, para cualquier etero k 1, dode las copoetes de so los respectivos taaños de los grupos cosecutivos. Co base e esto se defie el vector : s coo el subvector de los prieros s eleetos del vector coo: : s = 1, 2,..., s. Defiaos ahora u cocepto iportate para uestro trabajo, a saber, regla de paro. 3 Dode x X f θ x = 1. 7

13 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS 1.3. Reglas de paro Ua regla de paro es ua failia de fucioes idicadoras, dode cada copoete de la failia toa sólo uo de dos valores, cero 0 o 1; la defiició foral es: Defiició 1. Ua regla de paro ψ es ua failia de fucioes idicadoras: { } ψ : X 1 X 2 X k {0, 1}, co G k y k 1 Dode las copoetes de la regla de paro tiee la siguiete aplicació: si G k, ψ = ψ 1 1, 2 2,..., k k. Y la iterpretació de la regla de paro es la siguiete: Priero se observa el prier grupo de 1 observacioes, obteiedo los datos x 11,..., x 11 = 1 1. A estos datos se les aplica la fució ψ dode = 1 G. Si ψ x 1 1 = 1 etoces el experieto teria e esta priera etapa y la decisió de rechazar o aceptar H 0 se toa exclusivaete co base e 1, 1 1. E caso cotrario es decir, si ψ x 1 1 = 0, el experieto cotiua, pasado a la siguiete secuecia al segudo grupo de datos x 21,..., x 22 = 2 2 co 2 datos dode 2 se geera aleatoriaete. A su vez, a estos datos juto co los de la priera etapa se les aplica, uevaete, la fució ψ dode ahora = 1, 2 G 2, de la isa aera que e la priera etapa, para deteriar: si el experieto cotiúa ψ x 1 1, 2 2 = 0 después de esta etapa o si se detiee ψ x 1 1, 2 2 = 1, y así sucesivaete. 8

14 1.3. REGLAS DE PARO Etoces la aplicació de la regla de paro ψ para ua etapa k 1 cosiste e evaluar las respectivas fucioes e el cojuto de datos respectivo: y toar la siguiete iterpretació 1 ψ 1 1,..., k k se cotiua el experieto, si ψ 1 1,..., k k = 0. se para el experieto, si ψ 1 1,..., k k = 1. Si el experieto se detiee e algua etapa k, co los datos obteidos de los grupos 1,..., k, sigifica que se ha aalizado k grupos y u total k datos; k adeás la copoete de la regla de paro respectiva a la etapa fue: ψ 1 1,..., k k = 1 dode G k. Ahora defiireos otra oció iportate, a saber tiepo de paro. E el cotexto tradicioal del aálisis secuecial el tiepo de paro tiee su iportacia porque es co base e dicho cocepto que se optiiza u proceso, lo que colleva a observacioes, tiepo y recursos eores. E este cotexto dicha oció tabié se trabajará, auque aquí se puede iterpretar de ua aera ligeraete diferete, coo el úero de grupos observados e el experieto. Por cuestioes de estilo atedreos el cocepto de tiepo de paro. 9

15 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS Defiició 2. La variable aleatoria deotada coo τ ψ se le llaa tiepo de paro o úero de grupos observados defiida coo: } τ ψ = í {k 1 : ψ ν X ν 1 1,..., X ν k k = 1 El tiepo de paro es ifiito si para todo k 1, ψ ν X ν 1 1,..., X ν k k = 0. El tiepo paro es ua oció que está asociada a ua regla de paro ψ de aera biuívoca, es decir, para u tiepo de paro fijo se tiee ua regla particular de paro y viceversa. De la defiició aterior se observa que ta ψ puede ser fiito o ifiito. Esto últio es posible cuado los grupos de datos que se vaya aalizado tega, respectivaete la copoete de la regla de paro siepre igual a cero, i. e. ψ = 0 co G k para toda k = 1, 2,.... Co base e esto y por la relació existete etre τ ψ y ψ, tabié podeos hablar de que ua regla de paro terie el experieto o o, ya que si se tiee u tiepo de paro ifiito sigifica que la regla de paro asociada uca terio y viceversa. Ahora se va a ecotrar la probabilidad de que τ ψ = k co k fiito. Coo ya se ecioó, e este proceso existe dos tipos de aleatoriedad: la de los datos y la de los taaños de los grupos. Etoces para calcular P θ τ ψ = k debeos toar e cueta abas fuetes de aleatoriedad. Calculeos priero la probabilidad codicioal de ua 10

16 1.3. REGLAS DE PARO aplicació de las variables aleatorias ν 1,... ν k. Pθ τ ψ = k = P θ τ ψ = k ν 1 = 1, ν 2 = 2,..., ν k = k = P θ ψ :1 X 1 1 = 0, ψ:2 X 1 1, X 2 2 = 0,..., ψ :k 1 X 1 1, X 2 2,... X k 1 k 1 = 0, ψ X 1 1, X X k k = 1 = P θ ψ :1 = 0, ψ :2 = 0,..., ψ :k 1 = 0, ψ = 1 co G k. 1.1 Coo se ve esta probabilidad queda e térios de la regla de paro que a su vez depede de la distribució de los datos uestrales. E este puto vaos a defiir dos fucioes, que depede directaete de la regla de paro y, por ede, del tiepo de paro. Sea G k defiios a 1 ψ:1 1 ψ:2 1 ψ:k 1 si k > 1; t ψ := 1 si k = Cuya aplicació es la siguiete: Si k > 1 y = 1, 2,... k etoces t ψ = t ψ 1 1, 2 2,..., k 1 k 1 = 1 ψ :1 x ψ :2 x 1 1, ψ :k 1 x 1 1, 2 2,..., k 1 k 1 Para el caso k = 1, se tedrá por defiició: t ψ = 1 ψ :0 = Esta relació 1.2 está defiida para cualquier vector de diesió k 1. 11

17 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS La fució t ψ es ua idicadora debido a que está defiida ediate fucioes idicadoras, ψ :i para i = 1,..., k 1 co k 1. Si t ψ = 1 y G k, etoces ecesariaete os idica que o ha habido paro hasta la etapa k 1. Ahora para G k, defiios la fució s ψ 4 coo: s ψ := s ψ 1 1, 2 2,..., k k = 1 ψ :1 x ψ :k 1 x 1 1, 2 2,..., k 1 k 1 ψ x 1 1, 2 2,..., k k = 1 ψ :1 1 ψ:2 1 ψ:k 1 ψ = t ψ ψ. 1.4 La fució s ψ así defiida es ua fució idicadora debido a que es el producto de las fucioes idicadoras. U puto iportate del uso de la fució s ψ es que perite deteriar el tiepo de paro de u experieto; porque para que s ψ = 1 es ecesario y suficiete que el experieto terie e la etapa k, es decir G k y s ψ = 1 τ ψ = k. 1.5 Obsérvese que s ψ es ua variable aleatoria tipo Beroulli, ya que sólo toa los valores cero o uo co probabilidad de éxito p = P s ψ = 1 y e cosecuecia E s ψ = p. Ahora escribireos la probabilidad de parar e la etapa k e térios de la fució s ψ. Para ello utilizareos el teorea de probabilidad total y la ecuació Dode s hace referecia a stop. 12

18 1.3. REGLAS DE PARO P θ τ ψ = k = G k P θ τ ψ = k P ν 1 = 1, ν 2 = 2,..., ν k = k De aquí se sigue que: = G k P θ ψ:1 = 0, ψ :2 = 0,..., ψ :k 1 = 0, ψ = 1 P ν 1 = 1, ν 2 = 2,..., ν k = k P θ τ ψ = k = E θ s ψ X 1 1,... X k k P ν1 = 1 P ν 2 = 2 P ν k = k G k Por tato = G k E θ s ψ k q i. i=1 P θ τ ψ = k = G k q E θ s ψ. 1.6 dode k q = q i 1.7 i=1 q es el producto de las k probabilidades de los taaños de los grupos para el vector = 1, 2,..., k. Y E θ s ψ es el valor esperado, bajo θ, de la fució idicadora s ψ. Etoces la relació 1.6 es la probabilidad, bajo el paráetro θ, de teriar el experieto cuado el tiepo de paro es igual a k. 5 Esta probabilidad esta supoiedo que la regla de paro ψ asociada al tiepo de paro τ ψ, teria el experieto e la etapa k. Ahora se aalizará qué reglas de paro tiee ua probabilidad alta de teriar ates de la etapa k. 5 O la probabilidad observar k grupos de taaños ν 1, ν 2,..., ν k respectivaete. 13

19 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS Reglas de paro que teria co probabilidad uo La ecuació 1.6 os da la probabilidad de que se terie u experieto co u tiepo de paro igual a k, pero es iportate saber cuádo esta probabilidad está bie defiida. E particular se requiere de procesos e los que el tiepo de paro tega u valor o ifiito, esto es que se satisfaga la ecuació P θ τ ψ = = 0. Defiició 3. Sea Ψ θ la failia de fucioes, defiida coo: Ψ θ = { ψ regla de paro : P θ τ ψ = } = 0 La clase Ψ θ cotiee a las fucioes de paro ψ para la cuales o sucede que su respectivo tiepo de paro sea ifiito, bajo cierto paráetro θ, o dicho de otra aera las reglas de paro que perteece a esta clase teria el experieto co probabilidad uo, bajo el paráetro θ. Esto debido al siguiete argueto. Los evetos {τ ψ = 1}, {τ ψ = 2},..., {τ ψ = k},..., {τ ψ = }, so utuaete excluyetes, etoces la uió de ellos cofora todo el espacio Ω de probabilidad, esto es: {τ ψ = k} {τ ψ = } = Ω k=1 Toado la probabilidad bajo el paráetro θ, se tiee que: P θ τ ψ = k + P θ τ ψ = = k=1 14

20 1.3. REGLAS DE PARO De aquí se sigue que ua regla de paro ψ Ψ θ si y sólo si P θ τ ψ = k = k=1 O de aera equivalete: P θ τ ψ < = Lo cual os idica que si ua regla de paro perteece a la clase Ψ θ defiició 3 etoces dicha regla ψ tiee u tiepo de paro fiito co probabilidad uo 6, bajo θ. Otra propiedad es que el úero de grupos observados e el experieto o crece idefiidaete debido a que: Dado N u úero atural cualesquiera, defiaos el cojuto: A N = { τ ψ N }. y dado que τ ψ N + 1 τ ψ N etoces: A N+1 A N Por tato se obtiee la sucesió de cojutos A N co la propiedad: Por defiició de líite se tiee:... A N+2 A N+1 A N. lí A N = A N = {τ ψ = } 1.11 N N 1 6 El úero de grupos observados e el experieto será fiito. 15

21 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS Ahora por cotiuidad y dado que ψ Ψ θ : lí P θa N = P θ lí N N A N lí P θ τ ψ N = P θ τ ψ = = N Esta últia relació os idica que la probabilidad de que el tiepo de paro crezca idefiidaete será ula siepre y cuado la regla de paro ψ Ψ θ. E geeral, e este trabajo os iteresa la reglas de paro que colleve tiepos de paro fiitos, debido a que ello es ás aplicable. Etoces Dado el paráetro θ, para la clase Ψ θ se tiee que: ψ Ψ θ si y sólo si: 1.- ψ teria el experieto co probabilidad uo P θ τ ψ < = 1 ; 2.- Y la probabilidad de que el tiepo de paro τ ψ crezca idefiidaete es ula, lí P θ τ ψ N = 0. N Puede observarse que las dos propiedades ateriores so equivaletes y ellas colleva perteecer a la clase Ψ θ. Ahora, vaos a toar e cueta las propiedades ateriores para el cálculo de la probabilidad de que el úero de grupos observados sea k. Supogaos que las reglas de paro ψ e el experieto perteece a la clase Ψ θ, etoces al sustituir P θ τ ψ = k e la ecuació 1.9 resulta que: P θ τ ψ = k = 1 q E θ s ψ = k=1 k=1 G k 16

22 1.4. REGLAS DE DECISIÓN TERMINAL Etoces el experieto puede teriar e cualquier etapa fiita k k = 1, 2, 3,.... E particular, a lo largo del trabajo, vaos a trabajar co la clase Ψ θ0 dode las reglas de paro teria el experieto co probabilidad uo bajo θ 0, relacioada a uestra hipótesis H 0. 7 Al fial del trabajo tabié se trabajará co la clase Ψ θ Reglas de decisió terial Cotiuado co uestro experieto es coveiete ahora pregutarse por la desició fial de estar a favor de H 0 o de H 1, co base e el tiepo de paro τ ψ obteido. Para ello se ecesita ua regla que os perita decidir sobre la hipótesis e cuestió. Dicha regla será llaada la regla de decisió terial deotada co φ. Esta regla, al igual que la de paro, será ua fució idicadora. Defiició 4. Ua regla de decisió φ es ua failia de fucioes idicadoras { } φ : X 1 X 2 X k {0, 1}, co G k y k 1 Dode dada ua realizació del vector ν G k etoces si G k, la aplicació de la regla de decisió φ para ua etapa k cosiste e evaluar la fució: 7 Esto debido a que priero se trabajará co el paráetro θ 0 y después las isas propiedades pero co θ 1. 17

23 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS φ = φ 1 1, 2 2,..., k k. e los grupos de los datos uestrales y toar la siguiete decisió: se acepta la hipótesis H 0, si φ 1 1,..., k k = 0. se rechaza la hipótesis H 0, a favor de H 1, si φ 1 1,..., k k = 1. Podeos observar que para aplicar algua de las copoetes de la regla de decisió es ecesario que el experieto haya teriado. Co base e el tiepo de paro observado, uo puede pregutarse por la decisió fial para la prueba de hipótesis correspodiete. Etoces este cotexto os lleva a la siguiete defiició Prueba estadística secuecial Ahora toado e cueta que e u experieto secuecial se tiee ua regla de paro ψ y ua regla de decisió φ se tiee la siguiete defiició: Defiició 5. Ua prueba estadística secuecial es ua pareja ψ, φ copuesta por ua regla de paro ψ y ua regla de decisió terial φ. 18

24 1.5. PRUEBA ESTADÍSTICA SECUENCIAL Esta pareja os proporcioa ua aera de proceder e el aálisis de los datos, para llegar a ua coclusió co respecto a uestras hipótesis. Auque, recordeos, que se está trabajado co dos aleatoriedades la de los datos y la de los taaños de los grupos, por tato el proceso de la prueba estadística podría collevar a toar la decisió icorrecta Probabilidades de error Ua de las aeras e que ua prueba de hipótesis ide u equívoco es utilizado las probabilidades de error. Los tipos de errores que se toa e cueta e estas pruebas so coocidos coo: error tipo I y error tipo II. El priero sucede cuado siedo la hipótesis H 0 verdadera, la decisió fial es rechazarla. El error tipo II, al cotrario, se da cuado siedo falsa la hipótesis H 0, la decisió fial es aceptarla. Para teer ua calidad e la iferecia estadística se debe teer e cueta que dichos errores o suceda co frecuecia. Para esto es ecesario cotrolarlos ediate sus probabilidades. Etoces deoteos la probabilidad de error tipo I coo αψ, φ y la probabilidad del error tipo II coo βψ, φ dode: αψ, φ = P θ0 rechazar H 0 y βψ, φ = P θ1 aceptar H 0. Abas probabilidades de error está e depedecia de las fucioes de paro y decisió terial ψ, φ respectivaete, debido a que éstas so ecesarias durate el proceso de la prueba de hipótesis. Tabié ótese que cada probabilidad de error está asociada, 19

25 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS respectivaete, a la hipótesis que se rechaza. Ahora calculeos estas probabilidades. αψ, φ = P θ0 rechazar H 0 = P θ0 rechazar H 0 e la etapa k = P θ0 k=1 G k k=1 rechazar H0 e la etapa k dados ν 1 = 1,..., ν k = k P ν 1 = 1,..., ν k = k = φ = 1, τ ψ = k q = P θ0 k=1 G k k=1 Si ebargo, tegaos presete el hecho dado e 1.5. Por tato q P θ0 φ = 1, τ ψ = k. G k αψ, φ = = = k=1 k=1 k=1 φ = 1, s ψ = 1 q P θ0 G k φ s ψ = 1 q P θ0 G k Eθ0 φ s ψ G k q Ahora calculeos la probabilidad del error tipo II, βψ, φ. βψ, φ = P θ1 aceptar H 0 = = = = = k=1 P θ1 aceptar H 0 e la etapa k k=1 φ = 0, τ ψ = k q P θ1 G k φ = 0, s ψ = 1 k=1 q P θ1 G k 1 φ s ψ = 1 k=1 q P θ1 G k E θ1 1 φ s ψ k=1 G k q

26 1.5. PRUEBA ESTADÍSTICA SECUENCIAL Se sabe, por la defiició 2, que el tiepo de paro τ ψ e u experieto es ua variable aleatoria y dicho valor puede ser estiado co su valor proedio bajo el paráetro θ 0 o bajo θ 1. Etoces deoteos dichos proedios por edio de N θ 0 ; ψ = E θ0 τ ψ y N θ 1 ; ψ = E θ1 τ ψ Estos proedios so utilizados e trabajos coocidos del aálisis secuecial. Los correspodietes proedios del tiepo de paro N θ; ψ o depede de la fució de decisió φ, sólo de la regla paro ψ, debido a que la variable τ ψ sólo depede de dicha fució véase defiició 2 por ello es que ésta sólo tiee arcado la depedecia de ψ. Ahora al calcular el valor esperado del tiepo de paro para u paráetro θ cualquiera, co ψ Ψ θ se tiee: N θ; ψ = E θ τ ψ = k P θ τ ψ = k = k=1 k=1 G k k q E θ s ψ Hasta este oeto se tiee que: dado u experieto e el cual las observacioes k k viee e grupos de taaño k abos aleatorios, se aaliza dichas observacioes ediate ua fució de paro ψ y ua fució de decisió φ para deteriar, co respecto a ciertos paráetros θ 0, θ 1, cuál de ellos es el idicado para la distribució de probabilidad de los datos, bajo el hecho de que ψ Ψ θ. Esto se realiza ediate ua prueba de hipótesis secuecial, e la cual se toa e cueta las respectivas probabilidades de error α, β. 21

27 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS Costo proedio Dado u experieto estadístico y ua prueba secuecial ψ, φ se busca que dicha prueba colleve a u puto óptio, e este cotexto, este puto será el costo del experieto 8, ya que os iteresa teer u costo de ipleetació íia. Para ecotrar la prueba optia itroducios los respectivos costos de cada grupo de observacioes. Sea k el taaño de u grupo de observacioes, el costo que se tiee que pagar por los k datos será c k, para cualquier k = 1, 2,.... Etoces sea el costo c k : G R + ua fució o egativa que depede del úero de observacioes tratadas e cada grupo, ás recuérdese que dicho úero es aleatorio correspodiete a ν k, el taaño del grupo, etoces podeos decir que se tiee ua sucesió de variables aleatorias correspodietes a los costos de cada grupo, esto es, se tedrá la sucesió de los respectivos costos por cada grupo: c ν1, c ν2,... c νk,.... Dode para ua realizació dada 1, 2,..., k de taaños de k grupos, se tiee c 1, c 2,..., c k sus respectivos costos, y c k es cualquier fució o egativa, pero fija e el experieto. Etoces El costo proedio de u grupo se deota: c = G q c 1.17 dode P ν = = q. Coo las variables aleatorias ν k so fiitas, idepedietes e idéticaete distribuidas, etoces las variables c νk, tabié tiee las isas propiedades. Por tato el valor esperado del costo de u grupo es el iso para cualquier grupo. Adeás podeos aseverar 8 E el cotexto clásico el puto de optialidad es el proedio del tiepo de paro N θ; ψ. 22

28 1.5. PRUEBA ESTADÍSTICA SECUENCIAL que dicho costo proedio c es fiito por ser la sua fiita de valores fiitos. Por tato c <. Adeás coo los c ν so fucioes o egativas etoces se tiee que 0 c. Si ebargo si c = 0, sigifica que c ν = 0 para toda ν, ás este caso o lo vaos a teer e cueta debido a que o es de uestro iterés teer u experieto e el cual el costo para todo grupo de observacioes es ulo. Es decir, si o se tiee u costo para cada grupo 9, etoces el procediieto óptio es uca teriar. De lo cual, se tedrá que 0 < c <. Tabié es iportate destacar que el costo c k de cada grupo de observacioes, o ecesariaete es ua fució proporcioal al úero de observacioes k de cada grupo. Dicha relació, e geeral puede ser cualquier fució o egativa. Ahora se tiee el costo total de k etapas: dado G k, c = c c k Y el costo total cuado el experieto o teria: c ν = lí k cν1 + + c νk Co base e estas otacioes se deteria el costo total esperado del experieto: Kθ; ψ = E θ {Costo total} cν1 cν1 = E θ + c ν2 + + c νk I{τ ψ =k} + E θ + c ν2 + I {τ ψ = } k= Obsérvese que el últio terio de la expresió toa e cueta cuado el experieto o teria. 9 O o cuesta ada. 23

29 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS Cabe ecioar que otra aera de trabajar el costo proedio del experieto sería el utilizar la idetidad de Wald, de la siguiete fora: Kθ; ψ = E θ c ν1 + c ν2 + + c ντ ψ = τ ψ E θ c νk k=1 = E θ c ν1 E θ τ ψ = c E θ τ ψ 1.21 Si ebargo, para la aplicació de la idetidad de Wald e lo aterior, se ecesita que el eveto {τ ψ } depeda de las variables aleatorias ν i co 1 ν i <, as uestro tiepo de paro tabié depede de las observacioes, por lo cual o se tiee la certeza de la aplicació de la idetidad. Este caio es u puto iteresate de ivestigació futura, ya que si se ecuetra ua prueba secuecial que colleve a u costo proedio fiito Kθ; ψ <, etoces se podrá asegurar que el proedio del tiepo de paro del experieto tabié será fiito E θ τ ψ <. Regresado al aálisis de la ecuació 1.20, se tiee: cν1 Kθ; ψ = + + c νk I{τ ψ =k} ν 1 = 1,..., ν k = k = = E θ k=1 G k P ν 1 = 1,..., ν k = k + Eθ cν I {τ ψ = } c1 q E θ + c c k s ψ + E θ cν I {τ ψ = } G k c1 + + c k q E θ s ψ + E θ cν I {τ ψ = }. k=1 k=1 G k Etoces Kθ; ψ = k=1 G k q c E θ s ψ + E θ cν I {τ ψ = }

30 1.5. PRUEBA ESTADÍSTICA SECUENCIAL E el caso cuado se trabaja co ua regla de paro que teria el experieto ψ Ψθ, el segudo tério del costo o aparece por las propiedades de la regla de paro. Etoces: ψ Ψ θ Kθ; ψ = k=1 G k q c E θ s ψ E este cotexto, aaliceos alguos casos de los costos de u grupo: a Cuado el costo es fijo para todos los grupos, idepedieteete de su taaño, por ejeplo se puede toar u costo uitario c k = 1 o u costo fijo c k = c para cualquier taaño k. Para el prier caso, la sua de los costos de los k grupos sería el iso valor k, i. e. c c k = k. Ahora, si se sustituye este valor e el costo total proedio Kθ; ψ 1.22 etoces dicho costo coicide exactaete co el úero proedio de grupos observados N θ; ψ véase Por lo cual se tedría, e este caso, que Kθ; ψ = N θ; ψ. Para el caso e el que se tiee el iso costo c k = c co c > 0, la sua correspodiete sería c c k = k c y por tato Kθ; ψ = cn θ; ψ. Cabe ecioar que este caso e particular es el que se trabaja cuádo los grupos so de taaño uo, esto es se va aalizado las observacioes de ua por ua [12], [11]. b Cuado el costo es directaete proporcioal a la catidad de datos e cada grupo, es decir si c k = c k para cualquier k. E este caso la sua correspodiete sería c c k = c k. Co lo cual el costo proedio total del experieto Kθ; ψ será proporcioal al úero total de datos observados. E geeral, o se tiee ua relació específica para el costo de cada grupo de observacioes, éste podría teer cualquier estructura, coo por ejeplo la fora c k = κ k + l, 25

31 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS SECUENCIAL CON GRUPOS ALEATORIOS cuya iterpretació podría ser: κ u costo uitario por uidad ás u costo extra por lote l. Puede otarse que uestra fora del costo proedio total egloba los casos particulares ateriorete descritos. Por otro lado, e el experieto se podría teer ua regla de paro ψ que o lo terie. Para estos casos aaliceos el costo total del experieto. Por la ley de grades úeros para la sucesió creciete c ν1, c ν2,..., se tiee que: cν1 + + c νk P lí = c = 1 k k P cν1 + + c νk = = 1 si c > lí k De lo cual, si ψ es ua regla de paro que o teria el experieto, Kθ; ψ = E θ cν I {τ ψ = } = E θ lí k cν1 + + c νk I{τ ψ = } = lí k cν1 + + c νk Pθ τ ψ = 1.25 E geeral, si ψ es ua regla de paro que o teria el experieto, etoces el costo proedio del experieto para dicha regla o es fiito, a eos que c = 0. ψ / Ψ θ Kψ; θ = 1.26 E particular, vaos a estar trabajado co el paráetro θ 0, etoces se tedrá Kθ 0 ; ψ; y a eos que se especifique lo cotrario, toareos Kψ = Kθ 0 ; ψ, esto es: Kψ = k=1 G k q c E θ0 s ψ 1.27 para ψ Ψ θ0. 26

32 CAPÍTULO 2 OPTIMALIDAD DE LAS PRUEBAS SECUENCIALES CON GRUPOS DE TAMAÑO ALEATORIO 2.1. Plateaieto del problea: optialidad E el cotexto del aálisis secuecial clásico, e dode los datos se va aalizado de uo e uo, se sabe que el costo proedio total del experieto secuecial es proporcioal al úero de datos observados véase [6],[13]. Uo de los probleas e dicho cotexto es iiizar el costo total del experieto, y se llega a la fora de la prueba que iiiza el tiepo de paro y tabié iiiza el úero proedio de observacioes e el experieto véase [13]. Si ebargo e uestro cotexto, y de aera ás geeral, se busca optiizar el 27

33 CAPÍTULO 2. OPTIMALIDAD DE LAS PRUEBAS SECUENCIALES CON GRUPOS DE TAMAÑO ALEATORIO costo proedio del experieto. Coo se ecioó ateriorete el prier problea es u caso particular de uestra ivestigació. Etoces foraliceos uestro problea de ivestigació. Sea α, β la clase de todas las pruebas secueciales ψ, φ tales que se satisface las siguietes desigualdades: αψ, φ α y βψ, φ β co α, β [0, 1 alguas costates fijas. El problea de ivestigació cosiste e ecotrar ua prueba ψ, φ α, β tal que su costo correspodiete Kθ 0 ; ψ es íio e α, β. Esto sigifica que e u experieto secuecial existe ua prueba secuecial co ciertas cotas dadas relacioadas co los errores tipo I y tipo II tal que el costo proedio de dicho experieto es íio. Etoces teeos que iiizar la fució 1.27 co ciertas restriccioes, esto es í Kψ restrigido a αψ, φ α y βψ, φ β. 2.1 dode α, β [0, 1 costates fijas. Aquí teeos u problea de optiizació co restriccioes y este lo vaos a resolver utilizado el étodo variacioal de Lagrage. Coo se sabe este étodo os perite expresar a uestra fució a optiizar y a sus restriccioes coo ua sola fució, etoces sea la fució de Lagrage defiida coo: Lψ, φ = Kψ + λ 0 αψ, φ + λ 1 βψ, φ. 2.2 dode λ 0 0 y λ 1 0 so dos costates cualesquiera coocidas coo los ultiplicadores de Lagrage. 28

34 2.2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMALIDAD Para resolver el problea de iiizació de la fució de Lagrage, sobre las pruebas secueciales, vaos a buscar la estructura de ua prueba secuecial ψ, φ tal que alcace la cota íia si ésta existe de la fució Resolució del problea de optialidad El siguiete teorea represeta la reducció del problea co restriccioes a u problea si restriccioes e la que propiaete cosiste el étodo de ultiplicadores de Lagrage. Teorea 1. Sea ψ, φ ua prueba secuecial tal que: a αψ, φ = α y βψ, φ = β; y b ψ, φ Lψ, φ Lψ, φ, 2.3 Etoces para cualquier prueba ψ, φ que satisface c αψ, φ α y βψ, φ β 2.4 se tiee que Kψ Kψ. 2.5 La desigualdad e 2.5 es estricta si algua de las desigualdades e 2.4 lo es. 29

35 CAPÍTULO 2. OPTIMALIDAD DE LAS PRUEBAS SECUENCIALES CON GRUPOS DE TAMAÑO ALEATORIO Nótese que es obvio que 2.3 c garatiza que ψ, φ α, β, así que 2.5 represeta la optialidad de ψ, φ e la clase α, β desde el puto de vista del costo proedio del experieto. Deostració. Sea ψ, φ ua prueba que satisface 2.3 a-b; adeás sea ψ, φ cualquier otra prueba que satisface que αψ, φ α y βψ, φ β. Para λ 0 0 y λ 1 0 se satisface la desigualdad: λ 0 α + λ 1 β λ 0 αψ, φ + λ 1 βψ, φ. Kψ + λ 0 α + λ 1 β Kψ + λ 0 αψ, φ + λ 1 βψ, φ = Lψ, φ Lψ, φ = Kψ + λ 0 αψ, δ + λ 1 βψ, δ = Kψ + λ 0 α + λ 1 β. 2.6 Por tato de la cadea aterior se tiee que Kψ + λ 0 α + λ 1 β Kψ + λ 0 α + λ 1 β Kψ Kψ. 2.7 lo que deuestra el teorea. Cabe señalar que si ahora Kψ = Kψ para algua prueba ψ, φ, etoces todas las desigualdades ateriores a 2.6 e realidad será igualdades, por lo que αψ, φ = α y βψ, φ = β, y esto cocluye la deostració. 30

36 2.2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMALIDAD El teorea 1 os perite dedicaros a la solució del problea de iiizació de la fució de Lagrage Lψ, φ ver la codició 2.3b. Coo hay dos costates arbitrarias λ 0, λ 1 e la fució de Lagrage, se puede esperar que variado éstas uo pueda cuplir co las codicioes 2.3a. De cierta fora, estas codicioes so autoáticas, ya que ua vez que exista ua prueba ψ, φ que satisface 2.3-b, la codició 2.3- a se cuple si toaos α = αψ, φ y β = βψ, φ. De hecho, es precisaete el setido que se le da a la optialidad de la prueba SPRT véase [20] Reducció al problea del paro óptio Del Teorea 1 veos que para hallar la fora de la prueba óptia ecesitaos iiizar la fució de Lagrage Lψ, φ. E esta secció este problea recibe ua resolució parcial: resulta posible dar ua regla de decisió φ óptia e el setido de que para cualquier otra regla de decisió φ, Lψ, φ Lψ, φ. Esto es, el problea de optiizació de la fució de Lagrage 2.2 cosistirá e ecotrar priero la optiizació de Lψ, φ para cualquier regla de paro ψ Lψ, φ = íf φ Lψ, φ. Después de ello, se ecotrará la fució de Lagrage óptia ahora para la fució Lψ, φ. Co estas reglas de paro ψ y de decisió φ fijas, se tedrá la íia cota de la fució de Lagrage Lψ, φ para la prueba secuecial ψ, φ. Para itroducir φ toeos la siguiete otació. 31

37 CAPÍTULO 2. OPTIMALIDAD DE LAS PRUEBAS SECUENCIALES CON GRUPOS DE TAMAÑO ALEATORIO Sea G k y se defie la fució: f i = f i La fució f i 1 1, 2 2,..., k k i = 0, 1. = fi x 11, x 12,..., x }{{ 11, x } 21, x 22,..., x 22,..., x }{{} k1, x k2,..., x kk }{{} datos de 1 1 datos de 2 2 datos de k k k = f θi x j co i = 0, =1 j=1 co i = 0, 1 es el producto de probabilidad cojuta de los datos de cada grupo. Más es iportate señalar que puede existir grupos que o tega igua observació, esto es, el taaño de estos sea cero. Por lo cual su correspodiete vector será de la fora x 0 i =. Para casos coo este se toa por defiició a su producto de probabilidad cojuta coo 1, esto es 0 1. Co esto uestra ecuació 2.8 estará bie defiida. j=1 Etoces, la fució f i tiee dos posibilidades, a saber f 0 y f 1 respectivaete para los paráetros θ 0 y θ 1, co G k. Ahora sea φ = I {λ0 f0 λ 1f1 } = 1, si λ 0 f0 λ 1 f1, 0, e otro caso. 2.9 La relació aterior φ correspode a las copoetes para aplicar a cada vector = 1, 2,..., k. Etoces, la regla de decisió geeral está forada por la failia, φ = { φ, G k, k 1 }. La ecuació 2.9 uestra la estructura de los eleetos de la regla de decisió que vaos a utilizar. A cotiuació os dedicareos a ostrar que dicha regla es e realidad 32

38 2.2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMALIDAD óptia. Para lo cual presetareos u secillo lea que os ayudará a la deostració de varios teoreas iportates. Lea 1. Sea x ua variable co u úero fiito de valores; y sea F 1 x y F 2 x cualesquiera fucioes de x. Etoces para cualesquiera fucioes φx, χx co 0 φx, χx 1, se tiee x χx φxf 1 x+ 1 φx F 2 x x χx í { F 1 x, F 2 x } E el caso e el que φx = I {F1 F 2 }x etoces 2.10 se covierte e igualdad. Deostració. Sea F 1 x, F 2 x y φx, χx cualesquiera fucioes de x co 0 φx, χx 1. Sabeos que F 1 x í{f 1 x, F 2 x} y F 2 x í{f 1 x, F 2 x}. Etoces de abas desigualdades se tiee: φxf 1 x + 1 φx F 2 x φx í{f 1 x, F 2 x} + 1 φx í{f 1 x, F 2 x} = í{f 1 x, F 2 x}. Por lo tato, para cualquier valor de x: φxf 1 x + 1 φx F 2 x í{f 1 x, F 2 x}

39 CAPÍTULO 2. OPTIMALIDAD DE LAS PRUEBAS SECUENCIALES CON GRUPOS DE TAMAÑO ALEATORIO Sabeos que 0 χx 1 por lo cual χx φxf 1 x + 1 φx F 2 x χx í{f 1 x, F 2 x} Suado 2.12 sobre x se obtiee: x χx φxf 1 x + 1 φx F 2 x x χx í{f 1 x, F 2 x}. Ahora supogaos que φx es la fució idicadora del eveto {F 1 F 2 } i. e. φx = I {F1 F 2 }x. Recordeos que el eveto {F 1 F 2 } = {x : F 1 x F 2 x}. Sea A = {x : F 1 x F 2 x} por lo cual A c = {x : F 1 x > F 2 x} etoces: x χx φxf 1 x + 1 φx F 2 x = = χx φxf 1 x + 1 φx F 2 x x A + χx φxf 1 x + 1 φx F 2 x x A c 2.13 Si ebargo, cuado F 1 x F 2 x etoces φx = 1; y cuado F 2 x < F 1 x etoces φx = 0 y por tato 2.13 se covierte e: x χx φxf 1 x + 1 φx F 2 x = x A χxf 1 x + x A c χxf 2 x = x χx í{f 1 x, F 2 x} 2.14 Por lo tato, para el caso e que φx = I {F1 <F 2 }x la desigualdad 2.10 es e realidad ua igualdad El siguiete teorea os uestra que la fució de Lagrage sobre la regla de decisió elegida φ, cuyas copoetes tiee la estructura dada e 2.9, es eor coparada co otra fució de Lagrage bajo cualquier otra regla de decisió φ. 34

40 2.2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMALIDAD Teorea 2. Para cualquier regla de paro ψ y cualquier regla de decisió φ tales que Lψ, φ Lψ, φ dode las copoetes de φ tiee la estructura dada e 2.9. Más aú, para el valor de Lψ, φ se tiee la siguiete expresió Lψ, φ = Kψ + q k=1 G k dode s ψ está dada por la fórula 1.4 y = s ψ í {λ 0 f 0, λ 1 f 1 } ,..., k k, G k 2.17 Deostració. Por la defiició de la fució de Lagrage 2.2 se deostrará que λ 0 αψ, φ + λ 1 βψ, φ λ 0 αψ, φ + λ 1 βψ, φ, 2.18 y que λ 0 αψ, φ + λ 1 βψ, φ = q k=1 G k s ψ í {λ 0 f 0, λ 1 f 1 } La clave de esta deostració es el Lea aterior. Toeos las defiicioes αψ, φ y 35

41 CAPÍTULO 2. OPTIMALIDAD DE LAS PRUEBAS SECUENCIALES CON GRUPOS DE TAMAÑO ALEATORIO βψ, φ. Etoces toado el lado izquierdo de 2.18 y desarrolládola se tiee: λ 0 αψ, φ + λ 1 βψ, φ = = λ 0 q E θ0 φ s ψ + λ 1 q E θ1 1 φ s ψ k=1 G k k=1 G k = λ 0 E θ0 φ s ψ + λ 1 E θ1 1 φ s ψ q k=1 G k Ahora apliqueos la defiició del valor esperado a las respectivas fucioes idicadoras: = = = λ 0 αψ, φ + λ 1 βψ, φ = λ 0 q k=1 G k k=1 G k q q s ψ k=1 G k φ s ψ f0 + λ 1 1 φ s ψ f1 φ s ψ λ 0 f0 + 1 φ s ψ λ 1 f1 φ λ 0 f0 + 1 φ λ1 f Aplicado el Lea 1 a s ψ φ λ 0 f0 + 1 φ λ1 f1 e el lado derecho de 2.21 dode s ψ χx φ φx y λ 0 f0 F 1 x, λ 1 f1 F 2 x. Etoces φ λ 0 f0 + 1 φ λ1 f1 q s ψ k=1 G k q s ψ í {λ 0 f0, λ 1 f1 }. k=1 G k 2.22 Por lo tato λ 0 αψ, φ + λ 1 βψ, φ s ψ í {λ 0 f0, λ 1 f1 }. q k=1 G k 36

42 2.2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMALIDAD Tabié sabeos por el Lea 1 que si φ = I {λ0 f0 λ 1f1 } etoces se obtiee la igualdad, por tato toeos φ = φ etoces λ 0 αψ, φ + λ 1 βψ, φ = s ψ í {λ 0 f0, λ 1 f1 }. q k=1 G k Estas últias relacioes deuestra 2.18 y 2.19 y por tato deuestra las relacioes 2.15 y 2.16 El teorea 2 deuestra que la fució de Lagrage Lψ, φ co la regla de decisió φ fija es la eor sobre cualquier otra fució de Lagrage Lψ, φ para cualquier otra regla de decisió φ. De esta aera el problea de iiizació de Lψ, φ se covierte ahora e u problea de paro óptio, ya que toareos Lψ que depederá úicaete de la regla de paro, ediate la siguiete asigació. que Notació: Sea Lψ, φ = Lψ Etoces, el objetivo, a partir de este oeto, será hallar la regla de paro ψ tal para cualquier regla de paro ψ, i. e. Lψ Lψ Lψ = íf ψ Lψ. Co esto será resuelto el problea de la prueba óptia ya que para cualquier prueba ψ, φ, por el Teorea 2 se obtedrá: Lψ, φ Lψ, φ = Lψ Lψ = Lψ, φ

43 CAPÍTULO 2. OPTIMALIDAD DE LAS PRUEBAS SECUENCIALES CON GRUPOS DE TAMAÑO ALEATORIO lo cual es lo que se quería. Recuérdese que el teorea 1 garatiza que la prueba optiizará la fució de Lagrage Lψ, φ Lψ, φ 2.3 sobre cualquier otra prueba. Así la prueba ψ, φ será la óptia. Sabeos por teorea 2 que Lψ, φ = Kψ + s ψ í {λ 0 f0, λ 1 f1 }. q k=1 G k Reescribaos esta últia relació sustituyedo Kψ dada por Notació: Sea l = í { λ 0 f 0, λ 1 f 1 } 2.26 Etoces para ψ Ψ θ0, Lψ = = = q c E θ0 s ψ + q k=1 G k k=1 G k s ψ l. q cs ψ f0 + q s ψ l k=1 G k k=1 G k 2.27 cf 0 + l q s ψ k=1 G k Teiedo e cueta que E θ0 s ψ = s ψ f 0. 38

44 2.2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMALIDAD Paro óptio. Caso trucado E esta secció vaos a resolver el problea, plateado e la secció aterior, sobre el paro óptio, pero de aera parcial, al cual llaareos el caso trucado. E el cotexto de u experieto co su aálisis secuecial, puede suceder que las respectivas reglas de paro, cofore vaos aalizado los datos de los grupos, sea siepre iguales a cero ψ x 1,..., x k = 0, G k, k = 1, 2,..., i. e. puede caber la posibilidad de que o se vea el terio del experieto estadístico. Para casos coo éste debeos teer e cueta ua codició de paro que truque o detega el aálisis para que el experieto o cotiue idefiidaete, ya que esto o sería posible. A este caso lo desigaos el caso trucado, ya que defiireos u úero áxio de etapas de paro e el experieto. Cuado se llegue a este úero, el experieto se teriará. Otra aera de ver el caso trucado es fijar de ateao u úero áxio de grupos observados idepedieteete de los valores ateriores de las reglas de paro. Es decir, tabié se puede toar el úero fijo y realizar el aálisis sipleete hasta llegar a él dejado variable la iforació previa. Sea N la etapa de paro áxia e u experieto co grupos de taaños aleatorio represetados e el vector = 1, 2,..., N G N. Etoces, el aálisis secuecial aplicará las correspodietes copoetes de la regla de paro a cada grupo de observacioes hasta el N-ésio grupo para el cual ψ 1 co G N. Ello sigifica que se aplicará las copoetes de la regla de paro a N 1 grupos ψ :1, ψ :2,..., ψ :N 1 y la aplicació de la N-ésia copoete teriará el experieto. Ahora le dareos a la fució Lψ, para el caso trucado co G k, k = 1,..., N, ua fora ás coveiete utilizado la relació del costo total Kθ 0 ; ψ. 39

45 CAPÍTULO 2. OPTIMALIDAD DE LAS PRUEBAS SECUENCIALES CON GRUPOS DE TAMAÑO ALEATORIO Sea L N ψ la fució de Lagrage Trucada defiida coo: N L N ψ = K N ψ + N = = q k=1 G k N q k=1 G k q s ψ k=1 G k s ψ l N cs ψ f0 + q s ψ l. k=1 G k cf 0 + l Tegaos e cueta que ψ 1 co G N y recordeos las defiicioes de t ψ 1.2 y de s ψ 1.4. Etoces 2.29 se covierte e: L N ψ = N 1 q s ψ k=1 G k cf 0 + l + G N q t ψ cf 0 + l 2.30 El siguiete lea absorbe la ayor parte de la carga técica e el desarrollo de la regla trucada. 40

46 2.2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMALIDAD Lea 2. Sea r 2 fijo y sea v = v 1 1, 2 2,..., r r failia de fucioes cualquiera. Etoces r 1 k=1 G k r 2 co G r ua q s ψ cf 0 + l + Gr q t ψ cf 0 + v q s ψ cf 0 + l + k=1 G k G r 1 q t ψ cf 0 + w 2.31 e dode para cualquier G r 1, { w = í l, cf0 + r G q r r r v,r } 2.32 y la desigualdad e 2.31 se covierte e igualdad si ψ = I { l cf0 + q r r G r r v,r } 2.33 para cualquier G r 1. Deostració. Toeos el lado izquierdo de la ecuació 2.31 y desarrolleoslo. r 1 q s ψ cf 0 + l + Gr q t ψ cf 0 + v = k=1 G k r 2 = q s ψ cf 0 + l + k=1 G k + G r 1 q s ψ cf 0 + l + Gr q t ψ cf 0 + v

47 CAPÍTULO 2. OPTIMALIDAD DE LAS PRUEBAS SECUENCIALES CON GRUPOS DE TAMAÑO ALEATORIO Ahora sólo desarrolleos los últios dos suados de la ecuació aterior q s ψ cf 0 + l + Gr q t ψ cf 0 + v = G r 1 = G r 1 = + r G G r 1 = G r 1 = q s ψ cf 0 + l + 1 1, 2 2,..., r 1 r 1,r r q s ψ cf 0 + l + c q t ψ + cr f,r 0 + v,r r G q 1 q 2,..., q r 1 q r r r 1 ψ :1 1 ψ : ψ :r 2 1 ψ :r 1 c + cr f,r 0 + v,r q 1 ψ :1 1 ψ : ψ :r 2 ψ :r 1 cf 0 + l + + q q r 1 ψ :1 1 ψ : ψ :r 2 1 ψ :r 1 G r 1 = G r 1 q r G r r [ q t ψ ψ cf 0 + l + + r G x r r t ψ [ c + cr f,r 0 + v,r c q r 1 ψ + cr ] f,r 0 + v,r ψ cf 0 + l ψ q r r G r r c + cr ] f,r 0 + v,r 42

48 = 2.2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMALIDAD G r 1 q t ψ [ ψ cf 0 + l ψ c q r r G r r f,r 0 + q r cr f,r ] 0 + v,r r G r r Ahora tegaos e cueta que r r sobre el vector r f,r 0 = f 0 debido a que se tiee ua sua argial r. Toado e cueta este últio hecho, recordeos que G q = 1, etoces la relació aterior se puede escribir coo: G r 1 q s ψ cf 0 + l + Gr q t ψ cf 0 + v = = G r 1 q = G r 1 q [ t ψ cf 0 + ψ l ψ q r [ t ψ + 1 ψ r G r r cf 0 + ψ l + f 0 cr f,r ] 0 + v,r r G q r c r + r G q r r r v,r ] Pero c r = c r, por lo cual r G q r c r = c. 43

49 CAPÍTULO 2. OPTIMALIDAD DE LAS PRUEBAS SECUENCIALES CON GRUPOS DE TAMAÑO ALEATORIO G r 1 = q s ψ cf 0 + l + Gr q t ψ cf 0 + v = G r 1 q [ t ψ + 1 ψ cf 0 + ψ l + cf 0 + r G ] q r v,r 2.35 Ahora sustituyaos la ecuació 2.35 e la parte correspodiete de 2.34 y se obtiee: r 2 q s ψ cf 0 + l + k=1 G k + G r 1 q [ t ψ cf 0 + ψ l + r r 1 ψ cf 0 + r G q r r r v,r ] Apliqueos el lea a esta últia relació, dode: χx t ψ, φx ψ, F 1 l y F 2 cf 0 + r G Por tato: r 2 q s ψ cf 0 + l + k=1 G k + r 2 G r 1 q t ψ cf0 + ψ l + q s ψ cf 0 + l + k=1 G k + G r 1 q t ψ cf0 1 ψ cf0 q r + r G r r v,r q r r r v,r { + í l, cf0 + q r v,r} 2.36 r G r r 44

50 2.2. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMALIDAD Adeás, recordeos que el lea 1 os idica cuádo la desigualdad 2.10 se covierte e igualdad y esto es cuado φx = I {F1 F 2 }x y e uestro caso cuado para cualquier G r 1, ψ = I { l cf 0 + q r r G r r Juteos ahora la ecuacioes 2.34 y 2.36 obteiedo: r 1 k=1 G k r 2 v,r } q s ψ cf 0 + l + Gr q t ψ cf 0 + v q s ψ cf 0 + l + k=1 G k + G r 1 q t ψ cf0 { + í l, cf0 + r G q r v,r} 2.38 r r Lo cual deuestra el lea 2 y la igualdad se da cuado sucede Ahora aplicareos el lea a la ecuació de Lagrage trucada 2.30, obteiedo: L N ψ = N 1 q s ψ cf 0 + l + q t ψ cf 0 + l k=1 G k N 2 k=1 G k G N q s ψ cf 0 + l + G N 1 q t ψ cf 0 + w e dode para G N 1, w = í {l, cf 0 + N G q N N N v,n } 45